第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛试题

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【考点】图形的分割与拼接 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．知识点拨例题精讲4-2-3.图形的分割与拼接可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【答案】⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．用线段平分长方形的分法有无穷多种。

知识要点图形剪拼菱形面积公式将一个等边三角形分割成若干个等边三角形（不要求大小相等）将一个正方形分割成若干个正方形（不要求大小相等）n 边形内角和公式常用图形的剪拼梯形面积公式平行四边形面积公式三角形面积公式 几何（本讲）一、 三角形面积公式：三角形面积=底⨯高2÷，即S 三角形2a h =⨯÷。

二、 平行四边形面积公式：平行四边形面积=底⨯高，即S 平行四边形a h =⨯。

三、 梯形面积公式：梯形面积=（上底+下底）⨯高2÷，即S 梯形()2a b h =+⨯÷。

四、 菱形面积公式：菱形面积=两条对角线乘积的一半，即S 菱形2m n =⨯÷ 五、n 边形的内角和公式：n 边形的内角和(2)180n =-⨯o 。

图形面积【例 1】如图所示，已知三角形的一条边为a，这条边上的高为h。

请用图形剪拼的方法，求出这个三角形的面积S三角形。

hahaha【例 2】如图所示，已知平行四边形的一条边为a，这条边上的高位h。

请用图形剪拼的方法，求出这个平行四边形的面积S平行四边形。

ha【例 3】如图所示，已知梯形的两条平行的边分别为a、b，梯形的高为h。

请用图形剪拼的方法，求出这个梯形的面积S梯形。

hab【例 4】如图所示，已知菱形的两条对角线分别为m、n。

请用图形剪拼的方法，求出这个平行四边形的面积S菱形。

（提示：菱形的两条对角线相互垂直）mn图形分割【例 5】 （2005年12月第六届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第二（5）题）将一个长方形分成形状完全一样的四块，至少画出8种分法，请用图表示。

（形状一样，排列方向不一样，只能看作一种分法）【例 6】 如图所示为一个34⨯的长方形方格纸，请用5种不同的方法将它分割成完全相同的两部分（保持每个小方格的完整）。

【例 7】 如图所示，请将44⨯的正方形分成形状相同、大小相等的四个图形，并且使其中每个图形都含有“上海世博”这四个字。

第六级上 认识数阵图⑴放射型数阵图；⑵掌握三种类型数阵图的填法。

第七级下 幻方与数表⑴认识幻方及其中心数，幻和等一些性质；⑵掌握准确构造或填补幻方的方法与技巧； ⑶掌握数表填补的方法和技巧。

第八级上 数列与数表综合㈠⑴系统巩固与数列数表有关的思路方法；⑵会求解综合性的数表问题；⑶熟练掌握周期法在数表问题中的运用；⑷初步掌握递推方法在数列与数表中的运用。

左边这个戴眼镜的男生叫铮铮，右边这个胖胖的男生叫昊昊。

他们两个是很好的朋友，但是两个人的性格可是大不相同。

铮铮学习好，喜欢看书，也因此早早就戴上了眼镜。

铮铮的绝招就是可以模仿柯南制造眼镜闪光纪录是连续眼镜闪光200次，闪晕同班17名同学！昊昊很喜欢吃东西，别看他胖胖的，却很喜欢运动。

昊昊也有一个很大的缺点，就是粗心大意。

昊昊也曾经创下出家门以后连续9次回家去取落下的东西的纪录！ 他先后把铅笔盒、笔记本、作业、书包、饭盒…忘在家里。

看了这些介绍，同学们是不是很想知道在铮铮和昊昊身上都发生过什么事情呢？下一讲里，我们将继续介绍他们的一个好朋友。

关于他们的故事，以后还多着呢！上面这个女孩名字叫做包包，至于为什么叫做包包不是因为她可爱，而是因为她的头上“长了”两个包，虽然是一个非常聪明乖巧的女孩，偶尔也会做一些意义不明的事情，比如她曾经偷拿了老师的印章往自己身上狂盖…作为一名很有主见的女生，包包人生中的一大乐趣就是和铮铮斗嘴，和铮铮昊昊不同，包包是一个非常非常“正常”的人。

幻方与数表将20以内除数1以外的所有奇数编成一个3阶幻方。

请将2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

(只要构造出一种)(2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级)在如图所示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的每一行、每一列、两 条对角线上的数字之和都相等。

