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黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。
黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。
黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。
勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。
因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。
此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。
例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。
此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。
黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<==Λ10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i Λ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E Y 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=Λ21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤Λ.⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()()Λ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。
毕业论文题目黎曼积分与勒贝格积分的比较学院*****＊＊＊＊＊＊*＊＊＊＊姓名＊***专业班级**＊＊＊*＊＊学号**＊*＊*＊*＊指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日黎曼积分与勒贝格积分的比较摘要本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别。
关键字黎曼积分；勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.目录引言 (1)1 定义 (1)1。
1黎曼积分的定义 (1)1.2 勒贝格积分的定义 (2)2 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质 (3)2.1黎曼积分的基本性质 (3)2。
2勒贝格积分的基本性质 (3)3 黎曼可积与勒贝格可积的条件 (4)3。
1黎曼可积的条件 (4)3。
2勒贝格可积的条件 (6)4 相关定理 (7)4。
1与勒贝格积分有关的定理 (7)4.2与黎曼积分有关的定理 (7)5 黎曼积分与勒贝格积分的联系 (8)6 黎曼积分与勒贝格积分的区别 (10)7 实例 (12)总结 (14)参考文献 (14)致谢 (16)1黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪。
我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序,重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。
它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。
首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。
而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。
从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。
此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。
但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。
在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。
而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。
本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。
一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。
黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。
黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。
黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。
但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。
对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。
二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。
勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。
勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，人们常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是通过将区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上取样点，计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积之和，然后取极限得到的积分。
黎曼积分的定义比较直观，适用于绝大多数函数。
而勒贝格积分则是通过将函数的定义域分解成可测集，然后在每个可测集上定义一个测度，最后将函数值与测度的乘积进行积分。
勒贝格积分的定义更加抽象，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
2. 性质黎曼积分的性质相对简单，满足线性性、可加性、保号性等基本性质。
但是对于某些特殊函数，比如间断函数或者无界函数，黎曼积分可能无法定义。
勒贝格积分的性质更加丰富，不仅满足线性性、可加性等基本性质，还具有单调收敛性、控制收敛性等重要性质。
勒贝格积分可以对几乎所有的可测函数进行积分，包括无界函数和几乎处处不连续的函数。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分主要用于初等函数的积分计算，以及一些具有良好性质的函数的积分。
在物理、工程等领域，黎曼积分也有着广泛的应用。
