第7章函数练习题(含答案)

1、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC=0.1Q 3-2Q 2+15Q+10。

试求：（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润；（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？（3）厂商的短期供给函数。

解答：（1）因为STC=0.1Q 3-2Q 2+15Q+10所以SMC=dQdSTC =0.3Q 3-4Q+15 根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC ，且已知P=55，于是有：0.3Q 2-4Q+15=55整理得：0.3Q 2-4Q-40=0解得利润最大化的产量Q *=20（负值舍去了）以Q *=20代入利润等式有：=TR-STC=PQ-STC=（55×20）-（0.1×203-2×202+15×20+10）=1100-310=790即厂商短期均衡的产量Q *=20，利润л=790（2）当市场价格下降为P 小于平均可变成本AVC 即P ≤AVC 时，厂商必须停产。

而此时的价格P 必定小于最小的可变平均成本AVC 。

根据题意，有： AVC=QQ Q Q Q TVC 1521.023+-==0.1Q 2-2Q+15 令即有,0=dQ dAVC ：022.0=-=Q dQdAVC 解得 Q=10 且02.022 =dQAVC d 故Q=10时，AVC （Q ）达最小值。

以Q=10代入AVC （Q ）有：最小的可变平均成本AVC=0.1×102-2×10+15=5于是，当市场价格P5时，厂商必须停产。

（3）根据完全厂商短期实现利润最大化原则P=SMC ，有：0.3Q 2-4Q+15=p整理得 0.3Q 2-4Q+（15-P ）=0 解得6.0)15(2.1164P Q --±= 根据利润最大化的二阶条件C M R M '' 的要求，取解为： Q=6.022.14-+P考虑到该厂商在短期只有在P 时5≥才生产，而P ＜5时必定会停产，所以，该厂商的短期供给函数Q=f （P ）为： Q=6.022.14-+P ，P 5≥ Q=0 P ＜52、已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC=Q 3-12Q 2+40Q 。

第7章复习与思考题求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何X 。

• [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =®(x*)为®(X )的不动点 故称X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。

5•什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶P219设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差e k = x k - x *满足渐近关系式—t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。

以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。

6•什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

牛顿法:当| f (X k )卜J 时收敛。

7•什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。

就是弦截法。

收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)8•什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229X-mX k 1 =X kf (X k ) f (X k )设已知方程f （x） = 0的三个近似根，X k，X k^，X k^2，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点X k卅作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。

