江苏大学理学院_邓欣悦_圆周角定理的探索与证明(初中)_设计文档

2．圆周角第1课时圆周角定理与推论11．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．在实际操作中探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2021年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如下列图，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角的概念以下列图形中的角是圆周角的是()解析：观察可以发现只有选项B中的角的顶点在圆周上，且两边都和圆相交．所以它是圆周角．应选B.变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第1题探究点二：圆周角定理与推论1【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，那么∠D等于()A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：此题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.应选A.变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论1求角(2021·莆田中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝50°，那么∠ADC 的度数是( )A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°解析：∵连接CO ，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB .∵∠AOB ＝50°，∴∠AOC ＝50°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝25°.应选D.方法总结：此题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第6题 三、板书设计教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用. 1．4 二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y ＝x 2－6x ＋c 的图象时，发现其顶点在x 轴上，请你帮小唐确定字母c 的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】 二次函数图象与x 轴交点情况的判断以下函数的图象与x 轴只有一个交点的是( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2＋2x ＋3 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点．应选D.变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第1题【类型二】 利用函数图象与x 轴交点情况确定字母的取值范围(2021·武汉模拟)二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，那么k 的取值范围是( )A ．k <3B ．k <3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠0解析：∵二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2－6x ＋3＝0(k ≠0)有实数根，即Δ＝36－12k ≥0，k ≤3.由于是二次函数，故k ≠0，那么k 的取值范围是k ≤3且k ≠0.应选D.方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，那么关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－5D.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝5 解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b2＝2，解得b ＝－4.解方程x 2－4x ＝5，解得x 1＝－1，x 2＝5.应选D.方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x 2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x 2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x 2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x － － － － － y－－－－－因此x ≈－是方程的一个实数根． (2)另一个根可以类似地求出：x y－－－－－x ≈是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面209米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，乙的最大摸高为米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－19(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x ＝1代入函数关系式，得y ＝3.因为＞3，所以盖帽能获得成功． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。

圆周角定理的推导过程
嘿，咱今儿个就来讲讲圆周角定理的推导过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，一个圆在那，圆上有好多好多的点。

圆周角呢，就是顶点在圆上，两边和圆相交的角。

那为啥圆周角定理这么重要呢？
咱就拿一个例子来说吧，在圆上找一个圆周角，再画它所对的弧。

嘿，你发现没，不管这个圆周角在圆上的哪个位置，只要它所对的弧不变，那这个圆周角的大小好像就固定啦！这是不是很神奇呀！
那怎么证明呢？咱们可以把圆周角的一边延长，延长到和圆相交，这样就形成了一个圆心角。

这圆心角和圆周角可有大关系呢！
你想想看呀，圆心角的顶点可是在圆心呀，那它的度数不就等于它所对的弧的度数嘛。

而圆周角呢，它和圆心角可是有联系的哦。

咱们可以通过一些巧妙的办法，比如画辅助线啥的，把圆周角和圆心角联系起来。

然后你就会发现，圆周角的度数居然是圆心角度数的一半！哇塞，这也太神奇了吧！
比如说，咱画一个特别大的圆，然后在上面找几个不同位置的圆周角，再去研究它们和圆心角的关系，你就会更清楚啦。

