数学人教版九年级上册增长率(下降率)问题

【学习过程】 一、自主学习： （一）复习巩固 1、解下列方程：(1)25)5(2=+x (2) 4122=++x x2、解应用题的一般步骤： 审、 设、列、解、检验、答（二）自主探究知识点：增长（降低）率中的数量关系(看视频：“增长率问题”)探究（课本P19-20）：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?思考：你是如何理解下降额与下降率的？它们之间的联系与区别是什么？分析: 甲种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，依题意，得解方程，得答:甲种药品成本的年平均下降率约为.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较：两种药品成本的年平均下降率。

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（三）归纳总结： 1、原有量原有量—现有量增长率=2、平均增长率公式：nx a )1(±=现有量其中 a 是增长（或降低）的原有量，x 是平均增长率（或降低率），n 是增长（或降低）的次数。

（四）、自我尝试：练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg ，2003年平均每公顷产8450 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.练习2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？三、课堂检测：1、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为2、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）A ．12（1+a %）2=5B ．12（1-a %）2=5C ．12（1-2a %）=5D ．12（1-a 2%）=53、据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为3某人在银行存了400元钱，一年后连本带息又自动转存一年，两年后到期后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为：，则年利率是 。

九年级数学上册21.3.2实际问题与一元二次方程增长率问题教案新人教版九年级数学上册21.3.2实际问题与一元二次方程-增长率问题教案新人教版21.3.2实际问题与一元二次方程―增长率问题一、教学目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.二、课时安排1课时三、教学重点创建数学模型以化解增长率与减少率为问题四、教学难点正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.五、教学过程（一）导入新课小明自学非常深入细致，学习成绩直线下降，第一次月托福数学成绩就是80分后，第二次月托福快速增长了10%，第三次月托福又快速增长了10%，反问他第三次数学成绩就是多少？教师引导学生积极讨论，引入新课。

（二）讲授新课两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思索：（1）怎样认知上升额和上升率为的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品上升了元，此时成本为元。

（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5000（1-x）=3000解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）（4）同样的方法恳请同学们尝试排序乙种药品的平均值上升率为,并比较哪种药品成本的平均值上升率为很大。

2设立乙种药品成本的平均值上升率仅y．则：6000（1-y）=3600整理，得：（1-y）=0.6Champsaur：y≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（5）思考经过计算，你能得出什么结论？小结：经过排序，成本上升额很大的药品，它的成本上升率为不一定很大，应当比较降前及再降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)＝b（增长取＋，降低取－）．（三）重难点通识科例2某公司2021年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．求解：设立这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x)+200(1+x)=950整理方程，得4x+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.答：这个增长率为50%.特别注意：增长率不容为负，但可以少于1.（四）归纳小结小结：1.列一元二次方程求解应用题的步骤：检、设立、打听、列于、求解、请问。

21.3实际问题与一元二次方程教学目标(1)会根据增长率与降低率问题中的等量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤.(2)感悟“模型思想”和“转化”的数学思想,并能应用模型思想和转化思想,把实际问题抽象为一元二次方程.(3)培养观察、分析、探究、归纳及概括能力.教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程(一)创设情境教师提问,上节课我们已经利用一元二次方程解决了“传播”问题,他的步骤有哪些?他与列元一次方程解决实际问题有哪些相同于不同之处？学生回忆、选一位同学作答,教师根据学生回答的情况加以补充,并将列方程解应用题的步骤“审、设、列、解、答”写在黑板上,强调“解”中的检验要符合实际,“审”是关键,让学生感受与“一元一次方程,一元二次方程解应用题的不同之处.【设计意图】问题串给学生创设一个回忆思考的情境,是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫.(二)引导探究探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？学生读题并思考问题:1.根据题目中的数量感知一下哪种药品的平均下降率较大？为什么？2.平均下降额与平均下降率有什么区别？分别怎样求解？3.本题中有哪些等量关系?4.如何利用已知的等量关系选取适当的未知数并列易于解答的出方程?5.方程的两个解如何检验？学生分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．教师给出下降率的定义，引导学生类比销售问题中的利润率得出下降率的公式，进而明确下降率与原成本新成本的关系。

21.3实际问题与一元二次方程——增长（降低）率问题一、教材分析：本节是第二十一章一元二次方程的第三部分实际问题与一元二次方程的第二课时。

学生在七八年级已经学习了方程的有关知识。

本章的前两部分学习了一元二次方程的概念和解法，这一部分学习一元二次方程的应用。

让学生经历从实际问题中抽象出数学模型，建立一元二次方程解决实际问题的过程，将数学知识和实际生活进行有机结合，体现数学的现实意义。

一元二次方程与二次函数也有着重要的联系。

本节课的学习也是后面继续学习列方程解决实际问题，用二次函数解决实际问题的基础。

二、学情分析：学生已经学过了用一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程的有关知识解决实际问题。