[7.5 第2课时 解直角三角形的应用]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( ) A ．7sin35° B.7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35°2．如图K －31－1，点A (3，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 等于( )图K －31－1A ．0.5B ．1.5C ．4.5D ．23．等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为链接听课例2归纳总结( )A. 3 cmB.4 33cmC ．2 cmD ．2 3 cm 4．如图K －31－2，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )图K－31－2A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图K－31－3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )图K－31－3A.13B.2－1 C．2－ 3 D.14二、填空题6．如图K－31－4，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为(5，12)，那么OP与x轴正半轴所夹的锐角为________．(精确到0.1°)图K－31－47．如图K－31－5，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝________．图K－31－58．如图K－31－6，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－31－69．2018·安徽四模如图K－31－7，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么tan∠BAH的值是________．图K －31－710．2017·黑龙江在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________． 三、解答题11．2018·淮南模拟如图K －31－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，cos B ＝45，AC ＝6 3.求AB 的长.链接听课例2归纳总结图K －31－812．如图K －31－9，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标； (2)cos ∠BAO 的值．图K －31－913．2018·广安改编如图K －31－10，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D .(1)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，连接BE .若cos P ＝45，PC ＝10，求BE 的长．图K －31－10阅读理解在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别是a ，b ，c .如图K －31－11所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则cos A ＝AD b，即AD ＝b cos A ，图K －31－11∴BD ＝c －AD ＝c －b cos A .在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，有CD 2＝AC 2－AD 2＝BC 2－BD 2， ∴b 2－b 2cos 2A ＝a 2－(c －b cos A )2，整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(1)同理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，(2) c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB . (3)这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素a ，b ，c ，∠A ，∠B ，∠ACB ，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．如：在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，b ＝3，c ＝6，则由(1)式可得a 2＝32＋62－2×3×6cos60°＝27， ∴a ＝3 3，则∠B ，∠C 可由式子(2)，(3)分别求出，在此略． 根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：已知锐角三角形ABC 的三边a ，b ，c (a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边)分别是7，8，9，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．(结果精确到1°)详解详析[课堂达标]1．[解析] C 在Rt △ABC 中，cos B ＝BCAB ，所以BC ＝AB ·cos B ＝7cos 35°.故选C .2．[解析] C 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB ＝t ，OB ＝3. 又∵tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝4.5. 故选C .3．[解析] D 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝∠CAD ＝60°，BD ＝DC.∵AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°.∵AB ＝2 cm ， ∴AD ＝1 cm ，BD ＝ 3 cm ， ∴BC ＝2 3 cm .故选D .4．[解析] C ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝1，AB ＝2，∴sin ∠ABC ＝ACAB ＝12，∴∠ABC ＝30°，∠A ＝60°，∴∠D ＝60°，故选C . 5．[解析] A ∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝2AC. 又∵D 为边AC 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AC.∵DE ⊥BC 于点E ， ∴∠CDE ＝∠C ＝45°， ∴DE ＝EC ＝22DC ＝24AC ， ∴tan ∠DBC ＝DEBE ＝24AC 2AC －24AC ＝13. 故选A .6．[答案] 67.4°[解析] 如图，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A.由勾股定理，得OP ＝122＋52＝13，∴cos ∠POA ＝513，∴∠POA ≈67.4°.7．[答案] 2425[解析] 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由AC ＝6，BD ＝8，根据勾股定理得AB ＝32＋42＝5，菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝BC·AE，即12×6×8＝5×AE ，得AE ＝245，所以sin ∠ABC＝AE AB ＝2455＝2425. 8．[答案] 3＋ 3[解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.9．[答案] 12[解析] 设AH ＝BC ＝2x.∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝x 2x ＝12.10．[答案] 21 3或15 3[解析] (1)当∠ACB 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵AB ＝12，∠B ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝6，BD ＝AB·cos B ＝12×32＝6 3.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（39）2－62＝3， ∴BC ＝BD ＋CD ＝6 3＋3＝7 3， 则S △ABC ＝12BC·AD＝12×7 3×6＝21 3；(2)当∠ACB 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.由(1)知，AD ＝6，BD ＝6 3，CD ＝3，则BC ＝BD －CD ＝5 3，∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×5 3×6＝15 3.故答案为21 3或15 3.11．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3 3，AD ＝AC ·cos A ＝9.∵cos B ＝45，∴设BD ＝4x ，则BC ＝5x.由勾股定理，得CD ＝3x.由题意，得3x ＝3 3，解得x ＝3， ∴BD ＝4 3，∴AB ＝AD ＋BD ＝9＋4 3.12．解：(1)如图，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3，∴OH ＝BO 2－BH 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6. 在Rt △AHB 中， ∵BH ＝3，AH ＝6， ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝3 5， ∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝2 55.13．解：(1)证明：连接OC.∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠PCO ＝90°，∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ， ∴∠PCA ＝∠ABC.(2)∵cos P ＝PC OP ＝45，PC ＝10，∴OP ＝252，∴OC ＝OP 2－CP 2＝152，∴AB ＝15.∵AE ∥PC ，∴∠BAE ＝∠P.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠E ＝90°， ∴AE ＝AB·cos ∠BAE ＝15×45＝12，∴BE ＝AB 2－AE 2＝9. [素养提升][解析] 此题只要把三边长代入余弦定理公式即可求出三角的余弦值，从而求出三角．解：由(1)得72＝82＋92－2×8×9cos A ， 则cos A ＝23，∠A ≈48°.由(2)得82＝72＋92－2×7×9cos B ， 则cos B ＝1121，∠B ≈58°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ≈74°.。