而勒贝格积分则更多地应用于测度论、概率论、泛函分析等数学领域，对于研究函数空间的性质、广义函数的积分等问题有着重要作用。
勒贝格积分的广泛应用使得它成为现代数学中不可或缺的工具之一。
综上所述，黎曼积分与勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在着明显的区别。
黎曼积分更加直观简单，适用于绝大多数函数的积分计算；而勒贝格积分更加抽象丰富，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的积分方式，将有助于更好地解决问题并推动数学理论的发展。
从Riemann 积分到Lebesgue 积摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义 设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。
注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。
2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。
若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。
也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。
黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。
勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。
它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。
黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。
首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。
其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。
它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。
总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。
正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。
浅谈Lebesgue积分与Riemann 积分的联系与区别浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。
然而对广义Riemann积分来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。
那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。
一、积分定义Riemann 积分定义 假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10及任意[],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 110→-+-≤≤i i n i x x 就有A x xf i i n i i→-+-=∑)()(11ξ则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。
Lebesgue 积分定义 设n R E ⊂是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使{}).,()()(βα⊂∈=E x x f E f 若βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记{}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ，对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式 ε<-A D S )(， 则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。
若)(x f 是E 上的可测函数，且∞<mE ，如果-+f f ,在E 上的积分至少有一个不为∞+，则称)(x f 在E 上有积分，并记.)()()(dx x f dx x f dx x f EEE⎰⎰⎰-+-=若⎰Edx x f )(为有限数，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积。
二、L 积分与R 积分的联系由于在通常意义下的R 可积性意味着L 可积性，所以我们有定理 如果有界函数)(x f 在闭区间[]b a ,是R 可积的，则)(x f 在[]b a ,也是L 可积的，且[]⎰⎰=bab a dx x f dx x f )()(,，此处[]⎰ba dx x f ,)(表示f 在[]b a ,上的L 积分，⎰badx x f )(表示f 在[]b a ,上的R 积分。
Lebesgue积分与Riemann积分的比较20141000449 佳龙20141003908 王珏20141000194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文 一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R 积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。
其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。
事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。
基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。
这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。
为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。
R 积分是这样定义的： 定义 设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<= 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。
令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。
在每个小区间[]kk x x,1-上任取一点()k k k kx x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即(),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。
勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系,勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类,降低逐项积分与交换积分顺序的条件。
