第六章_单形与聚形——【结晶学】
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6第六讲 单形与聚形
2’
对每一种点群
（对称型），
6’
6’’
7’’ 4' 7’
初始晶面与对 称要素的相对
3’
5’
1
5
3
位置最多只可 能有7种。
7 ’ ’’ 6’’’
4
7 6
最小重复单位
2
第六章 单形与聚形
146种结晶单形—— 形态＋对称性 （包括不同对称型中相同的单形名，同一对称型中相同单形 只考虑一种）；
几何单形47种 ——形态（只考虑形态不考虑对称型）。
注 意
单形的晶面在聚形里可以变得面目全非，例如： 立方体晶面不一定是正方形，八面体的晶面不一 定是三角形，等等。
聚形分析示意图
锆石晶体中的两种聚形
a—{100}四方柱
m—{110}四方柱
p—{101}四方双锥
u—{301}四方双锥
第六章 单形与聚形
3. 聚形分析步骤：
（1）确定对称型，归属晶族晶系；
3）进行晶体定向，选择3个L2分别作为X、Y、Z轴。 则可定出上述七种单形的形号：a、平行双面 {100}；b、平行双面{010}；c、平行双面 {001}；d、斜方柱{h0l}；e、斜方双锥{hkl}； m、斜方柱{hk0}；k、斜方柱{0kl}。 4)根据各单形晶面的数目、晶面间的相互关系以及 想象地使晶面扩展相交后单形的形状，使上述单 形的名称进一步确认。
第六章 单形与聚形
（3）左形与右形：形态相同，空间取向呈镜像关系。 这些单形特点是只有对称轴，没有对称面，中心和反伸轴。
例：
（a）中级晶族偏方面体分左、右形。 （b）五角三四面体：和五角三八面体分左、右形。
面体类 单形的 左右形
五角三四面体 和五角三八面体 的左、右形。
晶体材料基础---第六、七讲 晶体结构及对称性(5) 单形和聚形
与六方双锥的区别是 横截面不是正六边形 形
复三方双锥:12
中级晶族各晶系的单形
①柱类：三方柱、复三方柱、四方 柱、复四方柱、六方柱、复六方柱
注意：晶面和交棱都平行于高次轴。
中级晶族各晶系的单形
②单锥类：三方单锥、复三方单锥、 四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复 六方单锥
注意：出现在没有对称中心和其它水平对称要素 的对称型中。所有晶面交高次轴于一点。
实例⑴
正交晶系以L22P（mm2）为例：
将L2为Z轴，对称面的法线分别为X、Y轴，进行极射 赤平投影。
在1/4的扇形区域内，原始晶面与对称要素之间的相 对位置关系有7种： 3个角顶（1、2、3号晶面） 3条边上（4、5、6号晶面） 中部（7号晶面）
六 单形的推导
Z Y Y X X
位置1：单面{001} 位置2：平行双面{100} 位置3：平行双面{010} 位置4：双面{h0l} 位置5：双面{0kl} 位置 6：斜方柱{hk0} 位置 7：斜方单锥{hkl}
称型逐一进行推导，能导出146种不同的单
形，称为结晶单形。
实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形．可根据晶 面花纹、蚀像、物性等特点判断。 如黄铁矿立方体晶面 上常发育有相互垂直的不是3L44L36L29PC
四 47种几何单形的形态特点
五角十二面体的三个变形
有关单形的几个概念：
⒋左形（left-hand form）和右 形（right-hand form） ：形状完全 相同而在空间的取向正好彼此相反 的两个形体，若相互间不能借助于 旋转、但可借助于反映而使两者的 取向达到一致，此二同形反向体即 构成左形和右形。
三方偏方面体 的左形和右形
六四面体：
复三方双锥:12
中级晶族各晶系的单形
①柱类：三方柱、复三方柱、四方 柱、复四方柱、六方柱、复六方柱
注意：晶面和交棱都平行于高次轴。
中级晶族各晶系的单形
②单锥类：三方单锥、复三方单锥、 四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复 六方单锥
注意：出现在没有对称中心和其它水平对称要素 的对称型中。所有晶面交高次轴于一点。
实例⑴
正交晶系以L22P（mm2）为例：
将L2为Z轴，对称面的法线分别为X、Y轴，进行极射 赤平投影。
在1/4的扇形区域内，原始晶面与对称要素之间的相 对位置关系有7种： 3个角顶（1、2、3号晶面） 3条边上（4、5、6号晶面） 中部（7号晶面）
六 单形的推导
Z Y Y X X
位置1：单面{001} 位置2：平行双面{100} 位置3：平行双面{010} 位置4：双面{h0l} 位置5：双面{0kl} 位置 6：斜方柱{hk0} 位置 7：斜方单锥{hkl}
