运筹学-第一章-单纯形法基本原理

单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。

在解决实际问题中，我们经常会遇到一些资源有限，而需要在这些资源限制下最大化或最小化某个指标的情况，这时就需要用到线性规划问题。

而单纯形法正是针对这类问题提出的一种高效的求解方法。

单纯形法的基本原理可以用几个关键步骤来概括。

首先，我们需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数为最大化，约束条件为等式的形式。

接着，我们需要找到一个初始可行解，这个可行解需要满足所有的约束条件。

然后，我们通过一系列的基本变量的替换，不断地移动解空间中的顶点，直到找到最优解为止。

在单纯形法中，我们需要利用单纯形表来进行计算。

单纯形表是一个表格，其中包含了目标函数、约束条件、基本变量等信息。

通过对单纯形表的不断变换和计算，我们可以逐步逼近最优解。

在每一步的计算中，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量，通过一系列的行变换和列变换来更新单纯形表，直到找到最优解为止。

单纯形法的基本原理虽然看起来比较复杂，但实际上它是建立在一些简单的数学原理之上的。

通过对解空间中的顶点进行移动，我们可以逐步逼近最优解，这是单纯形法能够高效求解线性规划问题的关键所在。

在实际应用中，单纯形法已经被证明是一种非常有效的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下做出最优的决策。

总的来说，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的高效方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。

通过对单纯形表的计算和变换，我们可以逐步找到最优解。

在实际应用中，单纯形法已经被广泛地应用于各个领域，它为我们解决资源有限的最优化问题提供了一个强大的工具。

希望本文对单纯形法的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。

运筹学---单纯形法单纯形法是一种解线性规划问题的有效算法。

在这个问题中，我们寻找一组决策变量，以便最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性限制条件。

单纯形法通过暴力搜索可行解并逐步优化目标函数来求解该问题。

单纯形法的主要思想是从一个初始可行解开始，并通过迭代来逐步移动到更优的解。

在每一步迭代中，算法将当前解移动到一个相邻的顶点，直到找到一个优于当前解的顶点。

具体操作包括选择一个非基变量，并将其作为入基变量，同时选择一个基变量并将其作为出基变量。

新的基变量将替换原来的非基变量，并且目标函数的值将被更新。

关键是如何选择入基变量和出基变量。

为此，单纯形法使用一个称为单纯形表的矩阵来跟踪线性规划问题的状态。

单纯形表包含目标函数系数，限制条件系数，决策变量的当前值以及对角线上的单位矩阵。

通过适当地操作这个表，可以确定要移动到哪个相邻顶点，并相应地更新解和目标函数的值。

一般来说，单纯形法需要在指数时间内解决线性规划问题，因为需要遍历所有可能的可行解。

但是，在实际应用中，单纯形法往往比其他算法更快和更有效。

此外，在使用单纯形法时，需要注意陷入无限循环或者找不到一个可行解的可能性。

单纯形法的主要优点是：它是一种简单而直观的求解线性规划问题的方法；它易于实现，并且在许多情况下可以很快地求解问题。

它还可以用于解决大规模问题，包括具有成千上万个变量和限制条件的问题。

在实际应用中，单纯形法经常与其他算法结合使用，例如内点法或分支定界法。

这些方法可以提供更好的性能和结果。

但是，在许多情况下，单纯形法仍然是解决线性规划问题的首选算法。

在总体上，单纯形法是一种强大而灵活的工具，可以帮助研究人员和决策者在面对复杂的决策问题时做出明智的选择，并实现最大的效益。

运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。

下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。

2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。

首先，计算当前解对应的目标函数值。

然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。

3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。

首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。

然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。

最后，通过调整基变量的值来生成新的解。

4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。

具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。

5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。

如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。

通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。

单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。

单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。

它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。

单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。

标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。

2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。

3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。

4. 计算单纯形表中的评价函数。

如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。

否则，继续进行下一步。

5. 选择进入变量和离开变量。

进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。

6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。

具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。

7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。

值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。

因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。

第一章线性规划与单纯形法1．线性规划问题的数学模型(1)一般形式(2)标准型式]2．数学模型化为标准型(1)若目标函数实现最小化，则min z=-max z'(令z'=-z)(2)若约束方程为不等式，则若约束方程为“≤”不等式左端+松驰变量(≥0)=右端若约束方程为“≥”不等式左端-剩余变量(≥0)=右端(3)若存在取值无约束的变量x k(1≤k≤咒)，则在标准型中x k=x'k-x"k(其中x k=x'，x"k≥0)3．线性规划的解线性规划问题：(1)可行解：满足约束条件②和③的解X=(x1，x2，…，x n)T。

(2)最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。

(3)基：设A为约束方程组②的m×n阶系数矩阵，设n＞m，其秩为m，B 为矩阵A中的一个m×m阶的满秩子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。

不失一般性，设B中每一个列向量P j(j=1，2，…，m)称为基向量，与基向量PJ对应的变量x j称为基变量。

除基变量以外的变量为非基变量。

(4)基本解：在约束方程组②中，令所有非基变量x m+1=x m+2=…=x n=0，此时方程组②有唯一解X B=(x1，x2，…，x m)T，将此解加上非基变量取0的值有X=(x1，x2，…，x m，0，0…，0)T，称X为线性规划问题的基本解。

(5)基本可行解：满足非负条件③的基本解。

(6)可行基：对应于基本可行解的基。

4．初始基可行解的确定(1)直接从A中观察到存在一个初始可行基。

(2)对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可利用化为标准型的方法，在每个约束条件左端加上一个松弛变量，这m个松弛变量就构成一个基变量，则对应的m个向量组成的单位矩阵B就是线性规划问题的一个可行基。

(3)对所有约束条件是“≥”形式的不等式以及等式约束情况，采用人造基的方法。

即对不等式约束的左端减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量；对于等式约束的左端再加上一个非负的人工变量。

第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。

取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。

目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。

2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。

运筹学单纯形法讲解一、单纯形法基本概念在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。

设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。

单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。

由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。

在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。

二、单纯形法适用条件和范围在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。

但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。

非线性规划只能得到对象最优解。

三、单纯形法具体步骤和算法介绍1、明确问题的目标。

2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。

3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。

四、单纯形法的误差和精度1、明确问题的目标。

一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。

但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。

2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。

首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。

这种方法称为“穷举法”。

穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。

3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。

4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。

5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。

单纯形法的精度可达0．01或0．05。