这就好像是在一个神秘的数学世界里探索一样，每一步都充满了惊喜和发现。

你说，数学是不是很有趣呀？通过推导圆周角定理，我们就像是打
开了一扇通往奇妙数学世界的大门。

而且呀，圆周角定理在好多地方都能用得上呢！比如在解决几何问
题的时候，它就能帮我们大忙啦。

所以呀，可别小瞧了这个圆周角定理的推导过程，它可是有着大用
处呢！它让我们更深入地了解了圆的奥秘，也让我们对数学有了更多
的好奇和探索的欲望。

怎么样，现在是不是对圆周角定理的推导过程有了更清楚的认识啦？好好去体会体会吧，相信你会有更多的收获！。

1[实验名称] 圆周角定理及其推论证明实验目标：1.理解圆周角的概念．2.经历探索圆周角定理及其推论的过程，体验实验、汇总、猜想、证明的方法．3．贯彻数学分类讨论、数形结合、一般到特殊再到一般、化归等数学思想．实验方式：自主探究，合作交流，教师指导．实验步骤：一、设置情景：1.∠BAC 的顶点在圆上．．．．．，它的两边都和圆相交．．．．．．．，像这样的角叫做圆周角（inscribed angle ）． 2.作线段OB ，以O 为圆心，OB 为半径构造圆．3.在圆周上任取两点A 、C ，连接AB 、AC ，∠BAC 即圆周角，如图一．4. 连接OB 、OC ，∠BOC 即圆周角∠BAC 所对弧BC 所对的圆心角，如图二．5. 选中圆O 和点B 、C 构造弧BC ，如图三．6. 分别度量∠BAC 、∠BOC 、弧BC ，计算∠BAC 除以∠BOC 的值，如图四．二、观察与猜想：7. 拖动点B ，观察圆周角∠BAC 、圆心角∠BOC 、弧BC 的度数和比值的变化，发现圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系是 ，发现圆周角∠BAC 和所对弧BC 的度数大小关系是 ．8. 拖动点O ，使其落在∠BAC 边AB 上，如图五．拖动点O ，使其落在∠BAC 内，如图六． 拖动点O ，使其落在∠BAC 外，如图七．9. 再猜想：圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系是 ．三、验证10. 在五、六、七的情况下拖动点C ，发现圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系始终成立．四、概括：11．表达您的重大发现： ；五、证明：12．利用图五、图六、图七，证明你得到的结论．（教师预设证明并设计成隐藏显示）六、变式和应用13．利用几何画板说明圆周角定理的推论成立．14．利用几何画板作出课本P90页例1的图形，并度量出弧BD 、DE 和AE 的度数．图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七证：当圆心O在圆周角∠BAC的外部时连接AO并延长交⊙O于D由1已证可知：∠BAD=12∠BOD ,∠CAD=12∠COD∴∠CAD-∠BAD=12(∠COD-∠BOD)即∠BAC=12∠BOC2。

圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。

在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。

让我们来回顾一下圆的基本概念。

圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。

其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。

在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。

我们使用的单位是弧度，而不是度数。

弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。

一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。

因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。

现在，我们来看一个圆周上的任意角A。

假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。

我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。

这个等式是圆周角定理的基本公式之一。

接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。

假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。

我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。

因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。

这个结论可以进一步推广到任意个角度。

假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。

我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。

这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。

２０２４年４月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀渗透数学思想方法㊀提升学生数学素养以 圆周角定理的证明 为例◉江苏省泰兴市济川初级中学㊀张菲菲㊀㊀圆周角㊁圆周角定理及其推论是解决圆内有关角的问题的基础,并为后续学习圆的内接四边形的角的关系提供前提,是初中数学的重要内容之一．在学习本课内容前,学生已经理解并掌握了圆的基本概念,本课是对圆周角的度数及其所对弧的度数关系的深入探究．在本课教学中,教师从学生已有知识和已有经验出发,为学生搭建平等㊁和谐的自主探究环境,并在 有形 的定理证明中渗透 无形 的数学思想方法,让学生充分感知数学思想方法的价值,提升学生数学综合素养．笔者结合教学片断进行说明,以期在教学中重视挖掘和渗透数学思想方法．１教学片断学习了圆周角的定义后,教师以学生最近发展区为起点,启发学生自主研究圆周角与圆心角(弧的度数)之间的关系．过程如下:图１问题㊀如图１,在圆O 上任取两点A ,B ．过圆心O 作圆的直径B C ,连接B A ,O A ,圆心角øA O C 的度数与它所对的弧A C 的度数相等．根据这一结论,试探究圆周角øA B C 的度数与它所对的弧存在怎样的数量关系．该问题较为简单,教师让学生独立解决问题,学生根据已有知识易证øA B C ＝１２øA O C ,进而得到结论:øA B C 的度数等于弧A C 的度数的一半．结论给出后,教师引导学生进一步深入探究．师:弧A C 所对的圆周角有几个?生齐声答:无数个．师:图１所示的圆周角øA B C 的两边具有怎样的特点?生１:其中一条边B C 经过圆心,是圆的直径．师:很好,øA B C 的两边还有其他情况吗?生２:它的两条边可能都不经过圆心．师:大家动手画一画,若øA B C 的两边都不经过圆心可以怎么画学生动手画,教师巡视,然后组织学生互动交流,进一步分类．生３:圆周角øA B C 的两边不过圆心时,可以分为两种情况,即圆心在圆周角øA B C 的内部(如图２)和圆心在圆周角øA B C 的外部(如图３)．图２㊀㊀图３师:很好,大家观察得非常仔细．这两种情况下,圆周角øA B C 与弧A C 的度数存在怎样的关系?上述结论是否依然成立?(生沉思．)师:能否将以上两种情况转化为其中一边过直径的情况呢在教师的启发和指导下,学生积极思考,很快找到了解决问题的方案．图４生４:对于图２,连接B O 并延长,使其交圆O 于点D ,如图４．这样圆周角øA B C 被分解成两个角,分别为øA B D 和øC B D ,这样就将问题转化为图１所示的情况,即圆周角的一边过圆心．师:非常棒,这样通过添加辅助线,将问题转化为我们熟悉的问题．现在你能否得到与图１相同的结论呢?