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了。
它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了.它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
关键词:勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1。
1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n —1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max -T 的细度，若()i ni iT x f ∆∑=→10limξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10l i m ξ1。
2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L —分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D nE E E =均为E 的一个L-分划,若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细)3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解,因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分.对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f KE k ⎰∞→lim存在,则f 在E 上勒贝格可积，且有()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足()dxx f KE k ⎰∞→lim〈∞时，可以通过计算黎曼积分()dx x f E⎰而得到勒贝格积分()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。
riemann积分与lebesgue积分的区别Riemann积分与Lebesgue积分是数学中两种不同的积分方法。
虽然它们都可以用于计算函数在一个区间上的面积，但它们的计算方式、适用范围和性质等方面有很大的不同。
本文将从定义、计算方式、适用范围和性质等方面详细介绍Riemann积分和Lebesgue积分的区别。
一、Riemann积分的定义及计算方式Riemann积分是一种用有限和的方式来逼近函数在一个区间上的面积的方法。
它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，即$a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_n=b$，其中$Delta x_i=x_i-x_{i-1}$为第$i$个小区间的长度。
在每个小区间上取一点$x_i^*in[x_{i-1},x_i]$，则有$$int_a^bf(x)dx=lim_{Deltaxrightarrow0}sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Delta x_i$$其中$Delta x=max{Delta x_i}$为小区间长度的最大值。
Riemann积分的计算方式是将区间$[a,b]$分成许多小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，求出每个小区间上的面积，最后将所有小区间上的面积相加即可得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。
二、Lebesgue积分的定义及计算方式Lebesgue积分是一种更加广义的积分方式，它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，$E$是$[a,b]$上的一个可测集合，定义$f(x)$在$E$上的积分为$$int_Ef(x)dx=int_a^bf(x)chi_E(x)dx$$其中$chi_E(x)$为$E$的特征函数，即$$chi_E(x)=begin{cases}1,xin E0,xotin Eend{cases}$$Lebesgue积分的计算方式是将函数$f(x)$在$[a,b]$上的值域分成许多小区间，然后将每个小区间上的面积相加，最终得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。
力Ｊ１．镌ｓＤｍ胁珊蹦如２００８年５月Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的联系和本质区别张丽君（山西师范大学数计学院，山西临汾０４１００４）【摘要】Ｒｉｅｍａｎｎ在１９世纪中期引入了Ｒｉｅｍａｎｎ积分．比较完整深刻的提出定积分概念的实质。
２０世纪初，集合论的观点引起积分学的变革，ｋｂｅ８舭以集合测度为基础，对Ｒｉｅｎｍｎ积分的定义加以改造．建立‰舭积分的概念。
在一般的分析书中，揭示了Ｒｉｏ－１ｌｌＳＩＬｒｌ积分和ＩＪｅｂｅＢｇＩ埒积分的联系，指出了ｋｂｅ孵地积分是Ｒｉｅｍａｎｎ积分的一种推广，井为一般的有界函数的Ｒｉｅｍａｎｎ积分提出了简明的判别准则，并没有指出它们之间的本质区别。
本文将从Ｒｉｅｍａｒｍ积分和Ｌｅｂｅａｇｕｅ积分的定义和联系入手，去探讨它们之同的本质的区别：从Ｒｉｅｍａｎｎ积分推广到１．ｄａｅｓｇｕｅ积分的本质是从不完备空间Ｒ［ａ，ｂ］到完备空间Ｌ［ａ’ｂ】的扩充。
【关键词】Ｒｉｅｍａｒｍ积分；Ｉ，ｅｂｅｓｇｕｅ积分；完备空间；Ｌ［ａ，ｂ】Ｒ［ａ，ｂ】‘１．引言积分真正的发展要在１７世纪以后，经过半个世纪的酝酿，牛顿的＜流数简论＞标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献。
进入１８世纪，数学的发展进入了分析的时代，欧拉对微积分的进步作出了巨大的贡献，但是积分的概念一直受面积观念的影响，直到柯西才真正的从分析的角度给出了积分的构造性定义，此外，柯西具有创造性的从“和式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立的个体从微分中分离出来，并且积分作为“和式极限”的观点，为在数学分析中引入重积分，曲线和曲面积分创造了条件，为引进其他类型的积分，如Ｒ／ｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｃ积分创造了条件。
２．Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介。
积分的发展和函数概念的发展是密不可分的。
积分理论一直和函数的连续性紧密的联系在一起。
随着傅立叶的不连续函数可以用三角级数和来表示，这样便提出了一个问题：是否可以将只适用于连续函数的积分推广到更为一般的函数上呢？２．１．彪ｅｍａｎｎ积分简介ｏＲ／ｅｍａｔｍｌ８２６年生于汉诺威的步雷斯伦茨，１８６６年卒于意大利的塞那斯加。