称型逐一进行推导，能导出146种不同的单
形，称为结晶单形。
实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形．可根据晶 面花纹、蚀像、物性等特点判断。 如黄铁矿立方体晶面 上常发育有相互垂直的不是3L44L36L29PC
四 47种几何单形的形态特点
五角十二面体的三个变形
有关单形的几个概念：
⒋左形（left-hand form）和右 形（right-hand form） ：形状完全 相同而在空间的取向正好彼此相反 的两个形体，若相互间不能借助于 旋转、但可借助于反映而使两者的 取向达到一致，此二同形反向体即 构成左形和右形。
三方偏方面体 的左形和右形
六四面体：
6单形与聚形
对称型国际符号
23 、 m3 、 43、 m3m 43m 、
四 方
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1
4 、 422 、 4/m 、 4mm 、 4/mmm
三 方 六 方 斜 方
3、 3m
32、
3m、
6、 62、 6/m、 6mm、 6/mmm、 62m 222、 mm2、 mmm
单 斜
2、
6. 从不同角度划分单形
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 一般形与特殊形 开形与闭形 左形与右形 正形与负形 定行与变形
二、聚形
1. 概念：
两个以上单形的聚合 如： 四方柱和四方双锥的聚形
2 单形聚合的原则
不是任意的！ 能够在同一对称型中出现的结晶单形才能 相聚 所有单形的对称型与该聚形的对称型一致
4. 四十七种几何单形
从结晶学意义上可推导出146种不同单形－－几何单形47种
146种结晶单形
晶面数目 各晶面间的几何关系 单形单独存在时的形态
47种几何单形 晶面形状、数目、相互关系、晶面与对称要素的 相对位置横切面的形状 单ห้องสมุดไป่ตู้符号是识别单形最重要的依据
4. 四十七种几何单形
P58－59图
m、
2/m
P55 表
各晶系国际符号序位与定向关系
第一序位
第二序位
L3 晶轴
第三序位
二晶轴角分线 四方 — 二晶轴角 分线 三、六方 — 垂直 Y轴
等轴晶系 中级晶族
晶轴
Z轴
斜方晶系 单斜晶系
X轴 Y轴
Y轴
Z轴
对称型的国际符号
例： L2PC — 2/m
3L23PC — mmm L4—4 3L44L36L29PC—m3m 符号含义： 1、2、3、4、6或1、3、4、6 — Ln或Lin m — P（的法线）
单形和聚形
E、菱面体类有两种。菱面体，由六个两两平行的 菱形晶面组成，上下错开60度。复三方偏三角面 体，将菱面体晶面沿高次轴方向平分成两个三角 形。
F、偏方面体，晶面为偏四方形，与双锥类 似，上下与高次轴各交于上一点，但错开 一定角度，此类有：三方偏方面体，四方 偏方面体，六方偏方面体。且分左右形。
3）高级晶族单形，共有15个。
聚形分析：
同一单形的晶面形状, 大小, 性质完全相同;
一个聚形最多只可能由7种单形相聚;
聚形分析程序：
找出所有对称要素, 确定对称型、晶系和晶族;
确定单形的数目, 以及每种单形的晶面数, 与对称要素间关系等; 确定单形。
四方柱和四方双锥 的聚形示意图
立方体和菱形十 二面体及其聚形
_ 111
111 _ 111
四面体类：
四面体
4个全等的等边三角形
四面体的每个三角形 晶面分成3个三角形
三角三四面体
四面体的每个三角形 晶面分成3个四边形
四角三四面体
五角三四面体
四面体的每个三角形 晶面分成3个五边形
六四面体
四面体的每个三角形 晶面分成6个三角形
四面体
四角三四面体
将四面体各等边三角形中心与边中点的连线垂直三 角形面提起得四角三四面体
晶面与对称要素间的三种关系：
● ●
● ●
垂直：
平行：
斜交： 四方锥
单面
四方柱
对于32种对称型，总共可推导出146种结晶学上不同 的单形。
几何上不同的47种单形
• 如果仅从几何性质考虑，而不考虑单形的 真实对称性时，146种结晶学上不同的单形 便可归并为几何性质不同的47种几何学单 形。
3.单形命名的依据：
第六章 单形与聚形
石盐
磁铁矿 莹石
前面课程我们知道，属于 同一对称型的晶体可以具有 完全不同的外形
晶面符号——各个晶面在晶体坐 标系统中的空间方位。但是，不能 表述晶面间相互关系，也就是说， 我们还没有解决由晶面所围成的各 种不同几何形态（即晶体的外形或 形态）的称谓————本章加以解 决。
立方体、八面体 六八面体
第六章 单形和聚形
