2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优 测试卷(Word版 含解析

2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第3章圆的基本性质》单元测试卷一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧2．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或4 3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC′，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5，连接AA′．则AA'长为（）A．2B．C．3D．44．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．144°B．90°C．72°D．60°5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（）A．4B．3C．D．6．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B 关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（）A．1B．C．D．27．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°9．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S＝AE•DF．正八边形ABCDEFGH其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．如图，已知扇形的圆心角为60°，直径为6，则图中弓形（阴影部分）的面积为（）A．6π﹣9B．6π﹣3C．D．二．填空题11．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的圆，则B、E两点间的距离为．12．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为．13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC的度数为．14．圆上有四个点，若它们两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，则这四个点依次分圆弧的比为．15．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是度．16．如图，四角星的顶点是一个正方形的四个顶点，将这个四角星绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小是度．17．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是．18．已知一个扇形的半径为6，面积为10π，该扇形的圆心角是°．19．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB＝．20．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为．三．解答题21．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．22．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝BD＝2，求AB的长．23．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝56°，求∠DEB的度数；（2）若DC＝2，OA＝5，求AB的长．24．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．（1）延长ED交CH于点F，求证：FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．25．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．26．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B在第一象限，AB⊥OA，AB＝OA，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转105°得到△OA'B'，连接BB'．（Ⅰ）求∠OBB'的度数；（Ⅱ）求出点B'的坐标．27．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B 在点O右下方，且∠AOB＝30°，在优弧上任取一点P，过点P作直线OB的垂线，交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线PQ与所在圆的位置关系．参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选：D．2．解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．3．解：根据旋转可知：∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，AB＝A′B＝5，根据勾股定理，得BC＝＝4，∴BC′＝BC＝4，∴AC′＝AB﹣BC′＝1，在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得AA′＝＝．故选：B．4．解：如图，设O的是五角星的中心，∵五角星是正五角星，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5＝72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．故选：C．5．解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（8﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是．故选：C．6．解：连接OB、OB′，∵点A是半圆上一个三等分点，∴∠AON＝60°，∵点B是的中点，∴∠BON＝30°，∵点B'是点B关于MN的对称点，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴AB′＝＝，故选：B．7．解：∵直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴＝，∴∠BAD＝∠COB＝×40°＝20°．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，故选：D．9．解：设圆心为O，连接OD，OF，∵∠DOE＝∠EOF＝＝45°，∴∠DOF＝90°，∴弧DF的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF＝90°，OD＝OF，∴2OD2＝DF2，∴OD＝，∵AE＝2DF，∴AE＝DF，∴②正确；∵S＝DF•OE，四边形ODEF∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DF •OE ， ∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AE •DF ，∴③正确；故选：D ．10．解：S 弓形＝﹣×32＝，故选：C ．二．填空题 11．解：连接BE 、AE ，如右图所示， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BAF ＝∠AFE ＝120°，FA ＝FE ， ∴∠FAE ＝∠FEA ＝30°，∴∠BAE ＝90°，∴BE 是正六边形ABCDEF 的外接圆的直径， ∵正六边形ABCDEF 内接于半径为5的圆， ∴BE ＝10，即B 、E 两点间的距离为10，故答案为：10．12．解：连接OA 、OD 、OE 、OF ，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AE＝AB＝4，OF⊥CD，DF＝CD＝3，由勾股定理得，OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，故答案为：7．13．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝67°，∴∠ABC＝90°﹣67°＝23°．故答案为23°．14．解：∵四个点两两连结后得到的所有线段只有两个不同的长度，∴圆上的四个点构成了圆的内接正方形，∵正方形的边长相等，即四条弦长相等，∴这四个点依次分圆弧的比为1：1：1：1．故答案为1：1：1：1．15．解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．16．解：该图形被平分成四部分，旋转90°的整数倍，就可以与自身重合，故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为90°．故答案为：90．17．解：∵⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，∴点A在⊙O外，故答案为：圆外．18．解：设这个扇形的圆心角为n°，根据题意得：＝10π，解得，n＝100，故答案为：100．19．解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝AB，∵OD＝OC﹣CD＝3，OA＝OC＝5cm，∴AD＝＝＝4（cm），∴AB＝2AD＝8cm，故答案为：8cm．20．解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∵BC＝AC•tan∠BAC＝1，∴OC＝OB＝1，∠BOC＝60°，∴的长＝＝，故答案为．三．解答题21．解：连结OC，如图，∵CE＝AO，而OA＝OC，∴OC＝EC，∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E+∠D，∴∠E+2∠E＝75°，∴∠E＝25°．22．解：∵AB⊥CD，∴CH＝DH＝CD＝1，在Rt△BDH中，∵sin B＝，∴∠B＝30°，连接OD，如图，∵∠HOD＝2∠B＝60°，∴OH＝DH＝，∴OD＝2OH＝，∴AB＝2OD＝．23．解：（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×56°＝28°；（2）∵OD⊥AB，∴AC＝BC，∵DC＝2，OA＝5，∴OC＝3，在Rt△OAC中，AC＝＝4，∴AB＝2AC＝8．24．证明：（1）如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到，∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE；（2）结论：2DM+AD＝DE，理由如下：如图2中，延长AD交BC于F，连接CD，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD），∴2DM+AD＝DE．25．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．26．解：（Ⅰ）∵△OAB≌△OA′B′，∴OB＝OB′，又∠BOB′＝105°，∴∠OBB′＝∠OB′B＝（180°﹣105°）＝37.5°．（Ⅱ）过点B′作B′C垂直于x轴，垂足为C．∵OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2，∴∠COB′＝180°﹣105°﹣45°＝30°，在Rt△OCB′中，B′C＝OB′＝，∴OC＝CB′＝，∴B′（﹣，）．27．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∴∠AOP＝180°﹣∠POQ＝90°，∵PQ⊥OB，∴∠PQO＝60°，∴tan∠PQO＝＝，∴OQ＝∴x＝﹣；（2）如备用图，当直线PQ与所在圆的位置关系相切时，x有最小值，则∠QPO＝90°，∵∠POQ＝∠AOB＝30°，OP＝20，∴OQ＝OP＝，∴x＝﹣．。

2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷解析版一、选择题（共10题；共30分）1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）A. B. C. D.3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（）A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。

若∠D=80°，则∠EAC的度数是( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）A. 45B. 34C. 23D. 128.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+29.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=√2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A. π−1B. π2−1 C. π−12D. π2−1210.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )A. 4√55B. √5 C. 5√23D. 6√55二、填空题（共6题；共24分）11.在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于________°.12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为________．13.小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________ cm．14.如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC=60°，则OD= ________．15.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是________．16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为32π，则半圆的半径OA的长为________．三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠E的度数.18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．20.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60度得到ΔDBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.（1）求证：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.21.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF=EF22.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE .（1）求证：△AEM≌△ANM .（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.23.如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点D．（1）当OP⊥AB时，求OP；（2）当∠AOP＝30°时，求AP．24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．答案一、选择题1.解：∵OA ＝ 12 OP ＝2.5，⊙O 的半径为3， ∴OA ＜⊙O 半径，∴点A 与⊙O 的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.2.解：ACD 、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD 不符合题意； B 、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B 符合题意. 故答案为：B.3.解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ， 由垂径定理得： AD =12AB =12×48=24cm ， ∵⊙O 的直径为 52cm ， ∴ OA =OE =26cm ，在 RtΔAOD 中，由勾股定理得： OD =√OA 2−AD 2=√262−242=10cm ， ∴ DE =OE −OD =26−10=16cm ， ∴油的最大深度为 16cm ， 故答案为： C ． 4.解：∵∠BDC=20° ∴∠BOC=2×20°=40° ∴∠AOC=180°-40°=140° 故答案为：B. 5.连接OB ，∵点B 是弧AC 的中点， ∴∠AOB ＝ 12 ∠AOC ＝60°，由圆周角定理得，∠D ＝ 12 ∠AOB ＝30°， 故答案为：A ．6.∵四边形ABCD 是菱形，∠D=80°， ∴∠ACB=12∠DCB=12（180°-∠D ）=50°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∠D=80°，∴∠AEB=∠D=80°， ∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°. 故答案为：C. 7.连接AC ，设正方形的边长为a ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=90°， ∴AC 为圆的直径， ∴AC= √2 AB= √2 a ，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： 2π×(√22a)=2π≈23 ，故答案为：C. 8.解：如图，点O 的运动路径的长＝ 的长+O 1O 2+ 的长＝90·π·2180+45·π·2180+90·π·2180＝ 5π2 ，故答案为：C ． 9.连接OC∵ 点C 为弧AB 的中点 ∴∠AOC =∠BOC在 △CDO 和 △CEO 中 {∠AOC =∠BOC∠CDO =∠CEO =90°CO =CO∴△CDO ≅△CEO(AAS) ∴OD =OE,CD =CE 又 ∵∠CDO =∠CEO =∠DOE =90°∴ 四边形CDOE 为正方形 ∵OC =OA =√2 ∴OD =OE =1 ∴S 正方形CDOE =1×1=1由扇形面积公式得 S 扇形AOB =90π×(√2)2360=π2 ∴S 阴影=S 扇形AOB −S 正方形CDOE =π2−1故答案为：B.10.解：作QM ⊥x 轴于点M ，Q ′N ⊥x 轴于N ，设Q( m ， −12m +2 )，则PM= m ﹣1 ，QM= −12m +2 ， ∵∠PMQ=∠PNQ ′=∠QPQ ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ ′=∠PQ ′N+∠NPQ ′， ∴∠QPM=∠PQ ′N ， 在△PQM 和△Q ′PN 中，{∠PMQ =∠PNQ ′=90°∠QPM =∠PQ ′NPQ =Q ′P，∴△PQM ≌△Q ′PN(AAS)，∴PN=QM= −12m +2 ，Q ′N=PM= m ﹣1 ， ∴ON=1+PN= 3−12m ， ∴Q ′( 3−12m ， 1﹣m )，∴OQ ′2=( 3−12m )2+( 1﹣m )2= 54 m 2﹣5m+10= 54 (m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ ′2有最小值为5， ∴OQ ′的最小值为 √5 ， 故答案为：B. 二、填空题11.设弦 BC 垂直平分半径 OA 于点E ，连接OB 、OC 、AB 、AC ，且在优弧BC 上取点F ，连接BF 、CF ，∴OB=AB ，OC=AC ，∵OB=OC ，∴四边形OBAC 是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE ， ∵OB=OA ，OE= 12 , ∴cos ∠BOE= 12 ， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， ∴∠BFC= 12 ∠BOC=60°，∴ 弦 BC 所对的圆周角为120°或60°， 故答案为：120或60. 12.连接OC ，Rt △OCH 中，OC= 12 AB=5，CH= 12 CD=4；由勾股定理，得：OH= √OC 2−CH 2=√52−42=3 ； 即线段OH 的长为3． 故答案为：3．13.由 S 扇形=12lR 得：扇形的弧长= 2×150π÷15=20π （厘米），圆锥的底面半径= 20π÷π÷2=10 （厘米）． 故答案是：10． 14.解：连接OB 和OC ，∵△ABC 内接于半径为2的圆O ，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，OB=OC=2， ∵OD ⊥BC ，OB=OC ， ∴∠BOD=∠COD=60°， ∴∠OBD=30°，∴OD= 12 OB=1，故答案为：1.15.解：过E 点作MN ∥BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP,如下图所示，∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC 为等腰直角三角形，∴MB=CN= √22 EC= √22 ， 又BC=AD=CD=CE ，且CP=CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，∴△PEC ≌△PBC(HL)，∴PB=PE ，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE ，∴△MPE 为等腰直角三角形，设MP=x ， 则EP=BP= √2x ，∵MP+BP=MB ，∴ x +√2x =√22，解得 x =2−√22 ，∴BP= √2x =√2−1 ，∴阴影部分的面积= 2S ΔPBC =2×12×BC ×BP =1×(√2−1)=√2−1 ．故答案为： √2−1 ．16.解：如图，连接 OC,OD,CD,∵ 点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°,∵OC =OD,∴△COD 为等边三角形，∴∠OCD=60°,∴∠AOC=∠DCO,∴CD//AB,∴S△COD=S△BCD,∴S扇形OCD =S阴影=3π2，∴60π•OA2360=3π2,解得：OA=3,（负根舍去），故答案为：3三、解答题17. 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°,AD=AB,∠E=∠ACB .∵点B、C、D恰好在同一条直线上∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12(180°−∠BAD)=15°，∴∠E=∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−100°−15°=65° .18. 解：如图，连接OC，∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC，又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝12AD＝3cm．19. （1）连接OA，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB = AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作AE // BC交BD的延长线于E．则AEBC = ADDC= 23，且BC=2BH，∴AOOH = AEBH= 43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，∴a2= 2556，∴BH= 5√24，∴BC=2BH= 5√22．故答案为：5√22．20. （1）证明：由旋转性质得：ΔABC≅ΔDBE,∠ABD=∠CBE=60°∴AB=BD,∴ΔABD是等边三角形所以∠DAB=60°∴∠CBE=∠DAB,∴BC//AD；（2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C两点经过的路径长之和为60π×4180+60π×1180=53π .21. （1）证明：∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD ,∴∠ADF=∠CFD,∴BD//CF,四边形DBCF是平行四边形.（2）证明：如图，连接AE∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF∴∠AEF=∠B四边形AECF是⊙O的内接四边形∴∠ECF+∠EAF=180°∵BD//CF∴∠ECF+∠B=180°∴∠EAF=∠B∴∠AEF=∠EAF∴AF=EF22. （1）证明：由旋转的性质得：AE=AN,∠BAE=∠DAN ∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°∴∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°∵∠MAN=45°∴∠MAE=∠EAN−∠MAN=90°−45°=45°在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠MAE=∠MAN=45°AM=AM∴△AEM≅△ANM(SAS)；（2）解：设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x∵BM=3,DN=2∴CM=BC−BM=x−3,CN=CD−DN=x−2由旋转的性质得：BE=DN=2∴ME=BE+BM=2+3=5由（1）已证：△AEM≅△ANM∴MN=ME=5又∵四边形ABCD是正方形∴∠C=90°则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2，即(x−3)2+(x−2)2=52解得x=6或x=−1（不符题意，舍去）故正方形ABCD的边长为6.23. （1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），∴AO＝2 √3，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝√100+12＝4 √7，∵OP⊥AB，∴10×2√32＝4√7×CD2，CD＝DP，∴CD＝5√217，∴OP＝2CD＝10√21；7（2）解：连接CP，如图所示：∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，AB＝2 √7．∴AP＝AC＝1224. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD ∥BF ，∴∠EBF ＝∠ADB ＝45°，又∠ABC ＝90°，∴α+β＝45°，过B 作BN ⊥BE ，使BN ＝BE ，连接NC ， ∵AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBN ，BE ＝BN ， ∴△AEB ≌△CNB （SAS ），∴AE ＝CN ，∠BCN ＝∠BAE ＝45°， ∴∠FCN ＝90°．∵∠FBN ＝α+β＝∠FBE ，BE ＝BN ，BF ＝BF ， ∴△BFE ≌△BFN （SAS ），∴EF ＝FN ，∵在Rt △NFC 中，CF 2+CN 2＝NF 2 ， ∴EA 2+CF 2＝EF 2；（3）解：如图3，延长GE ，HF 交于K ，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2 ，∴ 12 EA 2+ 12 CF 2＝ 12 EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ， 即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴ 12 S △ABC ＝ 12 S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ， S △BMH ＝S 四边形AGMO ， ∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，（舍去），k2＝1．解得：k1＝﹣17∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6 √2．。

浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷（解析版）一、单选题1.若圆的半径是，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与的位置关系是( )A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O外或⊙O上【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP= =5．∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．故答案为：C【分析】利用勾股定理求出点P到圆心的距离OP，再根据点与圆的位置关系，就可得出点P与圆O的位置关系。

2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）A. 22°B. 26°C. 32°D. 34°【答案】A【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】解：连接OC，∵∠A＝68°，∴∠BOC=2∠A=136°,∵OB=OC,∴∠OBC ==22°;故答案为：A。

【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。

3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则的长（）A. B. C. D.【答案】B【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OA、OC∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°∴∠B+∠D=180°∴∠D=180°-135°=45°∴∠AOC=2∠D=2×45°=90°∵⊙O的半径为4，∴弧AC的长为：故答案为：B【分析】连接PA、OC，利用圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC的度数，然后利用弧长公式就可求出弧AC的长。

4.小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD.下列说法不正确的是（）A. ∠A=60°B. △ACD是直角三角形（第，爱画）C. BC= CDD. 点B是△ACD的外心【答案】C【考点】等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C∴AB=AC=CB∴△ACB是等边三角形∴∠A=60°，故A不符合题意；∵以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D∴AB=CB=BD∴∠D=∠BCD∵∠ABC=∠D+∠BCD=60°∴∠BCD=30°∴∠ACD=∠ADB+∠BCD=60°+30°=90°∴∠ACD=90°∴△ACD是直角三角形，故B不符合题意；在Rt△ADC中，∠A=60°∴tan∠A=∴故C符合题意；∵AB=CB=BD∴点B是△ACD的外心故D不符合题意；故答案为：C【分析】由已知条件：分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C，易证△ACB是等边三角形，因此可求出∠A的度数，可对A作出判断；再由以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D，可知AB=CB=BD，可证得点B是△ACD的外心，可对D作出判断；利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质求出∠D的度数，就可求出∠ACD的度数，可对B作出判断，然后利用解直角三角形就可得到BC 与CD的数量关系，可对C作出判断，综上所述，可得出答案。

2019-2020浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A.80°B.160°C.100°D.80°或100°2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是( )A. 50°B. 60°C. 40°D. 30°3.如图，平面直角坐标系中，已知点B ，若将△ABO绕点O沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1O，则点B的对应点B1的坐标是( )A. （3，1）B. （3，2） C. （1，3） D. （2，3）4.如图，四边形是⊙的内接正方形，点是劣弧上任意一点（与点不重合），则∠的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 无法确定5.已知圆的半径为3，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（）A. B.C.D.6.如图，在正方形ABCD中，分别取AD、BC的中点E、F，并连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则的值为（）A. ．C． D．7.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）A. 5B.C. 5D.8.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（）．A. B.C. D.9.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A. 6B. 6C. 8D. 810.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题4分，共24分）11.如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38º，则∠OAC的度数是________.12.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是________ 13.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为________m.14.为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为________cm2．15.如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为________.16.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有________（填序号）．三、解答题（每小题6分，共18分）17.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°，求∠AOC的度数．18.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．19.如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．四，解答题（每小题8分，共48分）20.如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求的值21.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．22.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．23.已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ， OF=3，求⊙O的直径．24.如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．（1）如图①，求证：BD=BE；（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4 ，OD=7，求BF的长．25.如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，边AB与y轴交于点C.（1）若∠A=∠AOC，试说明：∠B=∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由.答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 解:∠ABC =∠AOC =×160°=80°或∠ABC ＝×（360°-160°）＝100°. 故答案为：D.2.解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，可得∠AOC=80°，∠C=∠A ， ∵∠A ＝2∠D ＝100° ∴∠A=100°，∠D=50°， ∴∠DOC=180°-∠C-∠D=30°， ∴∠a=∠AOC-∠DOC=50° 故答案为：A.3.解：△A 1B 1O 如图所示，点B 1的坐标是（2，3）.故答案为：D. 4.解：连接OB,OC ，∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ， ∴∠BOC=°=90°，∴∠BPC=∠BOC=45°； 故答案为: B.5.解： 扇形的圆心角为，其半径为3， 扇形。

2019-2020浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（）A.∠BAC＝αB.∠DAE＝αC.∠CFD＝αD.∠FDC＝α解：∵△DAE是由△BAC旋转得到，∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，∵∠ACB=∠DCF，∴∠CFD=∠BAC=α，故A，B，C不符合题意，故答案为：D.2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）A.22°B.26°C.32°D.34°解：连接OC，∵∠A＝68°，∴∠BOC=2∠A=136°,∵OB=OC,∴∠OBC =°°=22°;故答案为：A。

3.如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D 恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°解：∵∠B＝70°，∠BAC＝30°∴∠ACB＝80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°∴∠CAE＝∠AEC＝50°。

故答案为：C。

4.如图，AD是△ABC外接圆的直径.若∠B＝64°，则∠DAC等于（）A.26°B.28°C.30°D.32°解：如图，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠B＝64°，∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°，故答案为：A。

5.如图，以边长为a的等边三角形各顶点为圆心，以a为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线.此曲线的周长与直径为a的圆的周长之比是( ) .A.1：1B.1：3C.3：1D.1：2解：三段弧的圆心角都等于60°，则曲线的周长＝3×＝πa；直径为a的圆的周长＝πa；∴曲线的周长与直径为a的圆的周长之比＝1：1.故答案为：A。

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33分）1.已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是()A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC=130°，则∠D等于()A. 65°B. 35°C. 25°D. 15°3.如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=()A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定4.已知正六边形的边长为6，则它的边心距()A. 3√3B. 6C. 3D. √35.如图，☉O的半径为3，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，若∠BCD=∠BOD，则BD⌢的长为()π C. 2π D. 3πA. πB. 326.如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB等于()A. 36∘B. 60∘C. 72∘D. 108∘7.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()A. 5B. 7C. 9D. 118.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 89.半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是()A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π10.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为()A. 16πB. 12πC. 10πD. 8π11.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG.DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ= 14，AC+BC=18，则AB的长为()C. 13D. 16A. 9√2B. 907二、填空题（本大题共9小题，共35分）12.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.13.正五边形每个外角的度数是______．14.在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC⏜=CD⏜，则∠ACD的度数是______．16.有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是______．17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．18.如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形1、2、3、4….则三角形2016的直角顶点坐标为______ ．19.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=6时，AP+BP的最小值为______．20.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共52分）21.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1.在网格中画出△A1B1C1；(2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π)22.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E．(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长．23.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交BC⌢于点D，连接AD．(1)求证：∠CAD=∠BAD；(2)若⊙O的半径为1，∠B=50°，求AC⌢的长．24.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．(1)求证：OD//AC；(2)若BC=8，DE=3，求⊙O的直径．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵圆的半径是4cm，点A到圆心的距离是3cm，小于圆的半径，∴点A在圆内．故选A．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．本题考查的是点与圆的位置关系，点A到圆心的距离是3cm，比圆的半径4cm小，可以判断点A就在圆内．2.【答案】C【解析】【分析】∠BOC，求出∠BOC即可．根据圆周角定理：∠D=12本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵∠BOC=180°−∠AOC，∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∠BOC=25°，∴∠D=12故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB= 90°．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．【解析】解：如图所示，此正六边形中AB=6，则∠AOB=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，=3√3，∴OG=OA⋅cos30°=6×√32故选：A．已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴BD⏜的长．故选C．【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中还用到了三角形的外角的性质及正多边形的性质等，比较简单．首先根据正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，∠ACB=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠APB=∠PBC+∠ACB．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=108∘，BA=BC，∴∠ACB=36∘．同理∠PBC=36∘，∴∠APB=∠PBC+∠ACB=72∘．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，再根据勾股定理求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90∘，AB=24，∴AN=1AB=12.在Rt△OAN中，ON=√OA2−AN2=√132−122=5．2故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理．先由圆周角定理求出∠BOC=45°，再由垂径定理得出∠OEC=90°，CD=2CE，则△OCE为等腰直角三角形，由勾股定理求出CE的长，即可得出CD长．【解答】解：∵∠A=22．5∘，∴∠BOC=2∠A=45∘，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，OC=2√2，∴CD=2CE=4√2．∴CE=√22故选C．9.【答案】A【解析】【分析】把已知数据代入S=nπR2，计算即可．360是解题的关键．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式：S=nπR2360【解答】=3π，解：半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是：120π×32360故选A．10.【答案】D【解析】解：根据题意画图如下，在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=√172−152=8，π⋅42=8π．则S半圆=12故选D．首先根据勾股定理求出AB的长，再根据半圆的面积公式解答即可．此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理以及圆的面积公式，关键是根据勾股定理求出半圆的半径．11.【答案】C【解析】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BC的中点，(AC+BC)=9，∴OH+OI=12∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18−14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选C．连接OP，OQ，根据DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，(AC+BC)=9和从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．12.【答案】110【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠C，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【解答】∠BOD=70°，解：由圆周角定理得，∠C=12∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°−∠C=110°，故答案为：110．第18页，共18页 13.【答案】72°【解析】解：360°÷5=72°．故答案为：72°．利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理得到AC =BC =12AB =3，然后在Rt △AOC 中利用勾股定理计算OC 即可． 【解答】解：作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，如图，∵OC ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4， 在Rt △AOC 中，OA =5，∴OC =√OA 2−AC 2=3，即圆心O 到AB 的距离为3．故答案为3．15.【答案】60°【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴AC⏜=AD ⏜， ∵AC⏜=CD ⏜， ∴AC⏜=CD ⏜=AD ⏜， 即AC ⏜、CD ⏜、AD ⏜的度数是13×360°=120°，∴∠ACD=1×120°=60°，2故答案为：60°．根据垂径定理求出AC⏜=CD⏜，求出AC⏜、CD⏜、AD⏜的度数，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD⏜的度数是解决此题的关键．16.【答案】4cm<r<5cm【解析】解：∵矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm<r<5cm．故答案为4cm<r<5cm．先利用勾股数得到AC=5cm，然后根据点与圆的位置关系，要使点D在⊙A内，则r>4；要使点C在⊙A外，则r<5，然后写出它们的公共部分即可．本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．17.【答案】4√2【解析】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，∴⊙O的直径为4√2，故答案为：4√2．连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，进而得出⊙O的直径为4√2．本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．18.【答案】(8064,0)【解析】解：∵A(−3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=√32+42=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12，∵△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵2016=3×672，∴三角形2016与三角形1的状态一样，∴三角形2016的直角顶点的横坐标=672×12=8064，∴三角形2016的直角顶点坐标为(8064,0)．故答案为(8064,0)．先利用勾股定理计算出AB，从而得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2016=3×672，于是可判断三角形2016与三角形1的状态一样，然后计算672×12即可得到三角形2016的直角顶点坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.解决本题的关键是确定循环的次数．19.【答案】3√2【解析】【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，此时PA+PB=A′B是最小值，连接OA′，AA′．第18页，共18页∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，又∵OA=OA′=OB=3，∴A′B=3√2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3√2．故答案为：3√2．20.【答案】π+12【解析】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=√12+12=√2；根据题意得：√2△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积=135×π×(√2)2360+12×1×1+90×π×12360=π+12．故答案为：π+12．由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)如图．△A1B1C1即为所求三角形；(2)由勾股定理可知OA=√22+22=2√2，线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，则．答：扫过的图形面积为2π．【解析】(1)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；(2)先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可；本题考查的是作图−旋转变换、扇形的面积公式，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD//BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°−∠B=90°−70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=1800−∠AOD2=1800−7002=55°，∴∠CAD=∠DAO−∠CAB=55°−20°=35°；(2)在直角△ABC中，BC=√AB2−AC2=√42−32=√7．∵OE⊥AC，第18页，共18页∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=12BC=√72．又∵OD=12AB=2，∴DE=OD−OE=2−√72．【解析】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．(1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．23.【答案】解：(1)证明：∵O是圆心，OD⊥BC，∴弧CD=弧BD，∴∠CAD=∠BAD；(2)连接CO，∵∠B=50°，∴∠AOC=100°，∴弧AC的长：nπr180=100×π×1180=5π9．【解析】本题考查了垂径定理及圆周角定理，弧长的计算．(1)利用垂径定理及圆周角定理即可证明；(2)连接CO，先求得∠AOC=100°，再利用弧长公式计算即可．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90°，∴OD//AC；(2)解：令⊙O的半径为r，则OE=r−3∵OD⊥BCBC=4，根据垂径定理可得：BE=CE=12在ΔOBE中由勾股定理得：r2=42+(r−3)2，，解得：r=256．所以⊙O的直径为253【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键．(1)由圆周角定理得出∠C=90°，再由垂径定理得出∠OEB=∠C=90°，即可得出结论；BC=4，由勾股定理得出方程，解(2)令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE=CE=12方程求出半径，即可得出⊙O的直径．第18页，共18页。

