斯勒茨基方程例题+答案

第8章 斯勒茨基方程一、判断题（T 或F ）1．补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需求函数。

（ ）【答案】F【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。

2．在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。

（ ）【答案】F【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。

在相似偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。

3．如果商品x 与商品y 对某消费者为完全互补品，则商品x 的价格下降引起y 的需求变化全部归因于收入效应。

（ ）【答案】T【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。

4．如果某商品的恩格尔曲线向上倾斜，那么该商品的需求曲线一定向下倾斜。

（ ）【答案】T【解析】恩格尔曲线表示在商品价格保持不变的条件下，收入和需求量的关系。

恩格尔曲线向上倾斜说明随着收入增长，需求量也增加，由此可知该商品是正常品，其需求曲线是向下倾斜的。

5．商品x 对消费者是越多越喜欢，如果x 商品的价格下降并且其他商品的价格保持不变，那么这个消费者必然增加对x 的需求。

（ ）【答案】F【解析】商品x 对消费者是越多越喜欢并没有说明商品x 是正常物品还是低档物品，因此无法判断商品x 的价格变化如何导致需求变化。

6．在当前收入下，某消费者所消费的两种商品中有一种是吉芬商品。

如果该吉芬商品的价格上升，则消费者对另一种商品的需求一定减少。

（ ）【答案】T【解析】吉芬商品的价格上升，那么其需求量会增加，占消费者总支出的比例增加，在收入不变的情况下，另一种商品价格不变，需求量一定减少。

7．吉芬商品价格的上升会使消费它的消费者状况改变得更好。

（ ）【答案】F【解析】商品（无论是普通商品还是吉芬商品）价格的上升会导致消费者的预算约束线向内旋转，导致消费束的选择范围减少，消费者的状况变差。

第8章斯勒茨基方程1．假定消费者对于两种商品的偏好符合完全替代的情况，你能以使全部需求变动归因于收入效应的方式改变商品的价格吗？答：会发生这种情况。

例如，假定红铅笔和蓝铅笔之间按照1:1的比例完全替代，并且红铅笔的价格为10美分，蓝铅笔的价格为5美分，消费者在铅笔上的总支出是1美元。

于是她将消费20支蓝铅笔。

如果蓝铅笔的价格下降到4美分一支，她将消费25支蓝铅笔，可见，消费量的变化完全取决于收入效应。

2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。

替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。

在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。

这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。

图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。

价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。

因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。

图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x′，而是根据最初消费的汽油量x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x′，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。

分析如下：假设消费者的预算线为px＋y＝m，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为（x*，y*），如图8-3所示。

图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：px*＋y*＝m实行退税政策后，消费者的预算线变为：（p＋t）x＋y＝m＋tx*此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。

CH11、利用住房市场模型进行比较静态分析：（1）住房的供给减少了；（2）居民的收入提高了；（3）房东将一部分住房出售；（4）对房东进行补贴，房东可以从政府那里每套住房获得1000元补贴。

2、配置住房有四种方法：竞争市场、价格歧视垄断者、一般垄断者、房租管制，利用帕累托效率标准来分析这些资源配置机制。

答1.(1)住房的供给减少了：供给曲线向左平移，需求曲线不变，住房的价格上升 （2）居民的收入提高了：供给曲线不变，需求曲线向右上方平移，住房价格上升 （3）出售部分房屋：供给曲线向左移动，需求曲线向左下方移动。

