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2014年第14届“中环杯”小学数学竞赛试卷（五年级初赛）一、简答题1．（2011•船营区校级自主招生）（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）2．最接近2013的质数是．3．黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．4．一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科技馆的有2人，既参观植物馆又参观动物馆的有5人，既参观植物馆又参观科技馆的有2人，既参观动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有人这三个馆都没有参观．5．如图，∠B=30°，∠D=20°，∠A=60°，则∠BCD（图中有圆弧部分的那个角）的度数为°．6．一次考试中，小明需要计算37+31xa的值，结果他计算成了37+31+a．幸运的是，他仍然得到了正确的结果．则a=．7．某次射箭比赛，满分是10分，初赛阶段淘汰所有参赛者的50%．已知进入复赛的选手平均分比全体选手的平均分高2分，且进入复赛选手的平均分是8分．则被淘汰选手的平均分是分．8．有若干本书和若干本练习本．如果按每1本书配2本练习本分给一些学生，那么练习本分完时还剩2本书，如果按每3本书配5本练习本分给另一些学生，那么书分完时还剩1本练习本．那么，书有本，练习本有本．9．在51个连续奇数1、3、5、…101中选取k个数，使得它们的和为2013，那么k的最大值是．10．小明和小强玩了一个数字游戏，小明选择了一个数字x（0﹣9之间），然后说：“我正在考虑一个三位数（百位允许为0），这个三位数的百位为x，十位为3，并且能被11整除，请你找出这个三位数的个位数．”小强非常开心，因为他知道能被11整除的数的规律．但是他思考后发现这样的三位数不存在．则x=．11．我们将具有如下特性的四位数称为“中环数”：（1）四个数字各不相同；（2）千位数字既不是这四个数字中最大的，也不是这四个数字中最小的；（3）个位数字不是这四个数字中最小的．这样的“中环数”有个．12．世纪公园里有一片很大的草地，每天总会长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）．每天早上8点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留到明天再除．第一天，一些工人去除草，除到9点收工；第二天，10个工人去除草，除到8点30分收工；第三天，8个工人去除草，除到点分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）．13．如图，一个棱长为12厘米的正方体被切了一刀，这刀是沿IJ切入，从LK切出，使得AI=DL=4厘米，JF=KG=3厘米，截面IJKL为长方形．正方体被切成了两个部分，这两个部分的表面积之和为平方厘米．14．如图是一个除法算式．在空格中填入合适的数字能使这个算式成立．那么被除数是．15．A、B、C均为正整数．已知A有7个约数，B有6个约数，C有3个约数，AxB有24个约数，BxC有10个约数．则A+B+C的最小值为．16．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．17．将2013x1，2013x2，2013x3，2013x4，2013x5，2013x6，2013x7，2013x8，2013x9，2013x10，2013x11填入下表，使得填入的数能被其所在列的位置号整除，那么有18．如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ=．19．如图，甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动．AC为大圆的直径，点B在AC上，AB、BC分别为两个小圆的直径．甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行，乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行（A→B→C→B→A）．甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从A点出发，然后不断爬行，速度为V甲：V乙=3：2．经过T1分钟，两只蚂蚁相遇．接下来，甲蚂蚁将自己的速度提高了，乙蚂蚁的速度不变，继续在原来的轨道上爬行．经过T2分钟，两只蚂蚁再一次相遇．已知T1+T2=1003﹣993+983﹣983+…+23﹣13，则甲蚂蚁按原来的速度绕大圈爬行一周需要分钟（本题答案写为假分数）．20．将0～9填入如图圆圈中，每个数字只能使用一次，使得，每条线段上的数字和都是13．2014年第14届“中环杯”小学数学竞赛试卷（五年级初赛）参考答案与试题解析一、简答题1．（2011•船营区校级自主招生）（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）【解答】解：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）=（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+），=×（××××…×）×，=×1×，=．2．最接近2013的质数是2011．【解答】解：最接近2013的质数是2011；故答案为：2011．3．黑箱中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出5块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．【解答】解：60÷15=4（种）4+1=5（块）答：一次至少取出5块才能保证期中至少有2块木块颜色相同．故答案为：5．4．