分类号O172.2编号 2012010644毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.The Differences and Relations Between the Riemann Integral and LévesqueIntegralAbstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented.Keywords: Riemann integral; Lévesque integral;measurable function; integral function目录1引言 (2)1.1 微积分的发展史 (2)1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入 (2)2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 (5)2.1 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 (5)2.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较 (7)2.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 (9)2.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类 (12)2.5 黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较 (13)3 黎曼积分与勒贝格积分的主要联系 (15)4文章总结和展望 (16)4.1文章总结 (16)4.2 文章展望 (16)参考文献 (18)致谢 (19)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系1引言1.1 微积分的发展史积分学的历史很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作,他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形 同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到17世纪下半叶,牛顿和莱布尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务.牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿—莱布尼茨公式,即设)(x F 是)(x f 的不定积分,则有成立⎰-=baa Fb F dx x f )()()(.此公式使得积分的计算大为简便,是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以应用的理论了.1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入数学史上提出用分割区间,做和式的极限来明确的定义积分的是 A. Cauchy,他考察的积分对象是在[]b a ,上的连续函数.并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A. Cauchy 所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier 关于三角级数的工作,它指出定义在[]b a ,上的函数)(x f 可表示为)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=.其中,π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(. ⎰-=πππnxdxx f b n sin )(1 ,2,1=n . 这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视,后来Ddrboux 又得出如下结论.设)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,做划分:∆,10b x x x a n =<<<=且{},),(sup 1i i i x x x x f M ≤≤=-{}i i i x x x x f m ≤≤=-1),(inf ,2,1=i ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,()11-=-=∑i i n i i x x m s 下积分()⎰=-b a S dx x f inf ,上积分()s dx x f b a sup =⎰-,若有()⎰=-b a S dx x f inf =()s dx x f b asup =⎰-则)(x f 在[]b a ,上是黎曼可积的.黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如(1)可积函数的连续性我们知道,函数的可积性等价于0lim 1=∆∑=i ni i x w ,它涉及分割子区间的长度及函数在其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割加细时,其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的.⑵极限与积分交换次序问题在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.例 1.1()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=<≤-<≤=1102,1121222102x n n n x n xa a n x xna x f n n n n ()0lim =∞→x f n n ,显然()0lim 10=⎰∞→dx x f n n ,而()na dx x f n n n n 2lim lim 10∞→∞→=⎰. 当n a n =,时212lim =∞→n a n n . 此时,积分与极限不能交换次序,只有当n a →0时,即()x f n 一致收敛极限与积分才交换.引理 1.1[]1 （有界收敛定理）设()x f n ,2,1=n 是定义在上[]b a ,的可积函数.〈ⅰ〉︳()x f n ︳[]()b a x n M ,,2,1∈=≤ ;〈ⅱ〉()x f 是定义在上的可积函数且有()()x f x f n n =∞→lim . 这里极限与积分交换次序不仅受到()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ 的限制,而且还必须假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了.以上例子可以看出黎曼积分虽然比较简单,但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难证明,甚至不成立,尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.随着微积分学的发展,人们越来越感觉到它有很大的局限性,尤其是随着集合论的一系列工作的创始,出现一些病态函数,在研究它们的可积性时,黎曼积分迎来新的挑战.例 1.2 狄里克雷函数()x D ,由定义可证()x D 不是黎曼可积的,因此必须扩大积分范围.