在此基础上学习列一元二次方程解决实际题，从简单到复杂符合学生的认知规律。

对学生来说列方程解决实际问题的步骤很熟悉，分析题意、设未知数、列方程、解方程，检验解、答。

与以前的实际问题相比，本节课的问题在分析数量关系方面更复杂，对于学生来说很困难。

还是不能直接“设元”的问题，学生会感到无从下手。

基于所教学生的基础很差，所以我这节课只涉及一种类型的实际问题，就是降低率增长率问题。

给学生充足的时间审题，思考，交流。

设计的思考问题有简单到复杂层层递进。

三、教法学法：因为学生已经学习了有关方程的知识和用一元二次方程解决传播问题，积累了一些经验，所以在讲课时采用对比法，启发引导，小组合作，讲练结合。

学生小组讨论，合作交流，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

四、教学目标：知识与技能1、掌握增长（降低）率问题的基本数量关系。

能根据这些数量关系列方程解决问题。

2、通过实际问题的解答，让学生认识到要检验方程的解是不是符合实际意义。

过程与方法经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用。

培养学生的“数学建模思想”和对数学的“应用意识”。

情感态度与价值观通过用一元二次方程解决实际问题，让学生感知数学来源于生活，又服务于生活，体会数学的应用价值，提高学生学数学的兴趣。

人教版九年级上册第2课时用一元二次方程解决增降率问题与销售问题(153)1.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？2.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时的单价为40元/件，设第二个月单价降低x元．(1)填表(不需化简):(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元/件？3.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？4.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利=销售利润+返利)5.随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2014年销售烟花爆竹20万箱，到2016年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率．6.某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，则每件应降价元．7.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低元．8.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，当该品牌粽子每个售价4元时，每天能售出500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者的利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天销售该品牌粽子的利润为800元．9.2016年1月13日长城河报道，河北香河县申报“全国绿化模范县”通过审核，截止到2015年，香河县林地面积达到24.39万亩，森林覆盖率达到35.5%．若某县从2013年到2015年经过两年的时间，使森林覆盖率增长21%，则该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为（）A.9%B.10%C.11%D.12%10.某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个．经市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，每星期则多卖出100个．已知进价为每个20元，当鼠标垫的售价为元/个时，该星期利润为9600元．11.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若要使一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为．12.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A.560(1+x)2=315B.560(1−x)2=315C.560(1−2x)2=315D.560(1+x2)=31513.某药品经过两次提价，每瓶零售价由100元提到144元．已知两次提价的百分率相同，求两次提价的百分率．参考答案1(1)【答案】设该种商品每次降价的百分率为x．依题意，得400×(1−x)2=324，解得x=0.1或x=1.9(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%【解析】:降价后的价格=降价前的价格×(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是400×(1−x)，第二次降价后的价格是400×(1−x)2，据此列方程求解(2)【答案】设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100−m)件，第一次降价后的单件利润为400×(1−10%)−300=60(元/件)；第二次降价后的单件利润为324−300=24(元/件)．依题意，得60m+24×(100−m)=36m+2400⩾3210，解得m⩾22.5.∴m⩾23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件【解析】:总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量，列出关于m的一元一次不等式，解不等式求解得出结果2(1)【答案】【解析】:根据题意直接用含x的代数式表示(2)【答案】依据题意，得80×200+(80−x)(200+10x)+40−50×800=9000.整理，得x2−20x+100=0.解得x1=x2=10.当x=10时，80−x=70>50.答：第二个月的单价应是70元/件【解析】:根据“销售额−进价=利润”，利用条件“获利9000元”，列方程解方程，并代入检验是否符合题意，进行值的取舍3(1)【答案】设平均每次下调的百分率是x．根据题意列方程，得5000(1−x)2=4050，解得x1=0.1，x2=1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次下调的百分率为10%【解析】:设平均每次下调的百分率是x，根据等量关系“起初每平方米的均价×(1−下调百分率)2=两次下调后的均价”，列出一元二次方程求解(2)【答案】方案①的房款是4050×100×0.98=396900(元)；方案②的房款是4050×100−1.5×100×12×2=401400(元)．