一共有52个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有12人，参观动物馆的有26人，参观科技馆的有2人，既参观植物馆又参观动物馆的有5人，既参观植物馆又参观科技馆的有2人，既参观动物馆又参观科技馆的有4人，三个馆都参观的有1人，则有1人这三个馆都没有参观．【解答】解：12+26+23﹣5﹣2﹣4+1=51（人）52﹣51=1（人）答：有1人这三个馆都没有参观．故答案为：1．5．如图，∠B=30°，∠D=20°，∠A=60°，则∠BCD（图中有圆弧部分的那个角）的度数为250°．【解答】解：如图所示，延长BC交AD于点E，因为∠A=60°，∠B=30°，所以∠CED=∠A+∠B=60°+30°=90°，因为∠BCD小=∠CED+∠D=90°+20°=110°，∠BCD大=360°﹣110°=250°；故答案为：250°．6．一次考试中，小明需要计算37+31xa的值，结果他计算成了37+31+a．幸运的是，他仍然得到了正确的结果．则a=．【解答】解：根据题意，可知37+31×a=37+31+a所以31a=31+a31a﹣a=3130a=31a=．故答案为：．7．某次射箭比赛，满分是10分，初赛阶段淘汰所有参赛者的50%．已知进入复赛的选手平均分比全体选手的平均分高2分，且进入复赛选手的平均分是8分．则被淘汰选手的平均分是4分．【解答】解：设共有2n人，则进入复赛的选手为2n×50%=n人、被淘汰的选手也为2n﹣n=n 人；[（8﹣2）×2n﹣n×8]÷n=4n÷n=4（分）；答：被淘汰选手的平均分是4分．故答案为：4．8．有若干本书和若干本练习本．如果按每1本书配2本练习本分给一些学生，那么练习本分完时还剩2本书，如果按每3本书配5本练习本分给另一些学生，那么书分完时还剩1本练习本．那么，书有15本，练习本有26本．【解答】解：设有原来有学生X人，根据题意得（X+2）÷3=（2X﹣1）÷55X+10=6X﹣36X﹣5X=10+3X=1313×1+2=15（本）13×2=26（本）答：书有15本，练习本有26本．故答案为：15，26．9．在51个连续奇数1、3、5、…101中选取k个数，使得它们的和为2013，那么k的最大值是43．【解答】解：首先1，3，5…是首项为1，公差为2的等差数列，所以前n项和为n2，且442＜2013＜452，452=2025，为了让K最大，不能取大于第45项的数89，所以取n=45，而452﹣2013=12，则要在前45项里面减去几个数让这几个数的值为12，且要减去最少的数，因为前面的等差数的第n项为2n﹣1，当n=7时，第7项等于13，只要在减去第一项就可以满足题意思，则在45项的基础上只要减去第7项和第一项，则K=45﹣2=43．答：K最大值为43．故答案为：43．10．小明和小强玩了一个数字游戏，小明选择了一个数字x（0﹣9之间），然后说：“我正在考虑一个三位数（百位允许为0），这个三位数的百位为x，十位为3，并且能被11整除，请你找出这个三位数的个位数．”小强非常开心，因为他知道能被11整除的数的规律．但是他思考后发现这样的三位数不存在．则x=4．【解答】解：设这个三位数为x3y，若这个三位数能被11整除，则有x+y﹣3能被11整除，由题意可知，无论y为0至9这十个数字中的哪一个时，这个三位数都不能被11整除，即存在：1≤x+y﹣3≤10，即当y取0至9时，x+y﹣3依次对应为1至10，即：x+0﹣3=1，则x=4；故答案为：4．11．我们将具有如下特性的四位数称为“中环数”：（1）四个数字各不相同；（2）千位数字既不是这四个数字中最大的，也不是这四个数字中最小的；（3）个位数字不是这四个数字中最小的．这样的“中环数”有1680个．【解答】解：从0至9中任选4个不同的数字有=210种选法，设取出的四个数字为a＜b＜c＜d，由于a、d都不能排千位与个位，只有两个位置可选，下的b，c没有要求，依次有2、1个位置可选，则中环数共有210×2×2×2×1=1680个．故答案为：1680．12．世纪公园里有一片很大的草地，每天总会长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）．每天早上8点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留到明天再除．第一天，一些工人去除草，除到9点收工；第二天，10个工人去除草，除到8点30分收工；第三天，8个工人去除草，除到8点39分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）．【解答】解：从第一天9点时到第二天8点30分，草长了23小时30分钟，从第二天8点30分到第三天8点，草也长了23小时30分钟，即，23×60+30=1410（分钟）9时﹣8时30分=30分钟所以，1个工人1分钟可除草：1410÷10÷30=4.7（份）8×4.7=37.6（份）1410÷（37.6﹣1）≈39（分钟）第三天用了39分钟把草除干净，即第三天8点39分收工．答：第三天，8个工人去除草，除到8点39分收工．故答案为：8，39．13．如图，一个棱长为12厘米的正方体被切了一刀，这刀是沿IJ切入，从LK切出，使得AI=DL=4厘米，JF=KG=3厘米，截面IJKL为长方形．正方体被切成了两个部分，这两个部分的表面积之和为1176平方厘米．【解答】解：过点I向BF作垂线，交BF于点p，则Ip=12，pJ=12﹣4﹣3=5，根据勾股定理，IJ2=122+52=169，所以IJ=13，13×12=156（平方厘米），所以这两个部分的表面积之和为：12×12×6+156×2=864+312=1176（平方厘米）；答：这两个部分的表面积之和1176平方厘米．故答案为：1176．14．如图是一个除法算式．在空格中填入合适的数字能使这个算式成立．那么被除数是97539．【解答】解：由1、7、9可知c、d、e、f都为奇数，且c≠5，d、e、f互不相同．由d×abc为三位数，e×abc为四位数，f×abc为三位数，可知e为d、e、f中最大的一个，所以e≥5．若e=5，则e×abc的个位为5，不为7，所以e≠5．若e=7，则由e×的个位为7，可知c=1，此时由f×的个位为9，可知f=9，与e＞f矛盾，所以e≠7；若e=9，则由e×的个位为7，可知c=3，由d×的个位为1，可知d﹣7，由f×abc的个位为9，可知f=3．由7×≤999⇒≤142，由9×≥1000⇒≥112．