本章概要
1.单形的概念；146种结晶单形与47几何单形的关系 — 重点 2.单形的其它分类； 3.聚形的概念、单形聚合原则、聚形分析步骤。
问题的引出
矿物形态是我们非常关注的内容之一。 晶体的形态往往是一些矿物的重要特征，是晶 体鉴定和开发应用的科学依据和物质基础。
晶体外形 ● 内因（晶体的化学成分和内部结构决定）
三、 47种几何单形
• 一般说来，对于一个单形的描述，要注意晶面的数目、形 状、相互关系、晶面与对称要素的相对位置及单形的横切
面等。
• 单形的晶面数目、形状（包括晶面、横切面的形状）常是 命名的主要依据。
• 47种几何单形分类:
中、低级晶族 ：
等轴晶系：
1、面类
1、四面体组
2、柱类
2、八面体组
3、单锥类
二、实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形，可根据晶面花纹、 蚀象、物理性质等特点判断。
如黄铁矿立方体晶面上常发育相 互垂直的晶面条纹，说明其对称 型：
是 m3（3L24L33PC) ， 不是m3 m 。
蚀象：把晶体置于不饱和溶液中晶体就开始溶 解。由于角顶和棱与溶剂接触的机会多， 所以 这些地方溶解得快些， 因而晶体可溶成近似球 状。晶面溶解时，首先在一些薄弱的地方溶 解出小凹坑，称为蚀象（etch figure） 。
6几何结晶学基础6-单形
Y X
3、单形推导
每一个对称型中 均有七种不同位 置的起始晶面
(100) X
Z (001) (h0l) (hkl) (0kl) (hk0) Y (010)
L22P 单形的推导
L2 Z P1 P2
Y X
第四种情况：原始晶面 与L2、P1斜交，与P2 垂直
3、单形推导
每一个对称型中 均有七种不同位 置的起始晶面
001
001
011 _ 111 101 111
100
_ 110 Βιβλιοθήκη 00 110 010010
__ 111 _ 101
_ 111
_ 011
101 _
011
_ 111
110
110 _ 101 _ 011
• 等轴晶系 • 前－－X轴正端 • 右－－ Y轴正端 • 上－－ Z轴正端
111 _ 111
__ 111
82
《》
c
5
四、作业
（一）、区分下列相似单形及左形和右形 1、三方双锥、菱面体、三方偏方面体 2、斜方双锥、四方双锥、八面体 3、斜方四面体、四方四面体、四面体 4、斜方住、四方柱、立方体 5、复三方住、六方柱 6、菱形十二面体、五角十二面体。 7、三方偏方面休，四方偏方面体、六方偏方面体的左形 和右形。 （二）聚形分析（记录格式见前） （三）试判断下列单形中哪两个可以构成聚形？哪两个不能 构成聚形？为什么？ 四面体与八面体，立方体与四方双锥，立方体与菱形十二面 体，八面体与四方柱，四方柱与斜方柱，菱面体与六方柱， 立方体与五角十二面体等等。
• 举例：四方晶系
• 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)， (-1-11) • 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1) ，(11-1) • 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)， (-1-11)
单形聚形(晶体理想形状)
Z
Y X
Y
X
8
晶体学
在上述7个单形中，第2、3号单形完全一样， 第4、5号单形也完全一样（形状一样、对称性 也一样），这样就可将之视为一个单形。 因此，mm2对称型一共有5个单形。
9
晶体学
单形的理论推导
• 1) 对低级晶族的点群, 考虑如下位置: {hkl}, {0kl}, {h0l}, {hk0}, {100}, {010}, {001}
4
晶体学
单形符号
• 单形符号（形号）：以简单的数字符号的形式来表征一个 单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种结晶学符号。
• 单形符号的构成：在同一单形的各个晶面中，按一定的 原则选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于 大括号内，例如写成{h k l}用以代表整个单形。
– 代表晶面应选择单形中正指数为最多的晶面，也即选择第一象限 内的晶面，在此前提下，要求尽可能使│h│≥│k│≥│l│
{hkl}, {hhl}, {hkk}, {hk0}, {111}, {110}, {100} • 对原始晶面进行对称操作, 画出所有晶面的投影, 然后判断
是何种单形.
