二重积分的计算.ppt

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二重积分的计算

0
1
2
x
注意：
当D {( x , y ) | a x b, c y d }, 且 f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y )，f1 ( x )，f 2 ( y ) 均为连续函数时，总有：
f ( x, y )dxdy a f1 ( x )dx c
y x 4 2 2
1 2
y
1
y y
e dx;
y x
解： e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
y x
原式 I 1dx
2

1
x
2
x
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
交换二次积分顺序时应注意：先化为二重积分，然后再将二重积分化为另一次序的二次积分。
原式 = dy 2 y 0
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dy y 2 f ( x , y )dx .
2a
或
D:
y
ax x y
ax
0 x 2a
I
2a
y ax
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，
则面积元素为 d dxdy
y
D
o x
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D D
1. ［X－型］区域如果积分区域为： a x b,

二重积分计算法ppt详解.

8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,

第八节二重积分

第八节二重积分一,二重积分的概念与性质二,二重积分在直角坐标系中计算三,二重积分在极坐标系中的计算四,二重积分的几何应用
返回
第八节二重积分导言: 导言:本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上, 和思想扩展到二元函数的二重积分上,由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一步推广.因此,二重积分概念, 步推广.因此,二重积分概念,性质与定积分类似, 类似,二重积分的计算方法也是将其转化为定积分.学习中要注意与定积分的对比, 积分.学习中要注意与定积分的对比,把握两者之间的共性与区别. 者之间的共性与区别.
D D D
(2) ∫∫ kf (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y)dσ
D
D +D2 1 D 1
(k为常数 ).
D
D2
(3) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dσ + ∫∫ f (x, y)dσ. (4) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y),则有
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ.
y1( x)
z = f (x, y)
y1
y2 y
故曲顶柱体的体积, 故曲顶柱体的体积也就是二重积分为
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D
b b y2 ( x) S(x)dx = a[ y ( x) f (x, y)dy]dx. a 1
∫ ∫
上式将二重积分化成先对y 积分, 后对x 积分的二上式将二重积分化成先对积分后对次积分或称为累次积分. 次积分或称为累次积分需要指出, 需要指出计算 ∫
z = f (x, y)
f (ξi ,ηi )σi . 以此作为小曲

高等数学课件D92二重积分的计算

电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和磁场的基础。了解电荷分布对于预测电场强度、电势差以及电磁波的传播等具有重要意义。
二重积分在电荷分布中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算电荷分布。通过将电荷区域离散化为微小单元，对每个单元的电荷密度进行积分，并利用二重积分对整个区域进行积分，可以得到总电荷量和电荷分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序，即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地表形态和地貌特征的重要手段。二重积分可以用于计算地表高程、坡度、坡向等地形参数，进而实现地形分类、地貌特征提取等应用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形，以梯形的面积近似代替被积函数的面积，通过求和所有梯形的面积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更精确的插值多项式来逼近被积函数，从而提高二重积分计算的精度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度。

§9[1].2二重积分的计算法

dxdy ,其中D: x 2
2
y
2
a
2

2
y
R x y
D
2
2
e
e
0
dxdy x
dx
2
D
e
r
2
rdrd
y
a
2
a

0
d

0
e
r
2
rdr (1 e
x
2
)
0

D1
e
x y
2
2
dxdy

S
e
x y
2
2
2
( ) d
2
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x
o
x
( 2)
答: (1) 0 ;

2

2
例1 计算 e

R
2
x y
R
2
2
e x 2 dx (1 e 2 R 2 ) D (1 e ) 4 解 D : 0 r a ,0 0 2 4

D
O
ri
ri ri
r

3。化为二次积分公式
I
r r1 ( )
r r 2 ( )

D
f ( r cos , r sin ) rdrd

11.6二重积分的计算 - 副本

a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
2. 若积分域较复杂,可将它分成若干 x型区域或y型区域 , 则
2 1)
0
y
0
x
3
I 2 ( 2 1)
3
2
例8. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
D D1 D2 (如图所示)
y
4 y 4 x2
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人宋从芝
11.6 二重积分的计算
本讲概要 ➢ 在直角坐标系下计算二重积分 ➢ 在极坐标系下计算二重积分
一、在直角坐标系计算二重积分
1.x型区域
a x b,
如果积分区域D为： 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
k (k 1, 2, , n)
则除包含边界点的小区域外, o
k k
k
k
r rk x
rd d
dr
d r
小区域的面积由图可知：r rk rk

高等数学课件 PPT 第九章重积分

分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式质量=面密度×面积来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2，于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4

92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于直线 y x 对称（ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地，过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下：（1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形；（2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ，过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ，且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限和上限。

