黎曼相关积分研究

黎曼函数在[01]的积分黎曼函数是由欧洲数学家黎曼(Riemann)首次提出的，作为一种特殊的数学函数形式，具有许多独特的性质和应用。

在这篇文章中，我们将讨论黎曼函数在区间[0,1]上的积分。

黎曼函数是定义在实数轴上的一类特殊函数，标志性的特征是在有理点处取值为1，而在无理点处取值为0。

更形式化地说，黎曼函数可以用以下方式定义：f(x) = 1, if x is rationalf(x) = 0, if x is irrational在[0,1]上，我们可以将积分表示为一个定积分的形式：∫[0,1] f(x) dx首先，我们来考虑积分区间[0,1]上有理数的情况。

由于黎曼函数在有理点处取值为1，根据定积分的定义，我们知道函数在有理点上的积分值为1、考虑到有理数是可数无穷的，我们可以将这些有理点表示为一个数列{rr_n}，其中r_n表示第n个有理数。

因此，我们可以将黎曼函数在有理点上的积分表示为以下形式的级数：∑[n=1 to ∞] f(r_n) * Δx_n其中f(r_n)代表黎曼函数在第n个有理数点上的取值，Δx_n代表一个子区间的长度。

在这种情况下，由于黎曼函数在有理点处取值为1，所以每个子区间的长度Δx_n都等于1、因此，上述级数可以简化为：∑[n=1 to ∞] 1 * 1即求和无穷等于正无穷。

这意味着黎曼函数在有理点上的积分值无穷大。

现在，我们来考虑积分区间[0,1]上无理数的情况。

根据黎曼函数的定义，函数在无理点上取值为0，因此在无理点上的积分值为0。

类似于有理数的情况，我们可以通过数列{ir_n}，其中i_r_n表示第n个无理数，来表示黎曼函数在无理点上的积分。

同样，我们将黎曼函数在无理点上的积分表示为以下形式的级数：∑[n=1 to ∞] f(i_r_n) * Δx_n和有理数的情况类似，每个子区间的长度Δx_n也等于1、根据黎曼函数的定义，函数在无理点处取值为0，因此该级数简化为：∑[n=1 to ∞] 0 * 1即求和为0，这意味着黎曼函数在无理点上的积分值为0。

黎曼函数在[01]的积分黎曼函数是数学分析中的一个重要概念，它可以用来定义函数的积分。

在本文中，我们将讨论黎曼函数在区间[0,1]上的积分。

黎曼函数的定义如下：对于一个给定的函数f(x)和区间[a,b]，黎曼函数可以表示为：R(f,[a,b])=sup{L(f,P)}=inf{U(f,P)}其中，P是[a,b]的一个分割，L(f,P)表示f(x)在每一个子区间上的下确界乘以子区间的长度之和，U(f,P)表示f(x)在每一个子区间上的上确界乘以子区间的长度之和，sup表示上确界，inf表示下确界。

这个定义的直观意义是，黎曼函数是在所有可能的划分下，对于每个划分求出下确界和上确界之后，取所有下确界的上确界，和所有上确界的下确界。

黎曼函数可以理解为一个函数极限的概念，它描述了当划分趋于无穷细时函数积分的近似程度。

通过求解黎曼函数，可以得到函数在[0,1]上的积分值。

在[0,1]上，我们可以考虑一个等分的划分，即将[0,1]平均分成n个子区间，每个子区间的长度为1/n。

对于每个子区间，我们可以取子区间的左端点或右端点作为插值点。

这样，我们可以得到每个子区间上的下确界和上确界之和，并将它们相加得到整个区间[0,1]上的黎曼函数。

对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过数值计算的方法来求解黎曼函数。

一种常见的方法是使用曲线的近似，如插值多项式或三角多项式。

通过将区间[0,1]分割成多个小区间，然后在每个小区间上对f(x)进行插值，我们可以得到每个小区间上的下确界和上确界。

然后将这些值相加，即可得到整个区间[0,1]上的黎曼函数的近似值。

另一种常见的方法是使用数值积分的技术，如梯形法则、辛普森法则或高斯求积法。

这些方法通过将函数f(x)进行逼近，然后对逼近的函数进行积分，从而得到黎曼函数的近似值。

需要注意的是，在具体计算黎曼函数时，划分的数量n需要足够大，才能得到较为准确的结果。

而且，在一些函数上，黎曼函数可能不存在，这是因为函数的发散或间断性导致的。

黎曼ζ函数积分黎曼ζ函数是数学中一个重要的特殊函数，它由德国数学家黎曼在19世纪提出。

黎曼ζ函数在数论和解析数论中具有广泛的应用，它的积分形式也是其独特之处。

黎曼ζ函数的定义如下：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + ...其中s是一个复数，实部大于1。