⑶关于微积分基本定理在微积分学基本定理()()()a f x f dx x f xa -='⎰中()x f '必须是可积得,但我们知道存在可微且导数有界的函数,其导数不是黎曼可积的,因此限制了微积分基本定理的应用范围.随着数学的发展,人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决,科学的不断前进,积分论再进一步革新,勒贝格在Borel 测度思想的指导下,也吸收了Jordan 和Peano 的思想,建立了测度论,在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测函数,利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难,勒贝格大胆的改变了黎曼积分对定义域的分割方法,而采用对值域的分割,从而缩小振幅,消除了间断点的困难,在二十世纪提出了勒贝格积分,它为现代分析学打开了大门,勒贝格积分的提出是许多问题迎刃而解了.我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度,与黎曼积分比较,勒贝格积分虽然有很多优点,但任何一种理论都不是十全十美的,它也有缺点,比如在应用时测度比长度就要麻烦,反常积分是不存在的等等.2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较定义 2.1.1[]3（黎曼积分和勒贝格积分的定义）黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:设()x f 在[]b a ,上有界,对做分割{}b x x x a T n =<<<== 10,将区间分成n 部分,在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ, ,2,1=i 作和()()i i ni i x x f s -=+=∑11ξ.称它为属于分割的黎曼和,令i i ni x x T -=+≤≤11max ,i i i x x x -=∆+1,当{}i x T ∆=max →0时,若该式趋于有限极限,则称()x f 在[]b a ,上可积记作()dx x f I ba ⎰=.其精确的数学定义为[]3:设()x f 在[]b a ,上的函数,J 是一确定的数,若对任意的ξ总存在0>δ,使得[]b a ,上的任意分割T 以及任意选取的{}i ξ,只要δ<T 时,属于T 的积分和()()i i ni i x x f s -=+=∑11ξ都满足ξ<-J s ,则称()x f 在[]b a ,上可积,称J 为则称()x f 在[]b a ,上在上的定积分记作()dx x f I ba ⎰=.黎曼积分的思想是“分割,求和,近似代替,取极限” ,这里的分割是对定义域的分割,对黎曼积分还有另一种定义.定义 2.1.2 设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.定义 2.1.3[]1我们已知,测度是长度的推广,启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑将区间推广到测度空间,对于被积函数按照黎曼积分的思想,必须使的在分割区间以后在尽可能多的区间上函数振幅足够小,这使得具有较大震荡的函数被排除在外,勒贝格大胆的采用逆向思维的方法,从值域入手,提出勒贝格积分,即0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.由简单函数可以逼近可测函数,可先给出简单函数的勒贝格积分定义,再写出其它类型函数的勒贝格积分定义.定义2.1.4[]2（简单函数的勒贝格积分定义）设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()i ni i EmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.定义2.1.5[]2（非负可测函数的勒贝格积分定义）取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是建立在测度论的基础上,可以处理有界或无界的情形,而且函数可以定义在更一般的点集上.由以上两大积的分定义,他们主要的不同是源于他们的划分区域不同,由于勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.例 2.1.1 ()x D 不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的,且积分为0. 可用下面直观的例子说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异.例 2.1.2 用硬币兑换纸币.假设有5000枚硬币需要兑换成纸币,每一枚硬币的面值分别为0.01元,0.02元,0.05元,0.1元,0.2元,0.5元,1元中的一个,要兑换需计算总币值,计算总币值有两种方法,第一种是一个个硬币的币值逐个相加,第二种是把所有的硬币按币值分为7类,计算每一类币值再相加.明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想,方法二则体现的是勒贝格积分的思想.黎曼积分是将给定的函数的定义域分小而产生的,而勒贝格积分是通过划分函数的值域而产生的,前者的优点是i i i x x x -=∆+1的度量容易给出,但当分割的细度加细时,函数在的振幅仍可能较大,后者的优点是函数在上的振幅较小,从而扩展了可积函数类,使许多问题迎刃而解,但一般不再是区间,而是可测集,其度量一般不容易给出,对定义域和值域的划分是这两大积分最本质的区别.2.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较2.2.1黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件⒈设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.⒉设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i i ni i m M w x w -=<∆∑=ξ1.⒊设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为对于任给正数ξ,η总存在某一分割T ,使得属于T 的所有振幅η≥i w '的小区间的长度总长小于等于ξ.⒋设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.⒌定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.例 2.2.1 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数为互质整数x q p q qpx qx f 0,,01 这个函数在所有无理点处是连续的,所有有理点处是不连续的,虽然[]1,0中有无穷多个不连续点,但()x f 仍可积,且()010=⎰dx x f ,事实上,[]1,0中全体有理数组成一个零测度集,所以()x f 是黎曼可积的. 2.2.2勒贝格可积条件⒈设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑i ii mE w .