∵396900元<401400元，∴方案①更优惠【解析】:通过比较两种方案的费用：方案①：下调后的均价×100×0.98；方案②：下调后的均价×100−两年物业管理费，比较确定出更优惠的方案4(1)【答案】26.8【解析】:因为该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27−0.1×(3−1)=26.8 (2)【答案】解：设需要售出x部汽车．由题意可知，每部汽车的销售利润为28−[27−0.1(x−1)]=(0.1x+0.9)万元．当0<x⩽10时，根据题意，得x(0.1x+0.9)+0.5x=12，整理，得x2+14x−120=0.解得x1=−20(不合题意，舍去)，x2=6；当x>10时，根据题意，得x(0.1x+0.9)+x=12，整理，得x2+19x−120=0.解得x1=−24(不合题意，舍去)，x2=5(不合题意，舍去)．答：需要售出6部汽车【解析】:设需要售出x部汽车.由题意知，每部汽车的销售利润，根据当0<x⩽10时，以及当x>10时，分别进行讨论得出结果5.【答案】:设该市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x．依题意，得20(1−x)2=9.8，解这个方程，得x1=0.3，x2=1.7.由于x=1.7不符合题意，故x=0.3=30%．答：该市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%【解析】:下降后的爆竹销售量=下降前的爆竹销售量×(1−平均下降率)，则第一次下降后的爆竹销售量是20(1−x)，第二次下降后的爆竹销售量是20(1−x)2，据此列方程求解6.【答案】:2【解析】:设每件应降价x元．根据题意，得(32−x)(20+5x)=900.解得x=2或x=26.∵要求降价幅度不超过10元，∴x=26不符合题意，应舍去．故每件服装应降价2元7.【答案】:0.3或0.2【解析】:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．)−24=200.根据题意，得[(3−2)−x](200+40x0.1原式可化为50x2−25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3.故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元或0.2元8.【答案】:设当每个粽子的定价为x元时，超市每天销售该品牌粽子的利润为800元．)=800，根据题意，得(x−3)(500−10×x−40.1解得x1=7，x2=5.∵售价不能超过进价的200%，∴x⩽3×200%，即x⩽6，∴x=5.答：当每个粽子的定价为5元时，超市每天销售该品牌粽子的利润为800元【解析】:设每个粽子的定价为x元，根据利润=(定价−进价)×销售量，列出方程求解9.【答案】:B【解析】:设原来香河县林地面积是1，该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为x，依题意，得(1+x)2=1+21%，解得x1=0.1,x2=−2.1(不合题意，舍去)答：该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为10%10.【答案】:32或28【解析】:设该款鼠标垫每个涨价x元，根据题意，得涨价时，9600=(30−20+x)(1000−100x)，整理，得x2=4，解得x1=2，x2=−2(不合题意，舍去)，故该款鼠标垫每个售价为32元；降价时，9600=(30−20−x)(1000+100x)，整理，得x2=4，解得x1=−2，x2=2(不合题意，舍去)，故该款鼠标垫每个售价为28元．综上所述，当鼠标垫的售价为32元/个或28元/个时，该星期利润为9600元11.【答案】:6【解析】:设该产品的质量档次为x，则每件利润为6+2(x−1)，一天的产量为95−5(x−1)．由题意，得[6+2(x−1)][95−5(x−1)]=1120，整理，得(x+2)(20−x)=112，解得x1=6，x2=12(不合题意，舍去)．故该产品的质量档次为612.【答案】:B【解析】:设每次降价的百分率为x，由题意得560(1−x)2=315.故选B13.【答案】:设两次提价的百分率均为x．根据题意，得100(1+x)2=144，解得x1=0.2，x2=−2.2.经检验，x=−2.2不符合题意，舍去，∴x=0.2=20%．答：两次提价的百分率均为20%【解析】:提价后的价格=提价前的价格×(1+提价的百分率)，则第一次提价后的价格是100(1+x)，第二次提价后的价格是100(1+x)2，据此列方程求解。

【学习过程】 一、自主学习： （一）复习巩固 1、解下列方程：(1)25)5(2=+x (2) 4122=++x x2、解应用题的一般步骤： 审、 设、列、解、检验、答（二）自主探究知识点：增长（降低）率中的数量关系(看视频：“增长率问题”)探究（课本P19-20）：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?思考：你是如何理解下降额与下降率的？它们之间的联系与区别是什么？分析: 甲种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，依题意，得解方程，得答:甲种药品成本的年平均下降率约为.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较：两种药品成本的年平均下降率。

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（三）归纳总结： 1、原有量原有量—现有量增长率=2、平均增长率公式：nx a )1(±=现有量其中 a 是增长（或降低）的原有量，x 是平均增长率（或降低率），n 是增长（或降低）的次数。

（四）、自我尝试：练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg ，2003年平均每公顷产8450 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.练习2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？三、课堂检测：1、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为2、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）A ．12（1+a %）2=5B ．12（1-a %）2=5C ．12（1-2a %）=5D ．12（1-a 2%）=53、据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为3某人在银行存了400元钱，一年后连本带息又自动转存一年，两年后到期后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为：，则年利率是 。