黎曼ζ函数的积分形式可以通过欧拉变换得到，即将其转化为复变函数的积分形式。

黎曼ζ函数的积分形式可以用来计算ζ函数在复平面上的值。

通过计算积分，我们可以得到ζ函数在特定点的值，从而了解ζ函数的性质。

这在解析数论中非常重要，因为ζ函数与素数密切相关。

黎曼ζ函数积分可以用来证明黎曼猜想。

黎曼猜想是数论中一个重要的未解问题，它与素数的分布有关。

黎曼猜想表明，ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的临界线上，即实部为1/2。

通过对黎曼ζ函数积分的研究，我们可以深入了解ζ函数的性质，从而进一步探索黎曼猜想。

黎曼ζ函数积分还可以用来计算一些特殊数列的和。

例如，通过计算ζ函数在负整数点的值，我们可以得到著名的黎曼ζ函数值。

这些特殊数列的和在数论和解析数论中有着广泛的应用。

黎曼ζ函数积分的研究不仅有理论上的重要性，还有着实际的应用。

例如，在密码学中，黎曼ζ函数的性质被用来设计加密算法。

通过研究ζ函数在复平面上的性质，可以提高密码算法的安全性。

黎曼ζ函数积分是数学中一个重要的特殊函数积分形式。

它在数论和解析数论中具有广泛的应用，并且有助于解决一些重要的数学问题。

通过研究黎曼ζ函数积分，我们可以深入了解ζ函数的性质，从而不断推动数学的发展和应用。

Rudin数学分析中的黎曼积分概念与重要性质Rudin数学分析教材中，黎曼积分是一个重要的概念，它在实数轴上定义了函数的积分。

黎曼积分概念的引入为我们研究函数的积分提供了一个坚实的基础，并且有着许多重要的性质。

本文将介绍黎曼积分的基本概念和几个重要的性质，并讨论它在数学分析中的应用。

1. 黎曼积分的基本概念在Rudin的数学分析教材中，黎曼积分首先定义在有界函数上。

对于一个有界函数f(x)在闭区间[a, b]上的黎曼积分记为∫[a,b] f(x) dx。

黎曼积分的定义是通过分割区间[a, b]和取极限的方法来定义的。

具体而言，通过将闭区间[a, b]分割为若干子区间，并在每个子区间上选择一个样本点，然后计算每个子区间上函数值和子区间长度的乘积，再对所有子区间的乘积求和。

当分割越来越细时，这个和可能会有一个确定的极限，即黎曼积分。

2. 黎曼积分的重要性质黎曼积分具有许多重要的性质，这些性质在数学分析中有着广泛的应用。

2.1 可加性黎曼积分具有可加性，即如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]和[b, c]上都是可积的，则它在闭区间[a, c]上也是可积的，且有∫[a,c] f(x) d x =∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx。

这个性质在将区间分割并计算子区间上的积分时，可以将积分结果进行相加。

2.2 线性性质黎曼积分具有线性性质，对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx。

换言之，对于线性组合的函数，其积分等于各个函数分别积分后再进行线性组合。

2.3 单调性黎曼积分具有单调性，即如果在闭区间[a,b]上，函数f(x) ≤ g(x)，则有∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。

这个性质使得我们可以通过比较函数大小来比较它们的积分值。

黎曼ζ函数积分黎曼ζ函数积分是数学领域中的重要概念，也是一个难点。

它是指将函数$\dfrac{1}{x^s}$在一条复平面上的垂直向上的直线上积分的值，其中$s$是一个复数。

此积分通常用$\zeta(s)$表示。

黎曼ζ函数积分的定义对于函数$f(x)=\dfrac{1}{x^s}$，其中$x\in\mathbb{R}$，$s\in\mathbb{C}$，且$\Re(s)>1$。

则黎曼ζ函数$\zeta(s)$可表示为：$$\zeta(s)=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^s}dx$$当$s=1$时，积分发散，因此定义中排除了$s=1$的情况。

性质1.黎曼ζ函数在复平面上的所有零点都在$0<\Re(s)<1$的互不相同的实轴区间上。

2.黎曼猜想：$\zeta(s)$在所有复数$s$的临界线$\Re(s)=\dfrac{1}{2}$上都有无限多个零点，这个猜想还未被证明。

3.当$\Re(s)>1$时，黎曼ζ函数是逐项可微的，即在该区间内的每个实数$t$，都有$\zeta'(s)$存在，满足：$$\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}\ln{n}$$4.黎曼猜想的重要推论之一是素数分布的渐进定理，也就是说，素数的数量与$x$大概率成正比。