住房价格不变 （4）对房东补贴：住房价格不变2.竞争市场：在竞争市场下，持有最高保留价格的人也就是说愿意支付的价格高于均衡价格的最终能够获得他想要的物品。

因此，在竞争市场上，一旦交易达成，就再也没有其他的交易收益可得，所以说竞争市场产生的结果是帕累托有效率的。

价格歧视垄断者：通过价格歧视垄断者配置的方法，使最终获得物品的人与通过竞争市场配置的方法得到物品的人，正好是同一批人，即愿意支付的价格高于均衡价格。

因此价格歧视垄断者产生的结果是帕累托有效率的。

一般垄断者：拿出售房子的例子来说，一般垄断者不可能出租所有的住房，他可以通过把一套住房出租给按确定价格租不到房子的人来增加他的利润。

因此，这里存在着可以使垄断者和该租赁者双方都好一些的某些价格，只要垄断者不改变其他任何人的支付价格，其它租赁者的情况还是与以前一样好。

这就存在帕累托改进，所以一般垄断者下，不是帕累托有效率的。

房屋管制：举例说明。

分配房子时使A （保留价格300）住进内城区，而他愿意支付的价格要少于住在外城区的B （保留价格500）。

存在一种帕累托改进：让不在乎是住在内城区还是外城区的A 把内城区的房子出租给想住在内城区的B 。

对A 来说，内城区的住房只值300，B 认为值500.所以如果B 付给A400交换它们的住房，这对双方都好。

Chapter 1 市场1假设消费者对租房的需求为D（p）=100-2p，如果垄断者有60套出租房，追求利益最大的话垄断者会是用什么价格，出租多少套房子？如果垄断者只有40套房子出租，情况又会怎样呢？Solution：D(p)=100-2p，P=50-q/2TR=p(q)•q=q•(50-q/2)=50q-q2/2MR=50-q=0Q*=50, p*=25Chapter 2 预算约束1税收和补贴问题：假设以消费者只消费土豆（x）和牛肉（y）。

当土豆价格为9元，牛肉价格为5元时，他的所有收入恰好够他买5单位土豆和10单位牛肉。

县政府对购买土豆进行补贴：每单位土豆补贴是消费者5元。

但为了支付这种补贴，政府要向这个消费者征收20元的收入税。

请写出消费者的预算线。

（学会将经济语言翻译成数学语言）Solution：m=p1x+p2y=9*5+5*10=95土豆现价p1’=9-5=4m’=m-20=75所以BL:4x+5y=752食品券问题：一个家庭月收入为300元，只需支付83元即可得到政府补贴的价值153元的食品券。

若政府规定没有用完的食品券可以按照实际金额退款。

请写出预算方程，并图示。

Solution：设购买食品所花费用为x，其他所有花费为y，预算线分类两段（1）当x<153, 食品券的存在，使得食物价格变便宜（相对于153元的其他商品，食品只用83），△y/△x=-p1/p2=-83/153=-0.54，BL: 0.54x+y=300（2）当x>153, △y/△x=-p1/p2=-1/1=-1, BL: x+y=370折凹点为（153,217）3食品券问题：一个家庭月收入为300元，只需支付83元即可得到政府补贴的价值153元的食品券。

若政府规定153元的食品券必须一次性购买且不能退款及转让。

请写出预算方程，并图示。

（注意对比1、2题）Solution：设购买食品所花费用为x，其他所有花费为y，预算线分类三段（1）当家庭月消费食品x<83, 则消费者不会去购买食品券，△y/△x=-p1/p2=-1/1=-1,BL: x+y=300（2）当83<x<153, 消费者一次性购买食品券花费83元，剩余收入217元，此后直到153都不需要再多花钱消费食品。

1．查理消费苹果和香蕉。

他的效用函数是2),(xy y x U =，其中x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。

苹果的价格是＄1，香蕉的价格是$2，他的收入是＄30.如果香蕉的价格下降至＄1,请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。

2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ⋅=，她的初始收入为100,X 的价格2=X P 。

现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变,请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。

1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数)为：x p m x ⋅=31，yp m y ⋅=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。

设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则20)21(1030)(),(=-⋅+=-'⋅+='y yy p p m p y m m 因此, 替代效应31023032120323232),(),(=⋅-⋅=⋅-''⋅=-''=∆y y y y s p m p m m p y m p y y , 收入效应32012032130323232),(),(=⋅-⋅=''⋅-'⋅=''-'=∆y y y y m p m p m m p y m p y y 。

2．解：由效用函数为Y X U ⋅=，可得需求函数为：X P M X ⋅=21,YP M Y ⋅=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021⋅⨯⋅=⋅=. 希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变,因此调整后的收入M '应满足：YY P M M P '⋅⨯'⋅=⋅⨯⋅2112110021210021 解得5.70250≈='M因此，希克斯替代效应25.1021002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=⋅-⋅=-=-''=X X M P X M P X X X 希克斯收入效应75.1415.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=⋅-⋅=-=''-'=X X M P X M P X X X习题：补偿变化和等价变化卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有＄150的收入，且x 和y 的价格均为$1。

第8章斯勒茨基方程一、单项选择题1．某消费者对商品的需求函数为（为商品的价格）。

现在他的收入，商品的价格。

如果商品的价格上升至，用来表示价格变化所引起商品消费量变动中的收入效应，表示价格变化所引起商品消费量变动中的斯勒茨基替代效应，则和分别为多少？（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】原收入为，原价格，可得：。

