南通市2014届高三第三次模拟考试数学试题

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为 ．133(02xy x x +=<<313x y +-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c >>>2a b +=的最小值为 .2ac c c b ab +-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋4x4x ＋y 的最大值为 ．yx ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y yx ＋y ))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++22225484yxy x y xy x ++++=1+=1+≤1+=，22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423+⋅xy y x 43当且仅当4=，即y=2x 时等号成立．y x xy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2()a b +-,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________R y x ∈,1422=++xy y x y x +210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为 195a b+=-ab 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则y x ,1=+y x的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a 29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a =3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b bb +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=227149*********5142718427b t b bt t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x -222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。

2014年江苏省南通市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B= ______ ．【答案】{1，2}【解析】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}由A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则z= ______ ．【答案】1-i【解析】解：由z•i=1+i，得．故答案为：1-i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为______ ．【答案】【解析】解：从五个球中取出2球，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中取出的球颜色相同，共有+=2种不同情况，∴取出的球颜色相同的概率为P==，故答案为：先计算从五个球中取出2球的基本事件总数，再计算所取2球球颜色相同的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为______ ．【答案】【解析】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故答案为：．先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为______ ．【答案】1【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求y=＞的值，当x＞0时，y=2x+1=3⇒x=1；当x≤0时，y=2x+1=3⇒x=1（舍去），故答案为：1．算法的功能是求y=＞的值，分当x＞0时和当x≤0时求得输出y=3时的x值．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是______ ．【答案】2【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2-5）2+（3-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（10-5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2 ．由已知条件先求出x 的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差．本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．7.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的离心率为 ，且过点（1， ），则曲线C 的标准方程为 ______ ． 【答案】 y 2-x 2=1 【解析】解：∵曲线C 的离心率为 ， ∴a =b ，∴设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ， 代入点（1， ），可得λ=1， ∴曲线C 的标准方程为y 2-x 2=1， 故答案为：y 2-x 2=1．根据曲线C 的离心率为 ，设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ，代入点（1， ），可得λ=1，即可求出曲线C 的标准方程．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．8.已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （-x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2-ax +1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 【答案】 （2，+∞） 【解析】解：∵f （-x ）=f （x ）， ∴函数f （x ）是偶函数， ∵f （0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即 ＞＞，∴或 ， 解得a ＞2，即实数a 的取值范围（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞） 由f （-x ）=f （x ），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．9.已知正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16，则x +y 的最小值为 ______ ． 【答案】 8【解析】解：∵正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16， ∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．10.在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4．若点D满足=-2，则||= ______ ．【答案】10【解析】解：由=-2可知B为AD的中点，如图，在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4，∴，∴．在△CBD中，由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos CBD==100．∴CD=10．即||=10．故答案为：10．由题意作出图形，得到B为AD的中点，由已知条件求得 CBD的余弦值，在△CBD中利用余弦定理得答案．本题考查了平行向量与共线向量，考查了余弦定理的应用，是基础的计算题．11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=______ ．【答案】-【解析】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3-1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=-，∴f（x）=sin（x-），∴f（2）=sin（-）=sin=-sin=-，故答案为：-．根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．本题主要考查利用y=A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．12.在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是______ ．【答案】[-2，2]【解析】解：∵C的方程为x2+y2-4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，解得k2≤8，可得-2≤k≤2，故答案为：[-2，2]．由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．13.设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为______ ．