虽然这个猜想还未被证明，但是它对数论却有着深远的影响。

5.黎曼ζ函数还有无数个拓展版本，比如Dirichlet L函数和Hurwitz zeta函数等等。

这些函数都具有一些惊人的性质，例如，它们与模形式和椭圆函数的关系，它们在数论中的应用，以及它们在物理学中的出现情况等等。

应用领域黎曼ζ函数积分在数学研究中广泛应用，尤其在数论中起着重要的作用。

它的应用领域包括：1.素数分布：黎曼猜想及其推论对数论研究有着深远的影响。

2.电阻网络：由于电阻网络可以表示成一个矩阵，因此可以使用迹公式来计算它们的光谱统计量。

微积分中的黎曼和与黎曼积分微积分是数学中的重要分支，它涉及到几何、代数和分析等方面。

而黎曼和以及黎曼积分则是微积分的重要内容之一。

在此篇文章中，我们将探讨黎曼和和黎曼积分的含义、计算方法以及它们在实际生活中的应用。

1. 黎曼和的含义在微积分中，我们常常需要对一个区间内的函数进行求和。

黎曼和就是这种求和操作的一种形式。

假设有一个函数f(x)，并且它在区间[a,b]上连续。

将[a,b]区间等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx，则可以得到如下公式：Rn = f(x1)Δx + f(x2)Δx + ··· + f(xn)Δx其中，x1、x2、···、xn分别是每个子区间的左端点。

这个公式计算的就是函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼和，即n趋向于无穷大时，黎曼和的极限值。

2. 黎曼积分的定义和计算方法黎曼积分是定义在[a,b]上的函数f(x)的积分。

它的计算方法基于黎曼和的概念，并且需要引入分划的概念。

假设有一个分划P = {x0, x1, ···, xn}，其中x0=a，xn=b，并且分划的每个子区间的宽度均为Δx，则可以定义黎曼和如下：Sn = f(xi)Δxi + f(xi+1)Δxi + ··· + f(xi)Δxi-1其中，i=1,2,...,n-1，Δxi=xi-xi-1。