现商品价格变为，设为恰好能支付得起原最优消费束的货币收入，则：所以：2．关于价格上升引起的需求变化的收入效应和替代效应中，下列哪一项说法正确？（）A．前者总是正的，后者总是负的B．两者都可以是正的，也可以都是负的C．虽然后者总是负的，前者可正可负D．虽然前者总是负的，后者可正可负【答案】C【解析】低档商品的收入效应是正的，正常商品的收入效应是负的；而所有商品的替代效应都是负的，因为由替代效应引起的需求变动方向总是与价格变动的方向相反。

3．某消费者消费两种商品和。

如果商品的价格上涨，替代效应和收入效应从相反的方向影响需求，则有（）。

A．商品一定是吉芬商品B．商品一定是低档商品C．违背了若显示偏好D．商品一定是正常商品【答案】B【解析】低档商品的收入效应与价格同方向变动，替代效应与价格反方向变动。

吉芬商品也是低档商品。

正常商品的收入效应和替代效应与价格都呈反方向变动。

4．某消费者消费两种商品和，他的效用函数为。

给定商品的价格和他的收入不变，商品价格下降，则（）。

A．商品的收入效应为0，因为他的收入保持不变B．商品的替代效应为0，因为商品的价格没有变C．替代效应减少了商品的需求，因为收入效应为0，所以的需求下降D．价格变化引起的替代效应减少了商品的需求，增加了商品的需求【答案】D【解析】替代效应为负，因此由于替代效应，的价格下降，必然使得的需求量提高，在效用不变的情况下，需求量必然会减少。

5．某消费者的效用函数为。

、分别表示苹果和香蕉的消费数量。

原来苹果的价格为1元/斤，香蕉的价格2元/斤。

第8章斯勒茨基方程1．假设消费者对两种商品的偏好为完全替代型的，在此情形下，你能变动价格使得需求总变动全部由收入效应引起吗？答：如果两种商品是1∶1完全替代的，而且商品1的价格低于商品2的价格，则消费者只会消费商品1。

现在令商品1的价格下降，消费者仍然只会消费商品1，但商品1消费量的增加完全由收入效应引起，因为商品2的消费量原本已为0，不可能再用商品1替代商品2。

2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。

替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。

在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。

这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。

图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。

价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。

因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。

图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x'，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x'，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。

分析如下：假设消费者的预算线为px y m+=，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为()**，，如图8-3所x y示。

图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：**+=px y m实行退税政策后，消费者的预算线变为：()*++=+p t x y m tx此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。

Chapter 8: Slutsky EquationIntermediate Microeconomics:A Modern Approach (7th Edition)Hal R. Varian(University of California at Berkeley)第8章：斯勒茨基方程（含习题解答）含习题解答）中级微观经济学：现代方法（第7版）范里安著（加州大学伯克利）曹乾译（东南大学caoqianseu@）简短说明：翻译此书的原因是教学的需要，当然也因为对现行中文翻译版教材的不满。

市场流行的翻译版翻译生硬错误百出。

这一版翻译的错误是微不足道的，但仍欢迎指出。

仅供教学和学习参考。

8斯勒茨基方程经济学家通常关心随经济环境变化，消费者的行为是如何变化的。

本章我们研究消费者的选择怎样随着价格变化而变化。

自然地我们认为当某商品的价格上升时，需求会下降。

然而，正如在第6章所见，我们可以构造一个反例，即当某商品价格下降时，最优需求也会下．降．。

具有这种属性的商品称为吉芬商品．．．．（Giffen good ）。

吉芬商品比较特殊，通常是个理论产物。

但在某些情形下，价格的变化会有“反常的”效应，若再考虑一下，就会发现它并非那么不合理。

例如，我们通常认为，若人们工资增加，则他们会干得更多。

可是如果你的工资从10元/小时增加到1000元/小时，结果会如何？难道你不想减少工作时间，并将你挣的钱用来做其他事情？如果你的工资是1,000,000元/小时，结果会如何？你难道不想干得更少吗？另外一个例子是，想想当苹果价格上升时，你对苹果的需求将怎样变化？你很有可能减少苹果的消费。