章末达标测试一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2．在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在点(1，0)，半径为2，则下面各点在⊙O上的是( ) A ．(2，0) B ．(0，2) C ．(0，3)D ．(3，0)3．如图，将△ABC 绕点P 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标是( )A ．(1，1)B ．(1，2)C ．(1，3)D ．(1，4)4．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若∠DBC ＝33°，则∠A 等于( )A ．33°B ．57°C ．67°D ．66°5．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是BC ︵上任意一点，连接AP .若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为( )A ．3B ．4C ．92 D ．56．如图，将边长为 2 cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长为()A．8 2 cm B．8 cm C．3π cm D．4π cm7．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD︵所对的圆心角∠BOD的度数为()A．108°B．118°C．144°D．120°8．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的度数是()A．40°B．60°C．70°D．80°9．如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于()A．412B．342C．4 D．310．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是()A．5 2 B．5 2 2C． 2 D．3 2二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是__________．12．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是________．13．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为________．14．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离是2，则⊙O上有__________个点到直线AB的距离为3.15．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4 2.⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．16．如图，直线y＝－34x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标为______________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.18．如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1，EB＝5，且∠DEB＝60°，求CD的长．19．如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝6 m ，弓形的高EF＝2 m ．现计划安装玻璃，请你帮忙求出AB ︵所在⊙O 的半径．20．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在已知圆上，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10. (1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．21．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过x 轴上一点C ，与y 轴相交于A ，B两点，连接AP 并延长分别交⊙P ，x 轴于点D ，E ，连接DC 并延长交y 轴于点F .若点F 的坐标为(0，1)，点D 的坐标为(6，－1)． (1)求证：FC ＝DC ；(2)判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由．22．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接BC 交⊙O 于点F ，取BF ︵的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH ⊥AB 于点H . (1)求证：△HBE ∽△ABC；(2)若CF ＝4，BF ＝5，求AC 和EH 的长．答案一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.A6．D 点拨：∵正方形ABCD 的边长为 2 cm ，∴对角线的一半长为1 cm ，则连续翻动8次后，正方形的中心O 经过的路线长为8×90π×1180＝4π(cm)．7．C 8.D 9.D10．B 点拨：∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴MN ＝12AB ，∴当AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，当AB 是直径时，AB 最大， 如图，连接AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′， ∵AB ′是⊙O 的直径，∴∠ACB ′＝90°. ∵∠ABC ＝45°，∴∠AB ′C ＝45°，∴AB ′＝AC sin45°＝522＝5 2，∴MN 最大＝5 22.二、11.(4，6)12．35° 点拨：如图，连接FB .∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°－40°＝140°， ∴∠FEB ＝12∠FOB ＝70°.∵EF ＝EB ，∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°. ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝12×(180°－140°)＝20°， ∴∠EFO ＝∠EFB －∠OFB ＝35°. 13.π4 14.315．2 3 点拨：连接OQ .∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ .根据勾股定理知，PQ 2＝OP 2－OQ 2， ∴当PO ⊥AB 时，PO 最短，此时线段PQ 最短．∵在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝4 2，∴AB ＝ 2OA ＝8，∴OP ＝OA ·OBAB ＝4，∴PQ ＝ OP 2－OQ 2＝2 3. 16.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－173 ，0 点拨：∵直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝－4， ∴A (－4，0)，B (0，－3)， ∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝5. 如图，设⊙P 与直线AB 相切于点D ， 连接PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1.∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ， ∴△APD ∽△ABO ，∴PD OB ＝AP AB ，∴13＝AP 5， ∴AP ＝53，∴OP ＝73.同理可得OP ′＝173. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－173，0.三、17.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所作，其中点C 1的坐标为(－2，－1)．(2)如图所示，△A 2B 2C 1即为所作．18．解：如图，作OP ⊥CD 于点P ，连接OD ，则CP ＝PD .∵AE ＝1，EB ＝5，∴AB ＝6，∴OE ＝2， 在Rt △OPE 中，OP ＝OE ·sin ∠DEB ＝ 3， ∴PD ＝OD 2－OP 2＝ 6，∴CD ＝2PD ＝2 6.19．解：∵弓形的跨度AB ＝6 m ，EF 为弓形的高，∴OF ⊥AB 于点F .∴AF ＝12AB ＝3 m. 设AB ︵所在⊙O 的半径为r m.∵弓形的高EF ＝2 m ，∴OF ＝(r －2)m.在Rt △AOF 中，由勾股定理可知AO 2＝AF 2＋OF 2， 即r 2＝32＋(r －2)2， 解得r ＝134，即AB ︵所在⊙O 的半径为134 m. 20．解：(1)∵AD ∥BC ，∠ADC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠DAC ＝∠ACB .又∵CA 平分∠BCD ，∴∠DCA ＝∠ACB ＝∠DAC ＝30°. ∴AB ︵＝AD ︵＝CD ︵，∠B ＝60°.∴∠BAC ＝90°， ∴BC 是圆的直径，BC ＝2AB . ∵四边形ABCD 的周长为10，∴AB ＝AD ＝DC ＝2，BC ＝4.∴此圆的半径为2. (2)设BC 的中点为O .由(1)可知点O 即为圆心， 如图所示．连接OA ，OD ，过点O 作OE ⊥AD 于点E ， 在Rt △AOE 中，易知∠AOE ＝30°， ∴OE ＝OA ·cos 30°＝ 3.∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60×π×22360－12×2× 3＝2π3－ 3. 21．(1)证明：如图，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则∠DHC ＝90°.∵点F 的坐标为(0，1)，点D 的坐标为(6，－1)， ∴HD ＝OF ＝1.在△FOC 与△DHC 中，⎩⎨⎧∠FCO ＝∠DCH ，∠FOC ＝∠DHC ，OF ＝HD ，∴△FOC ≌△DHC . ∴FC ＝DC .(2)解：⊙P 与x 轴相切．理由如下：如图，连接CP .∵AP ＝PD ，DC ＝FC ，∴CP ∥AF . ∴∠PCE ＝∠AOC ＝90°，即PC ⊥x 轴． 又∵PC 是半径，∴⊙P 与x 轴相切． 22．(1)证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴CA ⊥AB .∵EH ⊥AB ，∴∠EHB ＝∠CAB ＝90°. ∵∠EBH ＝∠CBA ，∴△HBE ∽△ABC . (2)解：如图，连接AF .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°. ∵∠C ＝∠C ，∠CF A ＝∠CAB ，∴△CAF ∽△CBA ，∴CA 2＝CF ·CB ＝36， ∴CA ＝6，∴AB ＝BC 2－AC 2＝3 5， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝2 5.∵D 为BF ︵的中点，∴DF ︵＝BD ︵，∴∠EAF ＝∠EAH . ∵EF ⊥AF ，EH ⊥AB ，∴EF ＝EH . ∵AE ＝AE ，∴Rt △AEF ≌Rt △AEH ， ∴AF ＝AH ＝2 5，设EF ＝EH ＝x ，在Rt △EHB 中，由勾股定理得(5－x )2＝x 2＋(3 5－2 5)2，解得x ＝2， ∴EH ＝2.。

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（ ）第8题图 第9题图 第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（ ）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为 ．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为 ；（2）△AMN 周长的最小值是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。