10
晶体学
单形的理论推导
mmm
c
(hkl)
低级晶族单形mmm 1. {hkl}
• 蓝色图形为对称要素投影 • 红色圆圈为原始晶面 • 绿色图形是经过对称操作后
四方晶系单形4/mmm:
1. {hkl}
• 蓝色图形为对称要素投影 • 红色圆圈为{hkl}原始晶面 • 绿色者为对称操作后的晶面 • 此单形有16个晶面, 判断此单
形为复四方双锥
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
单形&聚形(晶体的理想形状)
5
晶体学
单形符号
四方晶系 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)，(-1-11) 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1) 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)，(-1-11)
{111}
四方柱{110} 四方柱
6
晶体学
001
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
2. {hhl} 蓝色图形为对称要素投影 红色圆圈为原始晶面 橘黄色图形为对称操作后的 晶面投影 此单形为共24个晶面, 为三 三 角三八面体
ห้องสมุดไป่ตู้20
晶体学
单形的理论推导
3. {hkk}
21
晶体学
单形的理论推导
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
c
(hkl)
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
四方晶系单形4/mmm: 四方晶系单形4/mmm: 2. {hhl}
蓝色图形为对称要素投影
c
(hhl)
红色圆圈为{hhl}原始晶面 绿色者为对称操作后的晶面 此单形有8个晶面, 判断此单形 为四方双锥 四方双锥 {h0l}和{0kl}也为四方双锥 h0l}和 0kl}也为四方双锥
31
晶体学
2. 中级晶族
2）单锥类: 若干等腰三角形晶面相交高次轴于一点，底面垂直 单锥类:
三方单锥、 高次轴，形状与柱同，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方 三方单锥 复三方锥， 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。
3）双锥类: 两相同的单锥底面对接而成。有六种单形：三方双 双锥类: 三方双
晶体学
晶体学
单形符号
四方晶系 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)，(-1-11) 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1) 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)，(-1-11)
{111}
四方柱{110} 四方柱
6
晶体学
001
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
2. {hhl} 蓝色图形为对称要素投影 红色圆圈为原始晶面 橘黄色图形为对称操作后的 晶面投影 此单形为共24个晶面, 为三 三 角三八面体
ห้องสมุดไป่ตู้20
晶体学
单形的理论推导
3. {hkk}
21
晶体学
单形的理论推导
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
c
(hkl)
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
四方晶系单形4/mmm: 四方晶系单形4/mmm: 2. {hhl}
蓝色图形为对称要素投影
c
(hhl)
红色圆圈为{hhl}原始晶面 绿色者为对称操作后的晶面 此单形有8个晶面, 判断此单形 为四方双锥 四方双锥 {h0l}和{0kl}也为四方双锥 h0l}和 0kl}也为四方双锥
31
晶体学
2. 中级晶族