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

7-1.字典方法。

哪个字典方法可以用来把两个字典合并到一起。

答案：dict.update(dict2)将字典dict2的键-值对添加到字典dict中7-2.字典的键。

我们知道字典的值可以是任意的Python对象，那字典的键又如何呢？请试着将除数字和字符串意外的其他不同类型的对象作为字典的键，看看哪些类型可以，哪些不行。

对那些不能作为字典的键的对象类型，你认为是什么原因呢？答案：键必须是可哈希的。

所有不可变的类型都是可哈希的，因此他们都可以作为字典的键。

一个要说明的问题是：值相等的数字表示相同的键。

换句话说，整型数字1和浮点型1.0的哈希值是相同的，即它们是相同的键。

同时，也有一些可变对象(很少)是可哈希的，它们可以作为字典的键，但很少见。

用元组做有效的键，必须要加限制：元组中只包括像数字和字符串这样的不可变参数，才可以作为字典中有效的键。

内建函数hash()可以判断某个对象是否可以做一个字典的键，如果非可哈希类型作为参数传递给hash()方法，会产生TypeError错误，否则会产生hash值，整数。

>>> hash(1)1>>> hash('a')-468864544>>> hash([1,2])Traceback (most recent call last):File "<pyshell#2>", line 1, in <module>hash([1,2])TypeError: unhashable type: 'list'>>> hash({1:2,})Traceback (most recent call last):File "<pyshell#3>", line 1, in <module>hash({1:2,})TypeError: unhashable type: 'dict'>>> hash(set('abc'))Traceback (most recent call last):File "<pyshell#4>", line 1, in <module>hash(set('abc'))TypeError: unhashable type: 'set'>>> hash(('abc'))-1600925533>>> hash(1.0)1>>> hash(frozenset('abc'))-114069471>>> hash(((1,3,9)))1140186820>>> hash(((1,3,9),(1,2)))340745663>>> hash(((1,3,'9'),(1,2)))1944127872>>> hash(((1,3,'9'),[1,2],(1,2)))Traceback (most recent call last):File "<pyshell#11>", line 1, in <module>hash(((1,3,'9'),[1,2],(1,2)))TypeError: unhashable type: 'list'>>>7-3.字典和列表的方法。

第7章习题：1.设A={0,1}，试给出半群<A A,︒>的运算表，其中︒为函数的复合运算。

2.S={a,b,c}，*是S上的二元运算，且∀x,y∈S, x *y = x(1) 证明S关于*运算构成半群；(2) 试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。

3.给定代数结构〈R,∗〉，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，∗定义如下：a∗b=a+b+ab试证：〈R,∗〉是独异点。

4.给定半群〈S,∗〉,a∈S,对于S中的任意元x和y,定义二元运算如下：x⊕y=x∗a∗y试证：〈R,⊕〉是半群。

5.指出下述各代数系统哪些是半群，并说明理由。

（1）[Z;−]。

（2）[C;×]。

（3）[M m,n(Q);+]。

（4）[Z n;⊕]，⊕为同余类的加法运算。

6.设V=<{a,b},*>是半群，且a*a=b，证明：(1) a*b=b*a(2) b*b=b7.S={a,b,c},∗是S上的二元运算，且∀x ,y∈S,x∗y=x.（1）证明S关于∗运算构成半群。

（2）试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。

8.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算︒如下：∀x,y∈Z，x︒y=x+y-2问Z关于︒运算能否构成群？为什么？9.设A={x|x∈R∧x≠0,1} ，在A上定义6个函数如下：f1(x)=x; f2(x)=x-1; f3(x)=1-x;f4(x)=(1-x)-1; f5(x)=(x-1)x-1; f6(x)=x(x-1)-1令F为这6个函数构成的集合，︒运算为函数的复合运算，(1) 给出︒运算的运算表(2) 验证<F, ︒>是一个群10.判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。

