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slutsky方程斯拉茨基方程（Slutsky equation）是经济学中的一种重要工具，用于分析需求的变化对价格、数量和收入的影响。
该方程是由瑟奈·斯拉茨基（Eugen Slutsky）于1915年首次提出。
斯拉茨基方程可以表示为：∆x=SE+IE其中，∆x表示需求量的变化，SE表示替代效应，IE表示收入效应。
替代效应可以通过边际替代率（marginal rate of substitution）来度量，边际替代率表示为消费者愿意放弃一种物品来增加另一种物品的程度。
当价格下降时，消费者更倾向于购买价格更低的物品，因此替代效应会导致需求量增加。
收入效应则通过边际效用（marginal utility）来度量，边际效用表示为消费者对一单位物品的额外满足程度。
当价格下降时，消费者的购买力增加，因此收入效应会导致需求量增加。
收入效应在正常商品（normal good）和劣质商品（inferior good）上会产生不同的影响。
斯拉茨基方程的应用范围十分广泛。
首先，它可以用于解释不同价格水平下的需求变化。
通过计算替代效应和收入效应的相对作用，我们可以更好地预测和解释市场行为。
其次，斯拉茨基方程还可以用于分析消费者行为的福利效应。
通过比较需求曲线的变化与边际效用曲线的变化，我们可以判断消费者的总体福利是增加还是减少。
此外，斯拉茨基方程还可以用于分析生产要素的需求弹性（elasticity of factor demand）。
通过将斯拉茨基方程应用于生产要素的市场，我们可以了解生产者对成本变化的反应程度。
总之，斯拉茨基方程是经济学中一种重要的工具，用于分析需求的变化对价格、数量和收入的影响。
通过将需求曲线拆分为替代效应和收入效应，我们可以更好地理解市场行为，预测和解释市场变动，并评估消费者的福利效应和生产要素需求的弹性。
第9章购买和销售9.1复习笔记1．禀赋（1）禀赋禀赋是指纯交换经济中每个消费者最初拥有的一定数量的一种或一组商品，通常记作()12,w w 。
（2）总需求总需求是指消费者对某种商品的实际最终消费量，记作()12,x x 。
（3）净需求净需求是指总需求与初始商品禀赋之间的差额，利用前面的符号，净需求可以表示为：()1122,x w x w --特别地，净需求可正可负，如果商品1的净需求是负数，就表明的消费者对商品1需求小于他所拥有的数量，从而消费者愿意在市场上卖出商品1。
（4）带有初始禀赋的预算约束在有初始禀赋的情况下，消费者的预算约束就变为：11221122p x p x p w p w +=+如图9-1所示，预算线就是经过初始禀赋点的一条直线。
图9-1带有初始禀赋的预算约束（5）禀赋变动对预算线的影响假设初始禀赋由()12,w w 变为()12,w w **，如果11221122p w p w p w p w **+<+，则预算线平行的向外移动（如图9-2所示）；如果相反的不等式成立，则预算线平行的向内移动（如图9-3所示）；如果不等式变为等式，则预算线不变（如图9-4所示）。
图9-2禀赋价值升高图9-3禀赋价值降低图9-4禀赋价值不变2．拥有初始禀赋时的消费者效用最大化（1）消费者效用最大化的必要条件在带有初始禀赋的预算约束下，消费者的效用最大化问题为：()1211221122max ,.. u x x s t p x p x p w p w +=+从而得到效用最大化的必要条件为：11,22p MRS p =（2）价格提供曲线的特点在消费者拥有初始禀赋的条件下，价格提供曲线与经过初始禀赋点的无差异曲线相切，且价格提供曲线始终位于该无差异曲线的右侧，如图9-5所示。
图9-5价格提供曲线和无差异曲线3．价格变动对消费者福利的影响（1）价格变化前消费者是商品的净供给者（如表9-1所示）表9-1价格变化前消费者是商品的净供给者（2）价格变化前消费者是商品的净购买者（如表9-2所示）表9-2价格变化前消费者是商品的净购买者4．修正的斯勒茨基方程（1）禀赋收入效应当消费者拥有初始禀赋时，价格的变动对需求的影响除了表现为替代效应和普通的收入效应外，禀赋的价值也会随着价格的变动而变化，这就是禀赋收入效应。
Chapter Seven: 斯勒斯基方程这一章主要用数学方法对收入效应和替代效应进行讨论。
由于在经济学中对替代效应有两种描述方法，因此我们也将对有关的概念作简要的介绍。
一、直接效用函数、间接效用函数和支出函数（一）直接效用函数就是由商品的消费量所决定的效用函数。
其一般描述为：)(x u u =，其中x 是向量。
在序数效用论中，直接效用函数本身没有经济意义，但是在一定效用值下的消费束x *是有意义的。
因此，我们只关心直接效用函数值达到最大时的需求。
（二）间接效用函数根据约束条件下的极值问题，求出最优选择之后，可以将x *带回间接效用函数中去，从而得到一个新的效用函数，这个效用函数是价格和收入的函数，我们将这个效用函数称作间接效用函数。
一般描述为：),,(21m p p v 。
间接效用函数是通过求解下述效用最大化问题得到的，即mx p x p t s x x u u =+=221121..),(max由此：（1）求出马歇尔需求函数：),,(21m p p x i ，所有变量都可度量。
（2）将其带回目标函数，可以求出间接效用函数 ),,(21m p p v（三）支出函数消费者均衡一般是指在一定的预算约束条件下可以给消费者带来最大效用的商品消费数量。
实际上，问题也可以反过来提出，即在一定的效用水平上的最小货币支出数量是多少。
支出函数衡量的是与一定的效用水平相对应的在消费者均衡条件下的最小货币支出数量。
它是与马歇尔需求函数相对应的最小支出函数，是通过求解下述支出最小化问题得到的，即),(..min 212211x x u u t s x p x p =+由此：（1）求出希克斯需求函数：),,(21u p p x i ，其中包含不可度量因素。
（2）将其带回目标函数，可以求出支出函数 ))(,,(21x u p p e二、用货币度量的直接和间接效用函数（一）用货币侧度的直接效用函数假定在价格向量q 条件下与消费束向量x 相对应存在一个效用水平)(x u u =。