当n趋向于无穷大时，黎曼和的极限值就是黎曼积分。

即：∫abf(x)dx = limn→∞ Sn在数值计算中，可以采用复合梯形公式或者复合辛普森公式来计算积分值。

复合梯形公式是将区间[a,b]等分成n个子区间，然后在每个子区间上用梯形面积来近似函数值，最后将所有梯形面积相加即可。

复合辛普森公式同理，它是将区间[a,b]等分成2n个子区间，在每个子区间上用拟二次多项式曲线来近似函数值，最后将所有曲线面积相加即可。

黎曼曲面上的积分表达问题黎曼曲面是复平面上的一个曲面，具有良好的几何性质和分析性质。

在黎曼几何理论中，我们经常会遇到对黎曼曲面上的函数进行积分的问题。

本文将探讨黎曼曲面上的积分表达问题，介绍一些常见的积分表达形式，并讨论它们的应用。

一、黎曼曲面上的积分定义黎曼曲面上的积分可以看作是曲面上的路径积分的推广。

在复平面上，我们常常使用线段来表示路径，并利用函数的复值性质来计算积分。

但在黎曼曲面上，路径可能是曲线或曲面，因此我们需要重新定义积分的表达形式。

对于黎曼曲面上的函数f(z)，我们可以将曲面分成若干小面元，并在每个小面元上进行积分。

然后将所有小面元的积分结果相加，得到整个曲面上的积分值。

二、黎曼曲面上的积分表达形式在黎曼曲面上，有多种不同的积分表达形式。

以下将介绍其中的几种常见形式。

1. 第一型积分（第一类）第一型积分是最基本的积分形式，表示沿曲面上给定路径的积分。

有时也称为路径积分。

通常用I表示，形式如下：I = ∫ f(z) ds其中，f(z)为积分函数，ds为曲面上的路径元素。

2. 第二型积分（第二类）第二型积分也称为面积积分，表示在曲面上的积分。

可以将曲面分成无数小面元，对每个小面元上的积分进行累加。

形式如下：I = ∬ f(z) dA其中，f(z)为积分函数，dA为曲面上的面元。

3. 第三型积分（第三类）第三型积分是第一型积分和第二型积分的组合形式。

它描述了在曲面上的路径积分和面积积分之间的关系。

形式如下：I = ∫∫_S f(z) ds + ∫∫∫_V g(z) dv其中，f(z)和g(z)为积分函数，S为曲面上的路径，V为曲面所围成的体积。

三、黎曼曲面上积分的应用黎曼曲面上的积分在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

1. 物理学中的应用黎曼曲面上的积分可以描述电场、磁场等物理量在曲面上的分布情况。

例如，可以利用第二型积分计算电场强度在曲面上的通量，或者利用第三型积分计算闭合曲面内部的电荷量。

微积分史The History of Calculus第七讲黎曼内容提要黎曼生平函数的起源对微积分的贡献•黎曼积分•黎曼病态函数•黎曼重排定理其他数学贡献黎曼猜想结语格奥尔格.弗雷德里希.波恩哈德.黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann) 1826—1866, 德国著名数学家, 物理学家成长经历•黎曼于1826年9月17日出生于汉诺威王国(今德国)的小镇布列斯伦茨(Breselenz). 他的父亲是当地的路德会牧师. •1846年, 黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学. 在此期间他去听了一些数学讲座, 包括高斯(Guass) 关于最小二乘法的讲座. 在得到父亲的允许后, 黎曼改学数学.•1847年春, 黎曼转到柏林大学, 投入雅可比(Jacobi) 、狄利克雷(Dirichlet) 门下, 两年后(1849年)黎曼回到哥廷根在高斯指导下做博士论文, 并于1851年获博士学位.•黎曼是个安静多病而且害羞的人, 终生喜欢独处. 他的同事戴德金(Dedekind) 是少数了解他的人之一. 据戴德金说, 除了黎曼真正糟糕的身体状况之外, 他还是一名疑病症患者.工作经历•1854年, 成为哥廷根大学的讲师•1857年, 黎曼升为哥廷根大学的编外教授•1859年, 黎曼接替狄利克雷成为哥廷根大学的教授•1866年7月20日, 黎曼在第三次去意大利修养的的途中因肺结核在塞拉斯卡(Selasca) 去世, 享年还不到40岁.到了黎曼时代, “ 函数” 已经在分析学占据了举足轻重的位置. 当函数大家族繁衍得越来越复杂、越来越奇特时, 数学家们意识到他们只不过抓到了一只函数概念老虎的尾巴. 17世纪：像牛顿(Newton) 和莱布尼茨(Leibniz) 这样的学者们相信,他们创立的新学科的原始研究材料就是曲线.18世纪中叶：由于欧拉(Euler) 的影响, 人们的注意力从曲线转移到函数, 这一观点的重大转变要从欧拉于1748年出版的《无穷小分析引论》一书开始, 书中把实分析学定位为对函数及其特性的研究. 欧拉首先区分了“ 常量”(始终保持同一个值的量) 和“ 变量” (不确定的或通用的可以取为任何值的量). 然后欧拉提出如下定义:变量的函数是由变量与数值或常量以任何方式构成的解析表达式.19世纪中叶：函数重新出现在现实世界的弦振动和热扩散等问题的研究中. 这里出现了函数演义中的关键人物---傅里叶(Fourier, 1768—1830). 他开始相信-a 和a 之间的任何函数(无论它代表一条弦的位置, 还是一根杆中的热分布, 甚至某种完全“任意”的东西) 都可以表示成我们现在所谓的傅里叶级数:01()(cos sin ),2k k k a k x k x f x a b a aππ∞==++∑其中系数a k 和b k 由下式确定：1()cos ,a k a k x a f x dx a aπ-=⎰1()sin .a k a k x b f x dx a a π-=⎰(1)但并不清楚上边的傅里叶级数中的公式(1)是否总是成立? 系数a k 和b k 为积分式, 如何知道这些积分对一般函数都有意义? 傅里叶在这里至少隐讳地提出了定积分的存在问题, 或函数是否可积的问题. 这些问题由德国数学家狄利克雷(1805—1859) 于1829年提出并开始研究.傅里叶解释他的结果适用于“一个完全任意的函数, 即一组连续的已知值, 不论它们是否服从某个共同的定律”. 狄利克雷是一位才华横溢的数学家, 曾在德国师从高斯, 在法国向傅里叶学习. 