【答案】3+2【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=-a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+2设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当 C变化时，线段CD长的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：如右图：∵AB=BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴BD sin ABC=sin ACB，在△BCD中，CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AB2+2+2BD sin ABC=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB=5-2cos ACB+2sin ACB=5+4sin（ ACB-45°），∴当 ACB=135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．在△ABC中，由正弦定理得BD sin ABC=sin ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB，可化为5+4sin（ ACB-45°），由此可求答案．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换，属中档题．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．本题考查直线平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，•=8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）=sin B cos B+cos2B的值域．【答案】解：（1）∵•=8，∴accos B=8，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-16，∵b=4，∴a2+c2=32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵accos B=8，∴cos B=≥，∵B∈（0，π），∴0＜B≤，∵f（B）=sin B cos B+cos2B=sin2B+（1+cos2B）=sin（2B+）+，∵＜2B+≤，∴sin（2B+）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简•=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出a2+c2的值；（2）由基本不等式求出ac的范围，根据accos B=8表示出cos B，由ac的范围求出cos B的范围，进而利用余弦函数性质求出B的范围，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设 BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【答案】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=-200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．【解析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．【答案】解：（1）由题意知，，CD=7-2a，所以a2=4c2，b2=3c2，…2分因为点，在椭圆上，即，解得c=1．所以椭圆的方程为．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB+CD=7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x-1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，所以，，所以．…10分同理，．所以，…12分令t=k2+1，则t＞1，3+4k2=4t-1，3k2+4=3t+1，设，因为t＞1，所以，，所以，，所以，．综合①与②可知，AB+CD的取值范围是，．…16分．【解析】（1）由题意知，，CD=7-2a，再由点，在椭圆上，能求出椭圆的方程．（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，AB+CD=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为．由此能求出，从而能求出AB+CD的取值范围．本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.已知函数f（x）=（x-a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）f'（x）=e x（x-a）（x-a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x-2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x-2）（x-4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n-2）2e n=e4n．设，则′，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n-2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m（m-2）2e m=n（n-2）2e n．设h（x）=x（x-2）2e x（0＜x＜2），则h'（x）=（x3-x2-4x+4）e x=（x+2）（x-1）（x-2）e x，h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此时（m-2）2e m＜4e＜e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．【解析】（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．20.各项均为正数的数列{a n}中，设S n=a1+a2+…+a n，T n=++…+，且（2-S n）（1+T n）=2，n∈N*．（1）设b n=2-S n，证明数列{b n}是等比数列；（2）设c n=na n，求集合{（m，k，r）|c m+c r=2c k，m＜k＜r，m，k，r∈N*}．【答案】解：（1）当n=1时，（2-S1）（1+T1）=2，即，解得a1=1．…2分由（2-S n）（1+T n）=2，所以①当n≥2时，②①-②，得（n≥2），…4分即，即，所以，因为数列{a n}的各项均为正数，所以数列{2-S n}单调递减，所以＜．所以（n≥2）．因为a1=1，所以b1=1≠0，所以数列{b n}是等比数列． (6)分（2）由（1）知，所以，即．由c m+c r=2c k，得（*）又n≥2时，＜，所以数列{c n}从第2项开始依次递减．…8分（Ⅰ）当m≥2时，若k-m≥2，则，（*）式不成立，所以k-m=1，即k=m+1．…10分令r=m+1+i（i∈N*），则，所以r=2i+1，即存在满足题设的数组{（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…13分（Ⅱ）当m=1时，若k=2，则r不存在；若k=3，则r=4；若k≥4时，，（*）式不成立．综上所述，所求集合为{（1，3，4），（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…16分．【解析】（1）根据等比数列的定义即可证明数列{b n}是等比数列；（2）根据数列的递推关系即可得到结论．本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的定义，考查学生的计算能力，难度较大．21.如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．【答案】证明：∵EF∥CB，∴ BCD=FED，又 BAD与 BCD是所对应的圆周角，∴ BAD=BCD∴ BAD=FED，又 EFD=EFD，∴△DEF∽△EAF．【解析】利用平行线的性质、相似三角形的判定定理即可得出．本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理，属于基础题．22.若矩阵M=把直线l：x+y-2=0变换为另一条直线l′：x+y-4=0，试求实数a 值．【答案】解：设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），则′=，所以′′…4分将点P'（x'，y'）代入直线l'：x+y-4=0，得（a-1）x+2y-4=0．即直线l的方程为．所以a=3．…10分．【解析】设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，代入直线l′的方程，即可求得实数a的值；本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，关键是正确利用矩阵的乘法公式．23.在平面直角坐标系x O y中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA•PB的值．【答案】解：根据题意设直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），设A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将代入x2+y2-2x=0，整理可得t2+2t（sinα-cosα）+1=0，则PA•PB=|t1t2|=1．