第7章函数练习题(含答案)
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1、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC=0.1Q 3-2Q 2+15Q+10。
试求:(1)当市场上产品的价格为P=55时,厂商的短期均衡产量和利润;(2)当市场价格下降为多少时,厂商必须停产?(3)厂商的短期供给函数。
解答:(1)因为STC=0.1Q 3-2Q 2+15Q+10所以SMC=dQdSTC =0.3Q 3-4Q+15 根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC ,且已知P=55,于是有:0.3Q 2-4Q+15=55整理得:0.3Q 2-4Q-40=0解得利润最大化的产量Q *=20(负值舍去了)以Q *=20代入利润等式有:=TR-STC=PQ-STC=(55×20)-(0.1×203-2×202+15×20+10)=1100-310=790即厂商短期均衡的产量Q *=20,利润л=790(2)当市场价格下降为P 小于平均可变成本AVC 即P ≤AVC 时,厂商必须停产。
而此时的价格P 必定小于最小的可变平均成本AVC 。
根据题意,有: AVC=QQ Q Q Q TVC 1521.023+-==0.1Q 2-2Q+15 令即有,0=dQ dAVC :022.0=-=Q dQdAVC 解得 Q=10 且02.022 =dQAVC d 故Q=10时,AVC (Q )达最小值。
以Q=10代入AVC (Q )有:最小的可变平均成本AVC=0.1×102-2×10+15=5于是,当市场价格P5时,厂商必须停产。
(3)根据完全厂商短期实现利润最大化原则P=SMC ,有:0.3Q 2-4Q+15=p整理得 0.3Q 2-4Q+(15-P )=0 解得6.0)15(2.1164P Q --±= 根据利润最大化的二阶条件C M R M '' 的要求,取解为: Q=6.022.14-+P考虑到该厂商在短期只有在P 时5≥才生产,而P <5时必定会停产,所以,该厂商的短期供给函数Q=f (P )为: Q=6.022.14-+P ,P 5≥ Q=0 P <52、已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC=Q 3-12Q 2+40Q 。
第7章复习与思考题求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点,选择一个初始近似值X 0,将它代入X =「(X ) 的右端,可求得X 1 h%X °),如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数,如果对任何X 。
• [a,b],由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛,且X* =®(x*)为®(X )的不动点 故称X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。
5•什么是迭代法的收敛阶?如何衡量迭代法收敛的快慢?如何确定X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶P219设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*,如果当k > 时,迭代误差e k = x k - x *满足渐近关系式—t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p 阶收敛的,特别点,当 p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛, p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6•什么是求解f(x)=0的牛顿法?它是否总是收敛的?若 f(X*) =0,X*是单根,f 是光 滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:当| f (X k )卜J 时收敛。
7•什么是弦截法?试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)8•什么是解方程的抛物线法?在求多项式全部零点中是否优于牛顿法? P229X-mX k 1 =X kf (X k ) f (X k )设已知方程f (x) = 0的三个近似根,X k,X k^,X k^2,以这三点为节点构造二次插值多项式p(x),并适当选取p2(x)的一个零点X k卅作为新近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线法。
[7.5 第2课时 解直角三角形的应用]一、选择题1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =35°,AB =7,则BC 的长为( ) A .7sin35° B.7cos35°C .7cos35°D .7tan35°2.如图K -31-1,点A (3,t )在第一象限,OA 与x 轴所夹的锐角为α,tan α=32,则t 等于( )图K -31-1A .0.5B .1.5C .4.5D .23.等腰三角形的顶角为120°,腰长为2 cm ,则它的底边长为链接听课例2归纳总结( )A. 3 cmB.4 33cmC .2 cmD .2 3 cm 4.如图K -31-2,⊙O 的直径AB =2,弦AC =1,点D 在⊙O 上,则∠D 的度数为( )图K-31-2A.30° B.45° C.60° D.75°5.如图K-31-3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为( )图K-31-3A.13B.2-1 C.2- 3 D.14二、填空题6.如图K-31-4,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点P的坐标为(5,12),那么OP与x轴正半轴所夹的锐角为________.(精确到0.1°)图K-31-47.如图K-31-5,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则sin∠ABC=________.图K-31-58.如图K-31-6,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2 3,则AB的长为________.图K-31-69.2018·安徽四模如图K-31-7,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,垂足为H,如果AH =BC,那么tan∠BAH的值是________.图K -31-710.2017·黑龙江在△ABC 中,AB =12,AC =39,∠B =30°,则△ABC 的面积是________. 