他于1829年发表题为《论三角级数的收敛性, 这种级数表示一个介于已知界限之间的任意函数》, 其中讨论了函数用傅里叶级数表示的问题, 以及其中隐含的决定系数的那些积分的存在性问题.狄利克雷提出可用一种比柯西积分新的包容性更强的积分理论来处理区间内有无限多个不连续点的函数(柯西只对于区间[a , b ]上的连续函数定义了积分, 而后将该思想扩展到区间内有有限个不连续点的函数).但他没指出如何对高度不连续的函数积分, 他只给出了这种情况存在的例子, 即现在所说的狄利克雷函数, 可表示为, ()., c x x d x φ⎧=⎨⎩是有理数是无理数(2) 这显然是傅里叶意义下的函数, 但它没有连续点. 这个例子的意义是双重的：一方面表明傅里叶任意函数的思想已经成为处理它的有效方法; 另一方面显示了柯西积分的不足之处. 因此, 应该重建积分的定义, 以免数学家们仅仅局限于对连续函数的积分或对只有有限个不连续点的函数的积分.狄利克雷的学生黎曼接受了重建积分这个挑战, 他试图找到不需要预先假设函数必须如何连续就定义积分的途径. 这是一个大胆的, 极有创见性的思想: 使可积性和连续性分离. 在实分析领域, 黎曼最为杰出的贡献就是, 第一次严格地给出了积分公式---黎曼积分.黎曼作为一名有影响力的数学家, 在实分析、复分析、数论以及微分几何方面做出了持久而革命性的贡献.对微积分的贡献黎曼积分黎曼在1854年为获得哥廷根大学的讲师职位而写的“ 大学执教资格讲演” 这篇论文中, 把这个问题简单地陈述为:“ 如何理解”. 其中假设f (x )在闭区间[a , b ]上有界. ()?b a f x dx黎曼积分黎曼在区间[a, b]内取任意一系列值：a= x0< x1< x2< …< x n－1< x n= b,称之为一个划分. 他将得到的子区间的长度用delta1 = x1－a, delta2 = x2－x1, delta3 = x3－x2, …, delta n= b －x n－1,表示. 再令eps, eps2, eps3, …, eps n为0和1之间的一系列值. 对每个eps k,1x k+ eps k delta k in [x k－1 , x k],然后, 黎曼引入(现在所谓的) 黎曼和(见下图) :S = δ1f (a+ε1δ1) + δ2f (x2+ε2δ2) + … + δn f(x n-1+εnδn),至此, 黎曼给出他的关键定义：如果这个和具有这样的性质：a b x 1X k －1x k δk f (x k －1+eps k delta k )无论怎样选择delta k 和eps k ,当delta k 趋近于无穷小时, 它无限的接近一个固定值A , 那么我们称这个固定的值为().b a f x dx ⎰如果这个和不具备这样的性质, 那么没有意义.()b a f x dx ⎰黎曼积分这是黎曼积分的首次出现. 很明显, 这个定义没有对连续性做任何假设.为了考察可积性, 黎曼引入了新的和：R = delta 1D 1 + delta 2 D 2+ delta 3 D 3+ … +delta n D n , (3)其中D k 为函数f 在区间[x k －1, x k ] 上的“最大振幅”, 即f 在区间[x k －1, x k ] 上的最大值与最小值之差.即R 是如下图(1)所示的阴影区域的面积:a bx 1X k －1x k x 2X n －1delta k D k delta 1D 1delta n D n delta 3D 3图(1)现给定一个正数d > 0 , 黎曼考察区间[a , b ]上所有满足max{delta 1, delta 2,delta 3, …, delta n } 小于等于d 的划分. 即, 他考察那些最宽子区间的长度(即划分的范数) 小于等于d 的划分.黎曼积分然后, 黎曼引入Delta = Delta (d ) 为和式(3) 中范数小于等于d 的划分产生的所有和R 的“最大值” (事实上应为“上确界”).显然, 当且仅当时,黎曼积分0lim ()0d d →∆=() b a f x dx ⎰存在.在几何上, 这意味着当我们越来越细分区间[a , b ]时, 上图中最大阴影区域的面积将减小到0.黎曼积分至此, 黎曼提出了关键性问题：在何种情况下函数可以积分, 在何种情况下函数不能积分?他轻而易举地给出了答案---即现在所说的黎曼可积性条件.黎曼再次给定一个正数sigma > 0. 对于一个给定的划分, 他考察函数在子区间的振幅:称函数振幅大于sigma 的那些子区间为“ A 型” 子区间;而称振幅小于或等于sigma 的子区间为“ B 型”子区间.图(2)sigma a b x 1x 3x 4x 2x 5 黎曼积分图(2)中显示出函数,它的带阴影的那些矩形以及位于左侧的一个sigma 值.最后, 黎曼令s = s (sigma ) 为对于给定sigma 的所有A 型子区间的总长度, 即其中有2个为“ A 型” 子区间[a , x 1], [x 5, b ] 和4个“ B 型”子区间[x 1, x 2], [x 2, x 3], [x 3, x 4], [x 4, x 5].含义：f 可积当且仅当对于无论怎样小的sigma , 我们可以找到这样一个范数, 对于[a , b ]上具有同样小或更小范数的所有划分来说, 函数振幅大于sigma 的子区间的总长度是微不足道的.黎曼可积性条件：存在的充分必要条件是, 对于任意sigma > 0,A 型子区间的总长度s (sigma )在d 0时可以达到任意小. ()baf x dx 黎曼积分黎曼可积性条件的证明过程相对复杂, 但证明思想却很简单:为了使一个函数具有黎曼积分, 它的振幅必须受到限制. 跳变过于频繁过于剧烈的函数是不可积的.由此,黎曼给出了有界函数在[a , b ]上可积的一个充分必要条件.再来考察前边提到的狄利克雷函数. 为明确起见, 我们取c = 1,d = 0,于是有1, ().0, x x x φ⎧=⎨⎩是有理数是无理数黎曼积分问题根据黎曼的定义, 上述狄利克雷函数phi(x )是否可积?假设sigma = 1/2, 考察任意划分0= x 0< x 1< x 2< …<x n －1< x n = 1, 及任意子区间[x k , x k +1],不管这个子区间多么狭窄, 易见phi 在区间[x k , x k +1] 上的振幅为1 －0 > 1/2 = sigma .