动力学第三章

⎡ ⎤ ⎥ ρ ⎢ γ +1 = ⎢ ⎥ ρ * ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ 2 ⎣ ⎦
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：

第三章化学动力学(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章 化学动力学3-1．在1 100 K 时，3NH (g)在金属钨丝上发生分解。

实验测定，在不同的3NH (g)的初始压力0p 下所对应的半衰期12t ，获得下列数据 0/Pa p ×104 ×104 ×104 12/min t 试用计算的方法，计算该反应的级数和速率系数。

解： 根据实验数据，反应物3NH (g)的初始压力不断下降，相应的半衰期也不断下降，说明半衰期与反应物的起始浓度（或压力）成正比，这是零级反应的特征，所以基本可以确定是零级反应。

用半衰期法来求反应的级数，根据半衰期法的计算公式12121,121,2n t a t a -⎛⎫= ⎪⎝⎭即 ()12,112,221ln /1ln(/)t t n a a =+把实验数据分别代入，计算得()()12,112,2440,20,1ln /ln 7.6/3.7110ln(/)ln(1.710/3.510)t t n p p --=+=+≈⨯⨯ 同理，用后面两个实验数据计算，得 ()ln 3.7/1.710ln(0.75/1.7)n =+≈所以，该反应为零级反应。

利用零级反应的积分式，计算速率系数。

正规的计算方法应该是分别用3组实验数据，计算得3个速率系数，然后取平均值。

这里只列出用第一组实验数据计算的结果，即010022p at k k == 4310012 3.510Pa 2.310 Pa min 227.6 minp k t -⨯===⨯⋅⨯3-2．某人工放射性元素，能放出α粒子，其半衰期为15 min 。

若该试样有80%被分解，计算所需的时间解：放射性元素的蜕变，符合一级反应的特征。

对于一级反应，已知半衰期的数值，就能得到速率系数的值，因为一级反应的半衰期是与反应物浓度无关的常数。

然后再根据一级反应的定积分式，计算分解80%所需的时间。

.2 常微分方程组的R-K方法 在化学化工动力学的实际问题中，经常遇到的是一阶微分方程组， 就如我 们在本章开始时所提到的几个例子。一阶微分方程组的一般形式为：
(3.15) 式中函数，是变元的函数。若函数族在区间上是确定且可微的，当时， 满足关系式：
则称是微分方程组(3.15)的解。 在真实的化学反应体系中，总能满足上述要求，因此一定存在数值 解，具体的解是用计算机寻找满足初始条件的数值解。 给定的初值 是已知常数。 为了书写方便，一阶微分方程组(3.15)式使用微向量表示，即 初值。 现以 （3.16） 为例说明微分方程组的R-K算法。初始条件： R-K公式为：
9.93522×10-3 1.40291×10-5 5.07574×10-5
9.87084×10-3 1.46652×10-5 1.14494×10-4
9.80689×10-5 1.46078×10-5
0.1×10-7 0.333×10-6 0.356×10-6
0 0.47×10-7 0.44×10-7
开式子： Eular法只取了前二项而忽略了高次项，所以产生了误差。
3． Runge-Kutta方法 .1 常微分方程的Runge-Kutta方法 Runge-Kutta方法是建立在泰勒公式基础上的一种方法。通常采用 的是四
阶R－K公式，即考虑了泰勒公式中四次项，而Eular公式只取了一次 项。故R-K公式比Eular公式有了很大的改进。R-K方法在求解范围大、 精度要求主的情况下是一种比较好的方法，并且计算工作量不算太大， 所以在化学化工中应用颇多。 四阶的R-K公式为：
有已斜率的小线段，即可得方向场的略图(图3-2)
从方向场各点的略图可以推出微分方程的原函数图形。例如画出微
分方程的方向场略图，其解为：在平面上（除原点外）的若干个点，画