【解析】设出直线l的参数方程，A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将表示出x与y代入圆C方程，得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求出所求式子的值．此题考查了直线与圆相交的性质，直线的参数方程，以及韦达定理，解题的关键是设出直线的参数方程．24.已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（）2≤．【答案】证明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，∴要证，即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．即证xy（a2-2ab+b2）≥0，即证（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0显然成立，故．【解析】利用“分析法”和不等式的性质即可证明．本题考查了“分析法”和不等式的性质证明不等式，属于基础题．25.在平面直角坐标系x O y中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足•=0，+=0．（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1+k2=2k0．【答案】（1）解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．∵可知，∴点P是MN的中点，∴，即，∴点M（-x，0），，．∴，，，．…3分∵，∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹C的方程为y2=4x．…5分（2）证明：设点Q（-1，t），由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，联立方程，整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0．…7分则△=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化简得k2+tk-1=0．由题意知k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，∴k1+k2=-t．又，∴k1+k2=2k0．∴k1+k2=2k0．…10分．【解析】（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），，，由此能求出动点N的轨迹C的方程．（2）设点Q（-1，t），联立方程，得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明k1+k2=2k0．本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率和相等的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．26.各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n+＜2．证明：（1）x n＜x n+1；（2）1-＜x n＜1．【答案】解：（1）因为x n＞0，＜，所以＜＜，所以＞，且2-x n＞0．因为．所以，所以＜，即x n＜x n+1．…4分（注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：＞．①当n=1时，由题设x1＞0可知结论成立；②假设n=k时，＞，当n=k+1时，由（1）得，＞＞．由①，②可得，＞．…7分下面先证明x n≤1．假设存在自然数k，使得x k＞1，则一定存在自然数m，使得＞．因为＜，＞＞，＞＞，…，＞，与题设＜矛盾，所以，x n≤1．若x k=1，则x k+1＞x k=1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n＜1成立．…10分．【解析】（1）通过不等式的基本性质，化简证明即可．（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合放缩法证明即可．本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．。

A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。

(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

（第4题图） 2014年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1.设全集U ={1，2，3，4，5}，若U A =ð{1，2，4}，则集合A = ．2.已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ．3.已知曲线4(0)y x x=>的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ．4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 ．5.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在乙前面值班的概率为 ．6.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在[10.95 11.15)，范围内的矩形的高应为 ．7.已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．8.要得到函数()3sin 2y x π=-3的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象向右至少平移 个单位．9.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ．10.在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3ta n C 的值为 ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：23100x y +-=与圆C ：22()()13x a y b -+-=切于点(P 2，2)，则a b +的值构成的集合是 ．12.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．BACD 1B1A1C D （第12题图）E F13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ．14．已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b ac ac--cos sin C A =sin cos C A -．（1）求角A 的大小；（2）设关于角B 的函数()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6，求()f B 的值域．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱1A A ，1C C 的中点，AC ⊥BE ，点F 在棱AB 上，且4AB AF =． （1）求证：1BC C D ⊥；（2）试在线段BE 上确定一点M ，使得1//C D 平面BFM ，并给出证明．（第16题图）1AA B C1C1B F E MD17.（本小题满分14分）如图，在半径为30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其左右焦点分别为1F ，2F．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由．19.（本小题满分16分）已知函数()()()f x x x a x b =--，其中0a b <<．（1）设函数()y f x =在点() ()A s f s ，，() ()B t f t ，处取得极值，且s t <．求证： ①0s a t b <<<<；②线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）若a b +<问：过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线是否垂直，并说明理由．20.（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11a =，11n a +=n ∈*N ，其前n 项和为n S ．（1）求证：①数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②对任意的正整数n，都有n S >（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足：212211683n n n n T Tn n a a ++=+--．试确定1b 的值，使得数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两点，AC 与BD交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵110102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ．若1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）如图，在极坐标系中，求以点)Cπ，为圆心，12为半径的圆的极坐标方程．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设{}222min b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，证明：h 1≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，B（第21题A）xO（第21—C 题）记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 3. 