但是种植并销售苹果的家庭会减少苹果的消费吗？如果苹果的价格上升，该家庭的收入可能增加，因此他们可能认为他们有能力消费自己的苹果。

对于该家庭的消费者来说，苹果价格上升很可能导致他们对苹果的消费增加。

这是怎么一回事？价格的变化怎么可能对需求产生不同的影响？在本章和下一章我们将研究这些效应。

6 需求1、下列偏好是否相似偏好？()222121x x )x ,x (u 1=、()2121x x )x ,x (u 2+=、()22212121x x x 2x )x ,x (u 3++=、()2121x x 2)x ,x (u 4+=、(){}2121x ,x 2min )x ,x (u 5=、()()21211ln ),(6x x x x u ++=、()2221212144),(7x x x x x x u ++=、()2221215),(8x x x x x u ++=、()3/223/2121),(9x x x x u =、2、假设消费者只消费两种商品，而且他总是花光他的全部货币，在这种情况下，这两种商品有可能都是低档商品吗？3、说明完全替代是相似偏好的一个例子。

4、说明柯布-道格拉斯偏好是相似偏好。

5、如果消费是凹的，消费者会一起消费两种商品吗？6、兰老师具有相似偏好。

当他的收入是1000美元时，他购买40本书和60份报纸。

当他收入增加到1500美元，且书和报纸的价格不变时，他会购买多少书和报纸？7、假设消费者的效用函数为222121),(x x x x u =，当商品1的价格变化时，价格提供曲线是什么形状？8、在完全互补的情况下，商品1的反需求函数是什么形式？9、某消费者的偏好由以下效用函数描述：3/ln 2ln ),(2121）（x x x x u +=，商品1和商品2的价格分别为p 1和p 2，消费者的收入为m 。

（1）求消费者对商品1和商品2的需求函数。

（2）设价格121==p p ，画出两种商品的恩格尔曲线。

（3）设5,102==p m ，画出商品1的需求曲线。

（4）判断商品1和商品2是正常商品还是低档商品，是普通商品还是几份商品，是替代品还是互补品。

10、根据下列效用函数，推导出商品1的需求函数，反需求函数，恩格尔曲线；在图上大致画出价格提供曲线，收入提供曲线；说明商品1是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品，商品2与商品1是替代还是互补关系。

斯勒茨基方程的一种推导方法1、进行比较静态分析 max ),(21q q f U = t s . 22110q p q p y +=)(),(2211021q p q p y q q f L --+=λ一阶条件0111=-=∂∂p f q Lλ 0222=-=∂∂p f q Lλ022110=--=∂∂q p q p y Lλ2、对效用最大化一阶条件进行全微分：注意：111p f q L λ-=∂∂是λ,,,121p q q 的函数；222p f q Lλ-=∂∂是λ,,,221p q q 的函数；22110q p q p y L--=∂∂λ是2121,,,p p q q 的函数； 变成三个变量λd dq dq ,,21的方程组11212111dp d p dq f dq f λλ=-+22222121dp d p dq f dq f λλ=-+ 22112211dp q dp q dy dq p dq p -+-=--其对应的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0212222111211p p p f f p f f ，所以0212222111211p p p f f p f f D ----= 022211222211211p dp q dp q dy p f dp p f dp D -++---=λλ，22111222111112dp q dp q dy p p dp f p dp f D ++----=λλ D D dq 11=，DD dq 22= 3、用克莱姆法则解除上述其中两个变量21,dq dq Ddp q dp q dy D dp D dp D dq )(2211312211111++-++=λλ （2、1）Ddp q dp q dy D dp D dp D dq )(2211322221122++-++=λλ4、假定02==dy dp 情况下，上述（2、1）式除以1dpDD q D D p q 3111111+=∂∂λ 在021==dp dp 下，DD y q 311-=∂∂ 5、斯勒茨基方程及含义：令0=dU ，即02211=+dq f dq f ，而前面得到2121p pf f = 02211=+dq f dq f →02121=+dq dq f f →02121=+dq dq p p →02211=+dq p dq p 由书中（2-26），得 02211=++-dp q dp q dy将02211=++-dp q dp q dy 及02=dp （因为是对1p 求偏导数）代入（2、1）并求对1p 偏导数，得D D p q U 111λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=常数将上式及书中公式D D y q 311-=∂∂代入公式DD q D D p q 3111111+=∂∂λ，得常数价格常数==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂y q q p q p q U 111111 该式右端第一项常数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂U p q 11是在效用水平不变的情况下得到的，所以，它与补偿需求函数的前提是一样的，因此，该式为补偿需求曲线的斜率，补偿需求函数的价格弹性和交叉价格弹性111111dp dq q p e ⋅=、122121dp dq q p e ⋅=中的11dp dq 、12dp dq就是常数=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂U p q 11。