（1）a是正实数，G={a n|n∈Z}，运算是普通乘法。

（2）Q+为正有理数，运算是普通乘法。

（3）Q+为正有理数，运算是普通加法。

（4）一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。

nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。

5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。

7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。

第7章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．sin 30°的值等于()A．12B．22C．32D．332．【母题：教材P 102例3】如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AB ＝5，则sin A 的值为()A．35B．53C．45D．343．【2023·益阳一中月考】已知α为锐角，且sin α＝32，则α的度数为()A．30°B．60°C．45°D．75°4．【2023·苏州中学月考】化简(sin 28°－cos 28°)2等于()A．sin 28°－cos 28°B．0C．cos 28°－sin 28°D．以上都不对5．【2023·长春】学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC ＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32m(即AC ＝32m)，则彩旗绳AB 的长度为()A．32sin 25°mB．32cos 25°mC．32sin 25°mD．32cos 25°m6．【2022·贵港】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45°，在点B 处测得树顶C 的仰角为60°，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若AB ＝16m，则这棵树CD 的高度是()A．8(3－3)m B．8(3＋3)m C．6(3－3)m D．6(3＋3)m 7．【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图，E 是菱形ABCD 的边BC 上的点，连接AE .将菱形ABCD 沿AE 翻折，点B 恰好落在CD 的中点F 处，则tan∠ABE 的值是()A．4B．5C．13D．158．【2023·扬州仪征一模】如图，△ABC 中，∠B ＝90°，tan A ＝12，点D 是AB 的中点，点E 在线段AC 上运动(不与点A ，C 重合)，若AD AB ＝DE BC ，则AEAC的值为()A．12或310B．12C．12或14D．12或58二、填空题(每题3分，共30分)9．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则cos A 的值是________．10．如图，点A (3，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t的值是________．11．【2022·柳州】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m，则迎水坡坡面AB 的长度为________m.12．【2023·永州四中月考】如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 延长线上的D ′处，那么tan∠BAD ′＝________.13．【2023·常州实验中学一模】如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 上的点，AE ＝AB ，BE ＝DE ，则tan∠BDE ＝________.14．【母题：教材P 112习题T 4】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝8，tan∠ABD ＝34，则线段AB 的长为________．15．如图，由小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，点D 不在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则∠BDC 的正切值是________．16．【2023·广西】如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)17．【2023·枣庄】如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB ＝6米，AO ：OB ＝2：1，支架OM ⊥EF ，OM ＝3米，AB 可以绕着点O 自由旋转，当点A 旋转到如图所示位置时∠AOM ＝45°，此时点B 到水平地面EF 的距离为________米．(结果保留根号)18.如图，将Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ，O 为斜边AB 的中点，连接DO 并延长DO 使DO ＝OE ，连接AE ，已知AC ＝9，BC ＝3，则cos∠CAE ＝________.三、解答题(19～22题每题6分，23题8分，24题10分，25～26题每题12分，共66分)19．【母题：教材P 106习题T 1】计算：(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°；(2)3－(π－3)0－10sin 30°＋12－2.20．【母题：教材P119复习题T5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝2，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．【2023·邵阳五中月考】如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝23，tan B＝32，求AB的长．22．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP.(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；(不要求写作法，但保留作图痕迹)(2)若CE＝1，试确定tan∠EPC的值．23．【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．24．【2023·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝1 2∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若sin B＝35，⊙O的半径为3，求AC的长．25.多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．