所以，ABC=113或123．而113×793=89609，万位不为9，因此≠113．所以=123，被除数为：123×793=97539．故答案为：97539．15．A、B、C均为正整数．已知A有7个约数，B有6个约数，C有3个约数，AxB有24个约数，BxC有10个约数．则A+B+C的最小值为91．【解答】解：有7个约数的最小数是26=646=2×3，所以有6个约数的最小数是2×32=18AxB=26×2×32=27×32它约数的个数是（7+1）×（2+1）=24个．有3个约数的最小数是22=4BxC有10个约数，2×32×22=23×32，它约数的个数是（3+1）×（2+1）=12个，不合题意，所以有3个约数的最小数是32=9BxC有10个约数，2×32×32=2×34，它约数的个数是（1+1）×（4+1）=10个A+B+C=64+18+9=91答：A+B+C的最小值为91．故答案为：91．16．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=25解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．17．将2013x1，2013x2，2013x3，2013x4，2013x5，2013x6，2013x7，2013x8，2013x9，2013x10，2013x11填入下表，使得填入的数能被其所在列的位置号整除，那么有24种所以除了2013×1，2013×2，2013×3，2013×6，2013×9，2013×11这六个数可以互相交换位置，其余的2013×4，2013×5，2013×7，2013×8，2013×10必须填在4、5、7、8、10号下面，2013×2，2013×6可以填在2、6下面，有2种填法；9下面可以填2013×3，2013×9，有2种填法；剩下3个数可以随意填在1、3、11下面，有6种填法；共有：2×2×6=24（种）；答：有24种不同的填写方法．故答案为：24．18．如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ= 3.6．【解答】解：如图作辅助线，由分析可知，AM⊥HF，AM⊥AD，则AM=EF=4；因为点E、F分别是AD、GH的中点，所以AE=HM=3，又HM∥AE，所以四边形AEMH是平行四边形，所以OA=AM=×4=2．因为AE=DE，∠AEO=∠DEI，∠OAE=∠IDE=90°，所以△OAE≌△IDE，所以DI=AO=2；在RT△AMH中，由勾股定理可得AH==5，同理可得：HE=2，EI=，所以HI=HE+EI=3；由S△HAE=AE•EF=AH×EN可得：×3×4=×5×EN，解之得，EN=2.4；因为∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，所以△HNE∽△HJI，所以=，所以=，解得IJ=3.6．故答案为：3.6．19．如图，甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动．AC为大圆的直径，点B在AC上，AB、BC分别为两个小圆的直径．甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行，乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行（A→B→C→B→A）．甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从A点出发，然后不断爬行，速度为V甲：V乙=3：2．经过T1分钟，两只蚂蚁相遇．接下来，甲蚂蚁将自己的速度提高了，乙蚂蚁的速度不变，继续在原来的轨道上爬行．经过T2分钟，两只蚂蚁再一次相遇．已知T1+T2=1003﹣993+983﹣983+…+23﹣13，则甲蚂蚁按原来的速度绕大圈爬行一周需要分钟（本题答案写为假分数）．【解答】解：由于乙爬行一个8字路程为πAB+πBC=πAC，甲爬得一圈的路程是πAC，所以甲乙所行路程相等，则甲从A到C的路程与乙从A到C的路程相等．则原来V甲：V乙=3：2，所以第一次相遇时，甲爬了3圈，乙爬了2个8字．在A点相遇．甲将速度提高了后，V甲：V乙=3×（1+）：2=4：2，所以第二次遇时，甲爬了2圈，乙爬了1个8字．T1+T2=1003﹣993+983﹣983+…+23﹣13=（100﹣99）+（2﹣1）×1+1）=1002+992+…+22+12+100×99+…+2×1=+1002﹣100+982﹣98+…+22﹣2=338350+22×﹣（100+98+96+ (2)=338350+171700+2550=507500．所以在507500分钟中，乙爬了3个8字，用时分．由于一开始来V甲：V乙=3：2，则甲以初始速度爬行一周需要×=分钟．故答案为：．20．将0～9填入如图圆圈中，每个数字只能使用一次，使得，每条线段上的数字和都是13．【解答】解：如图，参与本试卷答题和审题的老师有：sdhwf；春暖花开；xuetao；齐敬孝；旭日芳草；lqt；admin；忘忧草；whgcn；晶优；duaizh（排名不分先后）菁优网2016年4月27日。
2014年第十五届“中环杯”青少年科技报思维训练营四年级
王洪福老师
周期问题
例1、某人连续打工一段时间，共挣了1200元．星期一到星期五全天工作，日工资20元；星期六加班工作，日工资40元；星期日不工作，无工资.已知他打工是从3月下旬的一个周五开始的，3月1日是星期日，那么他打工第一天是几月几日，最后一天是几月几日？
例2、7个小朋友围成一圈，沿顺时针方向依次编号为1-7．然后，按如下方法给他们发糖：先给1号小朋友1块糖；然后沿顺时针方向隔过一个人后，给3号小朋友1块糖；再沿顺时针方向隔过两个人后，给6号小朋友1块糖；接着又沿顺时针方向隔过一个人后，给1号小朋友1块糖…如此反复地间隔1个人、2个人，直到2014块糖全部分完，那么最先发到糖的那位小朋友一共得到了多少块糖？
例3、实验室里有一只特别的钟，一圈共有24格，按顺时针标0～23这24个数．每过8分钟，指针会按顺时针方向跳一次，每跳一次就要跳过7格．今天晚上23：00，指针正好从“3”跳到“10”，那么明早9：23时，指针指着哪个数？