⒉设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.⒊设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. ⒋设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.⒌设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.2.3 黎曼积分与勒贝格积分的性质比较2.3.1黎曼积分的性质⒈（线性性）若()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数,K 为常数,则()x Kf 在[]b a ,上也黎曼可积,且有dx f K Kfdx baba⎰⎰=.⒉（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注 ()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.⒊（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.⒋（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.⒌（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.⒍若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.⒎若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.⒏若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.⒐若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.2.3.2勒贝格积分的性质⒈（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()dm x f dm x f dm x f dm x f nE E E E⎰⎰⎰⎰+++= 21.⒉（σ可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K k E E ∞==1,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()() ++=⎰⎰⎰dm x f dm x f dm x f E E E21.⒊对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dm x f dm x f EE⎰⎰≤.⒋(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()dm x g dm x f EE⎰⎰≤.⒌()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.⒍()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0=⎰dm x f E.⒎(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dm x f E.⒏()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0≥⎰dm x f E.⒐设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.⒑()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.⒒（线性性）设()x f ,()x g 是E 上的非负可测函数,α,β为非负常数,则()()x g x f βα+也在E 上可积,且()()()()dm x g dm x f dm x g f f EEE⎰⎰⎰+=+βαβα.⒓设()x f 在E 上可测,则()0=⎰dm x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.⒔（绝对连续性）设()x f 在有界可测集E 上勒贝格可积,则对0>∀ξ,有0>δ,使得当()E e me ⊂<δ时,有()Ef x dm ξ<⎰.⒕设()x f 在可测集E 上勒贝格可积,则对0>∀ξ,有连续函数()x g ,使得()()Ef xg x dm ξ-<⎰.⒖设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.⒗若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()dm x g dm x f EE⎰⎰=.⒘设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数[]7. ⒙设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 的 导函数在E 上几乎处处等于()x f .⒚设()x f n ,()x g n 是可测集E 上的两列非负简单函数,且对所有的E x ∈,()x f n ,()x g n 都单增收敛于相同的极限,则()()dm x g dm x f En En n n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .2.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类2.4.1黎曼可积函数类⒈若()x f 在[]b a ,上有定义,且()x f 是连续函数,则()x f 在[]b a ,上黎曼可积. ⒉若()x f 在[]b a ,上有定义,且()x f 是只有有限个间断点的有界函数,则()x f 在[]b a ,上黎曼可积.⒊若()x f 是在[]b a ,上有定义,且只有有限个第一类间断点的函数,则()x f 在[]b a ,上黎曼可积.⒋若()x f 是[]b a ,上的单调函数,则()x f 在[]b a ,上黎曼可积.注 单调函数即使有无限间断点,它也是黎曼可积的.（单调函数只能存在有限个间断点,使得函数在其上的振幅超过预先给定的值）.⒌有界函数()x f 在[]b a ,上的不连续点集组成的是收敛数列,则()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2.4.2勒贝格可积函数类⒈()x f 是E 上的非负可测函数,若存在E 上的非负可积函数()x F 使得()()x F x f ≤,E x ∈,则()x f 在E 上勒贝格可积.⒉设()x f 是在E 上非负可测且有界的函数,∞<mE ,则()x f 在E 上勒贝格可积. ⒊若()x f 可表示为一个简单函数的极限,则()x f 在有界可测集E 上是勒贝格可积的.⒋黎曼可积的有界函数是勒贝格可积得.2.5 黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较为了更深刻的刻画黎曼积分与勒贝格积分在相关定理方面的差异,有必要给出一致收敛的概念,然后比较这两大积分在相关定理方面的差异.