【基础掌握】(1)在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6.求▱ABCD的面积；【灵活运用】(2)在△ABC中，AB＝20，AC＝15，sin B＝35，求△ABC的面积．【迁移提升】(3)如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上，请直接写出sin B的值．26.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－43x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cos∠CAB＝17 17.(1)求抛物线表达式；(2)点P是抛物线上的一点．当点P在第一象限时，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，连接EP，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标．答案一、1．A 2．C【点拨】由题意可知，∠C ＝90°，因为AB ＝5，BC ＝4，所以sin A ＝BC AB ＝45.3．B 4．C5．D 【点拨】如图，由题意得，AC ＝32m，∠BAC ＝25°，BC ⊥AC .在Rt△ABC 中，∵cos∠BAC ＝AC AB ，∴AB ＝AC cos∠BAC ＝32cos 25°m，故选D.6．A【点拨】设CD ＝x m，在Rt△ADC 中，∠A ＝45°，∴CD ＝AD ＝x m．∴BD ＝(16－x )m.在Rt△BCD 中，∠B ＝60°，∴tan B ＝CD BD ，即x16－x ＝3，解得x ＝8(3－3)．故选A.7．D【点拨】过点A 作AN ⊥DF 于点N ，如图．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝AD ，∠ABE ＝∠D .设AD ＝4.∵F 是CD 的中点，∴DF ＝FC ＝2.根据翻折的性质可知AB ＝AF ，∴△AFD 是等腰三角形．∵AN ⊥DF ，∴DN ＝NF ＝1.∴在Rt△AND 中，AN ＝AD 2－DN 2＝42－12＝15.∴tan D ＝AN ND ＝151＝15.∴tan∠ABE ＝15.故选D.8．A【点拨】∵D 为AB 的中点，AD AB ＝DE BC ＝12，∴DE ＝12BC .如图，取AC 的中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，DE 1＝12BC ，∴AE 1AC ＝12.如图，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则△DE 1E 2是等腰三角形，过点D 作DM ⊥AC ，则ME 1＝ME 2，∠MDE 1＋∠ME 1D ＝90°.∵∠B ＝90°，DE 1∥BC ，∴∠ADE 1＝90°.∴∠A ＋∠AE 1D ＝90°.∴∠A ＝∠MDE 1.∵tan A ＝12，∴tan∠MDE 1＝12.设ME 1＝ME 2＝x ，则DM ＝2x ，∴DE 1＝DE 2＝5x ，E 1E 2＝2x .∵DE 1＝12BC ，∴BC ＝25x .∵tan A ＝12，∴AB ＝45x .∴AC ＝10x .∵AE 1AC ＝12，∴AE 1＝5x .∴AE 2＝AE 1－E 1E 2＝5x －2x ＝3x .∴AE 2AC ＝3x 10x ＝310.综上，AE AC 的值为12或310.故选A.1111二、9．51310．92【点拨】如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B .∵点A (3，t )在第一象限，∴AB ＝t ，OB ＝3.∴tan α＝AB OB ＝t 3＝32.∴t ＝92.11．50【点拨】根据题意得∠ACB ＝90°，sin α＝35，∴BC AB ＝35.∵BC ＝30m，∴30AB＝35，解得AB ＝50m，即迎水坡坡面AB 的长度为50m.12．213．2－1【点拨】设AB ＝1，∵在矩形ABCD 中，E 为AD 上的点，AE ＝AB ，BE ＝DE ，∴ED ＝BE ＝AE 2＋AB 2＝ 2.∴AD ＝AE ＋ED ＝1＋ 2.∴tan∠BDE ＝AB AD ＝11＋2＝2－1.故答案为2－1.14．5【点拨】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD .∴∠AOB ＝90°.∵BD ＝8，∴OB ＝4.∵tan∠ABD ＝34＝AO OB ，∴AO ＝3.在Rt△AOB 中，由勾股定理得AB ＝AO 2＋OB 2＝32＋42＝5.15．23【点拨】∵AB 为圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ，∴tan∠BDC ＝tan∠BAC .∵在Rt△ACB 中，tan∠BAC ＝BC AC ＝23，1212∴tan∠BDC ＝23.16．21【点拨】∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .在Rt△ACD 中，∠CAD ＝37°，CD ＝3m，∴AC ＝CDsin 37°≈30.6＝5(m)，AD ＝CDtan 37°≈30.75＝4(m)，∴CA ＝CB ≈5m，AB ＝2AD ≈8(m)，∴AC ＋CB ＋AB ＋CD ≈5＋5＋8＋3＝21(m)．∴共需钢材约21m.17．(3＋2)【点拨】如图，过点O 作OC⊥BT ，垂足为C .由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°.∵AB ＝6米，AO ：OB ＝2：1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt△OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米)．∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离为BC ＋OM ＝(3＋2)米．18．35【点拨】如图，连接BE 交AC 于点F ，在四边形ADBE 中，∵O 为AB 的中点，DO ＝OE ，1313∴四边形ADBE 是平行四边形．又∵Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ，∴∠ADB ＝∠C ＝90°.∴四边形ADBE 是矩形．∴∠AEF ＝90°，AE ＝BD .又∵Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ，∴AE ＝BD ＝BC ＝3.∵∠AEF ＝∠C ＝90°，∠AFE ＝∠BFC ，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCF (AAS)，∴AF ＝BF .设AF ＝BF ＝x ，则CF ＝9－x ，在Rt△FBC 中，FB 2＝CF 2＋BC 2，∴x 2＝(9－x )2＋32，解得x ＝5.∴AF ＝5.∴cos∠CAE ＝AE AF ＝35.故答案为35.三、19．【解】(1)原式＝2×32－3＋22×22＝3－3＋12＝12.