R p = kp
☺
fkd kt
1/2
[ I ]1/2[M]
解释：体系粘度随转化率提高，链段重排受到阻碍，
活性末端甚至可能被包埋，双基终止困难，终止速率常 数 kt 显著降低；但此时，体系粘度还不足以严重妨碍单 体扩散，增长速率常数 kp 变化不大,活性链寿命延长， 因此自动加速显著，分子量也同时迅速增加。 转化率继续升高后，粘度大到妨碍单体活动的程 度，增长反应也受扩散控制，此时 kp 开始变小,当综 1/2 合值 kp kt 减小时, 聚合速率开始逐渐降低,直到不 能再继续聚合为止。
18
ln2 0.693 kd = = = 4.375×10-6 s -1 t1 / 2 44 ×3600
fk d 1 2 Rp = k p ( ) c(I)1 2 c(M) kt
1×4.37×10- 1 2 -3 1/ 2 -6 Rp = 145×( ) × (4.0 × 10 ) × 0 . 2 = 4 . 58 × 10 (mol/L• s) 7.0×107
体系体积随聚合反应进行而收缩。实验证明，当一定量单体聚合 时，体系体积收缩与单体转化率成正比，所以测定不同聚合时间 体积，可计算聚合速率。
5
3.7 聚合速率
转化率C(%)与聚合时体积收缩率△V/V0成线性关系：
V 1 X C% = V0 * K
式中，△V为体积收缩值（即聚合物体积与单体体积差）； V0为原始体积值； K为体积变化率。
16
聚合速率对单体浓度呈一级反应是单体自由基形成速率
很快、对引发速率无甚影响的结果。如果初级自由基与
单体的引发反应较慢，可与引发剂分解速率相比拟。
Ri =2fkd[ I ] [M]
Rp = kp fkd kt

为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
2
12
12
δϕ1
M g2
13
1
1
2
g1
x g2
x g3
3
M2' 右转 轴承O3： ϕ 3 ≡ 0 轴承
& 左转， ϕ1 左转，故M13'右转 右转
M 13 = M 13′ = M 1
& & ϕ3r = ϕ31 左转
（3）加惯性力 ） && 左转， && && && 左转， && ϕ1 = ϕ 左转， ϕ 2 = 2ϕ1 左转， ϕ 3 = 0 曲柄O 简化中心为O 曲柄 1O3：简化中心为 1
r r r Fi + N i + Fgi = 0
r r r r & ∆Pi = ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0
& 在此瞬时，相应的位形上给第 个质点虚速度 r 在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ∆ri ，第i个质点的虚功率 个质点的虚功率
对于系统可得： 对于系统可得：
& && & ∆PC = ( −mg sin θ − RgC ) ∆vC + ( -M gC ) ∆ϕC = - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ

1 d pB υ ν B dt
（4）单位为mol· L-1· s-1
7
影响化学反应速率的内因是：反应物的本性。 影响化学反应速率的外因是：反应的各种条件， 主要包括反应物浓度、温度和催化剂
8
3.2浓度对反应速率的影响——速率方程式
3.2.1 化学反应速率方程 对于一般反应：aA+bByY+zZ 反应速率与反应物浓度间的定量关系为： =kc (A) c (B) 称为化学反应的速率定律或反应的速率方程式
1 k υ α β c Ac B
单位由反应级数而定: 零级反应k的单位为mol· L -1 · s-1, 一级反应k的单位为s-1， 二级反应k的单位为mol -1· L ·s-1 。 它是表征化学反应速率相对大小的物理量。大小 11 与浓度无关，但与温度有关。
2.反应级数 、——c (A)、 c(B)的指数，称为反应级数。 一般有， ≠a、 ≠b 如果=1，表示该反应对A物质为一级反应。 =2 表示该反应对B物质是二级反应。 +——反应总级数。 ★注意： 反应级数由实验确定。可以是零、正整数、分 数和负数。
35
活化络合物：指运动着的两种(或多种)反应物 分子逐渐接近并落入对方的影响范围之内而 形成的处于反应物与产物之间的一种结合状 态。例如下列反应中 NO+ O3─→O2+NO2 NO+ O3─→[O—NOO—O] ─→ O2+NO2 反应物转化为生成物的过程中，分子构型发生 连续变化，生成了活化络合物，它所处的状态 称为过渡状态。
15
3.2.3 确定化学反应速率方程的方法 ------初始速率法
其基本要点为： ①将反应物按不同的组成配制一系列混合物 ②先只改变一种反应物A的浓度，保持其它反 应物浓度不变 ③反应在某一温度下开始进行，记录一定时间间隔内 A的浓度变化，作出图cA-t，确定t=0时的瞬时速率。 若能得到至少两个不同cA条件下瞬时速率，就可确 定A的反应级数。 ④同样的方法，确定其它反应物的反应级数。 这种由反应物初始浓度的变化确定反应速率和 速率方程式的方法，称为初始速率法。

1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。

Arrhenius理论假定Ea与温度无关,但与碰撞理
论相比较, Ea却是和温度有关的,即 Ea = f (T)
一般来说,当Ec较大且在低温下反应时,Ea=Ec; 当Ec较小且在高温下反应时,只有采用 ln( k 2 ) 1 1 作图才能得较为理想的直线。
上一内容 下一内容
T
T
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五、概率因子 碰撞理论假定分子为刚性硬球,主要考虑了硬
假设A、B双分子的反应是：
A + B A B 产物
只有处于活化状态的（A……B）才能进一步反
应，利用Maxwell的速率分布定律、玻尔兹曼
分布律及统计力学，可得出反应的活化能：
E N0 a
上一内容 下一内容


