高等数学教案

§5 无穷小与无穷大 40分钟0、引言：考虑自变量在某一无限变化过程中函数f (x )的两种特殊变化趋势：其一是|f (x )|无限变小；其二是| f (x )|无限变大，（此时函数虽无极限，但有确定的变化趋势）。

前者称为无穷小，后者称为无穷大。

一、无穷小若在自变量的某一变化过程中，| f (x )|无限变小，则f (x )以0为极限。

可见，无穷小是以0为极限的一类变量。

如12n是当n →∞时的无穷小；1x 是当x →∞时的无穷小。

由此可得无穷小的定义： Df 1.“εδ-”定义： 00,0Z εδ>∀>∃>,使对适合不等式0||0||x Zx x δ><-<的一切x 都满足|f (x )|ε<，则称函数f (x )为当x x x →∞→时的无穷小，记作： 0l i m ()0x x f x →= 或f (x )0→ (0x x →) 同理可给出无穷小的“X ε-”定义如上。

如果只说|f (x )|“越变越小”或“很小很小”还不足以说明()f x 是无穷小。

如：当x +∞→时，(1+x 1)越变越小，但它不是无穷小量；而当x +∞→时，尽管x1-越变越大，但x1-却是这一变化过程中的无穷小量。

另外，像1024-等也不是无穷小量，事实上，任何一个绝对值很小的非零实数均非无穷小量，而0则是可以作为无穷小量的唯一常数。

那么具有极限的函数与无穷小之间的关系又如何呢？Theoren 1. 在自变量的同一变化过程x 0x →(x ∞→) 中,具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，若函数可表示为常数与无穷小之和，则常数为该函数的极限，即：lim f (x )=A (常数) ⇔ f (x )=A +)(x α (无穷小)详细证明见P 51 Th1. 二、无穷大我们首先讨论一下函数y =11-x 当x 1→时的变化趋势： 当x 越来越接近于1时，|11-x |越变越大，当x 无限接近于1的过程中，|11-x |可以任意变大，所谓“任意变大”是指它可以大过事先指定有任意大的正数。

如要使|11-x |>100，只要|x -1|<1001即可…… 对于任意正数M ，要使|11-x |>M ，只要|x -1|<M1即可。

此时称函数y =11-x 是当x 1→时的无穷大。

下面给出无穷大的分析定义。

Df 2: 设函数f (x )在||x Z x >的某去心邻域内有定义。

若对0>∀M ，总00>∃>∃δZ ，使得当δ<-<>||0||0x x Z x 时，有| f (x )|>M 成立，则称函数()f x 为0x x x →∞→时的无穷大，记作： lim ()x f x →∞=∞ 或 f (x ))(0x x →∞→同理可以给出在x ∞→时f (x )为无穷大的分析定义。

例如：在上例中，对0>∀M ,总01>=∃M δ,当0<|x -1|<M1=δ时，有 | f (x )|=|11-x |>M. ∴11lim1x x →=∞-, 这是，称直线x ＝1是函数1y x=的铅直渐近线。

lim ()x x f x →=∞，则直线0x x =是函数f (x )的图形的铅直渐进线。

关于无穷大，还可以近似证明2101lim lim ln (1)x x x x +→→=+∞=-∞-三、无穷小与无穷大的关系：对于函数()f x x =与xx f 1)(1=: 当x ∞→时，f (x )0)(1,→∞→x f , 当x 0→时，f (x)∞→→)(1,0x f ， 由此可得：Theorem 2. 在自变量的某一过程中，若f (x )为无穷大(小)，则在同一变化过程中函数)(1x f 为无穷小(大)；反之亦然。

Proof : 见P 5453- （略）§6 极限运算法则 60分钟0、引言：极限定义本身未给出求极限的具体方法，它只能用来验证一个函数（含数列）以某一常数为极限，而这个常数必须凭经验观察而获得。

一般说来，观察极限并不容易，验证极限也比较困难，为了利用已知的较为简单函数的极限来求比较复杂函数的极限，下面研究一下极限的运算法则。

一、关于无穷小的运算：Theorem 1. 有限个无穷小之和仍为无穷小量。

Proof : 就两个无穷小，当x 0x →时的情形来证明：设00lim ()0lim ()0x x x x x x αβ→→=⎫⎪⎬=⎪⎭⇒ 对02>ε(其中，ε是任意给定的正数), ∃0021>>δδ ,ε,当2010||0||0δδ<-<<-<x x x x 时，有2|)(|2|)(|εβεα<<x x 取},min{21δδδ= ,则当 0<|x -x 0|<δ时，有 |)()(x x βα+|≤|)(x α|+|)(x β|<εεε=+22，此即l i m [()()]0x x x x αβ→+= Theorem 2. 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。