G212直角坐标系下二重积分的计算.ppt

假舟楫者，非能水也，而绝江河。
------旬子
1
第21章重积分
第21章
本章内容：
第一节、二重积分概念第二节、直角坐标系下二重积分的计算第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性第四节、二重积分的变量替换
第五节、三重积分
第六节、重积分的应用
第七节、第八节、第九节---N重积分；反常
ik xi1, xi yk1, yk i 1,2, , r;k 1,2, , s
令
Fx
d
c
f
x, ydy
, 下面证
Fx 在 a,b
可积,且
积分值为二重积分.
因为 f (x, y) 在 D上可积,故必有界(P215).由确界原理
及定积分估计式得
mikyk
yk yk 1
f
i , y dy Mik yk
则D
:
11
y x
x 2
y
I
2
1
x
d
x
x1
yd
y
1 2
2
1
xy2 x d x
1
2 y
yx
1
1 2
12
x3
x
d
x
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
1
yd
y
y2 xd
x
2
1
1 2
x
2
y
2 d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
13
例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线

高数课件-二重积分的计算法

解
a2 x2 y2 d
D
a 2 cos 2
4
d
0
a2 r 2 rdr
4
2 4 d
a2 cos 2 a2 r 2 rdr
0
0
2
4
0
1 (a2 3
:
y
x,
y2
x
1
y x y2 x
x
(2) e x2 d , D : y x, y 0, x 1
D
y
評注本例中兩題不能交換積
分次序，因為先積分的原函數
不能用初等函數表達出來，從
而二重積分計算不出來。
o
1 (1 e1 )。 2
x
1
z
例5 求兩個底圓半徑都等於R的直交圓柱面所圍成的立體體積。
7.2 二重積分的計算法
7.2.1 利用直角坐標計算二重積分
當積分區域是X型區域時
f (x, y)d
b
dx
2(x) f (x, y)dy
D
a
1( x)
(1)
當積分區域是Y型區域時
f (x, y)d
d
dy
2( y)
f (x, y)dx
(2)
D
c
1( y)
<#>
z f (x, y)
z
o
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
n
_
__
__
lim 0 i1
f (ri
cos i , r i sin i ) r i ri
i
1
r ri ri
r ri
• i i ri
i i
i
__

第11讲二重积分及其计算

D
性质 6 (中值定理)
设 D R2 为有界闭区域，f (x, y) C(D)，则至少存在
一点( ,) D，使得
f (x, y) d x d y f ( ,) | D | 。
D
性质 7
设 D1 与D2 关于 x 轴对称，D D1 D2 。若函数 f (x, y) 关于变量 y 为偶函数：f (x, y) f (x, y)，则
二重积分记为：
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i ,
式中： f (x, y) —— 被积函数；
—— 二重积分号；
D —— 积分区域；
d ——积分元素( 或平面面积元素) ;
x，y ——积分变量；
n
f (i ,i ) i —— 积分和( 黎曼和) 。
i 1
二重积分定义的几点说明：
(1) z f (x, y) 0,
曲
顶
n
柱
D
f (x, y) d
lim 0ຫໍສະໝຸດ i 1f (i ,i ) i
V.
体的
体
(2) z f (x, y) 0,
积
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
V.
曲z
顶柱体的体积
.a O
bx0
x
z f (x, y) 0
D
围成的区域。
D {(x, y) | 1 x 2，1 y x }
2
x
xy d xy d x d y 1 d x1 xy d y
D
D
y 2
2 yx
x[ ] d x
12