返回
四、碰撞理论的反应速率公式与讨论 依据分子碰撞理论的两个基本假定，反应速率 公式有二：
以上这些问题在分子碰撞理论中将予解释。
上一内容
下一内容
返回
二、分子碰撞理论和碰撞频率 （一）分子碰撞模型 ⑴分子碰撞的弹性刚球模型： 假定分子是刚性的实心球体,分子占有一定体 积,不考虑分子作用力,分子不能压缩。刚球为 光滑表面,碰撞无摩擦阻力,碰撞时切面方向和 对相对速度不产生任何影响,分子的碰撞是弹 性碰撞。
e
E0 / RT
用此式可求出具有能量ε（≥ 0 ）的分子分数。式 0 E0 / N(N0为 中kB为玻尔兹曼常数，显然 0 Avogadro常数)。这表明反应速率常数与能量大 0 于 （即 E0 / N 0 ）的分子数成正比。 可见，只有具有能量大于 0 的反应物分子才能进 行反应。可见，温度的影响表现在活化能因子 - E0 / RT 上，即活化分子的百分数上，由于T是在 e 指数项上，故其影响显著。

第三章充气轮胎动力学§3-1 概述轮胎是车辆重要的组成部分，直接与地面接触。

其作用是支承整车的重量，与悬架共同缓冲来自路面的不平度激励，以保证车辆具有良好的乘坐舒适性和行驶平顺性；保证车轮和路面具有良好的附着性，以提高车辆驱动性、制动性和通过性，并为车辆提供充分的转向力。

一、轮胎运动坐标系二、车轮运动参数1．滑动率2．轮胎侧偏角a3．轮胎径向变形§3-2 轮胎的功能、结构及发展轮胎的基本功能包括：1)支撑整车重量；2)与悬架元件共同作用，衰减由路面不平引起的振动与冲击；3)传递纵向力，以实现驱动和制动；4)传递侧向力，以使车辆转向并保证行驶稳定性。

为实现以上功能，任何一个充气轮胎都必须具备以下基本结构：(1)胎体(2)胎圈(3)胎面常用的车用充气轮胎有两种，即斜交轮胎和子午线轮胎。

二者在结构上有明显不同，主要区别在于胎体帘线角度的不同。

所谓“帘线角”即为胎体帘布层单线与车轮中心线形成的夹角。

根据车辆动力学研究内容的不同，轮胎模型可分为：(1)轮胎纵滑模型主要用于预测车辆在驱动和制动工况时的纵向力。

(2)轮胎侧偏模型和侧倾模型主要用于预测轮胎的侧向力和回正力矩，评价转向工况下低频转角输入响应。

(3)轮胎垂向振动模型主要用于高频垂向振动的评价，并考虑轮胎的包容特性(包含刚性滤波和弹性滤波特性)。

这里仅对几种常用的轮胎模型给予介绍。

(1)幂指数统一轮胎模型幂指数统一轮胎模型的特点是：。

1)采用了无量纲表达式，其优点在于由纯工况下的一次台架试验得到的试验数据可应用于各种不同的路面。

当路面条件改变时，只要改变路面的附着特性参数，代人无量纲表达式即可得该路面下的轮胎特性。

2)无论是纯工况还是联合工况，其表达式是统一的。

3)可表达各种垂向载荷下的轮胎特性。

4)保证了可用较少的模型参数实现全域范围内的计算精度，参数拟合方便，计算量小。

在联合工况下，其优势更加明显。

5)能拟合原点刚度。

(2)“魔术公式”轮胎模型“魔术公式”轮胎模型的特点是：1)用一套公式可以表达出轮胎的各向力学特性，统一性强，编程方便，需拟合参数较少，且各个参数都有明确的物理意义，容易确定其初值。

x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
第3章 单自由度体系
• 单自由度体系，就是只有1个自由度的结构动力系统，是最 简单也是最重要的结构振动系统。其重要性体现在：
– 工程实际中许多结构体系简化为单自由度体系，得到的 结果具有相当高的精度，完全满足工程误差要求，而对 单自由度体系的研究比对多自由度体系的研究简便得 多；
– 单自由度体系振动的研究和结论是研究多自由度体系和 无限自由度体系的基础。
弯矩图如右下图所示，由结构力学的图乘法
1
l/2
1
EI
δ
M
l/4
δ = 1 (1 ⋅ l ⋅l × 2 ⋅ l + 1 ⋅ l ⋅ l × 2 ⋅ l × 2) = 5l 3
EI 2 2 3 2 2 4 2 3 4
48EI
将柔度系数带入变形方程并化简得
m&y& +
48EI 5l 3
y
=0
例3.9 简支梁的右端为弹簧支承，跨中有一集中质量。
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)