三、解答题11.2018·淮南模拟如图K -31-8,在△ABC 中,∠A =30°,cos B =45,AC =6 3.求AB 的长.链接听课例2归纳总结图K -31-812.如图K -31-9,在平面直角坐标系内,O 为原点,点A 的坐标为(10,0),点B 在第一象限内,BO =5,sin ∠BOA =35.求:(1)点B 的坐标; (2)cos ∠BAO 的值.图K -31-913.2018·广安改编如图K -31-10,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,连接AC ,CG 是⊙O 的弦,CG ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,连接BE .若cos P =45,PC =10,求BE 的长.图K -31-10阅读理解在锐角三角形ABC 中,∠A ,∠B ,∠ACB 的对边分别是a ,b ,c .如图K -31-11所示,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则cos A =AD b,即AD =b cos A ,图K -31-11∴BD =c -AD =c -b cos A .在Rt △ADC 和Rt △BDC 中,有CD 2=AC 2-AD 2=BC 2-BD 2, ∴b 2-b 2cos 2A =a 2-(c -b cos A )2,整理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,(1)同理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,(2) c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB . (3)这个结论就是著名的余弦定理,在以上三个等式中有六个元素a ,b ,c ,∠A ,∠B ,∠ACB ,若已知其中的任意三个元素,可求出其余的另外三个元素.如:在锐角三角形ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,已知∠A =60°,b =3,c =6,则由(1)式可得a 2=32+62-2×3×6cos60°=27, ∴a =3 3,则∠B ,∠C 可由式子(2),(3)分别求出,在此略. 根据以上阅读理解,请你试着解决如下问题:已知锐角三角形ABC 的三边a ,b ,c (a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边)分别是7,8,9,求∠A ,∠B ,∠C 的度数.(结果精确到1°)详解详析[课堂达标]1.[解析] C 在Rt △ABC 中,cos B =BCAB ,所以BC =AB ·cos B =7cos 35°.故选C .2.[解析] C 如图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3,t)在第一象限, ∴AB =t ,OB =3. 又∵tan α=AB OB =t 3=32,∴t =4.5. 故选C .3.[解析] D 如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则∠BAD =∠CAD =60°,BD =DC.∵AD ⊥BC ,∴∠B =30°.∵AB =2 cm , ∴AD =1 cm ,BD = 3 cm , ∴BC =2 3 cm .故选D .4.[解析] C ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°.∵AC =1,AB =2,∴sin ∠ABC =ACAB =12,∴∠ABC =30°,∠A =60°,∴∠D =60°,故选C . 5.[解析] A ∵在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC , ∴∠ABC =∠C =45°,BC =2AC. 又∵D 为边AC 的中点, ∴AD =DC =12AC.∵DE ⊥BC 于点E , ∴∠CDE =∠C =45°, ∴DE =EC =22DC =24AC , ∴tan ∠DBC =DEBE =24AC 2AC -24AC =13. 故选A .6.[答案] 67.4°[解析] 如图,过点P 作PA ⊥x 轴,垂足为A.由勾股定理,得OP =122+52=13,∴cos ∠POA =513,∴∠POA ≈67.4°.7.[答案] 2425[解析] 过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,由AC =6,BD =8,根据勾股定理得AB =32+42=5,菱形ABCD 的面积=12AC·BD=BC·AE,即12×6×8=5×AE ,得AE =245,所以sin ∠ABC=AE AB =2455=2425. 8.[答案] 3+ 3[解析] 如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则∠ADC =∠BDC =90°. ∵∠B =45°,∴∠BCD =∠B =45°, ∴CD =BD.∵∠A =30°,AC =2 3, ∴CD =3, ∴BD =CD = 3.由勾股定理,得AD =AC 2-CD 2=3, ∴AB =AD +BD =3+ 3.9.[答案] 12[解析] 设AH =BC =2x.∵AB =AC ,AH ⊥BC ,∴BH =CH =12BC =x ,∴tan ∠BAH =BH AH =x 2x =12.10.[答案] 21 3或15 3[解析] (1)当∠ACB 为锐角时,如图①,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D.在Rt △ABD 中,∵AB =12,∠B =30°, ∴AD =12AB =6,BD =AB·cos B =12×32=6 3.在Rt △ACD 中,CD =AC 2-AD 2=(39)2-62=3, ∴BC =BD +CD =6 3+3=7 3, 则S △ABC =12BC·AD=12×7 3×6=21 3;(2)当∠ACB 为钝角时,如图②,过点A 作AD ⊥BC ,交BC 的延长线于点D.由(1)知,AD =6,BD =6 3,CD =3,则BC =BD -CD =5 3,∴S △ABC =12BC·AD=12×5 3×6=15 3.故答案为21 3或15 3.11.解:如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A =30°,∴CD =12AC =3 3,AD =AC ·cos A =9.∵cos B =45,∴设BD =4x ,则BC =5x.由勾股定理,得CD =3x.由题意,得3x =3 3,解得x =3, ∴BD =4 3,∴AB =AD +BD =9+4 3.12.解:(1)如图,过点B 作BH ⊥OA ,垂足为H.在Rt △OHB 中,∵BO =5,sin ∠BOA =35,∴BH =BO·sin ∠BOA =5×35=3,∴OH =BO 2-BH 2=4, ∴点B 的坐标为(4,3).