Proof ： 下面就x ∞→时的情形加以证明：(x 0x →的情形见P 56)设x ∞→时 ⎭⎬⎫→0)(）（有界x x U α ⇒0,0,000021>∃>→>∀>>∃Z MZ M εαε对由及 ε 当21||||Z x Z x >>时，Mx M x U εα<≤|)(||)(| ,取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时，()()()()u x d x u x d x MMεε=<= 此即 lim[()()]0x U x d x →∞= ＃1. 常数与无穷小之积为无穷小；2. 有限个无穷小之积亦为无穷小。

f (x )0→,则[f (x )]n 0→ (n N ∈)如： sin 1limlim[sin ]0x x x x xx →∞→∞==；0lim(sin )0x x x →⋅=二、极限的四则运算法则：设 0lim (),lim (),x x f x A g x B →==则：1. lim[f (x )±g (x )]=A ±B =lim f (x ) ±lim g (x )2. lim[f (x )·g (x )]=A ·B =lim f (x )·lim g (x )积与和差运算可以推广到有限个函数的情形。

另外还有： 10 lim[Cf (x )]=CA =C ·lim f (x ) (C 为常数) 20 lim[f (x )]n =A n =[lim f (x )]n (n Z ∈) 3. lim)(lim )(lim )()(x g x f B A x g x f == (B 0≠) Proof 1.由具有极限的函数与无穷小的关系知)()()()(x B x g x A x f βα+=+= )0)(()0)((→→x x βα ⇒ f (x )±g (x )=(A +B )+(βα+)βα+0→, ∴ lim[f (x )±g (x )]=A ±B . .＃.2. f (x )·g (x )=(A +α)(B +β)=A ·B +A ·β+B ·α+α·β A ·β+B·α+α·β0→ ∴lim f (x )·g (x )=A ·B .＃.3.)()()(ββαβα+-=-++=+B B A B B A B A B A x g x f 0)()(,0,02→-∴≠→-BAx g x f B A B βα .＃ 以上关于函数极限的运算法则，对数列极限同样适用，见P 59 Th6.根据极限的四则运算法则，说明了“求极限”与“四则运算”的可换性，使用这些111lim()10n n n n n →∞++⋯+=个？， eg 1. 21lim(321)2x x x →-+=eg 2. 22255lim317x x x x →+-=+ 据上例，由极限的四则运算法则可知：10110lim ()lim()()n n n n x x x x P x a x a x a x a P x --→→=++⋯++=00010110010110()()lim ()lim lim ()()()n n n n m m x x x x x x m m a x a x a x a P x P x R x R x Q x b x b x b x b Q x -+-→→→-++⋯++====++⋯++ (Q (x 0)0≠) eg 3. 求极限225lim4x xx →- 解222222245lim(4)0,lim5100,lim054lim x x x x x xx x x x →→→→--==≠∴=⇒=∞- 且1lim ()lim 0()n n P x P x =∞⇒= eg 4.求极限233lim9x x x →-- （“00”型） 解： x →3时，x -30→，092→-x ，不能直接用法则，但注意到分子、分母中同有公因子x -30≠，可先约去非零因子x -3后，再用法则得，原式=311lim36x x →=+eg5.4440""2lim 04x x x x →→→=-=4414x x →≠== eg6. 222232lim313n n n n →∞++=+eg7. 223423lim 7537x x x x x →∞++=+- 上二例表明：当分子、分母的极限都是无穷大（不存在）时，不能直接用运算法则，先用分子、分母中x 的最高次幂去同除分子、分母之后，再取极限。

eg8.324421lim 031x x x x →∞+-=+ eg9.3221lim 87x x x x→∞+=∞+ 一般地，若用分子、分母中的最高次幂去同除分子、分母后，再由无穷小与无穷大之间的关系易知：当a 0,000≠≠b 时000l i m ()x n m aR x n m b n m→∞⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪∞>⎩ 此外，关于极限的运算法则还有如下定理：（函数与极限的“同向性”） Theorem 3. 若f (x )≥g(x )，且lim f (x )=A ，limg(x )=B ，则A ≥B 。

Proof : 令0)()()(≥-=x g x f x ϕ,利用法则1.得lim ()x A B ϕ=- 再由极限的性质（保号性Th 2.）B A B A ≥⇒≥-⇒0Theorem设u =0(),lim ()x x x x a ϕϕ→=，且在x 0某去心邻域内a x ≠)(ϕ，又 lim ()u af u A →=，则复合函数 f [)(x ϕ]当x 0x →时的极限存在，且：0lim [()]lim ()x x u af x f u A ϕ→→==.Proof : (略) 见P 6362-Th 4.表明：若函数f (u )与)(x ϕ满足定理的条件，则可以作代换u =)(x ϕ，把求lim [()]x x f x ϕ→简化为求lim ()u af u →，这里a =0lim ()x x x ϕ→。