4.数据处理：
5.实验结论：即：a F
6.注意事项：
M
小车质量不变：a F 合外力不变：a 1 M
四.牛顿第二定律
1.内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质 量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
表达式：F合
注意：
Ma或a
F合 M
①若M与a不是国际单位的时候，F的单位也不是牛顿
第三章 动力学
一.牛顿第一定律
1.内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作 用在它上面的力迫使它改变这种状态。 对牛顿第一定律的理解：
①前半句话讲惯性，这种保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质叫作惯性。 注意：惯性是一切物体的固有属性，仅与质量有关，与物体是否运动是否受力无关，惯 性大运动状态难改变，反之容易改变。 ②后半句话揭示了力与运动关系：即力是改变物体运动状态的原因（力是产生加速的原 因）。 注意： ①牛顿第一定律不是实验定律，是由理想实验加科学的逻辑推理得到的。 ②牛顿第一定律所描述的是物体不受外力作用时的状态，物体所受合外力为零也适用。 ③牛顿第一定律定义了惯性参考系（惯性参考系是指牛顿第一定律成立的参考系，即静 止或匀速直线运动的参考系），牛顿第一定律不是牛顿第二定律的特例，它是牛顿第二 定律的前提 。 惯性参考系：匀速直线运动状态或静止状态的物体所作的参考系。
1.真重：物体的重力，G＝mg 2.视重：当将物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计或台秤的示数
称为“视重”，大小等于弹簧测力计所受的拉力或台秤所受的压力。
3.超重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受重力的现象。此时：
视重>真重。
4.失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受重力的现象。此时：

1 2 Jz = ml 12
1 2 3 ρz = l = l 12 6
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量： 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
Jz =
∫
m
0
R dm = mR
2
2
Jz = m 2 R
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量： 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
ρz = R
m = 2πr dr ⋅ ρA i i i m 式中： ρA = 2
Jxy = ∑ xy m
分别称为刚体对轴y和 , 分别称为刚体对轴 和z,对轴 z和x以及对轴 和y的惯性积。 以及对轴x和 的惯性积。 和 以及对轴 惯性积可正、可负， (2) 惯性积可正、可负，也可等 于零（转动惯量永远是正） 于零（转动惯量永远是正）。
刚体对任意轴的转动惯量 把式（1）和式 和式（2）代入（a）式最后得 代入（ 把式 和式 代入 ） 刚体对于轴OL的 刚体对于轴OL的转动惯量 J = Jx cos2 α + Jy cos2 β + Jz cos2 γ
M o (mv) = ml 2ω sin θ
方向同上 故有： Lo = 2ml
2
ω sin θ
若考虑杆子的质量，则需要进行积分。
3.平动刚体对固定点的动量矩 平动刚体对固定点的动量矩 设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径 是 ri ,该点的质量为mi，速度大小是 vi 。 该质点对点O 的动量矩为 MO(mivi) = ri ×mivi LO =∑ MO(mivi) = ∑ ri ×mivi 因为刚体平动 v i= v = v C
2.质点系动量矩的计算 质点系动量矩的计算
◆质点系对点的动量矩：
LO = ∑MO(mivi) =∑r × mivi