(2)∵OA =10,OH =4,∴AH =6. 在Rt △AHB 中, ∵BH =3,AH =6, ∴AB =BH 2+AH 2=3 5, ∴cos ∠BAO =AH AB =2 55.13.解:(1)证明:连接OC.∵PC 与⊙O 相切于点C ,∴∠PCO =90°,∴∠PCA +∠OCA =90°. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°, ∴∠OCB +∠OCA =90°, ∴∠PCA =∠OCB.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠ABC , ∴∠PCA =∠ABC.(2)∵cos P =PC OP =45,PC =10,∴OP =252,∴OC =OP 2-CP 2=152,∴AB =15.∵AE ∥PC ,∴∠BAE =∠P.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠E =90°, ∴AE =AB·cos ∠BAE =15×45=12,∴BE =AB 2-AE 2=9. [素养提升][解析] 此题只要把三边长代入余弦定理公式即可求出三角的余弦值,从而求出三角.解:由(1)得72=82+92-2×8×9cos A , 则cos A =23,∠A ≈48°.由(2)得82=72+92-2×7×9cos B , 则cos B =1121,∠B ≈58°,∴∠C =180°-∠A -∠B ≈74°.。
第一章函数与极限一、选择题:1.函数的定义域是()(A; (B; (C;(D.2.函数的定义域是()(A;(B;(C;(D.3、函数是()(A偶函数; (B奇函数;(C非奇非偶函数;(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是()(A2; (B; (C 4 ; (D .5、函数在定义域为()(A有上界无下界; (B有下界无上界;(C有界,且;(D有界,且.6、与等价的函数是()(A ; (B ; (C ; (D .7、当时,下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小()(A);(B);(C);(D).8、设则当()时有.(A; (B;(C; (D任意取 .9、设,则((A-1 ; (B1 ; (C0 ; (D不存在 .10、()(A1; (B-1;(C0; (D不存在.二、求下列函数的定义域:2、 .三、设(1)试确定的值使;(2)求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限:1、;2、;3、;4、;5、当时,;6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性,并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式:至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题:1、函数在点的导数定义为()(A);(B);(C);(D);2、若函数在点处的导数,则曲线在点(处的法线()(A)与轴相平行;(B)与轴垂直;(C)与轴相垂直;(D)与轴即不平行也不垂直:3、若函数在点不连续,则在 ((A)必不可导;(B)必定可导;(C)不一定可导;(D)必无定义.4、如果=(),那么.(A ;(B ;(C ;(D .5、如果处处可导,那末()(A);(B);(C);(D).6、已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的n阶导数是()(A);(B);(C);(D).7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导,则=()(A);(B);(C);(D).8、若函数为可微函数,则()(A)与无关;(B)为的线性函数;(C)当时为的高阶无穷小;(D)与为等价无穷小.9、设函数在点处可导,当自变量由增加到时,记为的增量,为的微分,等于()(A)-1;(B)0;(C)1;(D).10、设函数在点处可导,且,则等于().(A)0;(B)-1;(C)1;(D) .二、求下列函数的导数:1、;2、();3、;4、;5、设为的函数是由方程确定的;6、设,,求.三、证明,满足方程.四、已知其中有二阶连续导数,且,1、确定的值,使在点连续;2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时,同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过,此桥比船高200米,问3分钟后人与船相离之速率为多少?第三章微分中值定理一、选择题:1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点,即()(A)它们都给出了ξ点的求法 .(B)它们都肯定了ξ点一定存在,且给出了求ξ的方法。
7-1.字典方法。
哪个字典方法可以用来把两个字典合并到一起。
答案:dict.update(dict2)将字典dict2的键-值对添加到字典dict中7-2.字典的键。
我们知道字典的值可以是任意的Python对象,那字典的键又如何呢?请试着将除数字和字符串意外的其他不同类型的对象作为字典的键,看看哪些类型可以,哪些不行。
对那些不能作为字典的键的对象类型,你认为是什么原因呢?答案:键必须是可哈希的。
所有不可变的类型都是可哈希的,因此他们都可以作为字典的键。
一个要说明的问题是:值相等的数字表示相同的键。
换句话说,整型数字1和浮点型1.0的哈希值是相同的,即它们是相同的键。
同时,也有一些可变对象(很少)是可哈希的,它们可以作为字典的键,但很少见。
用元组做有效的键,必须要加限制:元组中只包括像数字和字符串这样的不可变参数,才可以作为字典中有效的键。
内建函数hash()可以判断某个对象是否可以做一个字典的键,如果非可哈希类型作为参数传递给hash()方法,会产生TypeError错误,否则会产生hash值,整数。
>>> hash(1)1>>> hash('a')-468864544>>> hash([1,2])Traceback (most recent call last):File "<pyshell#2>", line 1, in <module>hash([1,2])TypeError: unhashable type: 'list'>>> hash({1:2,})Traceback (most recent call last):File "<pyshell#3>", line 1, in <module>hash({1:2,})TypeError: unhashable type: 'dict'>>> hash(set('abc'))Traceback (most recent call last):File "<pyshell#4>", line 1, in <module>hash(set('abc'))TypeError: unhashable type: 'set'>>> hash(('abc'))-1600925533>>> hash(1.0)1>>> hash(frozenset('abc'))-114069471>>> hash(((1,3,9)))1140186820>>> hash(((1,3,9),(1,2)))340745663>>> hash(((1,3,'9'),(1,2)))1944127872>>> hash(((1,3,'9'),[1,2],(1,2)))Traceback (most recent call last):File "<pyshell#11>", line 1, in <module>hash(((1,3,'9'),[1,2],(1,2)))TypeError: unhashable type: 'list'>>>7-3.字典和列表的方法。