图形计数
例1、1～13共13个数，从某个数开始，依次按顺序排列。
比如，从1开始排列为A，从8开始排列为B，从12开始排列为C，如图所示。
用此方法，对两组数按图2进行排列。
若要使竖列上的三个数的和成为偶数的次数最多，应如何排列第三组数？
有一块长20米、宽16米的长方形土地。
现在要在那里建造一个如图所示的花坛。
在花坛周围再建一条宽度为1米的道路。
花坛的形状为长方形，长宽比与原来土地的长宽比相同。
已知道路外面的土地（包括花坛，即图中非阴影部分）面积为262平方米。
求花坛的周长和面积。
“中环杯”模拟题精选。
第一讲 数论和计算【例1】 已知248a b 是一个五位数，且是8的倍数，则248a b 最大是（ ），最小是（ ).【解析】 只看末三位，利用去倍数的方法，只需要满足b 能被8整除即可，即a 可以是任意非零的自然数.最大b 是8，最小是0.【例2】 某年的2月有5个星期五，那么这年的1月31日是星期（ ）.【解析】 因为2月最多29天，而如果有5个星期，至少要有29174=+⨯（天），所以，这个2月的第一天和最后一天一定是星期五，即2月1日是星期五，1月31日就是星期四.【例3】 从1开始的100个连续自然数中，将所有既不能被3整除，又不能被5整除的数相加，得到的和是（）.【解析】 利用包含与排除的方法，逆向思考，100以内，能被3整除的数有：99,,9,6,3 ，共33个； 能被5整除的数有：100,,15,10,5 ，共20个；这其中重复的数是：90,75,60,45,30,15，共6个，这样可以算出，能被3或5整除的数之和是：()()241831522020152333313=-÷⨯+⨯+÷⨯+⨯. 所以，题目所求的等于263224185050=-.【例4】 2011年是中国共产党建党90周年.据考证，伟大的中国共产党的确切成立日期是1921年7月23日.2011年的7月23日是星期六，那么从这一天往前，90年前的这一天是星期（ ）.【解析】 考虑90年前，就要考虑过去了多少天.从1922年开始到2011，由22490=+（个）2 （年）可知，共有22个闰年.那么，就一共过去了()2290365+⨯天，我们需要算的是它除以7的余数，根据余数定理，可以分别求出各自除以7的余数后进行简算，算出余数为0，即所有天数和能够被7整除，那么那一天，也仍然和今年的相同，为星期六.【例5】 一个介于800500-之间的三位自然数，正好等于它各位数字和的36倍，则这个自然数是（ ）.【解析】 一个三位数，abc ，则abc ()c b a ++=36，那么说明abc 是9的倍数，那么c b a ++是9的倍数.即9=++c b a 或18或27，因为abc 在800500-中，所以只有18=++c b a 符合要求.abc 6481836=⨯=.【例6】 123123123 （2013个123）13÷的余数是（ ）.【解析】 除数为13，我们知道100111713=⨯⨯，观察与123的关系，发现137111231001123123123⨯⨯⨯=⨯=即2个123就是13的倍数，没有余数，那么2013个123，只需考虑最后一个13123÷的余数即可.6913123 =÷，所以余数为6.【例7】 在325后面补上3个数字，组成一个六位数，使它分别能被5,4,3整除，且使这个数值尽可能小.则这个新六位数是（ ）.【解析】 既能被4整除，又能被5整除，那么个位为0；这个数要尽量小，所以百位为0；能够被3整除的数是数位之和能被3整除，10523=++，再加上2即可被3整除，所以十位为2. 这个六位数是325020.【例8】 100个连续自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1个数、第3个数、第5个数……第99个数，把取出的数相加，得到的结果5400，则100个连续自然数的和为（ ）.【解析】 第1个数比第2个数小1，第3个数比第4个数小 1第99个数比100个数小1，所以所有偶数位数的和比所有奇数位数的和大50，所以100个数的和为108505025400=+⨯.【例9】 已知一个四位数ABCD 满足：+AB CD ABCD ⨯是1111的倍数，则ABCD 的最小值为（ ）.【解析】 (1)当+AB CD=1111ABCD ⨯，因为要求这个数最小，从9,3,2,1 =A 依次尝试，很显然，不成立；(2) 当+AB CD=2222ABCD ⨯，当1=A 时，有1+1B C D =2222B C D⨯，1000++1B CD=2222BCD ⨯，最后有+1B CD=1222BCD ⨯，经分析，B ≠0，有： ①取1=B ,有1+11CD=1222CD ⨯，得：，12CD=1122⨯，+11CD=1122CD ⨯不成立； ②取2=B ,有2+12CD=1222CD ⨯，得：+12CD=1022CD ⨯，13CD=1022⨯不成立； ③取3=B ,有3+13CD=1222CD ⨯，得：+13CD=922CD ⨯，14CD=922⨯，不成立； ④取4=B ,有4+14CD=1222CD ⨯，得：+14CD=822CD ⨯，15CD=922⨯，不成立； ⑤取5=B ,有5+15CD=1222CD ⨯，得：+15CD=722CD ⨯，16CD=922⨯不成立； ⑥取6=B ,有6+16CD=1222CD ⨯，得：+16CD=622CD ⨯，17CD=922⨯，不成立； ⑦取7=B ,有7+17CD=1222CD ⨯，得：+17CD=522CD ⨯，18CD=922⨯，得： CD=29综上，=1729ABCD .【例10】 C B A ,,三人到D 老师家里玩，D 老师给每人发了一顶帽子， 并在每个人的帽子上写了一个四位数.已知这三个四位数都是完全平方数（比如242=，210010=，100,4都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数）， 并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0.每个小朋友只能看见别人帽子上的数. 