第2章function VTB2(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0)%单自由度系统的谐迫振动clcwn=sqrt(k/m);z=c/2/m/wn;lan=w/wnwd=wn*sqrt(1-z^2);A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);t=0:tf/1000:tf;phi1=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);phi2=atan2(2*z*lan,1-lan^2);B=wn^2*f0/k/sqrt((wn^2-w^2)^2+(2*z*wn*w)^2);x=A*exp(-z*wn*t).*sin(sqrt(1-z^2)*wn*t+phi1)+B*sin(w*t-phi2);plot(t,x),gridxlabel('时间(s)')ylabel('位移')title('位移与时间的关系')function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应%VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%程序中z为阻尼系数ξ;wn为固有频率ωn;A为振动幅度;phi为初相位θclcwn=sqrt(k/m);z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z^2);fprintf('固有频率为%.s.\n',wd);fprintf('阻尼系数为%.3g.\n',z);fprintf('有阻尼的固有频率为%.s.\n',wd);t=0:tf/1000:tf;if z<1A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0)x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);fprintf('A=%.3g\n',A);elseif z==1a1=x0;a2=v0+wn*x0;fprintf('a1=%.3g\n',a1);fprintf('a2=%.3g\n',a2);x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t);elsea1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);fprintf('a1=%.3g\n',a1);fprintf('a2=%.3g\n',a2);x=exp(-z*wn*t).*(a1*exp(-wn*sqrt(z^2-1)*t)+a2*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t)); endplot(t,x),gridxlabel('时间(s)')ylabel('位移')title('位移与时间的关系')function jzdd%矩阵迭代法求系统的三阶固有频率和主阵型clear allclose allfid1=fopen('A-1','wt'); %建立主振型文件fid2=fopen('B-1','wt'); %建立固有频率文件%输入质量矩阵M(1,1)=2;M(2,2)=;M(3,3)=1;%输入刚度矩阵K(1,1)=5;K(1,2)=-2;K(2,1)=-2;K(2,2)=3;K(2,3)=-1;K(3,2)=-1;K(3,3)=1%计算特征值与特征向量D=inv(K)*M; %原始动力矩阵A=ones(3,1); %初始振型for i=1:3 %计算三阶固有频率和主振型pp0=0;iB=D*A;pp=B(3); %B(3)为B中的最后一个元素A=B/B(3);while abs((pp-pp0)/pp)>pp0=pp;B=D*A;pp=B(3);A=B/B(3);endf=sqrt(pp)/2/pi %固有频率单位转换为Hzfprintf(fid1,'%',A); %输入主振型数据fprintf(fid2,'%',f); %输入固有频率数据D=D-A*A'*M/(A'*M*A*pp);endfid1=fopen('A-1','rt'); %打开主振型文件A=fscanf(fid1,'%f',[3,3]) %主振型写成矩阵fid2=fopen('B-1','rt'); %打开固有频率文件f=fscanf(fid2,'%f',[3,1]) %固有频率写成矩阵t=1:3;h1=figure('numbertitle','off','name','0','pos',[50 200 420 420]); bar(t,f(t,1)),xlabel('频率阶级次'),ylabel('Hz'),title('固有频率'),hold on,gridh1=figure('numbertitle','off','name','1','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,1)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('1阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','2','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,2)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('2阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','3','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,3)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('3阶主振型'),hold on,gridpauseend%; %传递矩阵方法求固有频率clear all,clear closeJ1=1;J2=1;J3=2;k2=1100000;k3=1200000;k4=100000;fid=fopen('chuandi','wt'); %建立（打开）速度文件M1L=0;for WN=0::2000shita1R=1;M1R=-WN^2*J1;shita2R=shita1R+1/k2*M1R;M2R=shita1R*(-WN^2*J2)+(1+(-WN^2*J2)/k2)*M1R;shita3R=shita2R+1/k3*M2R;M3R=shita2R*(-WN^2*J3)+(1+(-WN^2*J3)/k3)*M2R;shita4R=shita3R+1/k4*M3R;if abs(shita4R)<WN %搜索到的固有频率(rad/s),并显示shita=[shita1R;shita2R;shita3R;shita4R];%搜索到振型,并显示bar(shita),xlabel('对应的质量块'),ylabel('振型向量')pauseendfprintf(fid,'%',shita4R);endfid=fopen('chuandi','rt');x=fscanf(fid,'%f',[1,200001]);t=1:200001;plot*t,x);grid,xlabel('频率rad/s'),ylabel('第四个质量块的转角(rad/s)'),title('用传递矩阵法求固有频率')function cdjz2%; %传递矩阵方法求固有频率clear all,clear closeJ1=;J2=1;k2=100000;k3=100000;fid=fopen('chuandi3','wt'); %建立（打开）速度文件M1L=0;for WN=0::2000shita1R=1;M1R=-WN^2*J1;shita2R=shita1R+1/k2*M1R;M2R=shita1R*(-WN^2*J2)+(1+(-WN^2*J2)/k2)*M1R;shita3R=shita2R+1/k3*M2R;if abs(shita3R)<WN %搜索到的固有频率(rad/s),并显示shita=[shita1R;shita2R;shita3R;] %搜索到振型,并显示bar(shita),xlabel('对应的质量块'),ylabel('振型向量')pauseendfprintf(fid,'%',shita3R);endfid=fopen('chuandi3','rt');x=fscanf(fid,'%f',[1,200001]);t=1:200001;plot*t,x);grid,xlabel('频率rad/s'),ylabel('第四个质量块的转角(rad/s)'),title('用传递矩阵法求固有频率')function zuoye8%矩阵迭代法求系统的三阶固有频率和主阵型clear allclose allfid1=fopen('A-2','wt'); %建立主振型文件fid2=fopen('B-2','wt'); %建立固有频率文件%输入质量矩阵M(1,1)=1;M(2,2)=1;M(3,3)=1;%输入刚度矩阵K(1,1)=2;K(1,2)=-1;K(2,1)=- 