2）单锥类: 若干等腰三角形晶面相交高次轴于一点，底面垂直 单锥类:
三方单锥、 高次轴，形状与柱同，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方 三方单锥 复三方锥， 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。
3）双锥类: 两相同的单锥底面对接而成。有六种单形：三方双 双锥类: 三方双
晶体学
单形与聚形
4/mmm
12
结晶学与矿物学
6.7. 聚形和聚形分析
6/mmm
13
5
结晶学与矿物学
6.6. 单形的名称
一般形(general form)和特殊形(special form):
一般形的晶面与对称要素间具有一般的关系, {hkl}, {hkil}一般形; 如晶面与对称要 素间垂直、平行或等角度相交, 则为特殊形;
开形(open form)和闭形(closed form):
左形(left-hand form)和右形(right-hand form):
形状完全相同而在空间的取向正好彼此相反的两个形体，若相互间不能借助于旋 转、但可借助于反映而使两者的取向达到一致，此二同形反向体即构成左形和右 形。
6
结晶学与矿物学
6.7. 聚形和聚形分析
聚形(combinations):
整个单形的形状，如柱、双锥、立方体等； 横切面的形状，如四方柱、菱方双锥等； 晶面的数目，如单面、八面体等； 晶面的形状，如菱面体、五角十二面体等。
4
结晶学与矿物学
5.5. 单形的理论推导
画出给定点群的wulff网投影(参见教材P.42页) 1) 对低级晶族的点群, 考虑如下位置: {hkl}, {0kl}, {h0l}, {hk0}, {100}, {010}, {001} 2) 对四方晶系的点群, 考虑如下位置: {hkl}, {hhl}, {h0l}+{0kl}, {hk0}, {110}, {100}, {001} 3) 对三六方晶系点群, 考虑如下位置: {hkil}, {hh2hl}, {h0hl}, {1120}, {1010}, {0001} 4) 对高级晶族的点群, 考虑如下位置: {hkl}, {hhl}, {hkk}, {hk0}, {111}, {110}, {100} 对原始晶面进行对称操作, 画出所有晶面的投影, 然后判断是何种单 形.
晶体的理想形态-结晶学与矿物学
71
_ 111
111
__ 111
_ 111
72
_ 111
111
__ 111
_ 111
73
立方体和菱形十二面体及其聚形
74
三、聚形的几何特点
(2)单行数目：在一个对称型中。可能出现的单 形数不超过7种，但在一个聚形上，可能出现的 单形个数是无限的，可能有几个同种单形同时存 在。
75
三、聚形的几何特点
91
（5）八面体与四方柱， （6）六方柱与菱面体， （7）五角十二面体与平行双面， （8）三方单锥与单面
92
2. 试完成下列单形推导，并写出单行名称、符号：
（1）2/m： （2）mmm：
C
Y
5 4
X
6 1
3
C
1 5 3 2
Y
2
4
X
93
2. 试完成下列单形推导，并写出单行名称、符号：
（3）4/mmm： （4）6/mmm：
2
6
26
对32种对称型逐一进行推导，最终将导出结 晶学上146种不同的单形，称为结晶单形。
在这146种结晶单形中，凡是属于同一对称型且形 态相同的单形已经去掉了。
27
在这146种结晶单形中，还有许多几何形状相同的 但属于不同对称型的，如下图的5个立方体。如果不 考虑单形所属的对称型，将形状相同的归为一个单 形，则146种结晶单形可以归纳为47种几何单形。
（100） （010） （001） （100） （010） （001）
用单形一个代表 晶面的符号来代 表整个单形
10
二、单形符号
书写方法： 在单形中选择一个代表面，把该晶面的晶面 指数用“{ }”括起来，用以表征单形符号。
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各晶族、晶系出现的单形
晶族晶系
面类
柱类
锥类
其它
单锥
双锥
低级 晶族
单面 双面 平行双面
斜方柱
斜方单锥
斜方双锥
斜方四面体
四方 晶系
三方 晶系
六方 晶系
等轴 晶系
单面 平行双面
单面 平行双面