第3章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是()A．15°B．60°C．45°D．75°2．如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，连结AD，BC，则α和β的关系是()A．α＝βB．β＞2αC．β＜2αD．β＝2α3．如图，要拧开一个边长为6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为()A．6 2 mm B．12 mm C．6 3 mm D．4 3 mm4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是() A．AD＝ABB．∠BOC＝2∠DC．∠D＋∠BOC＝90°D．∠D＝∠B5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°6．点A，B，C，D分别是⊙O上不同的四点，∠ABC＝65°，则∠ADC＝() A．65°B．115°C．25°D．65°或115°7．如图，某厂生产横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳的视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) A ．π4 cm B ．7π4 cm C ．7π2cm D ．7π cm8．如图，在半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形AOB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1cm 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1cm 2 C ．1 cm 2 D.π2cm 2 9．如图，已知点A ，B ，C ，D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OC —CD ︵—DO 的路线做匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y (度)与t (秒)之间的函数关系最恰当的是( )10．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( ) A. 2 B ．1 C ．2 D ．2 2二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝100°，则∠ACB ＝________°. 12．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比值是________．13．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，O 为圆心，OD ⊥AB ，垂足为D ，OE⊥AC ，垂足为E.若DE ＝3，则BC ＝________．14．如图，△ABC是等边三角形，以BC为直径作圆O分别交AB，AC于点D，E，若BC＝1，则DC＝__________.15．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，∠AOD＝45°，若CD ＝6 cm，则AB的长为________．16．如图，将放置于平面直角坐标系中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB＝30°，∠B＝90°，AB＝1，则点B′的坐标是__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________．18．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连结OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为____________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.20．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2.(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作△ABC的外接圆⊙O；(2)求△ABC的外接圆⊙O的直径．21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．22．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连结BD 交CF 于点G ，连结C D ，AD ，BF . (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．23．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，以B 为圆心，BC 为半径画弧交AD 于F .(1)若CF ︵的长为23π，求圆心角∠CBF 的度数；(2)在(1)的条件下，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π)24．如图，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，有一条定长为8 cm 的动弦CD 在AB ︵上滑动(点C 不与A ，B 重合，点D 也不与A ，B 重合)，且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 交AB 于点F . (1)求证：AE ＝BF ；(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDFE 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值；若不是，请说明理由．答案一、1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B8．A 点拨：∵扇形AOB 的圆心角为90°，半径为2 cm ，∴扇形AOB 的面积为90π×22360＝π(cm 2)，两个半圆形的面积均为12×π×12＝π2(cm 2)．如图，连结OD ，BD ，DA ，易知A ，B ，D 三点共线．易得BD ＝OD ＝DA ＝ 2 cm ，且两个半圆形内的4个小弓形面积相等． 在半圆形OA 中，S弓形AD＝12(S 半圆形OA－S △OAD )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1cm 2，∴S阴影＝S扇形AOB －S △AOB －2S 弓形AD ＝π－12×2×2－2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝π2－1 (cm 2)． 9．C 点拨：当动点P 在OC 上运动时，∠APB 逐渐变小；当动点P 在CD ︵上运动时，∠APB 不变；当动点P 在DO 上运动时，∠APB 逐渐变大． 10．A二、11．50 12．62 13．6 14．3215．3 2 cm16．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 点拨：在Rt △AOB 中，由∠AOB ＝30°，易得OA ＝2AB ＝2.过点B 作BD ⊥OA 于点D ，在Rt △ABD 中，易得AD ＝12，BD ＝32，∴OD ＝2－12＝32，∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.由三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，易得点B ′的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.17．52π－418．53或52点拨：分情况讨论：如图①，当∠ODB＝90°，即CD⊥AB 时，可得AD＝BD，∴CD垂直平分AB，∴AC＝BC.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．易得∠DBO＝30°.由OB＝5，易得BD＝32OB＝532，∴BC＝AB＝2BD＝5 3.如图②，当∠DOB＝90°时，可得∠BOC＝90°，又OB＝OC，∴△BOC是等腰直角三角形．∴BC＝2OB＝5 2三、19．证明：连结BM.∵AP⊥BC，∴∠CAP＝90°－∠C.∵AM为⊙O的直径，∴∠ABM＝90°，∴∠BAM＝90°－∠M.又∵∠M＝∠C，∴∠BAM＝∠CAP.20．解：(1)作图略．(2)作直径AD，连结BD.∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.∵∠D＝∠C＝45°，∴AB＝BD＝2.∴AD＝AB2＋BD2＝22＋22＝2 2，即△ABC的外接圆⊙O的直径为 2221．解：(1)△AB ′C ′如图所示．(2)根据网格图，可知AB ＝32＋42＝5.易知线段AB 在变换到AB ′的过程中，扫过区域为圆心角为90°，半径为5的扇形，其面积S ＝90360π·52＝254π.22．(1)证明：∵C 是BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ， ∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF . 在△BFG 和△CDG 中，∵⎩⎨⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG (AAS )．(2)解：连结OF ，设⊙O 的半径为r ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴BD 2＝AB 2－AD 2，即BD 2＝(2r )2－22. 在Rt △OEF 中，OF 2＝OE 2＋EF 2， 即EF 2＝r 2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵， ∴BD ＝CF ，易得EF ＝CE ， ∴BD 2＝CF 2＝(2EF )2＝4EF 2，即(2r )2－22＝4[r 2－(r －2)2]， 解得r ＝1(舍去)或r ＝3，∴BF 2＝EF 2＋BE 2＝32－(3－2)2＋22＝12， ∴BF ＝2 3.23．解：(1)设∠CBF ＝n °，∵CF ︵的长为23π，半径R ＝BC ＝AD ＝2，∴n π×2180＝23π，∴n ＝60， 即∠CBF 的度数为60°.(2)∵∠CBF ＝60°，且四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF ＝30°. 在Rt △ABF 中，易得AF ＝12BF ＝12AD ＝1，∴AB ＝BF 2－AF 2＝22－12＝ 3. 易得S 扇形CBF ＝60×π×22360＝23π，S 矩形ABCD ＝AD ·AB ＝2×3＝2 3，S △ABF ＝12AF ·AB ＝12×1×3＝32，∴S 阴影＝S 矩形ABCD －(S 扇形CBF ＋S △ABF )＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋32＝332－23π.24．(1)证明：过点O 作OH ⊥CD 于点H ，易得H 为CD 的中点．∵CE ⊥CD ，DF ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD ， 易得O 为EF 的中点，即OE ＝OF . 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝OA －OE ＝OB －OF ＝BF ，即AE ＝BF .(2)解：四边形CDFE 的面积为定值．证明如下：∵动弦CD 在滑动的过程中，条件EC ⊥CD ，FD ⊥CD 不变，∴CE ∥DF 不变．由此可知，四边形CDFE 为直角梯形或矩形，易得S四边形CDFE＝OH ·CD .连结OC ，由勾股定理得OH ＝OC 2－CH 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝25(cm)．又∵CD ＝8 cm ，∴S 四边形CDFE ＝OH ·CD ＝25×8＝165(cm 2)，是常数．综上，四边形CDFE 的面积为定值，为165cm2.1、人不可有傲气，但不可无傲骨。

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元测试卷题号—• 二 三 总分得分1133 1.已知O0的半径为4皿 点A 到圆心0的距离为3,7小则点A 与O0的位宜关系是D ・无法确立 4. 已知正六边形的边长为6,则它的边心距（）A. 3逅B. 6C. 3D. V55. 如图，囹0的半径为3,四边形ABCD 内接于囹O,连接OB, OD,若厶BCD =厶BOD,则亦的长为（）6. 如图，在圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P,则"P3等于2. A.点A 在O0内 B.点A 在上 C •点A 在0 0外 如图，AB 是O0的直径，C 、D 是O 0上两点，"0C = 130°, 则乙D 等于（）A. 65°B. 35°C. 25°如图，已知经过原点的OP 与X 、y 轴分别交于仏B 两点,C 是劣弧OB 上一点，则"CB = （）A. 80°B. 90°C. 100°A. nD. 3nA. 36°B. 60°C. 72°D. 108°7.如图，OO的半径为13,弦AB的长度是24, ON k AB.垂足为N,贝lj0N =（）如图OO的直径AB垂直于弦CD垂足为E," = 22.5。

,0C = 4, CD的长为（）A. 2\/2B. 4C. 4\/2D. 89.半径为3,圆心角为120。

的扇形的而积是（）A. 3nB. 6nC. 9TTD. 12TT10.在Rt △力BC中，乙B = 90。

, EC = 15, AC = 179以AB为直径作半圆，则此半圆的而积为（）A. 1671B. 12nC. 10nD. 8n11.如图，c是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC, BC,分别以AC, BC为边向外作正方形ACDE, BCFG.DE, FG,碇，氐的中点分别是M, N, P, Q.若MP + NQ = 14, AC + BC = 18,则AB 的长为（）A. 5B.7C.9DECGC. 13D. 16二、填空题（本大题共9小题，共35分）12.如图，G>0的内接四边形ABCD中，z_BOD = 140°,则"等于13.正五边形每个外角的度数是14.在O0中，已知半径为5,弦AB的长为&那么圆心O到AB的距离为_______ .15.如图,AB是O O的直径，弦CD丄加于点E,如果碇=CD.则"CD的度数是_______ ・16.有一张矩形的纸片，AB = 3cmt AD = 4cm*若以A为圆心作圆, 并且要使点D在GM内，而点C在GM外，GM的半径厂的取值范围是______17.如图，G）O是△SBC的外接圆，乙力= 45。

九年級上冊第3章《圓の基本性質》測試卷滿分100分，考試時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列命題中，是真命題の為（ ） A ．同弦所對の圓周角相等 B ．一個圓中只有一條直徑C ．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D ．同弧所對の圓周角與圓心角相等2．已知⊙O の半徑為5釐米，A 為線段OP の中點，當OP =6釐米時，點A 與⊙O の位置關係是（ ） A ．點A 在⊙O 內 B ．點A 在⊙O 上 C ．點A 在⊙O 外 D ．不能確定 3．已知弧の長為3πcm ，弧の半徑為6cm ，則圓弧の度數為（ ） A ．45° B ．90 ° C ．60 ° D ．180° 4．如圖，OAB △繞點O 逆時針旋轉80°得到OCD △，若110A ∠=°，40D ∠=°，則∠αの度數是（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°5．如圖，圓O の直徑CD 過弦EF の中點G ，∠DCF =20°，則∠EOD 等於（ ） A ．10° B ．20°C ．40°D ．80°第5題圖6．鐘面上の分針の長為1，從9點到9點30分，分針在鐘面上掃過の面積是（ ） A ．12πB ．14πC ．18πD ．π7．如圖，一種電子遊戲，電子螢幕上有一正六邊形ABCDEF ，點P 沿直線AB 從右向左移動，當出現點P 與正六邊形六個頂點中の至少兩個頂點距離相等時，就會發出警報，則直線AB 上會發出警報の點P 有（ ） A ．3個 B ．4個 C ．5個 D ．6個第10题E CDFP8．如圖，A、B、P是半徑為2の⊙O上の三點，∠APB=45°，則弦ABの長為（）A．2B．2 C．22D．4第8題圖9．如圖，在平面直角坐標系中，⊙A經過原點O，並且分別與x軸、y軸交於B、C兩點，已知B（8，0），C（0，6），則⊙Aの半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．8第9題圖10．如圖，⊙Oの半徑OD⊥弦AB於點C，連結AO並延長交⊙O於點E，連結E C．若AB=8，CD=2，則ECの長為（）A．215B．8 C．210D．213第10題圖二、填空題（每小題3分，共30分）11．一條弧所對の圓心角為72°，則這條弧所對圓周角為°．12．已知⊙Oの面積為36π，若PO＝7，則點P在⊙O．13．一紙扇柄長30cm，展開兩柄夾角為120°，則其面積為cm2．14．如圖，AB為⊙Oの直徑，弦CD⊥AB於點E，若CD=6，且AE：BE =1：3，則AB= ．第14題圖15．如圖，AB是⊙Oの直徑，點C是圓上一點，∠BAC=70°，則∠OCB= °．第15題圖16．已知：如圖，圓內接四邊形ABCD中，∠BCD =110°，則∠BAD = °．第16題圖17．如圖，OC是⊙Oの半徑，AB是弦，且OC⊥AB，點P在⊙O上，∠APC=26°，則∠BOC= ．第17題圖18．如圖，⊙O中，弦AB、DCの延長線相交於點P，如果∠AOD=120°，∠BDC=25°，那麼∠P= °．第18題圖19．如圖，AD、AC分別是直徑和絃，∠CAD=30°，B是AC上一點，BO⊥AD，垂足為O，BO=5cm，則CD 等於cm．第19題圖20．如圖：在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等の兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E，若AC ＝2 cm，則⊙Oの半徑為cm．第20題圖三、解答題（共40分） 21．（6分）某居民社區一處圓柱形の輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面の半徑，下圖是水準放置の破裂管道有水部分の截面． (1)請你補全這個輸水管道の圓形截面；(2)若這個輸水管道有水部分の水面寬AB ＝16cm ，水面最深地方の高度為4cm ，求這個圓形截面の半徑．22．（6分）如圖所示，AB ＝AC ，AB 為⊙O の直徑，AC 、BC 分別交⊙O 於E 、D ，連結ED 、BE ．(1) 試判斷DE 與BD 是否相等，並說明理由； (2) 如果BC ＝6，AB ＝5，求BE の長．23．（6分）如圖，⊙O の直徑AB 為10cm ，弦AC 為6cm ，∠ACB の平分線交⊙O 於D ，求BC ，AD ，BDの長．24．（6分）如圖，將小旗ACDB 放於平面直角坐標系中，得到各頂點の座標為A （－6，12），B （－6，0），C （0，6），D （－6，6）．以點B 為旋轉中心，在平面直角坐標系內將小旗順時針旋轉90°． (1)畫出旋轉後の小旗A ′C ′D ′B ′，寫出點C ′の座標； (2)求出線段BA 旋轉到B ′A ′時所掃過の扇形の面積．AOBCDE25．（8分）如圖，AB為⊙Oの直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙Oの另一個交點為E，連接AC，CE．(1)求證：∠B=∠D；(2)若AB=4，BC－AC=2，求CEの長．26．（8分）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB於點D，連結CD．(1)如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙Oの半徑r；(2)如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCAの度數．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除九年級上冊第3章《圓の基本性質》測試卷1．C2．A3．B4．C5．C6．A7．C资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除20．221．(1)圖略；(2)10cm ．22．(1)連結AD ． ∵AB 是⊙O の直徑，∴AD ⊥BC ，BE ⊥AC ．∵AB=AC ，∴BD=CD ，∴DE=BD ．(2)由畢氏定理，得BC 2－CE 2=BE 2=AB 2－AE 2．設AE =x ，則62－(5－x )2=52－x 2，解得x =75．∴BE 22245AB AE -=． 23．∵ AB 是直徑．∴ ∠ACB ＝∠ADB =90°．在Rt △ABC 中，BC 22221068AB AC -=-=（cm ）．∵ CD平分∠ACB ，∴ AD BD =．∴ AD =BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2＋BD 2=AB 2，∴ AD =BD =52（cm ）． 24．(1)圖略，C ′（0，－6）；(2)∵A （－6，12），B （－6，0），∴AB =12．∴線段BA 旋轉到B ′A ′時所掃過の扇形の面積=2901236360⋅π⋅=π．25．(1)∵AB 為⊙O の直徑，∴∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ，∵DC =CB ，∴AD =AB ，∴∠B =∠D ；(2)解：設BC =x ，則AC =x －2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x －2）2+x 2=42，解得：x 17x 2=17，∵∠B =∠E ，∠B =∠D ，∴∠D =∠E ，∴CD =CE ，∵CD =CB ，∴CE =CB 7． 26．(1)過點O 作OE ⊥AC 於E ，則AE =21AC =21×2=1，∵翻折後點D 與圓心O 重合，∴OE =21r ，在Rt △AOE 中，AO 2=AE 2+OE 2，即r 2=12+（21r ）2，解得r 233(2)連接BC ，∵AB 是直徑，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =25°，∴∠B =90°－∠BAC =90°－25°=65°，根據翻折の性質，⌒AC 所對の圓周角等於ADC 所對の圓周角，∴∠DCA =∠B －∠A =65°－25°=40°．。