即划分的每个子区间都是A 型子区间,从而, 对于[0, 1]的任何划分, A 1() 1.2k s δ==∑型根据黎曼可积性条件, 狄利克雷函数不可积!黎曼病态函数直观上, 狄利克雷函数是如此彻底的不连续, 以至于不可积.这个现象提出了一个基本问题:按照黎曼积分的定义, 一个函数不连续到何种程度依然是可积的?这个谜团直到20世纪才解开, 但黎曼本人给出了一个函数,我们称之为黎曼病态函数. 可望提供解决该问题的一个证据.首先, 令(x) = x－n, 其中n是最接近x的整数.例如: (1.2) = (－1.8) = 0.2;(1.7) = (－1.3) = －0.3,如果x 位于两个整数的中间, 如4.5或－0.5, 他置(x) = 0.易见, 函数在每个x = m/2 处具有一个长度为1的跳变不连续性, 其中m是奇自然数. 如下图(3):黎曼接着考察了y =(2x ), 这个函数在水平方向上将图(3)的图形压缩, 产生图(4)的图形, 这时长度为1的跳变出现在x = ＋／－m /4 处, 其中m 是奇自然数.图(3)⋅︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒︒︒︒1-1-22⋅⋅-111/2y = (x ) 黎曼病态函数这个压缩过程用函数y =(3x ), y =(4x ) 等继续进行下去, 直至黎曼将这些函数组合成一个有趣的函数:图(4)⋅︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒1-1-22⋅⋅︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒11/21/4⋅y = (2x ) 21()(2)(3)(4)()(),14916k x x x x kx f x k ∞==++++=∑(4) 黎曼病态函数图(5) 画出了函数(4)式在区间[0, 1]上的第7个部分和的图形, 即函数()(2)(3)(4)(5)(6)(7)14916253649x x x x x x x ++++++的图形. 即使在这一步, 也显示了函数f 的不连续性在迅速累积.图(5)黎曼病态函数注意到, 对所有x ,有|(kx )| 小于等于1/2, 运用用比较判别法黎曼在没有给出完整证明的情况下断言:2112k k∞=∑可知这个无穷级数处处收敛.(1) 函数f 在每个单独的函数y = (kx ) 的连续点是连续的,包括所有的无理数;(2) 如果x = m /2n , 其中m 和n 是互素的整数, 那么函数f在x 有一个长度为22211111(1)92549818n n π+++++=的跳变. (这里的级数求和参考欧拉的结果. )黎曼病态函数因此黎曼函数在这样的x = m /2n 处不连续, 而任意两个实数之间存在无限多这种点. 即黎曼函数具有“ 高度不连续性”.然而, 令人惊异的是存在.黎曼借助上面的可积性条件证明了这一点.10()f x dx ⎰任意取定sigma > 0,不妨设sigma = 1/20, 我们要找出振幅超出1/20的那些点.而这种点是形如x = m /2n 的有理数, 且在这种点的跳变幅度是pi 2/8n 2, 所以我们仅需考虑pi 2/8n 2> 1/20,由此推出10 4.967,2n π<≈而n 是正整数, 所以n 只能选择n = 1, 2, 3, 4.对微积分的贡献黎曼病态函数又m 和n 没有公因子, 且0 <<m /2n << 1,黎曼病态函数可推断仅有有限个这样的候选点. 在这种情况下, 函数在区间[0, 1]内的振幅超过1/20的点有11113152357,,,,,,,,,,.86438283468由于仅需处理有限个点, 我们可以建立区间[0, 1]的一个划分, 将这些点中的每一个都置于一个非常狭窄的子区间内,其总长度可以达到任意小. 于是黎曼病态函数可积.这里的关键问题在于振幅超过给定sigma的点为有限个.黎曼将这种情况总结如下:在所有不包含这些跳变点的子区间内, 函数的振幅小于sigma, 并且……包含这些跳变点的子区间的总长度可以随意地小.回忆莱布尼茨级数, 即级数11111.3579-+-+-假定我们按照下述方式重新排列这个级数的项:把第一个负值项排在前面两个正值项的后面; 把第二个负值项排在随后两个正值项的后面, 以此类推.黎曼重排定理在进行三项一组的重排分组后, 我们得到11111111(1)()()539137172111+-++-++-+(5)圆括号内的表达式可以表示为1112411, 1, 2, 3, 4,878341(87)(83)(41)k k k k k k k k -+-==------由于k >= 1, 所以最后这个分数的分子和分母都是正数, 于是, 式(5)中每一个三项分组都是正值. 由此可得关于重排级数的下述结果: 黎曼重排定理11111111(1)()()539137172111+-++-++-+1113(1)0000.86665315≥+-++++==另一方面, 莱布尼茨证明了原来的级数111110.7854.35794π-+-+-=≈即: 通过变更级数中项的位置而不改变其项值就改变了级数的和. 这看起来非常离奇. 事实上, 它的后果更为严重!黎曼证明了莱布尼茨级数竟然可以重排成收敛于任何数值的级数!黎曼重排定理事实上, 对于一般项级数(包含正项与负项)1, kn u∞=∑黎曼的老师狄利克雷证明了一个绝对收敛级数的任何重排必定收敛于原来级数的同一个和. 即对于绝对收敛级数, 重排它的项不会对和产生任何影响.而对于条件收敛级数, 黎曼证明可以把它重排为收敛于我们希望的任意值.这就是“黎曼惊人的重排结果”.黎曼重排定理黎曼的证明思想:令C是一个固定数(不妨设C为一个正数)---可以说是“靶子”.黎曼这样开始: “以交替的方式, 首先取级数足够多的正值项使其和超过C, 然后取足够多的负值项使总和小于C.”.一直重复这一过程. 可以证明用这种交替方案进行的重排级数将收敛于C.为了说明起见, 下面假定我们寻找莱布尼茨级数的一个重排使之收敛于1.10.(3) 然后再加上某些正值项使其和超过1.10, 再减去某些负值项使其差小于1.10,以此类推. 