2016_2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算2.2复数的乘法与除法课后演练提升

§4.2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.4.设z=a+bi,则z =____________,z z =____________.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi 的复数x+yi 叫作____________,记作_____________或____________.高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z 1、z 2、z 3∈C 有z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z 、z 1、z 2和正整数m 、n 有z m ·z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n ·z 2n .4.若z=z,则z 为实数;若z+z=0(z≠0),则z 为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ii -+11=i, ii +-11=-i.若设ω=21-+23i,则1+ω+ω2=0,2ω=ω,ω2=ω,3ω=1. 名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1.已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2-z 1对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、y∈R ,且i x +1+ii y 31521+=+,求x 、y 的值. 分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:i x +1+ii y 31521+=+可写成 2)1(i x -+5)21(i y -=10)31(5i -, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴⎩⎨⎧=+=+.1545,525y x y x ∴⎩⎨⎧=-=.5,1y x绿色通道本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练2.求i i 3434+-+ii 3434-+的值. 解:原式=25)34()34(22i i ++-=2514. 【例3】计算i 2 006+(2+i 2)8-(i-12)50. 分析:利用i 的幂的周期性,(1±i)2=±2i 便可简便地求出结果.解:原式=i 501×4+2+(4i)4-(i22-)25 =-1+256-i=255-i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练3.计算63)1()31(i i ++-. 解:原式=323])1[()]2321(2[i i ++-=388i =i.【例4】设|z|=1且z≠±i,证明21z z +是实数. 分析:(1)z 为复数可设出z=x+yi(x 、y∈R ),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z z =1,即z 1=z ,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x 、y∈R ). 则xyi y x yi x yi x yi x z z 21)(112222+-++=+++=+=22222224)1()21)((y x y x xyiy x yi x +-+--++ =222222222224)1()1(22)1(y x y x iy x y yi x xy y x x +-+-++-+-+ =2222232234)1()()(y x y x iy y x y xy x x +-+--+++.∵|z|=1,∴x 2+y 2=1.∴y -x 2y-y 3=y(1-x 2-y 2)=0. ∴222224)1(21y x y x x z z +-+=+∈R . 证法二:∵|z|=1,∴z z =1.∴z 1=z . ∴21z z+=zz z z +=+111.设z=a+bi,则z+z =2a∈R . ∴21z z+为实数.变式训练4.已知x 、y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=a-bi,∴x+y=2a,xy=a 2+b 2.∵(x+y)2-3xyi=4-6i,∴4a 2-3(a 2+b 2)i=4-6i.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.6)(3,44222b a a∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,122b a∴⎩⎨⎧==1,1b a 或⎩⎨⎧-==1,1b a 或⎩⎨⎧=-=1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a∴⎩⎨⎧-=+=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+=-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧--=+-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+-=+-=.1,1i y i x |x|=2,|y|=2,∴|x|+|y|=22.。

课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。

类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。

用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。

（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。

复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。

二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。

所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。

必考内容（必修+选修系列1，2）《数学1》(必修)全书共分四章：第一章集合；第二章函数；第三章指数函数和对数函数；第四章函数的应用全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题《数学2》(必修)本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，包括两部分内容：第一部分是立体几何初步，第二部分是解析几何初步。

全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题《数学3》（必修）本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的。

共分三章：第一章统计，第二章算法初步，第三章概率。

全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率π的值《数学4》（必修）全书共三章：第一章三角函数；第二章平面向量；第三章三角恒等变形。