1;K(2,2)=2;K(2,3)=- 1;K(3,2)=- 1;K(3,3)= 1%计算特征值与特征向量D=inv(K)*M; %原始动力矩阵A=ones(3,1); %初始振型for i=1:3 %计算三阶固有频率和主振型pp0=0;iB=D*A;pp=B(3); %B(3)为B中的最后一个元素A=B/B(3);while abs((pp-pp0)/pp)>pp0=pp;B=D*A;pp=B(3);A=B/B(3);endf=sqrt(pp)fprintf(fid1,'%',A); %输入主振型数据fprintf(fid2,'%',f); %输入固有频率数据D=D-A*A'*M/(A'*M*A*pp);endfid1=fopen('A-2','rt'); %打开主振型文件A=fscanf(fid1,'%f',[3,3]) %主振型写成矩阵fid2=fopen('B-2','rt'); %打开固有频率文件f=fscanf(fid2,'%f',[3,1]) %固有频率写成矩阵t=1:3;h1=figure('numbertitle','off','name','0','pos',[50 200 420 420]);bar(t,f(t,1)),xlabel('频率阶级次'),ylabel('Hz'),title('固有频率'),hold on,gridh1=figure('numbertitle','off','name','1','pos',[50 200 420 420]);bar(t,A(t,1)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'),title('1阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','2','pos',[50 200 420 420]);bar(t,A(t,2)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'),title('2阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','3','pos',[50 200 420 420]);bar(t,A(t,3)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'),title('3阶主振型'),hold on,gridpauseendfunction zuoye9%矩阵迭代法求系统的三阶固有频率和主阵型clear allclose allfid1=fopen('A-3','wt'); %建立主振型文件fid2=fopen('B-3','wt'); %建立固有频率文件%输入质量矩阵M(1,1)=4;M(2,2)=2;M(3,3)=1;%输入刚度矩阵K(1,1)=4;K(1,2)=-1;K(2,1)=- 1;K(2,2)=2;K(2,3)=- 1;K(3,2)=- 1;K(3,3)= 1 %计算特征值与特征向量D=inv(K)*M; %原始动力矩阵U=inv(K)A=ones(3,1); %初始振型for i=1:3 %计算三阶固有频率和主振型pp0=0;iB=D*A;pp=B(1); %B(1)为B中的第一个元素A=B/B(1);while abs((pp-pp0)/pp)>pp0=pp;B=D*A;pp=B(1);A=B/B(1);endf=sqrt(pp)fprintf(fid1,'%',A); %输入主振型数据fprintf(fid2,'%',f); %输入固有频率数据D=D-A*A'*M/(A'*M*A*pp);endfid1=fopen('A-3','rt'); %打开主振型文件A=fscanf(fid1,'%f',[3,3]) %主振型写成矩阵fid2=fopen('B-3','rt'); %打开固有频率文件f=fscanf(fid2,'%f',[3,1]) %固有频率写成矩阵t=1:3;h1=figure('numbertitle','off','name','0','pos',[50 200 420 420]); bar(t,f(t,1)),xlabel('频率阶级次'),ylabel('Hz'),title('固有频率'),hold on,gridh1=figure('numbertitle','off','name','1','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,1)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('1阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','2','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,2)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('2阶主振型'),hold on,gridpauseh1=figure('numbertitle','off','name','3','pos',[50 200 420 420]); bar(t,A(t,3)),xlabel('自由度（质量块）'),ylabel('振型向量'), title('3阶主振型'),hold on,gridpauseendfunction cdjz2%; %传递矩阵方法求固有频率clear all,clear closeJ1=;J2=1;k2=10000;k3=10000;fid=fopen('chuandi3','wt'); %建立（打开）速度文件M1L=0;for WN=0::2000shita1R=1;M1R=-WN^2*J1;shita2R=shita1R+1/k2*M1R;M2R=shita1R*(-WN^2*J2)+(1+(-WN^2*J2)/k2)*M1R;shita3R=shita2R+1/k3*M2R;if abs(shita3R)<WN %搜索到的固有频率(rad/s),并显示shita=[shita1R;shita2R;shita3R;] %搜索到振型,并显示bar(shita),xlabel('对应的质量块'),ylabel('振型向量')pauseendfprintf(fid,'%',shita3R);endfid=fopen('chuandi3','rt');x=fscanf(fid,'%f',[1,200001]);t=1:200001;plot*t,x);grid,xlabel('频率rad/s'),ylabel('第三个质量块的转角(rad/s)'),title('用传递矩阵法求固有频率')第3章function vtb3(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0,delt)%用欧拉法计算单自由度系统谐迫振动响应wn=sqrt(k/m); %计算固有频率fid1=fopen('disp','wt'); %建立一个位移文件for t=0:delt:tf; %delt为时间步长xdd=(f0*sin(w*t)-k*x0-c*v0)/m; %计算加速度xd=v0+xdd*delt; %计算速度x=x0+xd*delt; %计算位移xfprintf(fid1,'%',x0); %向文件中写数据x0=x;v0=xd;tendfid2=fopen('disp','rt'); %打开文件n=tf/delt; %文件中位移的个数x=fscanf(fid2,'%f',[1,n]); %将文件中文艺写成矩阵t=1:n;plot(t,x),gridxlabel('时间(s)')ylabel('位移(s)')title('位移与时间的关系')function vtb4(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0,delt)%用改进的欧拉法计算单自由度系统谐迫振动响应wn=sqrt(k/m); %计算固有频率fid1=fopen('disp','wt'); %建立一个位移文件for t=0:delt:tf; %delt为时间步长xdd=(f0*sin(w*t)-k*x0-c*v0)/m; %计算加速度x3d=(f0*w*cos(w*t)-k*v0-c*xdd)/m;xd=v0+xdd*delt+x3d*delt^2/2; %计算速度x=x0+xd*delt+xdd*delt^2/2; %计算位移xfprintf(fid1,'%',x0); %向文件中写数据x0=x;v0=xd;tendfid2=fopen('disp','rt'); %打开文件n=tf/delt; %文件中位移的个数x=fscanf(fid2,'%f',[1,n]); %将文件中文艺写成矩阵t=1:n;plot(t,x),gridxlabel('时间(s)')ylabel('位移(s)')title('位移与时间的关系')function vtb5(tf,delt) %用线性加速度法计算三自由度系统谐迫振动响应，tf为仿真时间,delt为仿真时间步长deltclose