(2)原式＝3－1－10×12＋4＝3－1－5＋4＝3－2.20．【解】(1)∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sin B ＝bc ，∴b ＝c ·sin B ＝2·sin 30°＝1.∵cos B ＝ac ，∴a ＝c ·cos B ＝2·cos 30°＝ 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°.∵tan A ＝ab ，∴b ＝atan A ＝2tan 45°＝ 2.∵sin A ＝ac ，∴c ＝a sin A ＝2sin 45°＝222＝2.21．【解】过C 点作CD ⊥AB 于D ，如图．在Rt△ACD 中，∵sin A ＝CDAC ，cos A ＝ADAC ，∴sin 30°＝CD 23，cos 30°＝AD23.1414∴CD ＝12×23＝3，AD ＝32×23＝3.在Rt△BCD 中，∵tan B ＝CD BD，∴BD ＝CD tan B ＝332＝2.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋2＝5.22．【解】(1)如图，连接AE ，作AE 的垂直平分线，以AE 为直径画圆，交BC 于点P′和P ″，则∠AP ′E ＝∠AP ″E ＝90°.∵∠P ′EC ＋∠P ′ED ＝180°，∠P ′AD ＋∠P ′ED ＝360°－90°－90°＝180°，∴∠P ′EC ＝∠DAP ′.同理可得∠P ″EC ＝∠DAP ″.则点P ′和P ″即为所求．(2)∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAP ＝∠APB .∵∠PEC ＝∠DAP ，∴∠APB ＝∠PEC .∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABP ∽△PCE .∴BPCE ＝ABPC .设PC ＝x ，∵BC ＝5，∴BP ＝5－x .∴5－x 1＝4x ，解得x 1＝1，x 2＝4，∴PC 的长为1或4.当PC ＝1时，tan∠EPC ＝CE CP ＝11＝1，当PC ＝4时，tan∠EPC ＝CE CP ＝14.23．【解】(1)由题意得∠NAC ＝80°，∠BAS ＝25°，∴∠CAB ＝180°－∠NAC －∠BAS ＝75°.∵∠ABC ＝45°，∴∠BCA ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝60°，1515∴行进路线BC 和CA 所在直线的夹角∠BCA 的度数为60°.(2)如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D，在Rt△ABD 中，AB ＝32km，∠ABC ＝45°，∴AD ＝AB ·sin 45°＝32×22＝3(km)，BD ＝AB ·cos 45°＝32×22＝3(km)，在Rt△ADC 中，∠BCA ＝60°，∴CD ＝AD tan 60°＝33＝3(km)，∴BC ＝BD ＋CD＝(3＋3)km，∴检查点B 和C 之间的距离为(3＋3)km.24．【解】(1)直线AB 与⊙O 相切．理由：如图，连接OD .∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠DOB ＝∠OCD ＋∠ODC ＝2∠BCD ，∴∠BCD ＝12∠BOD .∵∠BCD ＝12∠A ，∴∠BOD ＝∠A .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴∠BOD ＋∠B ＝90°，∴∠BDO ＝90°，∴OD ⊥AB .又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线AB 与⊙O 相切．1616(2)∵sin B ＝OD OB ＝35，OD ＝3，∴OB ＝5，∴BC ＝OB ＋OC ＝8.在Rt△ACB 中，∵sin B ＝AC AB ＝35，∴设AC ＝3x ，则AB ＝5x ，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4x ＝8，∴x ＝2，∴AC ＝3x ＝6.25．【解】(1)如图①.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，∵∠A ＝60°，AB ＝8，∴BE ＝AB ·sin A ＝8×32＝4 3.∵AD ＝6，∴▱ABCD 的面积＝AD ·BE ＝6×43＝24 3.(2)如图②，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝AB ·sin B ＝20×35＝12.∴BD ＝AB 2－AD 2＝202－122＝16，CD ＝AC 2－AD 2＝152－122＝9.∴BC ＝BD ＋CD ＝16＋9＝25.∴△ABC 的面积＝12BC ·AD ＝12×25×12＝150.(3)sin B ＝78585.【点拨】设△ABC 底边BC 上的高为h ，则h ＝AB ·sin B ，1717∴S △ABC ＝12·h ·BC ＝12·AB ·BC ·sin B .由题意知，AB ＝22＋42＝25，BC ＝12＋42＝17.∵S △ABC ＝4×4－12×2×4－12×2×3－12×1×4＝7.∴sin B ＝2×725×17＝78585.26．【解】(1)∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，当x ＝0时，y ＝－43×0＋4＝4，当y ＝0时，－43x ＋4＝0，解得x ＝3，∴C (0，4)，OC ＝4，B (3，0)，OB ＝3.在Rt△AOC 中，cos∠CAB ＝OAAC ＝1717，设OA ＝17k ，则AC ＝17k .∵AC 2＝OA 2＋OC 2，∴(17k )2＝(17k )2＋42，解得k 1＝1717，k 2＝－1717(舍去)，∴OA ＝17k ＝1，∴A (－1，0)．∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过B ，C 两点，与x 轴负半轴交于点A ，－b ＋c ＝0，a ＋3b ＋c ＝0，＝4，＝－43，＝83，＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－43x 2＋83x ＋4.(2)设P，－43m 2＋83m∵PD ∥y 轴交BC 于点D ，DE ⊥y轴于点E ，∴，－43m ∴PD ＝－43m 2＋83m －43m ＝－43m 2＋4m ，DE ＝m .∴tan∠PED ＝PDDE ＝－43m ＋4.∵∠PDE ＝∠BOC ＝90°，∴△PDE 和△BOC 相似分以下两种情况：当∠PED ＝∠CBO 时，tan∠PED＝tan∠CBO＝CO BO ，∴－43m＋4＝43，解得m＝2.∴－43m2＋83m＋4＝－43×22＋83×2＋4＝4.∴P(2，4)；当∠PED＝∠BCO时，tan∠PED＝tan∠BCO＝BO CO ，∴－43m＋4＝34，解得m＝3916.∴－43m2＋83m＋4＝－43×＋83×3916＋4＝16564.∴综上所述，当△PDE和△BOC相似时，点P1818。