2；4. 120 ；5. 12； 6. 1.45； 7.1； 8.6π； 9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()379313149C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=-； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又1111A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=； 13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 ====由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.11123342223234n n n n n n n n n a a a b a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦，因为数列{}nb 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-． 二、解答题15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =得，222cos a c b B +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22BB B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos22cos22B B B +=++)11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<()f B的值域为(0．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ，又AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ，又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，1 A C C C⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ， 又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE ME =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ， M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x =（第16题图）1AA B C 1C 1BE M D= 22900x x +-≤900=（2cm ）（当且仅当22900x x=-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ； 法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r ，所以()231900V r x x x =π=-，其中(0 30)x ∈，， 由()2190030V x '=-=π得x =此时，()31900V x x =-π在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm 3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大．（2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 a b c ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+，所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，02020008822828PB y y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即0yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． 19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根，而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<，故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根， 所以0s a t b <<<<； ②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3342()()()()()()273f s f t s t a b s tab s t a b ab a b +=+-++++=-+++， ()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为：20000 32()()y y xa b x a bx x ⎡⎤-=-++-⎣⎦， 因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦， 又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()4a b ab +-； 因为0a b <<，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直．20.证明：（1）①因为11n a +=所以221114n na a +-=，故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列； ②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故n a ，因为n a =>，所以n S >+⋅⋅⋅=（2）由212211683n nn n T T n n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+， 即114143n n T Tn n +-=+-， 所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143n Tb n n =+--，令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，所以()111245413b b b +=++，解得11b =，此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 11014110022⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， B （第21题A ）解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ， 在△POC中，由余弦定理得()212cos 4ρθπ+--=4，整理得()27cos 04ρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()27cos 04ρθπ--+=4．D. 证明：依题意h a ≤，222bh a b +≤，由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤， 因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证． 22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)168P ξ===；所以ξ3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立， 则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()c o s c o s s i ns i ns i n c o s s i n c o sik x x k x x k x x x k x =-++ ()()c o s 1i s i n 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）由（1）知，[]1(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nn nrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1c o s )i s i n nx x ++=()()22c o s 2i s i n c o s 2c o s c o s i s i n2222nnnnx x x x x x +=+()2c o s c o s i s i n n n xnx nx =+， 其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o sc o s 22n n x nx =．。

2014届南通市高三一模考试前数学综合练习三数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．满足11z i -+≤的复数z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为 ▲ ． 2． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。