请问这5个数字之和是_____。

第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛一．填空题：（每题5分，共50分） 1. 计算： 345345788690105606⨯+⨯2. 有4个数a,b3,1c26,d341,它们的平均数为1837，则acdb =（）.3. 某次考试，通过语文考试的有53人，通过数学考试的有41人，通过语文考试但没有通过数学考试的有34人，那么通过数学考试但么有通过语文考试的人有（）人.4. 某店老板以3元的价格购进一些文具，快递公司将找些文具送到老板手里并收取快递费30元.老板经过计算发现每件文具必须以3.1元的价格出售才能抵消快递费，于是他决定再提高价格以赚取更多的利润.最后当文具还剩余200件时，已经抵消了快递费，问老板实际以每件（）元的价格出售这些文具.5. 下图是2008年4月份的月历表，其中有一个数周边的8个数的和为136，这个数是（）302928272625242322212019181716151413121110987654321六五四三二一日6. 五个小朋友做游戏，他们每人在卡片上写了一个整数交给老师，老师将卡片的数四个四个相加，得到101,103,109,114,121.那么五张卡片上写的数中最接近平均数的是（）. 7. 下图为一圆形跑道，甲从A 点出发，乙从B 点出发，都按顺时针方向跑.A 、B 正好在圆的一条直径上，圆周长为20米，甲每秒跑4米，乙每秒跑3米，则当甲第一次追上乙时，甲跑了（）圈.B8. 幼儿园老师给小朋友分糖果，如果每个小朋友分4颗糖果，则多出28颗糖果；如果有4个小朋友每人分6颗，6个小朋友每人分4颗，其余的都分5颗，则正好分完.那么一共有（）个小朋友和（）颗糖果. 9. 有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，而且长比宽长12厘米.如果把这批砖横着铺（见图1），可以铺897厘米；如果横竖相同铺（见图2），可以铺657厘米长.如果“两横一竖铺”（见图3），那么可以铺（ ）厘米长.图3图2图1？厘米657厘米897厘米10. 小胖带了一笔钱去上海书城买书.第一本买的是《辞海》，用去了带去钱的一半多3元；第二本买的是《英汉字典》，用去了剩下钱的一半多3元；第三本买的是《上下五千年》，用去了剩下钱的一半多3元；第四本买的是《西游记》，用去了剩下钱的一半多3元；第五本买的是《爱心故事》，用去了剩下钱的一半少3元；第六本买的是《故事会》，还是用去了剩下钱的一半多3元.这时他带去的钱还剩下4元.那么，他买（英汉字典）花了（ ）元. 二．动手动脑题：（共50分，请写出简要的解题过程及算式） 1. 6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？2. 音像店中有相同数量的两种唱片，一种卖10元4张，一种卖10元6张.老板为了减少麻烦，干脆都卖10元5张，即2元一张.那么，当这两种唱片全都卖完后，老板是赚了还是赔了？请简要说明理由. 3. 如图，阴影部分的每个小长方形的长相等，宽也相等，求空白部分的面积（单位：厘米）.（本题10分）4. 在一条公路的沿线有相距100千米的A,B 两个城镇.甲，乙两车分别从两城同时开出.已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行30千米，且两车出发后不改变行进方向，几小时后两车相距200千米？（本题8分）5. “伤脑筋十二块”是中国传统益智拼板游戏.如图，编号为1~12的十二块拼板都是由5个11⨯的小正方形组成的.请你完成以下内容：（本题18分）①利用编号为1，3，6，8，9，10的拼板拼出一个6⨯5的长方形，在“答图1”中画出你的拼法，并标上每块拼板的编号（拼板正反面都可翻转拼搭，6块拼板都要用到且只能用一次，要求描线清晰）；②利用编号为2，4，6，8，10的拼板拼出一个6⨯5的长方形，在“答图1”中画出你的拼法，并标上每块拼板的编号（拼板正反面都可翻转拼搭，6块拼板都要用到且只能用一次，要求描线清晰）；③利用编号为1~6的拼板围成尽可能答的一块空地（被拼板封闭的小正方形数，拼板本身的小方格不计在内），并在“答题3”中画出你的拼法（要求：a.拼板正，反面可翻转拼搭，6块拼板都要用到只能用一次；b.相邻两块拼板一定至少有一格的一条边必须相重合，不能仅有顶点重合，如“实例图”；c.标上每块拼板的编号，要求描线清晰）示例错误错误正确正确答图3答图2答图1121110987654321一、填空题1.【答案】3450000002.【答案】89573.【答案】224.【答案】3.35.【答案】176.【答案】287.【答案】28.【答案】30:1489.【答案】44210.【答案】142二、动手动脑题1.【答案】96种2.【答案】赔了3.【答案】576平方厘米4.【答案】3小时；1小时；2.5小时；7.5小时5.【答案】图略。