all;clcfid1=fopen('disp5','wt'); %建立一个位移文件m=2*[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; %质量矩阵c=*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %阻尼矩阵k=50*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %刚度矩阵x0=[1 1 1]'; %初始位移v0=[1 1 1]'; %初始速度md=inv(m+delt/2*c+1/6*delt^2*k);m1=inv(m);[E,F]=eig(m1*k);diag(sqrt(F)); %计算固有频率（rad/s）for t=0:delt:tf; %delt为时间步长f=[*sin*t) *cos*t) *sin*t)]';if t==0; xdd0=m1*(f-k*x0-c*v0); %计算初始加速度elsex=md*(m*(x0+delt*v0+delt^2/3*xdd0)+c*(delt/2*x0+delt^2/3*v0+delt^3/12*xdd0)+delt^2/6*f);%计算位移xdd=6/delt^2*(x-(x0+delt*v0+delt^2/3*xdd0)); %计算加速度xd=v0+delt/2*(xdd0+xdd);%计算速度xdd0=xdd;v0=xd;x0=x;fprintf(fid1,'%',x0);%向文件中写数据t %显示计算时间步长endendfid2=fopen('disp5','rt'); %打开文件n=tf/delt; %文件中位移的个数x=fscanf(fid2,'%f',[3,n]); %将文件中的位移写成矩阵t=1:n;figure('numbertitle','off','name','自由度-1的位移','pos',[450 180 400 420]);plot(t,x(1,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-1的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-2的位移','pos',[350 160 400 420]);plot(t,x(2,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-3的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-3的位移','pos',[250 140 400 420]);plot(t,x(3,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-3的位移与时间的关系')function vtb6(tf,delt) %用线纽马克-β法计算三自由度系统谐迫振动响应,tf为仿真时间,delt为仿真时间步长deltclose all;clcfid1=fopen('disp6','wt'); %建立一个位移文件m=2*[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; %质量矩阵c=*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %阻尼矩阵k=50*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %刚度矩阵x0=[1 1 1]'; %初始位移v0=[1 1 1]'; %初始速度bita=1/6;md=inv(m+delt/2*c+bita*delt^2*k);m1=inv(m);[E,F]=eig(m1*k);diag(sqrt(F)); %计算固有频率（rad/s）for t=0:delt:tf; %delt为时间步长f=[*sin*t) *cos*t) *sin*t)]';if t==0; xdd0=m1*(f-k*x0-c*v0); %计算初始加速度elsexdd=md*(f-c*(v0+delt/2*xdd0)-k*(x0+delt*v0+(1/2-bita)*delt^2*xdd0)); %计算加速度xd=v0+delt/2*(xdd0+xdd);%计算速度x=x0+delt*v0+delt^2/2*xdd0+bita*delt^3*(xdd-xdd0)/delt; %计算位移v0=xd;x0=x;fprintf(fid1,'%',x0);%向文件中写数据t %显示计算时间步长endendfid2=fopen('disp6','rt'); %打开文件n=tf/delt; %文件中位移的个数x=fscanf(fid2,'%f',[3,n]); %将文件中的位移写成矩阵t=1:n;figure('numbertitle','off','name','自由度-1的位移','pos',[450 180 400 420]);plot(t,x(1,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-1的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-2的位移','pos',[350 160 400 420]);plot(t,x(2,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-2的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-3的位移','pos',[250 140 400 420]);plot(t,x(3,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-3的位移与时间的关系')function vtb7(tf,delt) %用威尔逊θ法计算三自由度系统谐迫振动响应,tf为仿真时间,delt为仿真时间步长deltclose all;clcfid1=fopen('disp7','wt'); %建立一个位移文件m=2*[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; %质量矩阵c=*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %阻尼矩阵k=50*[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]; %刚度矩阵x0=[1 1 1]'; %初始位移v0=[1 1 1]'; %初始速度theta=;md=inv(k+3*c/theta/delt+6/(theta*delt^2)*m);m1=inv(m);[E,F]=eig(m1*k);diag(sqrt(F)); %计算固有频率（rad/s）for t=0:delt:tf; %delt为时间步长f=[*sin*t) *cos*t) *sin*t)]';if t==0; xdd0=m1*(f-k*x0-c*v0); %计算初始加速度elsextheta=md*(m*(2*xdd0+6/theta/delt*v0+6/(theta*delt)^2*x0)+c*(theta*delt/2*xdd0+2*v0+3/theta/delt* x0)+f); %计算（t+θdelt）时刻的速度xddtheta=6/(theta*delt)^2*(xtheta-x0)-6/theta/delt*v0-2*xdd0; %计算(t+θdelt）时刻的加速度xdd=(1-1/theta)*xdd0+1/theta*xddtheta; %计算(t+delt）时刻的加速度xd=v0+delt/2*(xdd0+xdd); %计算（t+delt）速度x=x0+delt*v0+delt^2*(2*xdd0+xdd)/6; %计算（t+delt）位移v0=xd;x0=x;xdd0=xdd;fprintf(fid1,'%',x0);%向文件中写数据t %显示计算时间步长endendfid2=fopen('disp7','rt'); %打开文件n=tf/delt; %文件中位移的个数x=fscanf(fid2,'%f',[3,n]); %将文件中的位移写成矩阵t=1:n;figure('numbertitle','off','name','自由度-1的位移','pos',[450 180 400 420]);plot(t,x(1,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-1的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-2的位移','pos',[350 160 400 420]);plot(t,x(2,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-2的位移与时间的关系')figure('numbertitle','off','name','自由度-3的位移','pos',[250 140 400 420]);plot(t,x(3,t)),grid,xlabel('时间*秒'),title('自由度-3的位移与时间的关系')。