这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A 说：“ C B ,帽子上数的个位数相同.”C B ,同时说：“听了A 的话，我知道自己的数是多少了.”A 说：“听了C B ,的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数.”求：C B A ,,帽子上的数之和（ ）.【解析】 假设22220()(10)10020ab c mn m n m mn n ==+=++，因为个位都不是0，所以n 不等于0；分析可得，十位数字0是由220mn n +决定的，即：220mn n +的十位数字为0，分析20mn 的十位是偶数，所以2n的十位也是偶数，n 可能的取值有9,8,7,5,3,2,1.(1)当3,2,1=n 时，为了十位为0，需5=m ，有：2512501=、2522704=、2532809= ；(2)当5=n 时，十位不可能为0，不成立；(3)当7=n 时，为了十位为0，需4=m 或9，有：2472209=、2979409=；(4)当8=n 时，为了十位为，0需4=m 或9，有：2482304=、2989604=；(5)当9=n 时，为了十位为0，需4=m 或9，有：2492401=、2999801=； 综上，得到9个满足条件的数，按照个位数的数字将其分为三组：()()()9801,2401,2501,9604,2304,2704,9409,2809,2209 ，根据第三句话，个位是偶数，所以这三个数就是()9604,2304,2704，求和14612960423042704=++.【例11】=÷+÷30003303630331000120112012（ ）. 【解析】 原式10001101210111000120112012÷+÷=()3023100011000130231000130233023100011012101120112012=÷⨯=÷=÷+=【例12】=÷+⨯÷175********（ ）. 【解析】175********÷+⨯÷ ()()61710217594317591743175913131743175913131743=÷=÷+=÷+÷=÷+⨯÷÷=÷+⨯⨯÷=【例13】20122011201020092008200720062005876543--++--+-+--++-= （ ）.【解析】 可以发现，以4个数为一组运算，例02009201020112012=+--20123-有()132012+-即2010项，50242010=÷（组）2 （个数），即剩下134=-，所以答案为1.【例14】=⨯÷20185185999999（ ）.【解析】 看到“185185”，想到重复数组，那么可想到把“999999”也看做重复数组.201000185100199920185185999999⨯÷÷⨯=⨯÷ 20185999⨯÷= 观察数字的关系，999与185中都有37108205373727=⨯÷÷⨯=【例15】 75 4.7+15.925=⨯⨯（ ）【解析】 原式325 4.715.925253 4.715.92514.115.92530750=⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯+=⨯=（）（）备选题：【例16】 用七个数字1~7组成三个两位数、一个一位数；这四个数的各个数位上的数字都不相同，并且四数之和等于100.请问：最大的两位数可能是多少？ 【解析】 设四个数分别是ab 、cd 、ef 、g ；则()()10100ab cd ef g a c e b d f g +++=++++++=，b d f g +++应是10的倍数；而1728++= ：当10b d f g +++=时，18a c e ++=，和是190，不满足；当20b d f g +++=时，8125a c e ++==++，最大两位数是57. 【例17】 abc 是一个质数，那么abcabc 的约数共有多少个？【解析】100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯， 所以共有(11)(11)(11)(11)16+⨯+⨯+⨯+=个.【例18】 两个数的最大公约数是16，最小公倍数是96，这两数和最小是多少？【解析】 设两数为16a ，16b ，（a b <）且(,)1a b =，则可得1696ab =，也即6ab =，故1,6a b ==或2,3a b ==，代入比较可知和最小为80.【例19】 已知m n 、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n 有10个约数，求数m 与n 的和．【解析】 因为27535=⨯，所以我们如果设35p q m =⨯，35x y n =⨯，那么p x 、中较小的数是1，q y 、中较小的数是2．我们知道一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的质数加1的乘积．所以(1)(1)12,(1p q x y +⨯+=+⨯+=, 又123426=⨯=⨯，1025=⨯，不难得出3,2,1,4p q x y ====.所以3235m =⨯，435n =⨯，=2550m n +.。
第十四届中环杯五年级决赛一、填空题（每题 5 分，共 50 分）1 1. 计算：×× 297+22 2×(3 -1 )=_________【剖析】原式 =11××73+1.09 ×11× 27+4=11 ×× 100+4=1199+4=12032. 420× 814× 1616 除以 13 的余数为 __________【剖析】 420× 814×1616≡ 4× 8× 4≡ 128≡ 11(mod13)3.五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7，假如从乙班调 3 人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5，甲班原有学生_________人【剖析】本来人数比为甲：乙=5: 7=15: 21 ，人数调整后代数比为甲：乙=4 : 5=16 : 20 ，前后两次总人数不变，所以将总人数变成[(5+7),(4+5)]=36份，比率调整如上，发现人数调整为1份，所以 1 份为 3 人，所以甲班原有学生15× 3=45 人。