若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．4． 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线012=--y x 上方的概率为 ▲ ．5． 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥的高为 ▲ ． 6． 在ABC ∆中，若π6A =，π3B =，1=BC ，则BA CA ⋅的值为 ▲ ． 7． 集合()()()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0-----用描述法可表示为 ▲ ． 8． 关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为()2,1-，则关于x 的不等式bx c xba >++2的解集为 ▲ ．9． 函数x x x x y 2sin 3cos 2cos 3sin 2+++=的值域为 ▲ ． 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．11．已知函数 若12,x x ∃∈R ，12x x ≠，使得()()21x f x f =成立，则实数的取值范围是 ▲ ．12．直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ．2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩2a13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ． 14．设()1,5,4,3,2,1051==≥∑=i ii xi x ，则{}{}54433221,,,m a x mi n x x x x x x x x ++++= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设函数()x x x x x f cos sin 3cos 62sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.(1) 若4π<x ，求函数()x f 的值域；(2) 设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f ,()cos A C +=求co s C 的值；16．（本小题满分14分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于C B A ,,三点处,AC AB =,A 到线段BC 的距离40=AO ,72π=∠ABO (参考数据: 33272tan ≈π). 今计划建一个生活垃圾中转站P ,为方便运输,P 准备建在线段AO (不含端点)上.（1）设()400<<=x x PO ,试将P 到三个小区距离的最远者S 表示为的函数,并求S 的最小值；（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=∠720πααPBO ,试将P 到三个小区的距离之和y 表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y 最小?x17．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.18．（本小题满分16分）已知函数()()22ln ,f x ax a x x a =-++∈R ．（Ⅰ）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若()x f 在区间[]e ,1上的最小值为2-，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,恒有()()221122x x f x x f +<+成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分16分）设数列{}n a ，对任意n ∈N *，都有()()()n n a a a p a a b kn +++=+++ 2112 （其中p bk ,,是常数）.x（1）当4,3,0-===p b k 时，求n a a a +++ 21；（2）当0,0,1===p b k 时，若15,393==a a ，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列” .当0,0,1===p b k 时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212=-a a ，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*∈N n 都要有0≠n S ，且181111112121<+++<n S S S ，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由.第Ⅱ部分 附加题（满分40分，答卷时间30分钟）20．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵1001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求矩阵M 的特征值和特征向量；（2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32β ，求β 99M .C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx （t 为参数），点()0,1A ,()3,3-B ，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．21．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．过直线1-=y 上的动点()1,-a A 作抛物线2x y =的两切线AQ AP ,，Q P ,为切点． （1）若切线AQ AP ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k ⋅为定值； （2）求证：直线PQ 过定点．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．对有()4n n ≥个元素的总体{}n ,,3,2,1 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}m ,,3,2,1 和{}n m m ,,2,1 ++（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随 机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率. （1）求n P 1的表达式（用n m ,表示）；（2）求所有()1ij P i j n <≤≤的和.23．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体 和（是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随 机抽取个元素组成样本.用表示元素和同时出现在样本中的概率. （1）求的表达式（用表示）；（2）求所有的和.2014届南通市高三一模考试前数学综合练习三答案1．2π 2．391 3．205 4. 415．1 6. 3 7．(){}Z x y x y x ∈=+,2,22 8．()0,∞-9．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-545，10．2 11. ()()+∞∞-,21, 12．43- 13．30 14. 31 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）()4n n ≥{}n ,,3,2,1 {}m ,,3,2,1 {}n m m ,,2,1 ++m 22m n -≤≤2ij P i j n P 1n m ,()1ij P i j n <≤≤设函数()x x x x x f cos sin 3cos 62sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.(1) 若4π<x ，求函数()x f 的值域；(2) 设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f ,()cos A C +=cos C 的值；解：（1）()x x x x x f 2sin 2322cos 12cos 212sin 23++++=＝2162sin 2212cos 2sin 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++πx x x …………4分 4π<x 32623πππ<+<-∴x 162sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-∴πx …………6分 ()25321≤<-∴x f , 即()x f 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-25,321；…………7分（2）由252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f , 得16sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又A 为ABC 的内角，所以3π=A ,……9分又因为在ABC 中, ()1435cos -=+C A , 所以()1411sin =+C A ……10分 所以()()1433sin 23cos 213cos cos =+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C A C A C A C π…………14分16．（本小题满分14分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于C B A ,,三点处,AC AB =,A 到线段BC 的距离40=AO ,72π=∠ABO (参考数据: 33272tan ≈π). 今计划建一个生活垃圾中转站P ,为方便运输,P 准备建在线段AO (不含端点)上.∆∆(1) 设()400<<=x x PO ,试将P 到三个小区距离的最远者S 表示为的函数,并求S 的最小值；(2) 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=∠720πααPBO ,试将P 到三个小区的距离之和y 表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y 最小?16.解：（1）在AOB Rt ∆中,因为40=AO ,72π=∠ABO ,所以320=BO , 所以x PA -=40,21200x PC PB +==…………2分， ①若PB PA ≥，即50≤<x 时，x S -=40； ②若PB PA <，即405<<x 时，21200x S +=，从而 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=405120050402x x x x S ………………4分。