生５:因为øA B C ＝øA B D ＋øC B D ＝１２øA O D ＋１２øC O D ＝１２øA O C ,所以得到了与图１相同的结论．师:非常好!对于图３呢?它是否也可以转化为图１的形式,并得到与图１相同的结论呢?与图２的探究方法相类比,学生很快找到了解决问题的方法．图５生６:如图５,连接B O ,并将其延长,使其与圆O 相交于点F ．因为øA B C ＝øA B F －øC B F ＝１２øA O F －１２øC O F ＝１２øA O C ,所以得到了与图１和图２相同的１４学生培养２０２４年４月下半月㊀㊀㊀结论．至此,通过特殊化思想㊁分类讨论思想等数学思想方法的渗透,学生顺利得到了结论,促进了知识的深化和思维能力的发展．２教学思考数学教学不仅是知识的讲授过程,也是学生能力提升的过程．在日常教学中,为了追求成绩,部分教师常常通过讲授的方式直接将相关的概念㊁结论㊁公式等基础知识告知学生,让学生记忆,然后通过大量的练习进行强化．这样 讲授＋练习 的方式虽然可以在短时间内提高学生的数学成绩,但是不利于学生的长远发展,有悖于教育的初衷．因此,在日常教学中,教师要创造条件让学生进行独立思考和合作交流,引导学生共同探究数学知识背后蕴含的数学思想方法,以此提升学生的学习品质,发展学生数学能力．在圆周角定理的证明中,教师从学生最近发展区出发,重视数学思想方法的渗透,促进了学生学习能力的提升．现将其中所蕴含的思想方法进行梳理,以期引发共鸣．２．１分类讨论思想在遇到一些复杂的问题时,可以按照一定的标准把要研究的问题分为几类或几种情况进行讨论,以此化整为零,各个突破．圆周角定理揭示的是一条弧所对的圆周角与圆心角的大小关系,而一条弧所对的圆周角与圆心存在三种不同的位置关系,分别为圆心在圆周角的一条边上,圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部,因此证明定理的过程中需要分三种情况讨论．对于该定理的证明,若仅有一种或两种情况成立并不能证明该结论成立,因此需要 分而治之 ,逐一证明．分类讨论是一种重要的数学思想方法,是解决问题的重要工具和有效策略．在解决问题的过程中,通过分类将不确定的问题分解为若干个相对确定的问题,然后通过对相对确定问题的解决得到结论．其实,很多知识中都蕴含着分类讨论的思想．例如,研究反比例函数y ＝kx (k ʂ０)时,需要将k 分为k ＞０和k ＜０两种情况讨论．又如,在研究二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c 时,需要对二次项系数a 进行分类,即分为a ＞０和a ＜０两种情况．在分类讨论时,需要从全局出发,按照一定的标准分类,做到不重复㊁不遗漏,以此充分发挥分类讨论的优势,培养思维的缜密性,提高学生分析和解决问题的能力．２．２特殊化思想所谓特殊化,就是先将一些不易于理解和接受的一般性问题转化为特殊问题,以此借助特殊情形找到解决问题的突破口,然后逐渐将问题推广至一般情况,进而发现一般规律,得到一般结论．在证明圆周角定理时,教师引导学生从圆周角øA B C 的一边过圆心这一特殊情况出发,根据等腰三角形的性质及三角形的外角与不相邻的两个内角的关系,证得øA B C ＝１２øA O C ,进而得到结论:øA B C 的度数等于弧A C 的度数的一半．在此基础上,教师引导学生进行一般推广,思考圆周角øA B C 的两条边都不过圆心时,是否能够得到øA B C ＝１２øA O C 这一结论．这样以特殊情况为切入点,使结论的证明变得更加轻松㊁自然．特殊化思想的应用也是非常广泛的,例如在解决一些定值问题㊁动点问题㊁探究性问题中,经常会出现特殊化的身影,借助特殊情况往往可以轻松解决问题．２．３化归思想数学问题是灵活多变的,但其中往往蕴含着一定的规律．在研究一些复杂㊁陌生的问题时,应引导学生将它们转化为简单㊁熟悉的问题,从而将新问题转化为已经学过的问题来解决,以此快速找到解决问题的突破口,提高解题效率．例如,在研究图２和图３时,教师启发学生向已解决的图１的形式转化．这样在明确的目标指引下,学生通过添加辅助线,将圆心在圆周角内和圆心在圆周角外的两种情况转化为其中一条边过圆心的情况,进而利用已有经验解决问题．其实,化归思想在解题中是非常常见且应用非常广泛,如在解决方程问题时,有时候需要将多元化为一元,将高次化为低次．在日常教学中,教师不要急于给出结论,应尝试引导学生将陌生的㊁难以解决的问题向熟悉的㊁易于理解的问题转化,以此借助已有经验高效解决问题．２．４类比思想在数学教学中,在研究一些相似或相关的问题时,可以有意识地引导学生将这些相似或相关的内容相类比,从而推测结论相似或解法相似,以此提升学生数学能力．例如,在分析图３时,启发学生与探究图２的经验相类比,从而得到直径B F ,借助解决图１和图２的经验解决问题．其实,许多结论的得出和问题的解决都需要运用类比思想．如,在研究平行四边形的判定和性质时,一般会与矩形㊁菱形㊁正方形的相关知识相类比;又如,在学习三角形相似的判定定理时,会与全等三角形的判定定理相类比．教学过程中,教师要有意识地引导学生根据已有结论去推测相似的未知结论,以此拓宽学生视野,培养学生创新意识．总之,在数学教学中,教师要重视引导挖掘知识背后的数学思想方法,充分发挥教育的育人功能,提高学生的认知能力,发展学生数学素养．Z２４。