4. 已知 990× 991× 992× 993= 966428 A91B40，则AB =【剖析】因为99 丨 990，所以 99 丨966428 A91B40所以 99 丨 96+64+28+ A9 + 1B +40 → 99 丨AB +247→AB=505.如图，△ ABC 面积为 60，E、F 分别为 AB 和 AC 上的点，知足 AB=3AE ，AC=3AF ，点D 是线段 BC 上的动点，设△ FBD 的面积为 S1, △ EDC 的面积为 S2，则 S1× S2的最大值为__________.【剖析】因为AEAF1，所以 EF ∥ BC AB AC32所以 S EBD = S FBD =S1→ S1+S2=S EBC=S ABC =403和一准时，差越小，积越大，所以当S1 =S2时，即 D 为中点时， S1× S2最大为 20×20=4006．如，在每个方框中填入一个数字，使得乘法式建立，个算式乘的最大和最小的之差 __________.【剖析】易得，乘数中下方数的十位1，因十位数字乘上边的数获得的三位数，百位上的 2 乘上边的数获得的四位数。
第十四届野中环杯冶小学生思维能力训练活动四年级决赛得分院注意院每小题前的野阴冶由阅卷人员填写袁考生请勿填写遥一尧填空题院渊每小题 5 分袁共 50 分袁请将答案填写在题中横线处遥 冤1. 计算院75伊 4.7+15.9伊25=遥2. 各位数码之和渊例如 231 的数码和为 2+3+1=6冤等于 7 的所有质数中袁比 10 大的最小质数是遥3. 箱子里有红球 13 个尧黄球 10 个尧蓝球 2 个袁从中摸出个球袁才能保证至少有 5 个同色的球遥4. 现在有三个自然数 a尧b尧c袁组成一个三位数 abc袁这个三位数可以用来表示 2014 年中的日期袁这样的表示方法有两种院渊1冤 a 用来表示月袁bc 用来表示日曰渊2冤 ab 用来表示月袁c 用来表示日遥A4比如院202 可以表示 2 月 2 日袁121 既可以表示 1 月 21日袁也可以表示 12 月 1 日遥 则可用来表示 2014 年日期的三 3B K位数有个遥DGC5. 如图袁ABCD 是直角梯形袁EDHF是正方形遥 直角梯H形的上底 AB=4 厘米袁高 AD=3 厘米袁正方形的边长 ED=3 3厘米遥 联结 EH 并延长袁交 BC 于 K 点袁我们发现 EK 正好 EF垂直于 BC袁则吟CHK 的面积为平方厘米遥6. 如图袁三棱柱的六个顶点处放了六个大小均互不相第5题同的小球渊图中用相同大小的点表示了袁但是它们真实的大小都不一样冤遥 现在用三种颜色对这六个小球进行染色袁要求相邻的小球染成不同的颜色渊相邻是指有一条棱相连的两个小球冤袁则不同的染色方法有种遥7. 有五个不同的数院24尧27尧55尧64尧x袁 这五个数的平均数是一个质数遥 如果将它们从小到大排成一排袁那么中间的那个数是 3 的倍数遥 所有符合要求的 x 的和为遥8. 图中的两个竖式中袁 相同的汉字代表相同的数字袁不同的汉字代表不同的数字遥 那么袁野中环杯棒冶代表的四位数最大是遥9. 一个甜品店出售三种盒装巧克力袁 里面各放有 6尧 9尧20 粒巧克力遥 甜品店附近有一所学校袁里面的学生很喜 欢吃巧克力袁所以他们经常去甜品店买巧克力遥 甜品店老 板承诺院如果一次性进来的学生人数能用这三种盒装巧克 力数量组成的算式表示的话袁学生必须自己掏钱买巧克力 渊比如说一次性进来 38 个学生袁有 38=2伊9+20袁所以可以第 6题决赛赛决 - 成功功成1 33 1强力 + 中环杯棒2014 第 8题用一盒 20 粒装的巧克力与两盒 9 粒装的巧克力来表示学生人数冤曰 如果一次性进来的学生人数不能用这三种盒装巧克力数量组成的B 5算式表示的话袁 学生可以免费吃巧克力 渊比如说一次性进来4 个学生袁显然不能表示冤遥 那么袁最多一次性去甜品店 生袁能享受免费的巧克力遥个学5 510. 图中的方格表是由 20 个 1 伊1 的小正方形组成的袁其中三根 A 第 10 题长度为 1 的粗线上标有数字 5袁 剩下的所有长度为 1 的线段上都标有数字 2遥 现在要求沿着方格线从 A 走到 B袁只能往右或往上走遥 将走过的所有线段上标有的数字全部乘起来袁最后结果的末尾恰好只有两个零的路径有条遥二尧动手动脑题院渊每小题 10 分袁共 50 分袁除第 15 题外袁请给出详细解题步骤遥 冤 11. 兄妹两人同时离家去恒生银行取钱袁哥哥每分钟走 90 米袁妹妹每分钟走 60 米遥 哥哥到银行门口时发现忘带银行卡了袁立即沿原路回家去取袁行走的速度不变袁走到离银行 180 米 处与妹妹相遇遥 他们家离银行有多少米钥12. 将五张卡片 0 尧 1 尧 2 尧 6 尧 6 渊每张卡片都可以旋转 180毅袁其中 0 尧 1 尧 2 旋转后还 是其本身袁 6 旋转后变为 9 冤排成一个五位数袁使得最后组成的五位数能被 198 整除遥 这样的五位数有多少个钥113. 如图袁一个机器人从 A 点出发袁沿着与东方成 12毅0 的方向 AB行走袁行走 3 米到达 B 点袁这个过程称为第一次行走曰到达 B 点后袁它的行走方向顺时针旋转 6毅0 渊沿BC 行走冤袁行走的距离 BC=4渊米冤袁这是它的第二次行走曰CD第三次行走袁继续顺时针旋转 60毅袁然后走 5 米渊CD=5冤曰第四次行走袁继续顺时针旋转 60毅袁然后走 2 米曰第五次行走袁继续顺时针旋转 60毅袁然后走 6 米曰B第六次行走袁继续顺时针旋转 60毅袁然后走 3 米曰第七次行走袁继续顺时针旋转 60毅袁然后走 3 米渊与第一次相同冤曰A东第八次行走袁继续顺时针旋转 60 袁毅 然后走 4 米渊与第二次相同冤曰第九次行走袁继续顺时针旋转 6毅0 袁然后走 5 米渊与第三次相同冤曰噎噎依次类推袁第 6k+i 次行走的情况与第 i 次行走的情况相同遥 渊1冤 这个机器人能否在某一次行走后到达位于 A 点东面 2014 米处的 Z点钥 如果能袁请求出 第一次到达 Z 点时这个机器人走过的总路程曰如果不能袁请证明遥渊2冤 如果将其第 5 次的行走距离改为 5 米袁同理袁第 11尧17噎噎次的行走距离都改为 5 米袁能否在某一次行走后到达位于 A 点东面 2014 米的 Z 点钥 如果能袁请求出第一次到达 Z 点时这个机 器人走过的总路程曰如果不能袁请证明遥14. 如图袁6 个完全相同的小正六边形渊六条边都相等袁六个内角都是 120毅 的六边形称为正六 边形冤 围成一圈袁 以这 6 个小正六边形的中心为顶点袁 构成一个大正六边形 A BCDEF遥 已知 ABCDEF的面积为 60袁我们要在 GH 的延长线上找一点 P袁使得吟PMN 的面积为 20袁请给出找到点 P 的方法渊比如可以这样写院延长 MF袁与 GH 的延长线的交点就是点 P冤袁并且给出计算步骤来说明 这个吟PMN 的面积就是 20遥MANBFGHPCED15. 渊1冤 你能将下面的长方形图纸分割成全等的 4 个图形吗渊如参考 图冤钥 请给出不同于参考图的另外三种分割方法遥4030参考图 403040 3040 30渊2冤 画一个封闭的环袁水平或竖直穿过相邻的单元格遥 环不能交叉或重 叠袁下图就是一些不允许出现的情况遥下图中有数字的单元格不能作为环的一部分袁 单元格内的数字表示其 周围八个相邻的单元格内被环占住的个数袁请在图中画出这个环遥45758474448311332。