四方柱 复四方柱
三方柱 复三方柱 六方柱 复六方柱
四方单锥 复四方单锥
三方单锥 复三方单锥 六方单锥
四方双锥 复四方双锥
222、 mm2、 mmm
Y轴方向（b）
2、
m、
2/m
本节内容结束
第六章、单形和聚形
一、单形
1. 单形概念 由对称要素联系起来的一组晶面的组合。 单形的晶面数目：1—多个
例：四方柱的形成
2. 单形符号-form symbol
2.1 晶面表示形式： 在晶面符号基础上，选择一个晶面（代表面）。 代表面的晶面指数 + { } -----> 晶面符号。
例：（110）→ { 110 }，代表一个晶面→一组晶面
复四方柱 六方柱
复六方柱
复四方单锥 六方单锥 复六方单锥
复四方双锥 六方双锥 复六方双锥
四方四面体 菱面体
复四方偏三 复三方偏三
角面体
角面体
三方偏方面 三方偏方 四方偏方面 四方偏方面 六方偏方面 六方偏方面
体左
面体右
体左
体右
体左
体右
四面体 三角三四面 四角三四面 五角三四面体 五角三四面体 六四面
体
体
左
右
体
八面体 三角三八面 四角三八面 五角三八面体 五角三八面体 六八面
体
体
左
右
体
立方体 四六面体
菱形十二面 五角十二面体 偏方复十二面
体
体
5. 单形与晶族、晶系的关系
单形名称带斜方二字的出现在哪个晶族中？ 带四方二字的出现在什么晶系里？ 三方、六方晶系单形的关系？ 菱面体在哪个晶系中？ 等轴晶系的单形能否在其他晶系中出现？ 单面和平行双面在那些晶族里出现？
2.2 代表面选择原则： 前 右 上，总之正值最多
3. 单形推导
2 ’
6’’
4' 7’ ’
3
5
1
’
’
7’ ’
4
’ 6’’’
2
6 ’
7’
5
3
7 6
4. 四十七种几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单形
单面 双面 平行双面 斜方柱
斜方四面体 斜方单锥 斜方双锥
三方柱
复三方柱 四方柱
三方单锥 三方双锥
复三方单 锥
复三方双 锥
四方单锥 四方双锥
对称型的国际符号
复习：晶体定向（三轴、四轴） Li1=C Li2=P
Li3=L3+C
对称型国际符号特点：
既表示对称要素又表示其与结晶轴的空间方位关系，如3L23PC--mmm,3L44L36L29PC---m3m
对称型国际符号中: 12346—对称轴 m——对称面的法线
根据下表思考： 1.国际符号共有几个序位？ 2.单斜和斜方晶系的序位？ 3.中级晶族第一序位特点？等轴晶系第二序位特点？
三方双锥 六方双锥
四方四面体 四方偏方面体 复四方偏三角面 体 菱面体 三方偏方面体 复三方篇三角面 体
单面 平行双面
六方柱 复六方柱 三方柱 复三方柱
六方单锥 复六方单锥
六方双锥 复六方双锥 三方双锥 复三方双锥
六方偏方面体
四面体 三角三四面体 四角三四面体 五角三四面体 六四面体 体 三角三八面体 四角三八面体 五角三八面体 六八面体 立方体 菱形十二面体 五角十二面体 偏方复十二酉体 四六面体
三次轴，即Z轴方向（C） X或Y或U轴方向（a）
六次轴，即Z轴方向（C） X或Y或U轴方向(a) 与位2呈30º（2a+b）
X轴方向（a） Y轴方向（b） Z轴方向（c）
23 、 m3 、 43m 、 43、 m3m
4 、 422、 4/m、 4mmm 、 4/mmm
3 、 32 、 3m 、 3m 6 、 62 、 6/m 、 6mm、 6/mmm、 62m
八面
6. 从不同角度划分单形
6.1 一般形与特殊形 6.2 开形与闭形 6.3 左形与右形 6.4 正形与负形 6.5 定行与变形
二、聚形
1. 概念： 两个以上单形的聚合
如： 四方柱和四方双锥的聚形
2. 分析聚形步骤
确定对称型— 找对称要素 划分晶族、晶系— 对称特点 晶体定向— 各晶系选轴原则 确定单形数目— 不同形态晶面 单形符号— 选代表面，晶面符号
对称型国际符号中各晶系代表的方位
晶 国际符 系 号序位
等1 轴2
3
四1 方2
3
三1 方2
六1 方2
3 斜1 方2
3
单1 斜
代表的方向
对称型国际符号
X或Y或Z轴方向（a） 三次轴方向（a+b+c） X、Y或X、Z轴Y、Z轴之间 （a+b）
四次轴，即Z轴方向（C） X或Y方向（a） 与四次轴垂直，与2位成 45º角