24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.。

初中数学精品教案圆周角定理及其推论证明一、教学目标与要求1.知识与技能：（1）掌握圆周角的概念；（2）理解圆周角定理的含义；（3）掌握圆周角定理的证明方法；（4）能够运用圆周角定理解决相关问题。

2.过程与方法：（1）教师带领学生观察、发现和思考圆周角的性质；（2）提供引导性的问题，促使学生主动参与思考和讨论；（3）学生进行小组合作，互相讨论，共同解决问题；（4）课堂展示与分享，学生学习归纳总结。

3.情感态度与价值观：（1）培养学生的观察能力和发现问题的能力；（2）激发学生的兴趣和探究欲望；（3）培养学生的合作意识和团队协作精神；（4）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：（1）圆周角的概念；（2）圆周角定理的证明。

2.教学难点：（1）圆周角定理的证明。

三、教学过程1.导入（5分钟）（1）通过展示一些有关圆周角的图片或视频，引起学生的兴趣，激发学生的思考；（2）提问：你们在这些图片或视频中有没有发现什么规律或性质？请说说你们的观察结果。

2.探究与总结（15分钟）（1）教师在黑板上画一个圆，标明圆心O，以A、B两点为弦，分别与圆上的两点C、D相交，连接OA、OB两线段；（2）提问：你们观察到了什么规律？（3）引导学生观察，并总结圆周角的概念：圆周角是顶点在圆上，两条边的一对相交弧所对面的角，符号为∠AOB。

（4）提问：你们能说出圆周角的一些性质吗？（5）学生提出并总结圆周角的性质：对于同一个圆上的两个圆周角，它们所对面的弧度一样长。

3.定理的证明（30分钟）（1）教师提出如下问题：如何证明圆周角的性质是对的？（2）教师引导学生思考，并提供一些提示：提示1：考虑$\angle COB$和$\angle COD$;提示2：考虑证明相等的两个角所对应的两条弧相等。

（3）学生根据思路进行讨论，合作解决问题，互相交流和分享思考结果；（4）教师指导学生将讨论的结果表达为公式形式：$\angleCOB=\angle COD$;（5）利用数学语言和图形表示，进行具体的证明过程；（6）师生共同完成证明。

圆周角定理的探索和探索过程教学设计教学目标1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论,并会运用它进行论证和计算.2、经历関周角定理的探索过程及证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类讨论的学习方法.3、通过学生主动探索圆周角定理及其推论,合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值. 教学重点难点教学重点圆周角的概念、圆周角定理及其应用.教学难点圆周角定理的分类证明.教学过程一、情境导入足球场上的数学在足球比赛屮，甲带球向对方球门％进攻,当他冲到力点时，同伴乙已经冲到〃点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，山乙射门•问哪一种射门方式进球的可能性大？（注意：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好•）设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣.二、自我探究1、圆周角的槪念观察图形竹的顶点”从圆心0移动到圆周上（电脑动画）•教师指出Z〃另是圆周角.山圆心角顺利迁移到圆周角.学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在関上，并且两边都和関相交的角，叫関周角. 辨析概念判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理山.思考特征圆周角具有什么特征？明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解関周角概念。