第十四届“中环杯”四年级决赛一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）1.计算：75 4.715.925= （）。
2.各位数码之和（例如质数是（）。
231 的数码和为2 3 1=6）等于7 的所有质数中，比10 大的最小3.箱子里有红球13 个、黄球 10 个、蓝球 2 个，从中选出（）个球，才能保证至少有5个同色的球。
4.现在又三个自然数a,b ,c ，组成一个三位数abc ，这个三位数可以用来表示2014 年中的日期，这样的表示方法有两种：（1）a用来表示月，bc用来表示日期；（2）ab用来表示月，c用来表示日期；比如： 202 可以表示 2 月 2 日， 121来表示 2014 年的日期的三位数有（既可以表示）个。
1 月 21日，也可以表示12 月 1日。
则可用5.如图， ABCD 是直角梯形， EDHF是正方形。
直角梯形的上底米，正方形的边长ED 3 厘米。
连接EH并延长，交BC于于 BC，则CHK 的面积为（）平方厘米。
KAB 4 厘米，高 AD 3 厘点，我们发现EK 正好垂直6.如图，三棱柱的六个顶点处放了六个大小均互不相同的小球（图中用相同大小的点表示了，但是它们真实的大小都不一样），现在用三种颜色对这六个小球进行染色，要求相邻的小球染成不同的颜色（相邻是指有一条棱相连的两个小球），则不同的染色方法有（）种。
7.有五个不同的数：24, 27, 55, 64,x ，这五个数的平均数是一个质数。
如果将它们从小到大排成一排，那么中间的那个数是 3 的倍数。
所有符合要求的x 的和为（）。
8.图中的两个竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
那么，“中环杯棒”代表的四位数的最大值是（）。
决赛赛决强力—成功功成+ 中环杯棒133120149.一个甜品店出售三种盒装巧克力，里面各放有6、9、20 粒巧克力。
甜品店附近有一所学校，里面的学生很喜欢吃巧克力，所以他们经常去甜品店买巧克力，甜品店老板承诺：如果一次性来买的学生人数能用这三种盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生必须自己掏钱买巧克力（比如说一次性进来38 个学生，有 38=2?+20，所以可以用一盒 20 粒装的巧克力和两盒 9 粒装的巧克力来表示学生人数）；如果一次性进来的学生人数不能用这三种盒装巧克力数量组成的算式表示的话，学生可以免费吃巧克力（比如说一次性进来4 个学生，显然不能表示）。
少年一组一、填空题1、115 解题思路：以21作为参照数，其中231116和305153均大于21，其余三个数115、136、6430均小于21。
用21与这三个数分别作差依次可得221、261、321。
所以，最小的数为115。
2、24解题思路：由ABCD 是正方形可得：ABCD DMC ADN S S S 21==∆∆。
根据容斥原理可得：RNC MQ NB APM D PQ R S S S S ∆∆∆++=,所以：24121551=--=∆MQ NB S 。
3、4种解题思路：105是一个奇数，所以这个数一定能写成2个相邻的自然数之和，即105＝52＋53。
又因为奇数个连续自然数数列的平均数等于这组数的中位数，根据105＝3×35＝5×21＝7×15，可以等到符合条件的三种表达式，分别是105＝34＋35＋36＝19＋20＋21＋22＋23＝12＋13＋14＋15＋16＋17＋18。
4、10110，99920解题思路：要使A 为能被5整除的五位数，则A 的各位必须是0或5。
当A 最小时，它的最高位只能是1，考虑到这个多位数均由奇数组成，因此可以在101与103之间截出一个最小的五位数是10110；当A 最大时，它的最高位上的数要尽可能大，故这个多位数中1999与2001之间可以截出一个最大的五位数时99920。
二、解答题5、解：由题意可得， 当110〈⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，不存在符合题意的解，所以1～9均不是牛数。
当110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，由于1是所有非0自然数的公因数，所以10～19都是牛数。
当210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是偶数才能符合题意，故在20～29之间符合条件的牛数只有20、22、24、26、28。
当310=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是2和3的公倍数才能符合题意，故在30～39之间符合条件的牛数只有30、36。
当410=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是3和4的公倍数才能符合题意，故在40～49之间符合条件的牛数只有48。
综合强化复习04-07 姓名： 得分：一、填空题：1、计算：（1+2+3+……+2009+2010+2011）÷2011+（1+2+3+……+2010）÷2011=（ ）。
分析：除数一样时，可以用乘法分配率。
首先提取公因数2011，然后观察括号里的数相加规律，从1加到2011再加回1，这样的数列求和等于数列中最大的数的平方。