2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
单自由度机械系统的动力学方程2 q
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解
注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）

C yt C yt C yt
tb
wb
三、力矩系数及压力中心
细长旋成体对头部俯仰力矩
L dS L dYt 2 2 V x dx M zt x dx V xdS 0 0 0 dx dx L
2 V d S x Sdx V S ( L) L V 0
1
V L Sdb
细长体压心与几何参数有关，与气动参数无关 实际应用中 ①头部压心
x
p tb
1
Vtb x p Ltb Ssh
②尾部收缩段压心 ③旋成体
x
xp
p wb

L 0.5 Lwb
p tb yt wb p wb
C x C x
细长体压强分布： 物面上 C p C p1 C p 2 对空间任一点，不能叠加
二、法向力系数
只有横向流产生法向力
Yt P cos Rd dx C p 2 q cos Rd dx
Yt q dx C p 2 cos Rd q dx 4
Cxt1 Cxb 0
dR C p 2 q Rd dx dx
Cxt1 0
X t C p 2 q Rd dx sin
五、升力、阻力
C y C yt cos Cxt sin C yt Cx C yt sin Cxt cos C yt Cxt
0 不对称的锥形激波
§3－3 细长旋成体小迎角气动力特性
一、压强分布－ C p公式
P P dP V2 dP P P d ( ) VdV 2

最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值

19
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
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工程流体力学
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工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
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工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
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