第7章习题:1.设A={0,1},试给出半群<A A,︒>的运算表,其中︒为函数的复合运算。
2.S={a,b,c},*是S上的二元运算,且∀x,y∈S, x *y = x(1) 证明S关于*运算构成半群;(2) 试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。
3.给定代数结构〈R,∗〉,其中R是实数集合,对R中任意元a和b,∗定义如下:a∗b=a+b+ab试证:〈R,∗〉是独异点。
4.给定半群〈S,∗〉,a∈S,对于S中的任意元x和y,定义二元运算如下:x⊕y=x∗a∗y试证:〈R,⊕〉是半群。
5.指出下述各代数系统哪些是半群,并说明理由。
(1)[Z;−]。
(2)[C;×]。
(3)[M m,n(Q);+]。
(4)[Z n;⊕],⊕为同余类的加法运算。
6.设V=<{a,b},*>是半群,且a*a=b,证明:(1) a*b=b*a(2) b*b=b7.S={a,b,c},∗是S上的二元运算,且∀x ,y∈S,x∗y=x.(1)证明S关于∗运算构成半群。
(2)试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。
8.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算︒如下:∀x,y∈Z,x︒y=x+y-2问Z关于︒运算能否构成群?为什么?9.设A={x|x∈R∧x≠0,1} ,在A上定义6个函数如下:f1(x)=x; f2(x)=x-1; f3(x)=1-x;f4(x)=(1-x)-1; f5(x)=(x-1)x-1; f6(x)=x(x-1)-1令F为这6个函数构成的集合,︒运算为函数的复合运算,(1) 给出︒运算的运算表(2) 验证<F, ︒>是一个群10.判断下列集合关于指定的运算是否构成半群,独异点和群。
(1)a是正实数,G={a n|n∈Z},运算是普通乘法。
(2)Q+为正有理数,运算是普通乘法。
(3)Q+为正有理数,运算是普通加法。
(4)一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。
第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1)在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;2)在线性空间V中,A其中V是一固定的向量;3)在P 322 中,A(,,)(,,)x1xxxxxx;2312334)在P 3中,A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231;5)在P[x]中,A f(x)f(x1);6)在P[x]中,A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数;07)把复数域上看作复数域上的线性空间,A。
nn中,A X=BXC其中B,CP 8)在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A,A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A(),3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x)),再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x)),故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x)),A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是,例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
第7章综合素质评价一、选择题(每题3分,共24分)1.sin 30°的值等于()A.12B.22C.32D.332.【母题:教材P 102例3】如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =4,AB =5,则sin A 的值为()A.35B.53C.45D.343.【2023·益阳一中月考】已知α为锐角,且sin α=32,则α的度数为()A.30°B.60°C.45°D.75°4.【2023·苏州中学月考】化简(sin 28°-cos 28°)2等于()A.sin 28°-cos 28°B.0C.cos 28°-sin 28°D.以上都不对5.【2023·长春】学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面,如图所示,已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC =25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32m(即AC =32m),则彩旗绳AB 的长度为()A.32sin 25°mB.32cos 25°mC.32sin 25°mD.32cos 25°m6.【2022·贵港】如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度,在点A 处测得树顶C 的仰角为45°,在点B 处测得树顶C 的仰角为60°,且A ,B ,D 三点在同一直线上,若AB =16m,则这棵树CD 的高度是()A.8(3-3)m B.8(3+3)m C.6(3-3)m D.6(3+3)m 7.【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图,E 是菱形ABCD 的边BC 上的点,连接AE .将菱形ABCD 沿AE 翻折,点B 恰好落在CD 的中点F 处,则tan∠ABE 的值是()A.4B.5C.13D.158.【2023·扬州仪征一模】如图,△ABC 中,∠B =90°,tan A =12,点D 是AB 的中点,点E 在线段AC 上运动(不与点A ,C 重合),若AD AB =DE BC ,则AEAC的值为()A.12或310B.12C.12或14D.12或58二、填空题(每题3分,共30分)9.