2014年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 函数()sin()3f x x πω=-的最小正周期为3π，其中0ω>，则ω= .2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则实数a = .3. 若{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，则AB = .4. 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ． 5．如果数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差是a ，若数据132x -，232x -，332x -，…，32n x -的方差为9，则a = .6. 执行右边的程序框图，若p ＝80，则输出的n 的值为 .7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x 和y ，则log (1)1x y -=的概率为 . 8．若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是______.9．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则z a b =+的最小值为 ．11. 已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在（0，4）上有两个实数解，则k 的取值范围是 .12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.若Q 为圆C 上的一个动点，则PQ MQ ⋅的最小值为 .13. 已知函数3221()(21) 1.3=++-+-+f x x x a x a a 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．14. 已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=.(第6题)二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==,求证：ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60ACB ∠=，E 、F 分别是11,AC BC 的中点．（1）证明：平面AEB ⊥平面1B CF ；（2）设P 为线段BE 上一点，且2EP PB =，求三棱锥11P B C F -的体积．P F EC 1B 1A 1CBA17.（本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 至少长3米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，∠BCD=600（1）若,CD x =,BC y =将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 长度之和）（2）如何设计,AB CD 的长，可使支架总长度最短．19.（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和S 满足9116013S <<，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为1,a ，公比为(||1)q q <，则它的所有项的和定义为11a q-）20.（本小题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，,=AB AC 过点A 的直线与其外接圆交于点P,交BC 延长线于点D. 求证：⋅=⋅AP AD AB ACB ．（选修４－２：矩阵与变换）ABC ∆的顶点A （1，2），B （3，3），C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下所得图形的面积．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交于点P . （1）求P 点的坐标；（2）求点P 与(1,5)Q -的距离.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,a b 是正数，证明：3322222a b a b a b+++≥⋅.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，PDC BA∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈（1）求证：1||a ≤1； （2）求证：()12cos 2N k a k Z π-=∈．PFEDCAB2014年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题 1. 6．263T ππωω==⇒= ;2. 1.将复数表示为(,)z a bi a b R =+∈的形式，然后由0,0a b =≠即可求；3.{}3,4.142216,222,14x x x ≤≤∴≤≤∴≤≤，即{}1,2,3,4A =. {}3,4,5B = ，{}3,4A B ∴⋂=；4. y x =±.设焦点为(,0)c ，渐近线方程为by xa=±，即0,bx ay ±=所以a =所以,a b =即渐近线方程为y x =±;5. 3.原数据的方差为a ，则新方差为2a ，而已知新方差为9，所以3a =;6. 7 .依次产生的S 和n 值分别为2,2;6,3;14,4;30,5;62,6;126,7;所以，输出的n 值为7;7.19.因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由l o g (1)1x y -=知1(1)y x x =+>，所以，满足条件的事件有: (2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则log (1)1x y -=的概率为19;8.3>t .{}|()13{()2}{()(2)}P x f x t x f x t x f x t f =++<=+<=+<，{}|()4{()(1)}Q x f x x f x f =<-=<-，因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以{}|2{2}P x x t x x t =+<=<-，{}|1Q x x =<-，要使“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则有21t -<-，即3t >；9..由题意知，弧长为4π×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r ＝1，可得圆锥高h ＝，所以容积V ＝13πr 2×h ＝13π×1.⨯;10. 4 .方程22221x y a b+=表示焦点在x 的椭圆时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z y x =+，平移直线,y x z =-+当过(2,2)时，min 4Z =; 11. 23(,3).4--()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--; 12.－4.设圆心C (,)a b ，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为222x y r +=，将点P 的坐标代入得22r =，故圆C 的方程为222x y +=，设(,)Q x y ，则222x y +=，且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +-，法一：令x α，y α=，则2sin()4x y πα+=+≥-2法二：令x y t +=，则y x t =-+，所以2PQ MQ x y ⋅=+-≥-4，PQ MQ ⋅的最小值为4- ; 13. [)7,1--.2()221'=++-f x x x a ， 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点，则方程2221++-x x a =0在区间(]1,3上有唯一解.因为抛物线21122=--+a x x 的对称轴为1=-x ，函数21122=--+a x x 在区间(]1,3单调递减，所以[)7,1∈--a ；14. 2014. n 为奇数时 1+n 为偶数 ，22(1)21=-+=--n a n n n ， n 为偶数时，1+n 为奇数，22(1)21=-++=+n a n n n ∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ，713=a ，…… ，∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220142014a a a ++=.