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0 y 1 x2.
D
ydxdy 11dx0 1x2 ydy
o
x
D
11
1 2
y2
1 x 2 0
dx
1 2
11(1
x2 )dx
2. 3
解法2 先对x积分. 用平行于x轴的直线自左而右穿越区域D，入口曲线为 x 1 y2，出口曲线为 x 1 y2，因此
1 y2 x 1 y2
ydxdy
4
2 (5 y2 1 y3 1 y4 )dy 0 2 2 32
(5 y3 1 y4 1 y5) 2 6 8 160 0
y2
D
o
2
x
67 15
确定二次积分的积分限可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，确定关于y积分限的方法是：
用平行于y轴的一组直线自下而上穿越区域D，与区域
故二重积分可写为
y
yi yyi
D
i
yi
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
D
D
o xxi xxixxi x
设z=f(x,y)在D上连续非负，下面针对两种不同类型的
区域，给出直角坐标系下，二重积分的计算公式。
1、D为x–型区域.
y
y 2(x)
D {(x,y)|a x b,1(x) y 2(x)},
π2 2 dy
π
2 cos 2ydy)
2 0
0
π
π
o
1 y 2 1 sin 2y 2
20 4
0
π. 4
yx
D
x
x
2
练习2 计算积分 ydxdy ，其中D由 x2 y2 1, y≥0确
D
定.
解法1 先对y积分，
用平行于y轴的直线自下而上穿越区域D，入口曲线
y=0；出口曲线
y
为 y 1 x2，因此
8.7 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为
二次积分或累次积分.
一、利用直角坐标系计算二重积分
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直
线段，将区域D分割成n个小块 1, 2,, n, 从而有
i xiyi xy 故面积元素为 d dxdy
y
sin2x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
Dπ
π
（2 sin x sin y）x dy
0
0
2 sin2 xdx
0
π 2
1
cos
2x
dx
1
(
π
2 dx
π
2 cos 2xdx)
0
2
π
20
0
π
o
1 x 2 1 sin 2x 2 π .
20 4
04
yx
D
x
x
2
解法2 先对x积分.
1
y2） dx
0
1 2 dx
2 1 x2
1. 4
2、D为y–型区域
D {(x, y)|c y d,1(y) x 2(y)},
y
y
d
d
x 1(y)
c
o
x 2(y)
x
x 1(y)
c
o
x 2(y)
x
f (x, y)dxdy
d
dy
2( y)
f (x, y)dx
D
c
1( y)
d c
2 ( y) 1( y)
01
dy
1 y 1
2
y
2
ydx
01 yx
1 y 2 1 y 2
dy
D
1
2 y 0
1
y 2 dy
2 3
(1
3
y2)2
1 0
2 3
.
比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二
重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.
及
x
例5 计算
2所确定.D
x2 y2
f
(x,
y)dx dy
上式称为先对x 后对y的累次积分.
例2 计算二重积分 (x 2 y)d，D由y x, y2 4x及y 2
围成.
D
解用平行于x轴的一组直线自左而右穿越积分区域，
则有，原式
2
dy
0
y
y2 (x 2 y)dx
4
y
y2 4x
yx
2 x2 ( + 2yx 02
y y2 ) dy
用平行于x轴的直线自左而右穿越积分区域D，入口曲
线为x=y，出口曲线为x π .D在y轴上的投影区间为[0, π]
故
2
2
π
π
sin
x
cos
ydxdy
2 0
dy
2 y
sin
x
cos
ydx
y
Dπ
π
π
2 cos （y cos x）2 dy 2 cos2 ydy
0
y
0
π 2
1
cos
2y
dy
0
1(
D
解用平行于y轴的一组直线自下而上穿越积分区域，
则有原式
3
dx
1 xy2dy
1
0
3 y3 1 (x )dx
1 30
y
1 D
3x dx
x2
3 4
13
61 3
o1
3x
练习1
计算积分Dຫໍສະໝຸດ y x2dxdy，其中D是正方形区域：
1 x 2,0 y 1.
解
原式
2
dx
1
1 0
y x2
dy
（2 1 1 2x2
2 dx 1
02
π
2 sin 4xdx
1 cos 4x
2
0.
0
8
0
和x 例π4所计围算成积的分三D角sin形x区co域s y.dxdy ，其中D是由y=x，y=0
2 解法1 先对y积分.
用平行于y轴的一组直线自下而上穿越积分区域D，入
口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间
为 [0, π].
D首先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.与区域D最后相交的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.
而后对x积分时，其积分区间为区域D在x轴上投影区
间[a,b]，a是下限，b是上限，即
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1( x)
f
(x,
y)dy.
以上步骤适合于入口曲线与出口曲线都只有一条的
情形.
如果入口曲线或者出口曲线不唯一，则先将区域D划
分为几个子区域，从不唯一的边界曲线交点处划分为几个
子区域，再用二重积分的可加性及前述步骤可求区域D上
的二重积分.
例3 计算积分 xy cos( xy2)dxdy，其中D是由不等
式：0
x
π ,0
y
D
2
所确定的长方形区域.
2
解这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会
简单些.因此，我们选择先对y积分，即
xy
cos(
xy
2
)dxdy
π
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
π
2 dx
0
2 cos(xy2 )d xy2
0
2
π
1 2
π
2
0
sin( xy 2 )
f (x, y)dxdy
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
oa
y
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x, y)dydx
上式称为先对y后对x的累次
积分.
oa
y 1(x)
bx
y 2(x) y 1(x) bx
例1 计算二重积分 xy2d，D {(x, y) |1 x 3,0 y 1}.

二重积分的计算.ppt

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