如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AB =13,AC =5,则cos A 的值是________.10.如图,点A (3,t )在第一象限,OA 与x 轴所夹的锐角为α,tan α=32,则t的值是________.11.【2022·柳州】如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=35,堤坝高BC =30m,则迎水坡坡面AB 的长度为________m.12.【2023·永州四中月考】如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 延长线上的D ′处,那么tan∠BAD ′=________.13.【2023·常州实验中学一模】如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 上的点,AE =AB ,BE =DE ,则tan∠BDE =________.14.【母题:教材P 112习题T 4】如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,BD =8,tan∠ABD =34,则线段AB 的长为________.15.如图,由小正方形组成的网格中,点A ,B ,C 都在格点上,点D 不在格点上,以AB 为直径的圆经过点C 和点D ,则∠BDC 的正切值是________.16.【2023·广西】如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱,则共需钢材约________m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)17.【2023·枣庄】如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶,当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB =6米,AO :OB =2:1,支架OM ⊥EF ,OM =3米,AB 可以绕着点O 自由旋转,当点A 旋转到如图所示位置时∠AOM =45°,此时点B 到水平地面EF 的距离为________米.(结果保留根号)18.如图,将Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ,O 为斜边AB 的中点,连接DO 并延长DO 使DO =OE ,连接AE ,已知AC =9,BC =3,则cos∠CAE =________.三、解答题(19~22题每题6分,23题8分,24题10分,25~26题每题12分,共66分)19.【母题:教材P 106习题T 1】计算:(1)2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°;(2)3-(π-3)0-10sin 30°+12-2.20.【母题:教材P119复习题T5】在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)已知c=2,∠A=60°,求∠B,a,b;(2)已知a=2,∠A=45°,求∠B,b,c.21.【2023·邵阳五中月考】如图,△ABC中,∠A=30°,AC=23,tan B=32,求AB的长.22.【2023·无锡锡山高级中学月考】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是CD边上的一点,点P在BC边上,且满足∠PEC=∠DAP.(1)请用不带刻度的直尺和圆规,在所给的图中作出符合条件的点P;(不要求写作法,但保留作图痕迹)(2)若CE=1,试确定tan∠EPC的值.23.【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A→B→C→A,B点在A点的南偏东25°方向32km处,C点在A点的北偏东80°方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数;(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).24.【2023·扬州】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=1 2∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sin B=35,⊙O的半径为3,求AC的长.25.多边形面积的求解有多种方法,通过不同方法的应用,可以求解某些边和角.【基础掌握】(1)在▱ABCD中,∠A=60°,AB=8,AD=6.求▱ABCD的面积;【灵活运用】(2)在△ABC中,AB=20,AC=15,sin B=35,求△ABC的面积.【迁移提升】(3)如图,△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上,请直接写出sin B的值.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-43x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+bx+c经过B,C两点,与x轴负半轴交于点A,连接AC,且cos∠CAB=17 17.(1)求抛物线表达式;(2)点P是抛物线上的一点.当点P在第一象限时,过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点D作DE⊥y轴于点E,连接EP,当△PDE和△BOC相似时,求点P的坐标.答案一、1.A 2.C【点拨】由题意可知,∠C =90°,因为AB =5,BC =4,所以sin A =BC AB =45.3.B 4.C5.D 【点拨】如图,由题意得,AC =32m,∠BAC =25°,BC ⊥AC .在Rt△ABC 中,∵cos∠BAC =AC AB ,∴AB =AC cos∠BAC =32cos 25°m,故选D.6.A【点拨】设CD =x m,在Rt△ADC 中,∠A =45°,∴CD =AD =x m.∴BD =(16-x )m.在Rt△BCD 中,∠B =60°,∴tan B =CD BD ,即x16-x =3,解得x =8(3-3).故选A.7.D【点拨】过点A 作AN ⊥DF 于点N ,如图.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =CD =AD ,∠ABE =∠D .设AD =4.∵F 是CD 的中点,∴DF =FC =2.根据翻折的性质可知AB =AF ,∴△AFD 是等腰三角形.∵AN ⊥DF ,∴DN =NF =1.∴在Rt△AND 中,AN =AD 2-DN 2=42-12=15.∴tan D =AN ND =151=15.∴tan∠ABE =15.