2、合作交流，动手操作学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究闘心与岡周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果•教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并山学生归纳出闘心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上：闘心在圆周角的内部：圆心在圆周角的外部.设计意图：学生动手画I员I周角，进一步熟悉闘周角，另一方面，预先探究出I员I心与恻周角的三种位置关系, 将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度.3、实验探究探究问题同弧所对的圆周角与闖心角有什么关系？试验操作学生利用手中学案,当圆心角分别是锐角（45。

《24.1.4圆内接四边形》教学设计教学策略分析本节课教师通过海港深水船航行问题引出数学问题，激发学生学习兴趣.引导学生观察、操作、猜想、验证、合作探究得到圆内接四边形的性质.教师通过一题多解、一题多变，引导学生领悟数学方法，发散学生思维能力.渗透类比、转化、归纳、由特殊到一般的数学思想.教法上采用师生互动、启发引导、归纳总结等方法；学生的学法上以独立思考、自主探究及合作交流为主.教学过程设计教学内容师生活动设计意图一：情境导入一个海港有三个灯塔A、B、C巧好在同一个圆上，在AB范围内是浅滩，一只深水船要从灯塔A处航行到灯塔B处，为了使航道最近，又不能进入浅滩，深水船只能沿着AB 航行，因此测量仪需要时刻监测船只所在位置与灯塔A、B的视角∠APB，已知灯塔C与灯塔A、B的视角∠ ACB=68°，你能计算出船只在航行过程中，应该与灯塔A、B保持的角度∠APB是多少度吗？教师展示实际生活图片，提出数学问题，学生思考.通过欣赏生活实际情境图片，提出与本节课知识有关的问题，让学生体会数学与生活密切相关.二：复习巩固1.什么是圆心角？什么是圆周角？2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？3.圆周角定理的推论是什么？学生回答前面所学知识，教师点评后，导出新课.复习与本节课有关的知识，为本节课新知识的学习做好铺垫.三：新知探究请仔细观察以下图形，有什么不同点和相同点？（一）圆内接多边形定义：如果一个多边形，这个多边形叫做，这个圆叫做这个多边形的.教师展示一组图片，学生观察思考图片的不同点和相同点，学生回答后，教师引出圆内接多边形定义.学生通过仔细观察一组图形的不同点是边数不同的多边形，相同点是多边形的顶点都在同一个圆上，自然而然得到圆内接多边形的定义.教学内容师生活动设计意图（二）圆内接四边形定义：如果一个四边形，这个四边形叫做，这个圆叫做这个四边形的.请判断下列图形中的四边形哪个是圆内接四边形？为什么？教师单独出示圆内接四边形，学生类比圆内接多边形定义给其下定义，教师点评.教师给出一组图片，学生仔细观察，找出圆内接四边形.引导学生类比圆内接多边形的定义得到圆内接四边形的定义，培养学生迁移学习能力.同时呈现圆内接四边形的正例和反例，有利于学生对圆内接四边形概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理1.四边形的四个内角和为多少度？2.以下圆内接四边形的两组对角有什么关系呢？（三）合作探究：请同学们六人一组，合作完成以下步骤：1.在∠O上任意作一个圆内接四边形ABCD.2.用量角器分别量出圆内接四边形ABCD的四个内角度数.∠A＝，∠B＝，∠C＝，∠D＝，3.分别计算出圆内接四边形ABCD的两组对角之和.∠A＋∠C＝，∠B＋∠D＝，4.和你的小组成员交流，找出你们所作圆内接四边形ABCD不同点与相同点.猜想：.教师引导学生回顾普通四边形的内角和，学生回答，并找出前三个圆内接四边形两组对角关系，教师点评后，由特殊到一般，引发学生思考.教师引导学生自己动手操作，任意画一个圆内接四边形，测量四个角度，计算两组对角之和，完成之后，小组合作交流，提出猜想.教师用几何画板动态演示.解.通过特殊的三个圆内接四边形两组对角互补，引出一般圆内接四边形的探讨.引导学生经历操作、观察、分析、交流、猜想等基本数学活动，探索圆内接四边形对角互补的性质.教师使用几何画板做进一步演示和验证，在动态环境中研究圆内接四边形对角的关系，让学生观察变量与不变量，帮助学生理解对角关系.教学内容师生活动设计意图已知：四边形ABCD是∠O的内接四边形.求证：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.（通过不同的辅助线，你能想出几种方法呢？）（四）发现归纳：圆内接四边形性质：. 数学符号语言：∠ ，∠ , .学生思考猜想的几何证明，教师巡视并适当指导，提示学生通过不同的辅助线，找到不同的方法.学生回答解题步骤.教师完善.学生把猜想加以验证得到性质，学生表述数学符号语言.把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.通过一题多解发散学生的思维能力.把“猜想”经过几何验证归纳为圆内接四边形性质，加强学生符号语言表达能力.四：牛刀小试例题1：如图，四边形ABCD内接于∠O，若∠C＝70°，则∠A＝.教师出示例题1，学生抢答.通过实际问题加强学生对圆内接四边形的理解和应用.变式1：如图，四边形ABCD内接于∠O，E为BA延长线上一点，若∠C＝70°，则∠DAE＝.请对比∠C与∠DAE的大小关系？这种关系一定成立吗？为什么？推论：.教师给出变式1，学生抢答.继而教师引导学生发现圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.学生完成证明.对例题的一个变式练习，引导学生观察发现圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.由特殊到一般，得到推论，把直观猜想加以几何验证.教学内容师生活动设计意图五：综合应用变式2：如图，四边形ABCD内接于∠O，E为BA延长线上一点，连接AC，BD,若AD平分∠EAC.求证：DB＝DC.(连接DO，你有什么新的发现？)教师把题目再进行延伸，学生思考，合作交流，演板.教师分析点评，并再变化图形，学生回答新的发现，引导学生自己改变条件，提出结论.综合考查学生对圆内接四边形和圆周角推论的应用，加深对性质的理解.连接DO让学生拓展延伸，找到新的结论，通过图形的不断变化，得到不同的结论.培养学生自己添加条件，变化图形，解决问题的能力.例题2：已知AB是∠O的直径，弦CD∠AB 于点E，H是弧AC上的任意一点，连结AH 并延长，交DC的延长线于F点.求证：∠1=∠2.情境问题解决：教师出示题目，学生先独立思考，后展示答案，教师引导加以完善.教师提出情境引入问题，学生解决.再次通过一道综合题，将前面所学的垂径定理，圆周角定理、推论和本节课所学的圆内接四边形结合起来考查学生的综合运用能力，通过一题多解培养学生从不同角度思考问题的思维能力.解决情境问题，让学生体验数学成就感.教学内容师生活动设计意图六：课堂小结通过这节课的学习，教师引导学生总结归纳，通过小结，让学生归纳、梳1.你学到了哪些数学知识？2.体验了哪些数学方法与过程？3.感悟了哪些数学思想？学生回答之后，教师系统完善本节课所学知识和数学思想方法.理总结本节的知识、技能、方法，有利于学生认识数学知识、数学方法、积累数学活动的经验.七：分层作业必做题：1.若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是( )A. ∠A：∠B：∠C：∠D = 1 ：2 ：3 ：4B. ∠A：∠B：∠C：∠D = 2 ：1 ：3 ：4C. ∠A：∠B：∠C：∠D = 3 ：2 ：1 ：4D. ∠A：∠B：∠C：∠D = 4 ：3 ：3 ：2变式：∠A：∠B：∠C：∠D = 2 ：3 ：7 ：2.如图所示，四边形ABCD内接于∠O，若∠BOD=138 °，则它的一个外角∠DCE等于.选做题：1.如图：已知四边形ABCD内一点O,若教师展示分层作业，学生课后积极完成.作业分层布置，使不同程度的学生在数学上得到不同发展.OA =OB=OC=OD,∠BAD=50°,则∠BOD= ,∠BCD= . (请思考有哪些判断四点共圆的情况呢？)学生课后思考，自主探索，小组合作交流.探索四点共圆的条件，将四边形问题中隐形存在的圆挖掘出来，感受数学解题方法的简洁美.八：板书设计一：基本概念圆内接四边形定义：学生演板区二：发现归纳圆内接四边形性质：三：思想方法类比、转化、一般到特殊九：教学反思本节课以海港深水船航道问题引出课题，激发学生学习兴趣.然后让学生复习上节课内容，为本节课的学习做好铺垫.本节课教学设计重视让学生经历动手操作、观察、发现、猜想、验证、得出结论的探索过程，真正成为课堂的主人，。