二、解答题15. (1)由(1,2)m =，2(cos2,cos )2A n A =， 得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+ …………4分 又因为1m n ⋅=，所以，22cos cos 1A A +=解得1cos 2A =或cos 1A =- …………6分0,3A A ππ<<∴=……7分(2)在ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-且a =所以，22222122b c bc b c bc=+-⋅=+-① …………9分又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =b于是a b c ===， .…………13分 即ABC △为等边三角形. .…………14分 16．（1）在ABC ∆中，∵AC =2，BC =4,060ACB ∠=，∴AB =222AB BC AC +=， ∴AB BC ⊥.………………………………3分 由已知1AB BB ⊥，1BB BC B =，∴11AB BB C C ⊥面. …………………5分又∵AB ABE ⊂面，11ABE BB C C ⊥故平面平面，即平面AEB ⊥平面1B CF ……7分 （2）取11B C 的中点H ，连结EH ， 则//EH AB且12EH AB ==由（1）11AB BB C C ⊥面，∴11EH BB C C ⊥面， ……10分C 1A 1A∵2EP PB =，∴111111111333P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=. ……14分17. （1）因为24a =，所以，2a = ---------------------------------2分∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即22114c b+= --------------------4分224c b =-，解得22b =椭圆方程为22142x y += ------------------------------------------------------------7分（2）存在这样的点00(,)P x y .设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则121212OM ON y y k k x x ==-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩- ----------------------------------------11分所以22220012122(2)(2)x y x x y y +=+++ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 18. （1）由,CD x =则(0.5)BD x m =-，设CB y =， 则支架的总长度为AC BC BD CD +++，在BCD ∆中，由余弦定理2222cos60(0.5)x y xy x +-=-化简得 20.25y xy x -=-+ 即20.250y xy x -+-= ① ……4分 记0.5220.5l y y x x y x =++-+=+- 由20.250y xy x -+-=，则20.251y x y -=-222220.2520.52220.5420.5220.520.50.50.51111y y y y y y y l y y y y y y ---+---=+⨯-=+-=-=--------------6分（2）由题中条件得23y ≥，即 1.5y ≥设1(0.5)y t t -=≥则原式224(1)2(1)0.5484220.50.50.5t t t t t l t t+-+-++---=-=-=246 1.5 1.5 1.50.5460.54 5.5t t t t t t t++-=++-=++ ……10分0.5t ≥由基本不等式 1.54t t∴+≥有且仅当24 1.5t = ，即t =时成立，又由t = 满足0.5t ≥1y ∴=，x ∴= ∴当2,AB CD =+=金属支架总长度最短． (16)分19. （1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=------------------------------------------------------4分 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r=+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-<所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列 --------8分 （2）设抽取的等比数列首项为13m ，公比为13n，项数为k ，且,,m n k N +∈则111[1()]333()111133k m nmn nS k -=<--， -------------------------------------------10分因为9116013S <<，所以191311601313<<-， ------------------12分 所以1311(1)3391609(2)33m nn m ⎧<-⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩由（1）得到113133nm +<，所以3,1m n ≥≥， ------------13分 由（2）得到1609933m n +>， --------------------------------14分 当3,1m n ==时，适合条件，这时等比数列首项为311327=，公比为11133= 当3,1m n =>时，均不适合. 当3,1m n >≥时，均不适合.综上可得满足题意的等比数列有只有一个. ------------------16分20. （1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<. -----------------4分（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abca c b++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴111a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩， 所以，()f x的零点分别为1-1，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 由AB AC =，所以ABC ACB ∠=∠，所以,,∠=∠∠=∠ACD APC CAP CAP 所以,APCACD ∆∆所以,=AP ACAC AD所以2,=⋅AC AP AD 由AB AC =，所以⋅=⋅AP AD AB AC .………10分B ．由20120224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以，A ，B ，C 在矩阵变换下变为(2,4),(6,6),(4,2)A B C '''---，从而可得A B B C A C ''''''===，可得S=6． ………10分C. （1）将15x t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入0x y --=得t =得(1P +， ………5分（2）由(1,5)Q -，得PQ =. ………10分D. 332233222()()()222a b a b a ba b a b a b +++≥⋅⇔+≥++ ……3分3322332222()()()a b a b ab a b a b ab a a b b a b ⇔+≥+⇔+-+=--- ……6分 2()()0a b a b ⇔+-≥.当且仅当a b =时等号成立. ……10分22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP ． -----------------------------5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以PF = ---------------10分 23. （1）猜想：N K a -≤1，1≤k <N －1，k ∈N *，接下来用数学归纳法对k 进行证明：当k =1时，由2121n n a a +=-，1N a = 得 21N a -=12N a +=1 但11N a -≠ ∴1-N a =－1，∴11N a -≤成立 --------------------------------------------2分 假设k =m (1≤m <N －1，m ∈*N )时，1N m a -≤ 则21N m a --=12N m a -+∈[0，1] 所以11N m a --≤ 所以k =m+1时结论也成立.综上 ，有1N K a -≤，1≤k <N －1，k ∈*N 故有11a ≤ ----------------5分 （2）当N=2时，由12=a 且11≠a 得11cos a π=-=成立假设N=m (m ≥2)时，存在Z k ∈，使得12cos2m k a π-= ------------------7分 则当N=m ＋1时，由归纳假设，存在k ，使得23cos 2m k a π-=，则21a =212a +=3cos 122m k π-+=22cos 2m k π- 所以12cos 2m k a π-==(1)22cos 2m k π+-或12cos 2m k a π-=-=(1)2(1)2(22)cos 2m m k π+-+-- 所以无论N 取任何大于1的正整数，都存在k 使得()12cos2N k a k Z π-=∈ --10。