得莱布尼茨级数如下:黎曼重排定理11111111111(1)()()539131772125293311+-+++-++++-+黎曼的级数重排定理证明了无穷求和是一个微妙的问题. 这再一次印证了: 无穷过程的研究或分析, 可能使我们陷入困境!(1) 先找出足够多的正值项使其和超过1.10:1 + 1/5 = 1.2 > 1.10;(2) 接着减去一个负值项使其差小于1.10:1 + 1/5 -1/3 = 0.8666… < 1.10;其他数学贡献复分析黎曼在复分析领域, 最为杰出的贡献是黎曼曲面的引入, 以及对于复分析的自然的几何处理.•1851年, 黎曼的博士论文即为《单复变函数一般理论基础》, 得到高斯的赞赏, 高斯以少有的激情给黎曼写下了评语: “黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据, 表明作者对他的论文所涉及的主题进行了全面、深入的研究,显示了一个具有创造力的、活跃的、真正数学的头脑以及了不起的富有成果的独创性.”•其中论证了复变函数可导的必要充分条件(即柯西-黎曼方程) , 借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理, 成为函数的几何理论的基础.其他数学贡献微分几何黎曼对微分几何开创性的贡献奠定了广义相对论的基础.•1854年, 黎曼作了题为《论作为几何基础的假设》的演讲, 发扬了高斯关于曲面的微分几何研究, 提出用流形的概念理解空间的实质, 用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量, 建立了黎曼空间的概念, 开创了黎曼几何, 把欧氏几何、非欧几何包括进他的体系之中, 为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础;•1857年, 黎曼发表了关于阿贝尔函数的研究论文, 引出黎曼曲面的概念, 将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究, 其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究, 创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念, 阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理.黎曼猜想•1859年, 黎曼被选为了柏林科学院的通信院士. 作为对这一崇高荣誉的回报, 黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《不超过已知数的素数的数量》只有短短八页的论文. 这篇论文就是黎曼猜想的“ 诞生地”, 被公认为是解析数论领域最有影响力的论文.•黎曼猜想要解决的问题是黎曼zeta函数ζ(s)的非平凡零点都位于复平面Re(s)=1/2直线上. 数学家们把这条直线称为临界线. 运用这一术语, 黎曼猜想可以表述为：黎曼ζ(s)函数的所有非平凡零点都位于临界线上.•黎曼猜想是希尔伯特(Hilbert) 在1900年提出的二十三个问题的第八问题, 现在又被列为千禧年七大难题之一.黎曼猜想黎曼猜想•有人曾经问希尔伯特: “如果500年后能重回人间, 他最希望了解的事情是什么?”希尔伯特回答说：“我想知道, 黎曼猜想解决了没有.”•美国数学家蒙哥马利(Montgomery) 曾经也表示, 如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明, 多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明.•2018年9月, 菲尔茨奖和阿贝尔奖双料得主, 89岁高龄的迈克尔·阿蒂亚(Michael Atiyah)声称自己证明了黎曼猜想, 他于9月24日在海德堡获奖者论坛上宣讲了他的证明, 同时贴出了他证明黎曼猜想的预印本. 但阿蒂亚的证明有不少疑点, 尚待考证.结语黎曼在他短暂的一生中, 对于几何、分析和物理学的众多领域都作了开创性的贡献. 他耗尽毕生心血为我们创造了崭新的概念和强有力的方法. 有数学家评论说:“黎曼是一个富有想象力的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家”.大数学家冯.诺依曼(Von Neumann) 说: “ 黎曼的科学个性是数学的两重性的光辉榜样”.黎曼给我们的启示任何创新的道路上都没有坦途, 都不是一帆风顺, 但做科学研究要敢于大胆假设, 小心求证.谢谢观看Thanks参考文献1.《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》, William Dunham著, 李伯民, 汪军, 张怀勇译, 北京：人民邮电出版社, 2010.2.《天才引导的历程---数学中的伟大定理》, William Dunham著, 李繁荣, 李莉萍译, 北京：机械工业出版社, 2013.3.《数学史》, Carl. B. Boyer著, Uta C.Merzbach修订, 秦传安译, 北京：中央编译出版社, 2012.4.《古今数学思想》, Morris Kline著, 邓东皋, 张恭庆等译, 上海：上海科学技术出版社,2014.5.《数学恩仇录---数学家的十大论战》, Hal Hellman著, 范伟译, 上海：复旦大学出版社,2009.6.《数学星空中的璀璨群星》, 易南轩, 王芝平编著, 北京：科学出版社, 2009.7.《文明之光---图说数学史》, 李文林主编, 山东教育出版社, 2005.8.《大数学家---从阿基米德到陈省身》, 陈诗谷, 葛孟曾著, 北京：中国青年出版社, 2012.9.《三次数学危机与数学悖论》, 韩雪涛著, 北京：人民邮电出版社, 2016.10.《数学史概论》(第三版), 李文林, 北京：高等教育出版社, 2010.11.《微积分的创立者及其先驱》(第3版), 李心灿编, 北京：高等教育出版社, 2007.12.《数学精英》, Bell. E. T. 著, 徐源译, 北京：商务印书馆, 1991.13.百度百科(部分图片来源于百度百科).。