第3章测试卷圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.已知⊙O的直径为10,点P到点O的距离大于8,那么点P的位置( )A. 一定在⊙O的内部B. 一定在⊙O的外部C. 一定在⊙O上D. 不能确定2.正六边形的每个内角度数为( )A. 90°B. 108°C. 120°D. 150°3.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )A7 B. 7 C. 6 D. 85. 下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°；②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ②④6. 如图,正方形ABCD 内接于⊙O,AB=22,则AB的长是( )A. πB.32π C. 2π D127.如图,已知 BC 是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点 A,点C重合),BD与OA交于点E,设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°8. 如图,在扇形 AOB中,∠AOB=90°,点C 是弧AB 的中点,点 D 在OB 上,点 E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( )A. π-2B. 2π—2C. π—4D. 2π-49. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC角平分线的交点，∠AIC=124°,点 E 在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A. 56°B. 62°C. 68°D. 78°10. 如图,AB是半圆O 的直径,点 P 从点O 出发,沿OA→AB→BO(的路径匀速运动一周.设OP 的长为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,点 A,B,C在⊙O上,BC=6,∠BAC=30°,则⊙O的半径为 .12. 如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为 .13. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC 交于点E,四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形(图中阴影部分)的面积是 .14.如图,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为 .15.如图,在半径2₂的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形面积为 .16. 如图所示,E,F分别是正方形ABCD 的边AB,BC上的点,BE=CF,连结CE,DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转了.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17. (6分)已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm²，求该扇形的弧长.18. (6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，点O，M也在格点上.(1)画出△ABC关于直线OM 对称的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.19. (6分)中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是.AB,拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.(1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2)求拱桥 AB所在圆的半径.20.(8分)如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE,过点 B作BP 平行于DE,交⊙O于点P,连结OP,CP.(1)求证:BD=DC;(2)求∠BOP的度数.21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是.AE的中点，CD⊥AB于点D,交AE于点F,连结AC.求证:AF=CF.22.(10分)如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1) 试判断△ABC是否为等边三角形? 为什么?(2)若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8,，求⊙O的半径长.23.(10分)如图,在△ABC中，AB=AC,E在AC上,经过A,B,E三点的⊙O交BC 于点D,且.BD= DE.(1)求证:AB为⊙O的直径;(2)若AB=8,∠BAC=45°,，求阴影部分的面积.24.(12分)如图,点A,B,C是⊙O上的三点,AB∥OC.(1)求证:AC平分∠OAB;(2)如图,过点O作(OE⊥AB于点E,交AC于点 P.若AB=2,∠AOE=30°,求 PE的长.第3章测试卷 圆的基本性质1. B2. C3. B4. B5. C6. A7. D8. A9. C 10. C 11. 6 12. 3 13. 6π14 12 15. π 16. 9017. 解:由 S =12l ⋅R 得 l =2S R =2×106=103π(cm ).18. 解:(1)如图, △A₁B₁C₁即为所求作的三角形.(2)如图, △A₂B₂C₂即为所求作的三角形.19. 解:(1)如图1所示,点 O 即为所求;(2)如图2 所示,取 AB 的中点D ，连结OD 交AB 于点 E,连结OA,则 OD ⊥AB,且AE=EB=4米,由题意得，DE=3米，设圆的半径为r 米，在 Rt△AEO 中, AE +EO²=OA²,即 4²+(r−3)²=r²,解得 r =256.即拱桥AB 所在圆的半径为 256米.20. (1)证明:如图,连结 AD.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC= 30°,AB= AC,∴ ∠ABC =12×(180∘−30∘)=75°.∵四边形 ABDE 为圆O 的内接四边形,∴∠EDC=∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°,∴∠OBP=∠ABC--∠PBC=45°.∵OB =OP,∴∠OPB=∠OBP=45°,∴∠BOP =90°21. 证明:延长CD 交⊙O 于点 H,∵C 是 AE 的中点， ∴AC =CE ,∵CD ⊥AB,∴AC =AH ,∴CE =AH ,∴∠ACD=∠CAE,∴AF=CF.22. 解:(1)△ABC 是等边三角形.理由:∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB =180°−∠BAC−∠ABC =180°− 60°−60°=60°,∴△ABC 是等边三角形. (2)如图，连结OB,∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆，∴BO 平分∠ABC,∴∠OBC=30°,∵OD ⟂BC,∴BD =CD,BE =CE = 4,∠BOD =60∘,∴OE =433, OB =833.∴OO|的半径长 833.23. (1)证明:如图,连结.AD, ∵⌢BD =DE ,∴∠BAD =∠CAD.又∵AB = AC, ∴AD ⊥ BC, ∴∠ADB=90°,∴AB 为⊙O 的直径. (2)解:∵AB 为⊙O 的直径，∴O 在AB 上，如图，连结OE,∵AB=8,∠BAC=45°,∴∠AOE=∠BOE= ∴1∘∴AB =8,∴BO =EO =4,S 扇形AOE =90×π×42360 =4π,S BOE =12OB 2=12×16=8,∴S 阴影=S BOE24. (1)证明:∵AB∥OC,∴∠C=∠BAC.∵OA=OC,∴∠C=∠OAC,∴∠BAC=∠OAC,即AC 平分∠OAB. (2)解: COE⟂AB,∴AE =BE =12AB =1,又∵∠AOE 、30°,∠PEA=90°,∴∠OAE= 60∘,∴∠EAP =3∠OAE =30∘,∴PE =12PA.设PE=x,则 PA=2x,根据勾股定理得 x²+1²=(2x)²,解得 x =33,∴PE =33.。

2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列说法错误的是（）A. 等弧所对的圆心角相等B. 弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C. 经过三点可以作一个圆D. 三角形的外心到三角形各顶点距离相等2.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45度后得到ΔA′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°3.在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（）A. 6B. 9C. 12D. 154.如图，⊙O中，弧AB=AC，∠ABC=70°．则∠BOC的度数为（）A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°5.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为（）A. 57°B. 52°C. 38°D. 26°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为弧BD 中点，∠BDC=60°，则∠ADB 等于（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是 弧CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°8.如图，半径为10的扇形 AOB 中， ∠AOB =90° ， C 为弧AB 上一点， CD ⊥OA ， CE ⊥OB ，垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π9.如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+2 10.如图，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在边CD 上，且DE=EF ，若AD= √3 ，则弧CF 的长为( )A. 3π8B. 3π4C. √6π4D. π 二、填空题（共6题；共24分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.若一个扇形的弧长是 2πcm ，面积是 6πcm 2，则扇形的圆心角是________度．13.已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为________cm.14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝120°，AB ＝2 √3 ，以点O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）15.如图， ΔABC 是 ⊙O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边 AC ， AB 上，若 DA =EB ，则 ∠DOE 的度数是________度.16.如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________.三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠E的度数.18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．19.如图，平面直角坐标系中，以点A（2，√3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B，C，求此二次函数的函数关系式．AB.20.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝√22（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.21.如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN .（1）求证：N为BE的中点.（2）若⊙O的半径为8，弧AB的度数为90°，求线段MN的长.22.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1 .（1）点F到直线CA的距离是________；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转.①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长.23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．24.如图（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝________°．（2）（问题解决）如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．答案一、选择题1.解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故答案为：C.2.解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=10°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-10°=35°，故答案为：C．3.解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB ，∴DC＝√DO2−OC2=√7.52−4.52＝6，∴DE＝2DC＝12．故答案为：C．4.解：∵AB=AC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°-70°×2=40°，∵圆O是△ABC的外接圆，∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，故答案为：C．5.解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∵∠ABC=38°,∴∠CAB=90°−38°=52°,∴∠BDC=∠CAB=52°.故答案为：B.6.∵A为BD中点，∴AB=AD,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵AB=CD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴∠ADB=40°，故答案为：A．7.解：连接OA、OB、如图所示：＝60°，∵∠AOB＝360°6∴∠APC＝1∠AOC＝30°.2故答案为：B.8.连接OC交DE为F点，如下图所示：由已知得：四边形DCEO 为矩形.∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积.S 阴影=S 扇形AOB −S 扇形AOC =90•π•102360−54•π•102360=10π .故答案为：A.9.解：如图，点O 的运动路径的长＝的长+O 1O 2+ 的长＝ 90·π·2180 + 45·π·2180 + 90·π·2180 ＝ 5π2， 故答案为：C ．10.解：连接AF ，AC ，由旋转的性质及矩形的性质得，AD=BC=EF ，AB=AE ，∠D=∠DAB=∠B=90°，∵AD=DE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠DEA=45°，AE= √2 AD= √6 ，∴∠EAB=45°，AB=AE=CD= √6 ， 即得∠CAF=45°，在Rt △ABC 中，AC= √AB 2+BC 2 =3，∴ 弧CF 的长= 45×π×3180=34π . 故答案为：B二、填空题11.解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），故答案为：（4，2）．12.解：扇形的面积= 1lr=6π，2解得：r=6，又∵l=nπ×6=2π，180∴n=60．故答案为：60．13.解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝1AB＝5，2在Rt△OAC中，OC＝√132−52＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm.故答案为：12.14.解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2 √3，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝√3，∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，∴△BEO，△DFO是等边三角形，∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（√34×12﹣√34×3﹣√34×3﹣60°×π×3360°）＝3 √3﹣π，故答案为：3 √3﹣π.15.连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH ≅△OAM（HL）.∴∠OAH=∠OAM.又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA ≅△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB.又∵∠C=60°以及同弧AB，∴∠AOB=∠DOE=120°.故答案为：120.16.解：∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，在等腰Rt△OCE中，OC＝2；因此OE＝√2 .故答案为：√2 .三、解答题17. 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°,AD=AB,∠E=∠ACB .∵点B、C、D恰好在同一条直线上∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=1(180°−∠BAD)=15°，2∴∠E=∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−100°−15°=65° .18. 解：作OD⊥AB于E，交⊙O于点DAB∴AE=12∵AB=8∴AE=4在RtΔAEO中，AO=5∴OE=√OA2−AE2=3∴ED=2∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m19. 解：过点A作AD⊥BC于D，连接AC，则AD＝√3，AC＝2，∴CD＝√22+(√3)2=1，∴BD＝CD＝1，∴点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），∴二次函数的函数关系式为：y=(x−1)(x−3)=x2+4x+3．20. （1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，AB，∵OA＝OB＝OC＝OD＝√22∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，∴四边形BGEF是矩形，∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，∴∠DHE＝90°，DH＝HE，∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，∴∠ADH＝∠EHG，∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE（AAS），∴AD＝HG，AH＝EG，∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG，∴矩形BGEF是正方形，设AH＝x，则BG＝EG＝x，∵s1＝s2.∴x2＝2（2﹣x），解得：x＝√5﹣1（负值舍去），∴AH＝√5﹣1.21. （1）解：∵点P为AB的中点∴AP=PB∴∠PCE=∠PDE=∠PDB∵∠CEM=∠DEN∴ ∠PCE +∠CEM =∠DEN +∠PDE∴ ∠CME =∠DNE∵ PC ⊥AD∴ ∠EMC =∠DNE =90 °在 △DEN 和 △DBN 中{∠EDN =∠BDNDN =DN ∠DNE =∠DNB∴ △DEN ≅ △DBN∴ EN =BN∴点N 为BE 中点（2）解：连接CA ，AB ，OA ，OB ，如图所示：∵点 P 为 AB 的中点∴ AP =PB∠ECM =∠ACM在 △EMC 和 △AMC 中{∠EMC =∠AMC =90°CM =CM ∠ECM =∠ACM∴ △EMC ≅ △AMC∴ EM =AM ，即M 为AE 中点∵N 为BE 中点∴MN 为 △AEB 的中位线又∵ ⊙O 的半径为8， AB 的度数为 90°∴ ∠AOB =90° ，OA=OB=8∴ AB =8√2∴ MN =12AB =4√222. （1）1（2）π12解：作EH⊥CF于点H，如图4，在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，∴FH=12,EH=√32，∴CH= 2−12=32，设OH=x，则OC=32−x，OE2=EH2+OH2=(√32)2+x2=34+x2，∵OB=OE，∴OB2=34+x2，在Rt△BOC中，∵OB2+BC2=OC2，∴34+x2+1=(32−x)2，解得：x=16，∴OF=12+16=23.解：（1）∵∠BAC=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF是∠ACB的平分线，∴点F到直线CA的距离=EF=1；故答案为：1；（2 ）①线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE= √3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= √3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG= 30π×22360−30π×(√3)2360=π12；故答案为：π12；23. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+ 12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝√22AB＝6 √2，∴⊙O的半径为6 √2．24. （1）解：①如图，△AB′C′即为所求．；45 （2）解：如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）解：如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝√DG2+CD2＝√4k2+9．∴BD＝CG＝√4k2+9．解：（1）②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．。