图形的分割与剪拼练习题一．夯实基础：1. 下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？你能想出几种方法？2. 把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．3. 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？4. 用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．二． 拓展提高：5. 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？6. 图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？7. 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．8. 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？三．超常挑战：9. 下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．2060402010. 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．11. 将下图分成两块，然后拼成一个正方形．四．杯赛演练：12. (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米．13. (2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．第3题答案：1. 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如左下图图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右下图．2. 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如下图．3. 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如下图所示．4. 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：5. 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．（答案不唯一）206. 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图．7. 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，分法如下图：8. 用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．(6)(7)拼不成。

杯赛专题——数阵图与数字谜学而思 李洪老师 【名师点题】数阵图与数字迷这类问题在历届杯赛中经常出现，分值所占比例不大，但确是要求我们必须做对的一类题，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 【考点分析】1、数阵图的一般解题思路和步骤由于数阵图中没有填充之前各个数字的位置无法确定，从每一个单个数字上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数字和全部相加进行分析。

一般分为以下几个步骤×的形式（1） 从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n s（2） 从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题为题目所给全部数字和×一般位置数字相±加次数特殊位置数字和×多加或少加次数的形式×=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数（3） 格局整体与个体的关系，列出等式即n s±特殊位置数字和×多加或少加次数。

（4） 根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S值（5） 根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试2、数字谜（1） 数字谜介绍数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜（2） 数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般式三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解质因数技巧）等、而且一般应该应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）-------------------------------------------------------------------------------------------------- 【真题回放】1、（第七届“中环杯”小学思维能力训练活动五年级初赛填空题第八题）将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数字和都相等，共有（）种填法。

四年级思维竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种方法可以帮助我们更好地理解复杂问题？A. 列表法B. 思维导图C. 重复阅读D. 背诵2. 在解决问题时，哪种思维方式最为重要？A. 归纳思维B. 演绎思维C. 创造性思维D. 批判性思维3. 下列哪种说法是正确的？A. 思维能力是与生俱来的，无法通过后天训练提高B. 思维能力可以通过后天的学习和训练得到提高C. 思维能力在成年后就无法再得到提高D. 思维能力只与个人的智力水平有关4. 在进行思维训练时，下列哪种方法最为有效？A. 单一训练B. 综合训练C. 无序训练D. 随机训练5. 下列哪种说法是正确的？A. 思维能力的发展与年龄无关B. 思维能力的发展与年龄呈正相关C. 思维能力的发展与年龄呈负相关D. 思维能力的发展与年龄无直接关系二、判断题（每题1分，共5分）1. 思维能力是与生俱来的，无法通过后天训练提高。

（）2. 思维训练只需要进行单一的训练即可。

（）3. 思维能力的发展与年龄呈正相关。

（）4. 在解决问题时，归纳思维比演绎思维更为重要。

（）5. 创造性思维和批判性思维是两种完全不同的思维方式。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 思维训练可以分为________训练和________训练两种。

2. 思维能力的发展与________呈正相关。

3. 在解决问题时，________思维比________思维更为重要。

4. 创造性思维和________思维是两种完全不同的思维方式。

5. 思维训练的方法包括________、________、________等。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述思维训练的重要性。

2. 简述思维能力的发展与年龄的关系。

3. 简述归纳思维和演绎思维的区别。

4. 简述创造性思维和批判性思维的关系。

5. 简述思维训练的方法。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 请设计一个思维训练方案，以提高你的思维能力。

目录试题部分1.2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛四年级试题 (1)2.2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛四年级试题 (2)3.第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级1试试题 (3)4.第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级2试试题 (5)5.2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛四年级试题 (6)6.2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛四年级试题 (7)7.第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛四年级试题 (9)8.第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动决赛四年级试题 (10)9.第七届“小机灵杯”数学竞赛复赛四年级试题 (12)10.第七届“聪明小机灵”小学数学邀请赛决赛四年级试题 (14)11.2008年第一届“学而思杯”综合素质测评四年级数学试题（A卷） (15)参考答案12.2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛四年级试题答案 (17)13.2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛四年级试题答案 (18)14.第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级1试试题答案 (18)目录15.第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级2试试题答案 (19)16.2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛四年级试题答案 (20)17.2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛四年级试题答案 (21)18.第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛四年级试题答案 (21)19.第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动决赛四年级试题答案 (22)20.第七届“小机灵杯”数学竞赛复赛四年级试题答案 (22)21.第七届“聪明小机灵”小学数学邀请赛决赛四年级试题答案 (23)22.2008年第一届“学而思杯”综合素质测评四年级数学试题（A卷）答案 (23)2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛四年级1. 找规律填数：（1） 2、7、12、17、22、 、32、37。