实变函数中的黎曼斯蒂尔杰斯积分理论在实变函数中，黎曼斯蒂尔杰斯积分理论是一个重要的概念。

黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的引入使得我们能够更加深入地研究实变函数的性质和特点。

本文将着重介绍黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的基本概念和性质。

一、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的基本概念黎曼斯蒂尔杰斯积分理论是实变函数中的一个重要概念，它是黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分的结合体。

黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的引入主要是为了解决一些特殊函数的积分问题，使得我们能够更加方便地进行积分计算。

在黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中，函数的积分和定积分的定义基本保持不变。

对于实变函数f(x)，其在区间[a, b]上的黎曼斯蒂尔杰斯积分可表示为：∫[a,b] f(x) dγ,其中dγ 表示黎曼斯蒂尔杰斯积分中的积分变量。

二、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的性质1. 可积性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论保持了函数可积的性质。

如果函数f(x)在区间[a, b]上满足黎曼可积条件，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分存在。

2. 线性性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论满足线性性质。

即对于实数a、b和函数f(x)、g(x)，有：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dγ = a∫[a,b] f(x) dγ + b∫[a,b] g(x) dγ.3. 积分的范围可加性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中的积分范围可加。

即对于区间[a, c]，在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分等于在区间[a, b]和区间[b, c]上的黎曼斯蒂尔杰斯积分之和。

4. 积分的有界性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中的积分结果是有界的。

如果函数f(x)在区间[a, b]上有界，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分也是有界的。

5. 积分的可加性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分等于在该区间上的黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分之和。

三、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的应用黎曼斯蒂尔杰斯积分理论在实变函数的研究中具有广泛的应用。