浙教版2020九年级数学上册第三章圆的基本性质自主学习培优测试卷B （附答案详解） 1．如图，⊙O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC 的长是（ ）A ．15πB ．25π C ．35π D ．45π 2．如图所示的旋转对称图形旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（ ）.A ．30B ．60︒C ．120︒D ．240︒3．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2） 4．圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）A ．6 B ．3 C ．6π D ．3π5．如图，矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，已知 AD=4，AB=22，则阴影部分的面积为（ ）A ．2π﹣4B ．42π+ C ．82π- D ．82π+6．如图，O 的半径为5，弦8AB =，则圆上到弦AB 所在的直线距离为2的点有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．07．在直径为100cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如本题图所示，若油面宽80AB cm，则油的最大深度为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A．B．2C．3D．49．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，这些对角线相交得到正六边形HUKML，则得到的正六边形HUKML的面积为（）A．3B．3C．932D．183210．在平面直角坐标系xoy中，将点P（-1，-2）绕原点O旋转180，得到的对应点的坐标是（）A．（1,2）B．（-1,2）C．（2,1）D．（1，-2）11．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为_____．12．如图，△ABC内接于⊙O，如果∠OAC=35°，那么∠ABC的度数是_____．13．底面半径为2cm ，高为3cm 的圆柱的体积为________3cm （结果保留π）．14．四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，且∠A :∠B :∠C =1:2:3，则 ∠D （___________） 15．如图，ABC 中，90C ∠=，30A ∠=，8AB =，现将ABC 绕点B 顺时针旋转30至DEB ，DE 交AB 于点F ，则线段EF 的长为________．16．如图：40A ∠=，24B ∠=，把ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到''AB C ，使点'B 在AC 的延长线上，则ABC 旋转了________度．17．如图，将AOB 绕点O 逆时针方向旋转90，得到''A OB ，看点A 的坐标为()2,1，则点'A 坐标为________．18．在平面直角坐标系中，已知 P 1 的坐标为(1，0)，将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到 P 2 ，延长 OP 2 到 P 3 ，使 OP 3 ＝2OP 2 ，再将点 P 3 绕着原点按逆时针方向旋转30°得到 P 4 ，延长 OP 4 到 P 5 ，使 O 5 ＝2 OP 4 ，如此继续下去，则点 P 2010的坐标是________.19．如图，P 是等边三角形ABC 中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形ABC的边长为________20．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=________时，PAD为等腰三角形．21．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．22．已知A点的坐标为（－5,3），将A点绕点P（-1,0）顺时针旋转对90°至点B，求点B的坐标.23．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．24．如图ABC内接于O，60∠=，CD是O的直径，点P是CD延长线上一B=．点，且AP AC()1求证：P A是O的切线；()2若5PD=，求O的直径．25．如图，Rt ABC 中，90C ∠=，AC BC =，D 是AB 上一动点（与A 、B 不重合），将CD 绕C 点逆时针方向旋转90至CE ，连接BE ．（1）求证：EBC A ∠=∠；（2）D 点在移动的过程中，四边形CDBE 是否能成为特殊四边形？若能，请指出D 点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．26．将线段AB 绕点A 逆时针旋转角度(060)αα<<得到线段AC ，连接BC 得ABC ，又将线段BC 绕点B 逆时针旋转60得线段BD （如图①）． ()1求ABD ∠的大小（结果用含α的式子表示）； ()2又将线段AB 绕点B 顺时针旋转60得线段BE ，连接CE （如图②）求BCE ∠； ()3连接DC 、DE ，试探究当α为何值时，45DEC ∠=．27．如图，在⊙O 中，AB AC =，∠ACB =60°，求证∠AOB =∠BOC =∠COA .28．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F．将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P，连接GP，当△DGP的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．参考答案1．B【解析】试题分析：连接OB ，OC ，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC 的圆心角的度数∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，然后利用弧长计算公式求解，则劣弧BC 的长是：721180π⨯=25π． 故选B ．考点：1、弧长的计算；2、圆周角定理2．C【解析】360°÷3=120°，故选C.3．B【解析】∵线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO ≌△A′B′O′,∠AOA′=90°， ∴AO=A′O.作AC ⊥y 轴于C,A′C′⊥x 轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°. ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′.在△ACO 和△A′C′O 中，ACO A C O AOC A OC AO A O ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪='⎩，∴△ACO ≌△A′C′O(AAS)，∴AC=A′C′,CO=C′O.∵A(−2,5)，∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2,OC′=5，∴A′(5,2).故选B.4．A【解析】解:设圆锥底面半径为rcm,那么圆锥底面圆周长为2πrcm,所以侧面展开图的弧长为2πrcm,2121610=210=2360S r ππ⨯⨯⨯圆锥侧面积 , 解得：r=6,故选A.点睛：本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算;正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.5．A【解析】连接AF ，由题意得，AF=AD=4，由勾股定理得，22AF AB -2，∴∠BAF=45°，∴阴影部分的面积=24541222224 3602ππ⨯⨯-⨯⨯=-，故选A．点睛：本题考查了矩形的性质，勾股定理及扇形的面积公式，主要考查学生的观察计算能力，解决这类问题注意转化思想的运用．6．C【解析】【分析】作圆的直径CE AB⊥于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB 所在的直线距离，与2比较大小，即可判断.【详解】作圆的直径CE AB⊥于点D，连接OA，8AB=，∴4=AD，5OA=，∴22543OD=-=，∴3532CD OC=-=-=，即C到弦AB所在的直线距离为2，∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点，5382DE=+=>，∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个.故选：C.【点睛】本题考查了垂径定理，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小.7．A【解析】【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为100cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，继而求得油的最大深度．【详解】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×80=40cm，∵⊙O的直径为100cm，∴OA=OE=50cm，在Rt△AOD中，22OA AD=30cm，∴DE=OE-OD=50-30=20（cm）．∴油的最大深度为20cm．故选A．【点睛】此题考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意勾股定理的应用．8．C【解析】【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是l=6π， 设展开后的圆心角是n°，则π66π.180n ⨯= 解得：n=180， 即展开后1180902BAC ∠=⨯︒=︒， 1362AP AC AB ===，， 则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长，由勾股定理得： BP === 故选C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．9．A【解析】【分析】由正六边形的性质得出△ACE 的面积=12正六边形的面积ALM 的面积+△CHI的面积+△EKJ 的面积=13△ACE 的面积 【详解】解：由正六边形的性质得：△ACE 的面积=12正六边形的面积=12×6×12×6×6×sin60°△ALM 的面积+△CHI 的面积+△EKJ 的面积=13△ACE 的面积，∴正六边形HUKML 的面积；故选A ．【点睛】本题考查了正六边形的性质；利用正六边形可分成6个全等的等边三角形，由正六边形的性质得出三角形和正六边形的面积关系是解决问题的关键．10．A【解析】【分析】根据题意可知点P旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2）．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用旋转的知识解答．11．3或5【解析】试题解析：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5，P在⊙O外，直径为8−2=6，半径为3，故答案为3或5.12．55°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠COA的度数，再根据圆周角定理推出∠ABC=12∠AOC．【详解】因为，OA=OC,所以，∠OCA=∠OAC=35°，所以，∠AOC=180〬-∠OCA-∠OAC=110〬，所以，∠ABC=12∠AOC=12×110〬=55〬.故答案为：55°【点睛】本题主要考查圆内接三角形形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．13．12π【解析】【分析】根据“圆柱的体积=底面积×高”计算．【详解】圆柱的体积=π×22×3=12πcm3．故答案是：12π.【点睛】考查圆柱的体积的求法．解题关键是运用“圆柱的体积=底面积×高”进行计算. 14．90°【解析】【分析】先由已知条件设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，再利用圆内接四边形的对角互补，求出∠A、∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．【详解】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，即x+3x=180，∴x=45°，∴∠A=45°，∠B=90°，∠C=135°，∴∠D=90°．故答案为：90°【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补的性质，比较简单．15【解析】【分析】根据勾股定理得出BC=4；根据旋转的性质可知∠E=90︒，∠EBF=30︒，BE=BC=4，BF=2EF ，设EF 为x,根据勾股定理列出方程，解方程得出x.【详解】解：△ABC 中，∠C=90︒，∠A=30︒，AB=8∴∠ABC=60︒，BC=4∵将ABC 绕点B 顺时针旋转30至DEB∴∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30︒，BE=BC=4，∠E=∠C=90︒∴设EF=x ，则BF=2x∵22BE EF +=2BF∴42+x2=(2x)2∴x 1，x 2（舍去）. 【点睛】本题考查了勾股定理和旋转的性质.16．64【解析】【分析】由点'B 在AC 的延长线上，根据三角形外角的性质得出旋转角∠BC 'B 的度数，即可.【详解】因为∠A=40°，∠B=24°，点'B 在AC 的延长线上所以∠BC 'B =∠A+∠B=64°，所以答案为64.【点睛】本题考查了旋转，掌握旋转的概念是解决本题的关键.17．()1,2-【解析】【分析】利用旋转的性质得OB′=OB=2，A′B′=AB=1，∠BOB′=90°，∠OB′A′=∠OBA=90°，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A′坐标．【详解】∵A（2，1），∴AB=1，OB=2，∵△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，∴OB′=OB=2，A′B′=AB=1，∠BOB′=90°，∠OB′A′=∠OBA=90°，∴点A′坐标为（-1，2）．故答案是：（-1，2）．【点睛】考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．18．(0,－21004 )【解析】分析：解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度30°，总结规律寻找得P2010的坐标．详解：根据旋转的特点，总结规律．P1（1，0）在x轴上，P6（0，4），P7（0，8）在y轴上，照此规律，每经过6个点就落到坐标轴上，2010÷6=335，335除以4，余数是3，故点P2010的位置在y轴的负半轴，纵坐标每经过两个点扩大2倍，∴P2010的坐标是（0，-21004）．点睛：本题涉及图形的旋转变换，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度30°，通过画图寻找得P2010的坐标．19．2【解析】【分析】【详解】解：将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM，则BA与BC重合，如图，∴BM＝BP，MC＝P A＝2，∠PBM＝60°．∴△BPM是等边三角形，∴PM＝PB＝，在△MCP中，PC＝4，∴PC2＝PM2＋MC2且PC＝2MC．∴△PCM是直角三角形，且∠CMP＝90°，∠CPM＝30°．又∵△PBM是等边三角形，∠BPM＝60°．∴∠BPC＝90°，∴BC2＝PB2＋PC2＝()2＋42＝28，∴BC＝．故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，还考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，通过旋转构造出直角三角形是解决此题的关键．8520．224【解析】【分析】分别从当PA=PD，PA=AD，AD=PD时，△PAD是等腰三角形讨论，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案.【详解】解：①当PA=PD时，此时P位于四边形ABCD的中心，过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，则四边形EAMP是正方形，∴PM=PE=12AB=2，∵PM2=AM•BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=22，②当PA=AD时，PA=4（舍）；③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）2+x2=4，∴25，∴45，∴PA=2AG=855；∴PA=22或4或855，故答案为：22或4或85 5.【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用.21．2 3+3π【解析】试题分析：首先理解题干条件可知这个画刷所着色的面积=2S△ABD+S扇形，扇形的圆心角为60°，半径为2，求出扇形面积和三角形的面积即可．试题解析：解：根据题意可知：这个画刷所着色的面积=2S△ABD+S扇形，S△ABD=132⨯=32，在Rt△ABD中，∵AB=1，AD=3，根据勾股定理得：BD=2，∴AB=12BD，∴∠ADB=30°，则∠ABD=60°，连接BD′，则∠DBD′=60°，S扇形=2602360π⨯=23π，∴这个画刷所着色的面积=2S△ABD+S扇形=233π+．点睛：本题主要考查扇形面积的计算和旋转的性质的知识点，解答本题的关键是理解着色的面积等于一个扇形面积和一个三角形面积之和，此题难度不大．22．（2，4）【解析】【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据旋转求出∠A=∠BPD，证明△ACP≌△PDB，推出BD=PC=4，PD=CA=3，即可得出结论．【详解】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D．∵A（－5，3），P（-1，0），∴OP=1，AC=3，CO=5，∴CP=CO－PO=5－1=4．∵∠APB=90°，∠ACP=90°，∴∠APC+∠BPD=90°，∠A+∠APC=90°，∴∠A=∠BPD．在△ACP和△PDB中，∵∠A=∠BPD，∠ACP=∠PDB，AP=PB，∴△ACP≌△PDB（AAS），∴BD=PC=4，PD=CA=3，∴OD=PD－OP=3－1=2，∴B的坐标是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点睛】本题考查了对坐标与图形变换﹣旋转，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确画出图形并求出△ACP≌△PDB是解答此题的关键．23．3．【解析】试题分析：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，而AB=3cm，所以sin60°=ABAD=3AD3解出AD即可.试题解析：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，如图，∠ABD =90°， 又∵∠ADB =∠ACB =60°， 而AB =3cm ，∴sin 60°=AB AD =3AD =32， ∴AD =23（cm ），即⊙O 的直径为 23cm ．点睛：本题关键在于辅助线的构造，要求直径，先构造出直径，再结合已知条件求解. 24．（1）详见解析；（2）O 的直径为25．【解析】【分析】 ()1连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，再根据同圆的半径相等从而可得ACO OAC 30∠∠==，继而根据等腰三角形的性质可得出P 30∠=，继而由OAP AOC P ∠∠∠=-，可得出OA PA ⊥，从而得出结论；()2利用含30的直角三角形的性质求出OP 2OA =，可得出OP PD OD -=，再由PD 5=，可得出O 的直径．【详解】()1连接OA ，如图，B 60∠=，AOC 2B 120∠∠∴==，又OA OC =，OAC OCA 30∠∠∴==，又AP AC =，P ACP 30∠∠∴==，OAP AOC P 90∠∠∠∴=-=，OA PA ∴⊥，PA ∴是O 的切线．()2在Rt OAP 中，P 30∠=， PO 2OA OD PD ∴==+， 又OA OD =，PD OA ∴=，PD 5=2OA 2PD ∴==O ∴的直径为【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.25．(1)见解析 （2）D 点为AB 的中点时，四边形CDBE 能成为正方形【解析】【分析】（1）CD 绕C 点逆时针方向旋转90°至CE ，根据旋转的性质得CE=CD ，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC ，得∠ECB=∠DCA ，则△ECB ≌△DCA ，得到∠EBC=∠A ； （2）当D 点为AB 的中点时，而∠C=90°，AC=BC ，则CD ⊥AB ，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A ，而∠CBA=∠A=45°，得到四边形CDBE 为矩形，由CD=CE ，得到四边形CDBE 能成为正方形．【详解】()1∵CD 绕C 点逆时针方向旋转90至CE ，∴CE CD =，90ECD ∠=，而90BCA ∠=，AC BC =，∴ECB DCA ∠=∠，∴ECB DCA ≅，∴EBC A ∠=∠；()2当D 点为AB 的中点时，四边形CDBE 能成为正方形．理由如下：当D 点为AB 的中点时，而90C ∠=，AC BC =，∴CD AB ⊥，即90CDB ∠=，由()1得EBC A ∠=∠，而45CBA A ∠=∠=，∴90EBA ∠=，∴四边形CDBE 为矩形，又∵CD CE =，∴四边形CDBE 能成为正方形．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及正方形的判定方法．26．()1 130(060)2ABD αα∠=-<<；()2 150BCE ∠=；()3 当α为30时，45DEC ∠=．【解析】【分析】（1）由于线段AB 绕点A 逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC ，根据旋转的性质得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=90°﹣12α，再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC﹣∠CBD进行计算；（2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB=AE，∠BAE=60°，则AC=AE，∠CAE=60°﹣α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ACE=∠AEC=60°+12α，然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE=150°；（3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD=60°，CD=BC，所以∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以α=12∠BAE=30°．【详解】（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，∴AB=AC，∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=12（180°﹣α）=90°﹣12α．∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴∠CBD=60°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=90°﹣12α﹣60°=30°﹣12α（0°＜α＜60°）；（2）∵线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴AC=AE，∠CAE=60°﹣α，∴∠ACE=∠AEC=12（180°﹣60°+α）=60°+12α，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°﹣12α+60°+12α=150°；（3）如图②．∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴BC=BD，∠CBD=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=60°，CD=BC，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=150°﹣60°=90°．∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴CE=CD，∴CB=CE．在△ABC和△AEC中，∵AB AEAC ACCB CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△AEC（SSS），∴∠BAC=∠EAC，∴∠BAC=12∠BAE=30°，即α=30°．故当α为30°时，∠DEC=45°．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．27．详见解析.【解析】试题分析：根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．试题解析：证明：∵=AB AC，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）28．当∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3【解析】【分析】分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．【详解】解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°.又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°.当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°.在Rt△ADE中，∠ADE=30°,AE=12AD=1.∴同理，.在△DEG和△DFP中，∠EDG=∠FDP，DE＝DF，∠DEG＝∠DFP=90°，∴△DEG≌△DFP.∴DG=DP.∴△DGP为等边三角形.易得S△DGP=4DG2.2DG＞0，解得在Rt△DEG中，DEDG=12,∴∠DGE=30°.∴∠EDG=60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于.综上所述，当∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于【点睛】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的关键．。