第十三届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛题一、填空题（每小题5分，共50分）：1、计算：999999÷185185×20=( )。

2、从1开始做乘法：1×2×3…，当乘到( )时，乘积的最后100个数字第一次全部是0。

3、如图所示网格中，要从A到B，方向只能向右或向上，不能经过C以及D，有( )条不同的路径。

4、一个介于500-800之间的三位自然数，正好等于它各位数字和的36倍，则这个自然数是( )。

5、如图所示，有A、B、C、D、E、F共6家商店位于某一条街的两边，商店A位于街上的阴影部分，其他商店的位置关系如下：a、A店的右边是书店；学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

b、书店的对面是花店；c、花店的旁边是面包店；d、E店在D店的对面；e、酒店在E店的旁边；f、E店和文具店在街道的同一侧。

那么，A店是( )店。

6、123123…123÷13的余数是( )。

(2013个123)7、李老师要在下午3时出门去探望朋友。

他估计时间快到了，一看家里的时钟，发现时钟早在中午12时10分就已经停了。

他给钟换好电池没有拨针就离开家了（换电池时间不计）。

到朋友家时，得知当时时间离3时还差10分。

晚上11时，李老师从朋友家出来，回到家看见家中的时钟才9时。

如果李老师来回路上用时相同，他家的钟停了( )小时( )分钟。

8、某商场在春节有促销抽奖活动，规则如下：在暗箱内有四种颜色的小球各若干个，购物每满100元可以摸球一次。

如果消费者能凑齐同样颜色的小球两个就可以参加一次抽奖，若参加抽奖5次都没有中奖则可获得安慰奖一份。

知识要点【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。

关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目——四色猜想。

四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。

不久，泰勒的证明也被人们否定了。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

第七届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛活动内容一、填空题：（请把正确答案填在括号内，每题5分，共50分）1.()14191431914331914333191433331943++++÷=（ ）。

【解答】2.()999999555555222222999999⨯-⨯=（ ）。

【解答】3.已知：3232a b a b a b a b ∆=+∇=-，，又知，7993x ∆∇=，那么为x （ ）。

【解答】4.如果把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字组成两个四位自然数，再将这两个四位自然数相减，那么得出最小的自然数差是（ ）。

【解答】 要保证这两个四位数的千位相差1，百位数相差要最大。

十位数应该比百位数相差小，比个位数相差大。

根据这个要求就可以得出来两个四位数分别是5123和4876.他们的差最小为247.5.幼儿园中有红、黄、蓝、白四种颜色的积木玩具各若干件，每个小朋友可以从中任取一件或两件，那么至少有（ ）个小朋友去取，才能保证有3个小朋友取的积木是完全一样的。

【解答】 从最不利的情况考虑，各有两个小朋友取出红黄蓝白四种颜色的积木各一个，各有两个小朋友取出红黄蓝白四种颜色的积木各二个。

这时这要再来一个人无论他怎么取，都会保证有三个小朋友的积木是完全一样的。

所以至少有2424117⨯+⨯+=6.四()1班同学买了一批牙膏送给敬老院的老人，如每位老人送4支，则多8支；如每位送5支，则缺65支；那么敬老院里有（ ）位老人，这批牙膏共有（ ）支。

【解答】 每人送四支之后还剩8支，如若每人再送一支（即每人送5支），就是把剩的8支每人一支，缺了65支。

说明有73个老人。

牙膏有7348300⨯+=7.有一串这样的数字：2、0、0、6、0、6、2、0、0、6、0、6、2、0、0、6、0、6L L 共2006个数。

其中共有（ ）个0，（ ）个2，（ ）个6。

【解答】 2、0、0、6、0、6为一组，这一组中有3个0，1个2，2个6，这样的数有()141914319143319143331914333319431592569543370365++++÷=÷=()999999555555222222999999999999333333333332666667⨯-⨯=⨯=7937292936369318x x x x x x ∆∇=⨯+⨯∇⨯⨯-⨯--==（）= 21+2（3）= 21+621+6334组，还有两个数就是2，0.所以有335个2，有334311003⨯+=个0，有33421669⨯+=个6.8.15个互不相同的自然数（不包括0）相加，和是2004。