复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系?P213，若f(x)€C［a,b］且f(a)f(b) c O，根据连续函数性质可知f(x) = O在［a,b］内至少有一个实根，这时称［a,b］为f(x)=O的有根区间。

2.什么是二分法？用二分法求f(x)=O的根，f要满足什么条件?P213般地，对于函数f(x)=O如果存在实数C,当x=c时，若f(c)=O,那么把x=c叫做函数f(x)=O的零点。

解方程即要求f(X)=0的所有零点。

假定f(X)=0在区间(X, y)上连续, 先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b) cO，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f((a + b)/2)，现在假设f(a) <O, f(b) AO,acb果f((a + b)/2)=O，该点就是零点，如果f((a + b)/2)< O则在区间［(a + b)/2),b］内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。

如果f((a + b)/2) AO，则在区间［a,(a+b)/2)］内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。

3.什么是函数W(x) =O的不动点？如何确定®(x)使它的不动点等价于f(x)的零点P 215.将方程f(x)=O改写成等价的形式x=W(x)，若要求X*满足f(x*) = O,贝y x*=W(x*)；反之亦然，称x*为函数申(x)的一个不动点。

4.什么是不动点迭代法？申(X)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于④(X)的不动点P 215求f(x)=0的零点就等价于求W (x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入x N (x) 的右端，可求得X i =9(X 0)，如此反复迭代有 Xk+ =^(X k ),k =0,1,2,..., ®(x)称为迭代函数，如果对任何x^<^[a,b]，由兀屮=w (x k ),k =0,1,2,...得到的序列 {xk }有极限kim X k =x* ，则称迭代方程收敛，且X* =^(x*)为甲(X)的不动点，故称Xk+ =®(X k ),k =0,1,2,...为不动点迭代法。