浙教版数学九年级上第3章圆的基本性质练习题（Word 版）一、选择题(每题 4 分，共 32 分)1．到圆心的距离不大于半径的一切点必在(D )A ．圆的外部B ．圆的外部C ．圆上D ．圆的外部或圆上2．有以下说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等 圆．其中正确的有(C )A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个3．假设直角三角形的两条直角边长区分为 3和 1，那么它的外接圆直径是(B )A ．1B ．2C ．3D ．44．圆弧形蔬菜大棚的剖面图如下图，AB ＝6 m ，∠CAD ＝30°，那么大棚的高度 CD 约为(B )(第 4 题)A ．3 mB ．1.7 mC ．3.4 mD ．5.2 m【解】 设点 O 为该圆弧的圆心，连结 OC ，OA . ∵AC ＝BC ，∴OC ⊥AB .∵CD ⊥AB ，∴C ，D ，O 三点共线．∴AD ＝12AB ＝3 m. ∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AC . 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，即(2CD )2＝32＋CD 2，解得 CD 1.7(m)．5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点 P 旋转失掉，那么点 P 的坐 标为(B )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(0，－1)D ．(1，0) (第 5 题)【解】 如图，对应点的连线 CC ′，AA ′的垂直平分线的交点是(1，－1)，依据旋转变换 的性质，点(1，－1)即为旋转中心．6．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是相互垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点 D ，OE ⊥AC 于点 E ，且 AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径 OA 长为(C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm(第 6 题)【解】 ∵OD ⊥AB ，OE ⊥，∴AE ＝12AC ＝12×6＝3(cm)，AD ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，∠OEA ＝∠ODA ＝90°. ∵AB ，AC 是相互垂直的两条弦，∴∠BAC ＝90°，∴四边形 OEAD 是矩形， ∴OD ＝AE ＝3 cm ， 在 Rt △OAD 中，OA ＝5 cm.7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点 D ，假定△ABC ，△ABD ，△ACD 的外 接圆半径区分为 R ，R 1，R 2，那么(D )A ．R ＝R 1＋R 2B ．R ＝122R RC ．R 2＝R 1R 2D ．R 2＝R 12 ＋R 22【解】 ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴R ＝12BC ，R 1＝12AB ，R 2＝12AC .∵BC2＝AB2＋AC2，∴R2＝R2＋R 2.1(第7 题) (第8 题)8．如图，▱ABCD 中，AE⊥BC 于点E，以点B 为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE 顺时针旋转失掉△BA′E′，连结DA′.假定∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，那么∠DA′E′的度数为(C)A．130°B．150°C．160°D．170°【解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°.∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°.∵AE⊥BC 于点E，∴∠BAE＝30°.∵△BAE 顺时针旋转失掉△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°.二、填空题(每题4 分，共24 分)9．如图，EF 所在的直线垂直平分线段AB，应用这样的工具最少运用2 次，就可以找到圆形工件的圆心．(第9 题) (第10 题)10．如图，在⊙O 中，点A，O，D 以及点B，O，C 区分在一条直线上，那么图中的弦有3条．11．赵州桥是我国修建史上的一大创举，它距今约1400 年，历经有数次洪水冲击和8 次地震却平安无事．如图，假定桥跨度AB 约为40 m，主拱高CD 约为10 m，那么桥弧AB 所在圆的半径R 约为25m.(第11 题)【解】设桥弧AB 所在圆圆心为O，连结OC，OA.由题意，得AC＝BC，∴OC⊥AB.∵CD⊥AB，∴C，D，O 三点共线，AD＝12AB＝20 m.在Rt△AOD 中，∵OD＝(R－10)m，AO2＝AD2＋OD2，∴R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25(m)．12．如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°失掉△A′B′C，连结AA′.假定∠1＝20°，那么∠B 的度数是65°．【解】提示：∠CAA′＝45°，从而失掉∠B＝∠A′B′C＝65°.(第12 题) (第13 题)13．如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，假定要求另外三个顶点A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，那么r 的取值范围是3＜r＜5．【解】连结BD.在Rt△ABD 中，AB＝4，AD＝3，那么BD＝32＋42＝5.由图可知3＜r＜5.14．圆的两弦AB，CD 的长是方程x2－42x＋432＝0 的两根，且AB∥CD.假定两弦之间的距离为3，那么圆的半径是15．【解】解方程x2－42x＋432＝0，得x1＝24，x2＝18.设AB＝24，CD＝18，圆的半径是r，作OM⊥AB 于点M，ON⊥CD 于点N，连结OA，OC.那么AM＝12，CN＝9，OM＝OA2－AM2＝r2－122＝r2－144，ON＝OC2－CN2＝r2－92＝r2－81.如解图①，当AB 与CD 在圆心的两边时，OM＋ON＝3，即r2－144＋r2－81＝3，方程无解．如解图②，当AB 与CD 在圆心的同侧时，ON－OM＝3，即r2－81－r2－144＝3，解得r＝15.综上所述，圆的半径是15.(第14 题解)三、解答题(共44 分)BC(如图)，用直尺和圆规求作⊙O，使⊙O 经过B，15．(10 分)△ABC 和线段a，且a>12C 两点，且半径为a，并说出可以作出几个圆(要求写出作法)．(第15 题) (第15 题解)【解】如解图．①作△ABC 的边BC 的垂直平分线DE.②以点B 为圆心，a 为半径画弧，交DE 于O，O′两点．③区分以点O 和O′为圆心，a 为半径画圆．那么⊙O 和⊙O′就是所要求作的圆．可以作出两个圆(即⊙O 和⊙O′)．16．(10 分)如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD 于点M，CD＝15 cm.假定OM∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长．(第16 题)【解】连结OA.由垂径定理，得AM＝BM.∵CD＝15 cm，∴OA＝OC＝12CD＝7.5 cm.又∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝4.5 cm.在Rt△AOM 中，由勾股定理，得AM＝OA2－OM2＝6 cm，∴AB＝2AM＝12 cm.17．(10 分)如图，在△ABC 和△AEF 中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠BAE＝25°，∠F＝60°. (1)求证：∠CAF＝∠BAE.(2)△ABC 可以经过图形变换失掉△AEF，请你描画这个变换．(3)求∠AMB 的度数．(第17 题)【解】(1)∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF.∴∠BAC＝∠EAF.∴∠BAC－∠P AF＝∠EAF－∠P AF，即∠CAF＝∠BAE.(2)经过观察可知，△ABC 绕点A 顺时针旋转25°失掉△AEF.(3)由(1)知，∠C ＝∠F ＝60°，∠CAF ＝∠BAE ＝25°，∴∠AMB ＝∠C ＋∠CAF ＝60°＋25°＝85°.18．(14 分)如图①，⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相反的正三角形沿 PQ 排 成一列，一切正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1 的顶点 A 1 与点 P 重合，第二 个△A 2B 2C 2 的顶点 A 2 是 B 1C 1 与 PQ 的交点……最后一个△A n B n C n 的顶点 B n ，C n 在圆上． (第 18 题)(1)如图②，当 n ＝1 时，求正三角形的边长 a 1. (2)如图③，当 n ＝2 时，求正三角形的边长 a 2. (3)如图①，求正三角形的边长 a n (用含 n 的代数式表示)．【解】 (1)易知△A 1B 1C 1的高为32，那么边长为3，∴a 1＝3 (2)设△A 1B 1C 1 的高为 h ，那么 A 2O ＝1－h ，连结 B 2O ，设 B 2C 2 与 PQ 交于点 F ，那么有 OF ＝2h －1.∵B 2O 2＝B 2F 2＋OF 2，∴1＝(12＋a 2) 2 ＋(2h －1)2.，∴1＝14a 2 2＋ a －1)2解得 a 2＝13 (3)同(2)，连结 B n O ，设 B n C n 与 PQ 交于点 F ，那么有 B n O 2＝B n F 2＋OF 2，即 1＝(1a n ) 2 ＋(n h －1)2.∵h＝2 a ，∴1＝14a n 2＋(2 a －1)2解得 a n ＝231n。