故选D.8.A【点拨】∵D 为AB 的中点,AD AB =DE BC =12,∴DE =12BC .如图,取AC 的中点E 1,连接DE 1,则DE 1是△ABC 的中位线,此时DE 1∥BC ,DE 1=12BC ,∴AE 1AC =12.如图,在AC 上取一点E 2,使得DE 1=DE 2,则△DE 1E 2是等腰三角形,过点D 作DM ⊥AC ,则ME 1=ME 2,∠MDE 1+∠ME 1D =90°.∵∠B =90°,DE 1∥BC ,∴∠ADE 1=90°.∴∠A +∠AE 1D =90°.∴∠A =∠MDE 1.∵tan A =12,∴tan∠MDE 1=12.设ME 1=ME 2=x ,则DM =2x ,∴DE 1=DE 2=5x ,E 1E 2=2x .∵DE 1=12BC ,∴BC =25x .∵tan A =12,∴AB =45x .∴AC =10x .∵AE 1AC =12,∴AE 1=5x .∴AE 2=AE 1-E 1E 2=5x -2x =3x .∴AE 2AC =3x 10x =310.综上,AE AC 的值为12或310.故选A.1111二、9.51310.92【点拨】如图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B .∵点A (3,t )在第一象限,∴AB =t ,OB =3.∴tan α=AB OB =t 3=32.∴t =92.11.50【点拨】根据题意得∠ACB =90°,sin α=35,∴BC AB =35.∵BC =30m,∴30AB=35,解得AB =50m,即迎水坡坡面AB 的长度为50m.12.213.2-1【点拨】设AB =1,∵在矩形ABCD 中,E 为AD 上的点,AE =AB ,BE =DE ,∴ED =BE =AE 2+AB 2= 2.∴AD =AE +ED =1+ 2.∴tan∠BDE =AB AD =11+2=2-1.故答案为2-1.14.5【点拨】∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,OB =OD .∴∠AOB =90°.∵BD =8,∴OB =4.∵tan∠ABD =34=AO OB ,∴AO =3.在Rt△AOB 中,由勾股定理得AB =AO 2+OB 2=32+42=5.15.23【点拨】∵AB 为圆的直径,∴∠ACB =90°.∵∠BDC =∠BAC ,∴tan∠BDC =tan∠BAC .∵在Rt△ACB 中,tan∠BAC =BC AC =23,1212∴tan∠BDC =23.16.21【点拨】∵CA =CB ,CD ⊥AB ,∴AD =BD =12AB .在Rt△ACD 中,∠CAD =37°,CD =3m,∴AC =CDsin 37°≈30.6=5(m),AD =CDtan 37°≈30.75=4(m),∴CA =CB ≈5m,AB =2AD ≈8(m),∴AC +CB +AB +CD ≈5+5+8+3=21(m).∴共需钢材约21m.17.(3+2)【点拨】如图,过点O 作OC⊥BT ,垂足为C .由题意得BC ∥OM ,∴∠AOM =∠OBC =45°.∵AB =6米,AO :OB =2:1,∴AO =4米,OB =2米,在Rt△OBC 中,BC =OB ·cos 45°=2×22=2(米).∵OM =3米,∴此时点B 到水平地面EF 的距离为BC +OM =(3+2)米.18.35【点拨】如图,连接BE 交AC 于点F ,在四边形ADBE 中,∵O 为AB 的中点,DO =OE ,1313∴四边形ADBE 是平行四边形.又∵Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ,∴∠ADB =∠C =90°.∴四边形ADBE 是矩形.∴∠AEF =90°,AE =BD .又∵Rt△ABC 沿斜边AB 翻折得到△ABD ,∴AE =BD =BC =3.∵∠AEF =∠C =90°,∠AFE =∠BFC ,AE =BC ,∴△AEF ≌△BCF (AAS),∴AF =BF .设AF =BF =x ,则CF =9-x ,在Rt△FBC 中,FB 2=CF 2+BC 2,∴x 2=(9-x )2+32,解得x =5.∴AF =5.∴cos∠CAE =AE AF =35.故答案为35.三、19.【解】(1)原式=2×32-3+22×22=3-3+12=12.(2)原式=3-1-10×12+4=3-1-5+4=3-2.20.【解】(1)∠B =90°-∠A =30°.∵sin B =bc ,∴b =c ·sin B =2·sin 30°=1.∵cos B =ac ,∴a =c ·cos B =2·cos 30°= 3.(2)∠B =90°-∠A =45°.∵tan A =ab ,∴b =atan A =2tan 45°= 2.∵sin A =ac ,∴c =a sin A =2sin 45°=222=2.21.【解】过C 点作CD ⊥AB 于D ,如图.在Rt△ACD 中,∵sin A =CDAC ,cos A =ADAC ,∴sin 30°=CD 23,cos 30°=AD23.1414∴CD =12×23=3,AD =32×23=3.在Rt△BCD 中,∵tan B =CD BD,∴BD =CD tan B =332=2.∴AB =AD +BD =3+2=5.22.【解】(1)如图,连接AE ,作AE 的垂直平分线,以AE 为直径画圆,交BC 于点P′和P ″,则∠AP ′E =∠AP ″E =90°.∵∠P ′EC +∠P ′ED =180°,∠P ′AD +∠P ′ED =360°-90°-90°=180°,∴∠P ′EC =∠DAP ′.同理可得∠P ″EC =∠DAP ″.则点P ′和P ″即为所求.(2)∵在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠DAP =∠APB .∵∠PEC =∠DAP ,∴∠APB =∠PEC .∵∠B =∠C =90°,∴△ABP ∽△PCE .∴BPCE =ABPC .设PC =x ,∵BC =5,∴BP =5-x .∴5-x 1=4x ,解得x 1=1,x 2=4,∴PC 的长为1或4.当PC =1时,tan∠EPC =CE CP =11=1,当PC =4时,tan∠EPC =CE CP =14.23.【解】(1)由题意得∠NAC =80°,∠BAS =25°,∴∠CAB =180°-∠NAC -∠BAS =75°.∵∠ABC =45°,∴∠BCA =180°-∠CAB -∠ABC =60°,1515∴行进路线BC 和CA 所在直线的夹角∠BCA 的度数为60°.(2)如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D,在Rt△ABD 中,AB =32km,∠ABC =45°,∴AD =AB ·sin 45°=32×22=3(km),BD =AB ·cos 45°=32×22=3(km),在Rt△ADC 中,∠BCA =60°,∴CD =AD tan 60°=33=3(km),∴BC =BD +CD=(3+3)km,∴检查点B 和C 之间的距离为(3+3)km.24.【解】(1)直线AB 与⊙O 相切.