=（1+2+3+……+2009+2010+2011+1+2+3+……+2010）÷2011=2011×2011÷2011=20112、, x y 为两个数，规定两种新的运算“*”及“△”，,8,65*xy y x y x y x =∆+=求： (4△6)*(5△3)=（ ）。
分析：套用规则即可。
一般符号前面的数和后面的数分开分析。
=（8×4×6）*（8×5×3）=192*120=192×5+120×6=960+720=16803、将20条长10厘米的纸带粘合在一起，纸带之间的重合部分为2厘米，粘得的纸带长（ ）厘米。
分析：若把20条纸带的长全部算出来，则粘合的部分2厘米包含了2次，需要减去一次，关键是减去多少个2厘米，20条，粘合的部分有19处。
=20×10-19×2=162厘米4、100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是20150，取出其中第2个、第4个、第6个……第100个，再把剩下的50个数相加，得到的结果是（ ）. 分析：100个连续自然数分成了两组，取出的是双数个，留下的是单数个。
50个双数个比50个单数个的总和多50，因此这道题实质是道和差问题。
=（20150-50）÷2=100505、某天，博物馆开馆前已排了530米的长队，并且每分钟有6位参观者加入。
从开馆开始，1小时10分钟之后队列消失，到此时为止，进入博物馆的参观者人数是2010位。
第十四届“中环杯”四年级决赛一、填空题（每题 5 分，共 50 分）1.计算：7525= （）。
2.各位数码之和（比如质数是（）。
231 的数码和为2 3 1=6）等于7 的所有质数中，比10 大的最小3.箱子里有红球13 个、黄球 10 个、蓝球 2 个，从中选出（）个球，才能保证起码有5个同色的球。
4.此刻又三个自然数a,b ,c ，构成一个三位数abc ，这个三位数能够用来表示2014 年中的日期，这样的表示方法有两种：（1）a用来表示月，bc用来表示日期；（2）ab用来表示月，c用来表示日期；比方： 202 能够表示 2 月 2 日， 121来表示 2014 年的日期的三位数有（既能够表示）个。
1 月 21日，也能够表示12 月 1日。
则可用5.如图， ABCD 是直角梯形， EDHF是正方形。
直角梯形的上底米，正方形的边长ED 3 厘米。
连结EH并延伸，交BC于于 BC，则CHK 的面积为（）平方厘米。
KAB 4 厘米，高 AD 3 厘点，我们发现EK 正好垂直6.如图，三棱柱的六个极点处放了六个大小均互不同样的小球（图顶用同样大小的点表示了，可是它们真切的大小都不同样），此刻用三种颜色对这六个小球进行染色，要求相邻的小球染成不同的颜色（相邻是指有一条棱相连的两个小球），则不同的染色方法有（）种。
7.有五个不同的数：24, 27, 55, 64,x ，这五个数的均匀数是一个质数。
假如将它们从小到大排成一排，那么中间的那个数是 3 的倍数。
所有切合要求的x 的和为（）。
8.图中的两个竖式中，同样的汉字代表同样的数字，不同的汉字代表不同的数字。
那么，“中环杯棒”代表的四位数的最大值是（）。
决赛赛决强力—成功功成+ 中环杯棒133120149.一个甜品店销售三种盒装巧克力，里面各放有6、9、20 粒巧克力。
甜品店邻近有一所学校，里面的学生很喜爱吃巧克力，因此他们常常去甜品店买巧克力，甜品店老板承诺：假如一次性来买的学生人数能用这三种盒装巧克力数目构成的算式表示的话，学生一定自己掏钱买巧克力（比方说一次性进来38 个学生，有 38=2?+20，因此可以用一盒 20 粒装的巧克力和两盒 9 粒装的巧克力来表示学生人数）；假如一次性进来的学生人数不可以用这三种盒装巧克力数目构成的算式表示的话，学生能够免费吃巧克力（比方说一次性进来4 个学生，明显不可以表示）。
中环杯数学竞赛四年级试题中环杯数学竞赛是一项面向小学生的数学竞赛，旨在激发学生的数学兴趣，提高数学素养。
以下是一份模拟的四年级中环杯数学竞赛试题，供参考：一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的两位数？A. 10B. 98C. 100D. 992. 如果一个数的3倍是45，那么这个数是多少？A. 15B. 50C. 40D. 303. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的周长是多少？A. 40厘米B. 44厘米C. 48厘米D. 56厘米4. 以下哪个分数是最大的？A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 一个数加上8等于23，这个数是多少？A. 15B. 21C. 17D. 19二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个数的5倍是30，这个数是_________。
7. 把一个数增加20，得到的结果比原数大_________。
8. 一个数的2/3等于18，这个数是_________。
9. 一个班级有40名学生，其中女生占2/5，女生有_________人。
10. 如果一个数的3倍是另一个数的2倍，那么这两个数的比是_________。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的面积。
12. 一个班级有50名学生，其中1/4是男生，这个班级有多少名男生？13. 一个数的4倍是另一个数的2倍，如果这个数是12，求另一个数。
14. 一个数的1/5加上另一个数的1/4等于9，如果另一个数是36，求这个数。
四、应用题（每题10分，共20分）15. 小明有40张邮票，他给了小红一半，然后他又给了小红剩下的一半，最后小明还剩下多少张邮票？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的数量是橙子的3倍，如果苹果和橙子一共是90个，问苹果和橙子各有多少个？五、附加题（10分）17. 一个数列的前三项是1，2，3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