2020 年秋浙教版九年级数学上册第 3 章圆的基本性质单元培优 测试卷解析版一、选择题（共 10 题；共 30 分）1.已知⊙O 的半径为 3，A 为线段 P O 的中点，则当 O P ＝5 时，点 A 与⊙O 的位置关系为（ ）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）A. B.C.D. 3.往直径为 大深度为（的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ）=，则水的最 A. B. C. D. = 20° ，则 ∠的大小为（4.如图，是⊙O 的直径，点 C 、D 在⊙O 上， ∠）A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°5.如图，点A ,B ,C ,D 在⊙O 上， ∠= 120° ，点B 是的中点，则 ∠ 的度数是（）A. 30° 6.如图，四边形 A BCD 是菱形，⊙O 经过点 A ，C ，D ，与 B C 相交于点 E ，连接 A C ，AE 。

若∠D=80°，则∠EAC 的度数是(B. 40°C. 50°D. 60°)A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）4 5342312A. B. C. D.8.如图，放置在直线l上的扇形O AB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径O A ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC.D. +2229.如图，在扇形中，已知∠=90°，=2，过的中点C 作⊥，⊥√，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）−1 C. −1−1A. −1B. D.2222110.如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣x+2 上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转290°，得到点，连接′，则的最小值为(′) ′A. 4√5B. √5C. 5√2D. 6√5535二、填空题（共6题；共24 分）11.在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________°.12.如图，AB 为⊙的直径，弦⊥于点H ，若=10，=8，则OH的长度为________．13.小明在手工制作课上，用面积为个圆锥的底面半径为________ ．2，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这14.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的⊙，⊥于点，∠=60°，则=________．15.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是________．316.如图，点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径O A 的长为2________．三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△中，∠=100°，将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠的度数.18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．20.如图，将△绕点B顺时针旋转60 度得到，点C的对应点E恰好落在A B 的延长线上，连接A D.（1）求证：；（2）若A B=4，BC=1，求A，C 两点旋转所经过的路径长之和.21.如图，在△中，=，D 是A B 上一点，⊙O经过点A、C、D，交B C 于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形D BCF 是平行四边形（2）=22.如图，点M，分别在正方形的边，上，且∠=45°，把△绕点A 顺时针旋转90°得到△.（1）求证：△（2）若=3，≌△.=2，求正方形的边长.23.如图所示，已知 A ， B 两点的坐标分别为（2 √3 ，0），（0，10）， 是△AOB P C外接圆⊙ 上的一点，OP 交 AB 于点 D ．（1）当 OP ⊥AB 时，求 O P ； （2）当∠AOP ＝30°时，求 AP ．24.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F ，试判断线段 EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过 E ，F 分别作 AB ，BC 的垂线，垂足分别为 G ，H ，连接 GH ，交 BO 于 M ，若 AG ＝3， S ：S ＝8：9，求⊙O 的半径． 四边形 AGMO 四边形 CHMO答案一、选择题11.解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半径为3，2∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.2.解：ACD、不是由某个基本图形经过旋转得到的，故A CD 不符合题意；B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.故答案为：B.3.解：过点O作O D⊥AB于D，交⊙O于E，连接O A，1 2=1×48=由垂径定理得：∵⊙O的直径为=，2，∴在∴==，中，由勾股定理得：−√26−242，=22=2==−=26−10=，∴油的最大深度为故答案为：．，4.解：∵∠BDC=20°∴∠BOC=2×20°=40°∴∠AOC=180°-40°=140°故答案为：B.5.连接O B，∵点B是弧A C 的中点，1∴∠AOB＝∠AOC＝60°，21由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，2故答案为：A．6.∵四边形A BCD 是菱形，∠D=80°，11∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，22∵四边形A ECD 是圆内接四边形，∠D=80°，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°.故答案为：C.7.连接A C，设正方形的边长为a，∵四边形A BCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC为圆的直径，∴AC=√2AB= √2a，2=2≈2则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，√2232故答案为：C.8.解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O O+1 2的长＝+ + ＝，2180180180故答案为：C．9.连接O C∵点C为弧AB 的中点∴∠在△和△中{∠=∠∠∠==∴△≅△∴==∠=90°=又∵∠=∠=∠=90°∴=1×1=1∴四边形C DOE 为正方形∵==2∴==1√正方形2√2)∴−−1由扇形面积公式得故答案为：B.===阴影扇形=正方形扇形2360210.解：作Q M⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，12+2)，则P M= ﹣1，QM= −1+2，设Q( ，−2∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，∠∠′°=90={∠∠′，′==∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，12+2，Q′N=PM=﹣1，∴PN=QM=−1∴ON=1+PN=3−，21﹣)，∴Q′(3−，12155∴OQ′=( 3−)+( 1﹣)=m ﹣5m+10= (m﹣2) +5，2 2 2 2 2244当m=2 时，OQ′有最小值为5，2∴OQ′的最小值为√5，故答案为：B.二、填空题11.设弦垂直平分半径于点E，连接O B、OC、AB、AC，且在优弧B C 上取点F，连接B F、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形O BAC 是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，1∵OB=OA，OE= ,21∴cos∠BOE=，2∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，1∴∠BFC=∠BOC=60°，2∴弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120 或60.12.连接O C，11Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；2由勾股定理，得：OH=即线段O H 的长为3．故答案为：3．2−=√5−4=3；222213.由1得：扇形的弧长= 2×2÷15=（厘米），=扇形圆锥的底面半径= ÷÷2=10（厘米）．故答案是：10．14.解：连接O B 和O C，∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，OB=OC=2，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，1∴OD=OB=1，2故答案为：1.15.解：过E点作M N∥BC交A B、CD 于M、N 点，设A B 与E F 交于点P点，连接C P,如下图所示，∵B在对角线C F 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN=√2EC= √2，22又B C=AD=CD=CE，且C P=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设M P=x ，则E P=BP= √，∵MP+BP=MB，∴+√=√2，解得=2√2，22∴BP=√=√21，=2×1××=1×(√21)=√21．∴阴影部分的面积=2故答案为：√21．16.解：如图，连接∵点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，∠∠∠°=60,∴∵===∴△为等边三角形，∠∠°=60,∴∴∴∠∴==,∴∴==，扇形阴影2=,3602解得：=3,（负根舍去），故答案为：3三、解答题17. 解：∵将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，∠°=150,∠∠.=∴=∵点B、C、D 恰好在同一条直线上∴△是顶角为150°的等腰三角形，∠∠，∴∴=∠1°∠°=15，=(180−2∠∠∠∠−°°°°.=180−100−15=65∴==180−°18. 解：如图，连接OC ，∵∠AOC＝2∠B ，∠DAC＝2∠B ，∴∠AOC＝∠DAC ，∴AO＝AC ，又∵OA＝OC ，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝1AD＝3cm ．219. （1）连接O A，如下图1所示：∵AB=AC，∴= ，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长A O 交B C 于H．①若B D=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若C D=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若D B=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作A E BC 交B D 的延长线于E．//2则= = ，且B C=2BH，34 ∴ = = ， 3设 O B=OA=4a ，OH=3a ．则在 R t△ABH 和 R t△OBH 中，∵BH =AB ﹣AH =OB ﹣OH ，2 2 2 2 2 ∴25 - 49a =16a ﹣9a ， 22 2 25∴a= ，2 56 ∴BH= 5√2 ，4∴BC=2BH= 5√2 ．2故答案为： 5√2 ．220. （1）证明：由旋转性质得：是等边三角形 ∴ ∠ = ∠ （2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以 A ，C 两点经过的路径长之和为≅ ∠ = ∠ = 60° ∴ = ∴所以 ∠ ∴ ；= 60° + = . 5 180 180 3 21. （1）证明： ∵= ， ∠∠ ， ， ∴ ∵∴ = ∠∠ ， = 又 ∠= ∠ , ∠∠= ∴ ∴ 四边形是平行四边形. （2）证明：如图，连接∠∠ ∠ ， ∠ ∠∠ = ∵ ∴ = = 四边形 是 ⊙ 的内接四边形∠∠∠∠∴∵++=180°∴=180°∠∠∠∠∴∴∴== =22.（1）证明：由旋转的性质得：=∠=∠∵四边形ABCD是正方形∠∠∠∠=90°，即∠∠+=90°=90°∴∴∵∴∠=90°，即∠+=45°∠∠°°°=−=90−45=45=在△和△中，{∠=∠=45°=∴△≅△；（2）解：设正方形的边长为x，则==∵∴=3,==2−=−3,==−=−2由旋转的性质得：=2∴=+=2+3=5≅△由（1）已证：△=5又∵四边形ABCD是正方形∴=∠=90°∴则在△中，2+2=2，即−3)2+−2)2=52解得=6或=−1（不符题意，舍去）故正方形的边长为6.23.（1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，10），∴AO＝2√3，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝√100+12＝4√7，∵OP⊥AB，∴10×2√3＝4√，CD＝DP，22∴CD＝5√21，7∴OP＝2CD＝10√21；7（2）解：连接C P，如图所示：∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，1∴AP＝AC＝AB＝2 √7．224. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段E A，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA +CF ＝EF ．理由如下：2 22如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．。