理由:如图,连接OD .∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC ,∴∠DOB =∠OCD +∠ODC =2∠BCD ,∴∠BCD =12∠BOD .∵∠BCD =12∠A ,∴∠BOD =∠A .∵∠ACB =90°,∴∠A +∠B =90°,∴∠BOD +∠B =90°,∴∠BDO =90°,∴OD ⊥AB .又∵OD 是⊙O 的半径,∴直线AB 与⊙O 相切.1616(2)∵sin B =OD OB =35,OD =3,∴OB =5,∴BC =OB +OC =8.在Rt△ACB 中,∵sin B =AC AB =35,∴设AC =3x ,则AB =5x ,∴BC =AB 2-AC 2=4x =8,∴x =2,∴AC =3x =6.25.【解】(1)如图①.过点B 作BE ⊥AD 于点E ,∵∠A =60°,AB =8,∴BE =AB ·sin A =8×32=4 3.∵AD =6,∴▱ABCD 的面积=AD ·BE =6×43=24 3.(2)如图②,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD =AB ·sin B =20×35=12.∴BD =AB 2-AD 2=202-122=16,CD =AC 2-AD 2=152-122=9.∴BC =BD +CD =16+9=25.∴△ABC 的面积=12BC ·AD =12×25×12=150.(3)sin B =78585.【点拨】设△ABC 底边BC 上的高为h ,则h =AB ·sin B ,1717∴S △ABC =12·h ·BC =12·AB ·BC ·sin B .由题意知,AB =22+42=25,BC =12+42=17.∵S △ABC =4×4-12×2×4-12×2×3-12×1×4=7.∴sin B =2×725×17=78585.26.【解】(1)∵直线y =-43x +4与x 轴,y 轴分别交于B ,C 两点,当x =0时,y =-43×0+4=4,当y =0时,-43x +4=0,解得x =3,∴C (0,4),OC =4,B (3,0),OB =3.在Rt△AOC 中,cos∠CAB =OAAC =1717,设OA =17k ,则AC =17k .∵AC 2=OA 2+OC 2,∴(17k )2=(17k )2+42,解得k 1=1717,k 2=-1717(舍去),∴OA =17k =1,∴A (-1,0).∵抛物线y =ax2+bx +c 经过B ,C 两点,与x 轴负半轴交于点A ,-b +c =0,a +3b +c =0,=4,=-43,=83,=4.∴抛物线的表达式为y =-43x 2+83x +4.(2)设P,-43m 2+83m∵PD ∥y 轴交BC 于点D ,DE ⊥y轴于点E ,∴,-43m ∴PD =-43m 2+83m -43m =-43m 2+4m ,DE =m .∴tan∠PED =PDDE =-43m +4.∵∠PDE =∠BOC =90°,∴△PDE 和△BOC 相似分以下两种情况:当∠PED =∠CBO 时,tan∠PED=tan∠CBO=CO BO ,∴-43m+4=43,解得m=2.∴-43m2+83m+4=-43×22+83×2+4=4.∴P(2,4);当∠PED=∠BCO时,tan∠PED=tan∠BCO=BO CO ,∴-43m+4=34,解得m=3916.∴-43m2+83m+4=-43×+83×3916+4=16564.∴综上所述,当△PDE和△BOC相似时,点P1818。
复习与思考题1.什么是方程的有根区间?它与求根有何关系?P213,若f(x)€C[a,b]且f(a)f(b) c O,根据连续函数性质可知f(x) = O在[a,b]内至少有一个实根,这时称[a,b]为f(x)=O的有根区间。
2.什么是二分法?用二分法求f(x)=O的根,f要满足什么条件?P213般地,对于函数f(x)=O如果存在实数C,当x=c时,若f(c)=O,那么把x=c叫做函数f(x)=O的零点。
解方程即要求f(X)=0的所有零点。
假定f(X)=0在区间(X, y)上连续, 先找到a、b属于区间(x,y),使f(a)f(b) cO,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求f((a + b)/2),现在假设f(a) <O, f(b) AO,acb果f((a + b)/2)=O,该点就是零点,如果f((a + b)/2)< O则在区间[(a + b)/2),b]内有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f((a + b)/2) AO,则在区间[a,(a+b)/2)]内有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3.什么是函数W(x) =O的不动点?如何确定®(x)使它的不动点等价于f(x)的零点P 215.将方程f(x)=O改写成等价的形式x=W(x),若要求X*满足f(x*) = O,贝y x*=W(x*);反之亦然,称x*为函数申(x)的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法?申(X)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于④(X)的不动点P 215求f(x)=0的零点就等价于求W (x)的不动点,选择一个初始近似值x0,将它代入x N (x) 的右端,可求得X i =9(X 0),如此反复迭代有 Xk+ =^(X k ),k =0,1,2,..., ®(x)称为迭代函数,如果对任何x^<^[a,b],由兀屮=w (x k ),k =0,1,2,...得到的序列 {xk }有极限kim X k =x* ,则称迭代方程收敛,且X* =^(x*)为甲(X)的不动点,故称Xk+ =®(X k ),k =0,1,2,...为不动点迭代法。
第7章函数练习题(含答案)
函数练习题
1、在C语言中,正确的说法是( A )
A.函数内部和外部定义的变量同名是合法的
B.只要形参和实参都是变量,那么形实结合一定是地址传递
C.变量的定义和声明(也称说明)功能是相同的
D.没有return 的函数就失去了返回功能
2. 若程序中定义了以下函数
double myadd(double a,double B) { return (a+B) ;}
并将其放在调用语句之后,则在调用之前应该对该函数进行说明,以下选项中错误的说明是( A )
A) double myadd(double a,B); B) double
myadd(double,double);
C) double myadd(double b,double A); D) double
myadd(double x,double y); 3. 有以下程序
void f(int v , int w) { int t;
t=v;v=w;w=t; }
int main( )
{ int x=1,y=3,z=2; if(x>y) f(x,y); else if(y>z) f(y,z); else f(x,z);