定义 2.5.1[]3设函数列()x f n 与函数()x f 定义在同一数集D 上,若对任意给定的正数ξ,总存在某一正数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈有()()ξ<-x f x f n .则称函数列()x f n 在D 上一致收敛于()x f . 2.5.1与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim .⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .2.5.2与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()dm x f dm x f En n E⎰⎰∞→=lim .⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()dm x f dm x f En n E⎰⎰∞→=lim .⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()dm x f dm x f En n E⎰⎰∞→=lim .⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.通过以上定理的比较我们可以发现,极限运算与勒贝格积分运算交换次序时,只需满足存在一个控制函数()x g 或序列()x f n 单调即可,这些条件比黎曼积分中要求一致收敛要弱得多,这就使得极限与积分运算,微分与积分运算,积分与积分运算很容易交换次序,从而减少计算量.勒贝格积分的最大成功之处就是在于解决了积分与极限交换次序的条件苛刻的问题,使得极限与积分运算,微分与积分运算,积分与积分运算在勒贝格积分范围比在黎曼积分范围内更为圆满的解决.3黎曼积分与勒贝格积分的主要联系⒈设()x f 是[]b a ,上黎曼可积,则必勒贝格可积,且两者积分值相等.注 上述结论只对[]b a ,上的有界函数成立,对于无界函数的瑕积分及无穷区间上的反常积分,结论不再成立.例3.1 在[]1,0上定义函数()()() 2,1111,10,01=≤<+⎩⎨⎧-==+n nx n n x x f n 其反常积分的值为()2ln 11-=⎰dx x f ,但()∞=⎰dx x f 1,()x f 不是勒贝格可积的.但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若()x f 在[]b a ,上黎曼反常积分存在,则()x f 必勒贝格可积,且积分值相等.⒉勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.例3.2 [][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧中的无理点是，中的有理点是1,001,0,1x x()010=⎰dm x D ,而黎曼上和等于1,黎曼下和等于0,从而不是黎曼可积的.⒊勒贝格积分是一定意义下的黎曼积分的推广.(测度是长度的推广,可测函数是连续函数的推广.)注 勒贝格积分并不是单纯的对黎曼积分的推广.如在反常积分理论中2sin 0π=⎰∞dx x x ,而在勒贝格积分理论中∞=⎰∞dx xx 0sin ,故x xsin 在[)+∞,0上不是勒贝格可积的. 4总结4.1 总结现将黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系总结如下⒈设()x f 是[]b a ,上黎曼可积,则必勒贝格可积,且两者积分值相等. ⒉闭区间上的黎曼可积函数一定是可测函数,也一定勒贝格可积.⒊微积分基本定理的使用范围扩大了,勒贝格提出当()x f '有界时,证明微积分基本定理并不难,但在()x f '是无界时,只要()x f '是可积的,微积分基本定理成立.⒋勒贝格积分理论作为分析学中的有效工具,尤其在处理三角级数等问题中,得到了广发的应用.⒌前面提到勒贝格积分是的黎曼积分的推广,但并不是黎曼反常积分的推广,但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若()x f 在[]b a ,上黎曼反常积分存在,则()x f 必勒贝格可积,且积分值相等.⒍就积分的几何意义来看,勒贝格积分将黎曼积分中的曲边梯形面积推广到高一微的测度.⒎就可积函数范围来看,勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类要广泛的多. ⒏就某些极限过程来看,勒贝格积分比黎曼积分优越,例对黎曼积分,关于积分序列求极限的问题,要求函数序列一致收敛,而在勒贝格积分中只要满足极限函数有界. 总之,黎曼积分与勒贝格积分都在其相应的时期发挥自己独特的作用,在一定意义下,勒贝格积分可以看作是对黎曼积分的推广,它扩大了可积函数类,解决了许多古典数学中不能解决的问题,但勒贝格积分并没有完全否定黎曼积分,而是在黎曼积分的基础上加以“改造”而成.4.2展望勒贝格积分是在二十世纪提出的,它建立在勒贝格提出的可列可加测度论的基础上,被称作是变函数论,在此基础上,各种新的分支相继产生,复变函数论向纵深发展形成复分析,三角级数理论发展成为傅立叶积分…由于处理高维空间中曲线曲面及多变量函数的整体性质的需要,使得拓扑学知识和代数工具的大量使用,形成流行上的分析,使微分几何学和偏微分方程等学科相结合,形成当代数学的主流方向.分析学跃上新高度的标志是泛函分析的产生,巴纳赫空间,希尔伯特空间…已被完全掌握,但是无限维上的微积分学还没有诞生,积分理论仍有待进一步发展.从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程,生动说明了数学的发展是永无止境的,虽然勒贝格积分比黎曼积分优越很多,但是随着函数论等各门学科的发展,勒贝格积分也慢慢的暴露出了一定的局限,勒贝格积分也有待进一步发展.参考文献[1] 周民强编著.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2001:158～173[2] 郑维行,王声望编著.实变函数与泛函分析概要(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004:120～132[3] 华东师范大学数学系编著.数学分析(第三版)[M] .北京:高等教育出版社,1999:201～216[4] 薛玉梅.关于黎曼可积分理论教学探讨[J].北京:北京航空航天大学学报,2011:4[5] 周成林.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J].河南:新乡教育学报.2005:(18)75～76[6] 陈纪修,於嵩华,金路编著.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003:25～39[7] HH那汤松编著.实变函数论(第五版)[M].北京:高等教育出版社.1959:251致谢本文的是在老师的耐心指导下完成的,在此期间,老师的高度责任心和敬业精神深深地影响了我,从她身上我不仅学到了宝贵的知识和经验,而且学到了做科研该有的一种执着精神,使我在学习和生活上受益匪浅.同时在本课题的研究过程中也要特别感谢李同学的热心帮助,在本文即将脱稿之际,我向你们表示衷心的感谢.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