知识要点乘法原理乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．一、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．简单分步【例1】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA【例2】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA【例3】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例4】在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。

第七讲 图形分割与剪拼
强化挑战篇
1、把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．
2、正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八
个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．
D C
B A
3、将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．
4、(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．
⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．
⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．
⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米．
第3题
5、正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六
个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．
A
C
B。

甲 A乙 四年级选拔赛一、填空题：1． 20092009⨯ 201020102010 - 20102010⨯ 200920092009 = （0）。

考点分析：重复数的构成和“101”式的因数。

20092009⨯ 201020102010 - 20102010⨯ 200920092009= (2009⨯10001)⨯ (2010⨯100010001)- (2010⨯10001)⨯ (2009⨯100010001) = 02．用 0、1、2、3、4、5 组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第 505 个数是（510234）。

考点分析：加乘原理的理解和应用。

0、1、2、3、4、5 构成的六位数共有5⨯5⨯ 4⨯3⨯ 2⨯1 = 600 个，从大到小排列后， 要求第 505 个数。

首位是 1、2、3、4 的六位数各有5⨯ 4⨯3⨯ 2⨯1 =120 个，共 480 个。

前两位是 50 的六位数有4⨯3⨯ 2⨯1 = 24 个。

480 + 24 = 504 ，那么第 505 个数就是前两位是 51 的第一个数，即 5102343．有编号 1~30 的 30 枚硬币正面朝上放在桌子上，先将编号为 3 的倍数的硬币翻个身，再将编号为 4 的倍数的硬币翻个身，最后仍有（17）个硬币正面朝上。

考点分析：两个对象的容斥原理计算。

仍然朝上的硬币就是没有被翻过的硬币和被翻过 2 次的硬币，即图中的阴影部分所表示的数的个数。

其中，没有被翻过的硬币的个数是30 - ([30 ÷ 3]+ [30 ÷ 4]-[30 ÷12])= 15 个，被翻过 2次的硬币的个数是[30 ÷12] = 2 个，最后共有15 + 2 =17 个硬币正面朝上。

4．有两列火车，甲车长 200 米，每秒行 13 米；乙车长 150 米，每秒行 8 米。

现在两车在两条互相平行的轨道上同向而行，甲在后，乙在前。

第七届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛活动内容一、填空题：（请把正确答案填在括号内，每题5分，共50分）1.()++++÷=（）。

141914319143319143331914333319432.()⨯-⨯=（）。

9999995555552222229999993.已知：3232∆∇=，那么为x（）。

xa b a b a b a b，，又知，7993∆=+∇=-4.如果把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字组成两个四位自然数，再将这两个四位自然数相减，那么得出最小的自然数差是（）。

5.幼儿园中有红、黄、蓝、白四种颜色的积木玩具各若干件，每个小朋友可以从中任取一件或两件，那么至少有（）个小朋友去取，才能保证有3各小朋友取的积木是完全一样的。

6.四()1班同学买了一批牙膏送给敬老院的老人，如每位老人送4支，则多8支；如每位送5支，则缺65支；那么敬老院里有（）位老人，这批牙膏共有（）支。

7.有一串这样的数字：2、0、0、6、0、6、2、0、0、6、0、6、2、0、0、6、0、6 共2006个数。

其中共有（）个0，（）个2，（）个6。

8.15个互不相同的自然数（不包括0）相加，和是2004。

将这15个数从小到大排列，要求第10个数尽可能大。

第10个数最大是（）。

9.左图中两个四边形都是正方形，而且外边大正方形的边长为4厘米，求图中阴影部分的面积是（）10.一批零件，由甲、乙两人合作，30天可以完成。

现在由甲先制作22天后，两人再合作，12天，剩下的零件还需要乙单独制作16天才能完成。

又知甲每天比乙少生产4个零件，照这样完成任务，乙共做了（）个零件。

二、动手动脑筋：（每题5分，共50分）1.某幢居民楼原有8台空调，后来又增加了4台。

但由于线路老化，如果同时打开9台或9台以上空调就会烧断保险丝，这样最多只能同时使用8台空调。

那么，现在24小时内平均每台空调最多可以运行多少小时？请写出简要的计算过程。