printf(“%d,%d,%d\\n”,x,y,z); return 0; }
执行后输出结果是( C ) A) 1,2,3 B) 3,1,2 C)
1,3,2 D) 2,3,1
4. 以下叙述正确的是( C )
A) c程序由主函数构成 B) c程序由函数和过程构成 C)
c程序由函数构成
D) 在c程序中,无论是整形值还是实型值,只要在允许的范
围内,都能准确无误的表示
5. 构成c语言程序的基本结构单位是( A )
A)函数 B)过程 C)复合语句
D)语句
6. C语言规定:在一个源程序中,main函数的位置( C )。
A)必须在最开始 B)必须在系统调用的库函数的后面 C)可以
任意 D)必须在最后
7.在C语言中,下列函数经常与getchar()组合起来使用的
函数是( D )
A)scanf() B)strcpy() C)puts() D)putchar() 8.C语言自定义函数的返回值的类型是由( B )决定的。
A)return语句中的表达式类型 B)定义函数时,指定函
数值类型 C)调用函数时临时确定的 D)无法确定
9.函数的实参为数组名时,形参与实参结合的传递方式为
地址传递。
10.int func(int n) {
if (n= =0)return 0;
else if (n= =1) return 1;
else return n*n+func(n-2); }
int main() {
printf(\ return 0; }
以下程序的输出结果是: 20 35
11.以下程序的输出结果是( 6 )
int add(int a, int b) { return (a+b);} int main()
{ int x=1,y=2,z=3,s; s=add(add(x,y),z);
printf(“%d”,s); return 0; }
12. 以下程序中,主函数调用了LineMax函数,实现在N行M 列的二维数组中,找出每一行上的最大值。
请填空。
#define N 3 #define M 4
void LineMax(int x[N][M]) { int i,j,p;
for ( i=0;i<N; i++ ) { p=0;
for ( j=1;j<M; j++ )
if(x[i][p]<x[i][j]) 【1】 p=j ;
printf(″The max value in line is %d\\n″, 【2】
x[i][p] ); } } main()
{ int x[N][M]={1,5,7,4,2,6,4,3,8,2,3,1}; 【3】 LineMax(x) ; return 0; }
13. 若用数组名作为函数调用时的实参,则实际上传递给形参的是。
( A )
A) 数组首地址 B) 数组的第一个元素值 C) 数组中全部元素的值 D) 数组元素的个数
14.在C语言中,函数的数据类型是指 A 。
A) 函数返回值的数据类型 B) 函数形参的数据类型 C) 调用该函数时的实参的数据类型 D) 任意指定的数据类型
15.定义一个函数实现交换x和y的值,并将结果正确返回。
能够实现此功能的是____。
C
A) swapa(int x, int y) B) swapb(int *x, int *y) { int temp;
{ int temp;
temp=x;x=y;y=temp;
temp=x;x=y;y=temp; } }
C) swapc(int *x, int *y) D) swapd(int *x, int *y) { int temp;
{ int *temp;
temp=*x;*x=*y;*y=temp;
temp=x;x=y;y=temp; } }
16.一个函数内有数据类型说明语句如下: double x, y, z(10);
关于此语句的解释,下面说法正确的是____。
D A) z是一个数组,它有10个元素。
B) z是一个函数,小括号内的10是它的实参的值。
C) z是一个变量,小括号内的10是它的初值。
D) 语句中有错误。
17.已知函数定义如下: float fun1(int x, int y)
{ float z;
z=(float)x/y; return(z); }
主调函数中有int a=1,b=0;可以正确调用此函数的语句是____。
D
A) printf(\;
B) printf(\; C) printf(\;
D) 调用时发生错误
18.下面函数的功能是____。
B a(s1,s2)
char s1[ ],s2[ ];
{ while(s2++=s1++) ; }
A) 字符串比较 B) 字符串复制 C) 字符串连接 D) 字符串反向
19.已知:int a, *y=&a;则下列函数调用中错误的是
( D )。
A) scanf(\; B) scanf(\; C) printf(\; D) printf(\;
20.下面程序的输出结果是____。
B #include int f(char *s) { char *p=s; while(*p!='\\0') p++;
return(p-s); }
int main()
{ printf(\; return 0; }
A) 3 B) 6 C) 8 D) 0
21.下面程序的输出结果是____。
C #include int
func(int a, int b) { int c; c=a+b; return(c); } int main()
{ int x=6,y=7,z=8,r;
r=func((x--,y++,x+y),z--); printf(\; return 0; }
A) 11 B) 20 C) 21 D) 31
22.下面程序的输出结果是____。
#include int k=1; int main( ) { int i=4; fun(i);
printf (\,%d\,i,k);/* ① */ return 0; }
int fun(int m) { m+=k;k+=m; { char k='B';
printf(\,k-'A');/* ② */ }
printf(\,%d\,m,k);/* ③ */ }
① A) 4,1 B) 5,6 C) 4,6 D) A,B,C参考答案都不对② A) 1 B) -59 C) -64 D) A,B,C参考答案都不对③ A) 5,66 B) 1,66 C) 5,6 D) A,B,C参考答案都不对
23.下面程序的输出结果是____。
C #include void
fun(int n, int *s) { int f1, f2; if(n==1||n==2) *s=1;else
{ fun(n-1, &f1); fun(n-2, &f2); *s=f1+f2; } }
int main( ) { int x;
fun(6, &x);
printf(\; return 0; }
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
24.下面程序的输出结果是____。
B int w=3; int main() { int w=10;
printf(\;
( C ) ( A ) ( C )。