第8章 斯勒茨基方程某种商品价格的上升可能会产生两方面的影响：一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更了，这会导致消费者减少对该商品的消费量，而增加对该商品替代品的消费量；另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）下降，这也会导致该消费者减少（或增加）对商品的消费量。
前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应。
斯勒茨基方程(Slusky equation)的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中有多少是替代效应所导致，而又有多少是收入效应所导致的。
一、替代效应(substitution effect)1．含义在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。
2．替代效应的图示：x 2m/pm ’/p 2x 1图8－1 替代效应和收入效应一种商品的价格变动后，在新的相对价格水平下，消费者的实际收入刚好能够支付得起价格变动之前的那个均衡商品束，这种情况即为Slusky equation 中的购买力不变，即消费者购买力在价格变动前或价格变动后是一样的。
3．替代效应的计算：（1）调整货币收入以保持实际购买力不变初始均衡点：价格水平为),(21p p ，均衡商品束为),(21x x ，支付的货币为:价格变动后：价格水平为),(2'1p p ，均衡商品束为)','(21x x要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为：2111''x p x p m += （8.2）则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为式（8.1）－式（8.2）： ⊿1211)'('x p p x m m m =-=-=⊿1p （8.3）（2）计算替代效应⊿),,()',,'(2112111m p p x m p p x x s -= （8.4）二、收入效应(income effect)1．含义 在新的相对价格水平下（21'p p ），仅仅由于实际购买力（或实际收入）的变化而导致的消费者需求量的变动量。
斯卢茨基方程一、成本最小化模型121122,12Min ..(,).h h Ph P h S T U h h u +≥二、希克斯需求函数与支出函数1122121211122212(,,)(,,)(,,)(,,)(,,).h p p u h p p u e p p u p h p p u p h p p u =+三、一个求解思路（希克斯分解与斯卢茨基分解）1、斯卢茨基分解：以 0x 为标准来区分收入效应；2、希克斯分解：以 0u 为标准来区分收入效应。
3、一个例子：已知 1/21/2u(x,y)=x y ,在初始状态下，x y p =1 , p =2 ,而收入m=100，现在假定价格x p 和m 不变而y p 由2下降到1，请对此变化进行希克斯分解和斯卢茨基分解。
（1）首先利用效用最大化模型，求出初始状态即： x y p =1 , p =2 ,m=100时均衡的0x 和0u 。
00(,)(1,2)x y p p p p =;0(1,2,100)x =（50，25）；0(1,2,100)252u =。
（2）然后再次利用效用最大化模型，求出变化后即：x y p =1 , p =1 ,m=100时均衡的1x 和1u 。
11(,)(1,1)x y p p p p =1(1,1,100)(50,50);x =1(1,1,100)50u =。
通过（1）、（2）可以求出价格y p 变化的总效应为：10(50,50)(50,25)(0,25).x x x ∆=-=-=（3）斯卢茨基分解：用变化后的价格11(,)(1,1)x y p p p p =购买0(50,25) x 需要的收入'm 为：'m =10T =(1,1)(50,25)=75.p x 可以发现，价格y p 下降使消费者的收入增加了25（即100-75）。
再次利用效用最大化模型，求出当价格为变化后的价格1(1,1)p 和收入为'm =75时均衡的'x 。
目 录第1章 市 场第2章 预算约束第3章 偏 好第4章 效 用第5章 选 择第6章 需 求第7章 显示偏好第8章 斯勒茨基方程第9章 购买和销售第10章 跨时期选择第11章 资产市场第12章 不确定性第13章 风险资产第14章 消费者剩余第15章 市场需求第16章 均 衡第17章 拍 卖第18章 技 术第19章 利润最大化第20章 成本最小化第21章 成本曲线第22章 厂商供给第23章 行业供给第24章 垄 断第25章 垄断行为第26章 要素市场第27章 寡头垄断第28章 博弈论第29章 博弈论的应用第30章 行为经济学第31章 交 换第32章 生 产第33章 福 利第34章 外部效应第35章 信息技术第36章 公共物品第37章 不对称信息第1章 市 场1假设在房屋租赁市场上，前25个消费者租用商品房的保留价格为500美元，第26个消费者租用商品房的保留价格为200美元，需求曲线呈什么形状？答：此时需求曲线呈阶梯状。
具体的讲，当价格高于500美元时，需求为0，价格介于200美元到500美元之间时，需求为25套，当价格小于等于200美元时，需求为26套。
相应的数学表达式为：相应的需求曲线如图1-1所示。
图1-1 租赁房屋的需求曲线2在第1题中，假如只有24套住房可以出租，均衡价格是多少？如果有26套住房可出租，均衡价格又是多少？如果有25套住房可出租，均衡价格是多少？答：（1）假如只有24套住房可以出租，那么均衡价格为500美元。
这是因为：均衡时，供给曲线和需求曲线相交，交点的纵坐标对应的就是均衡价格，如图1-2的点所示。
特别的，图1-2中的需求曲线和图1-1相同。
（2）如果市场上有26套住房出租，均衡价格为0美元（含）到200美元（含）之间的任意数值。
理由同（1），如图1-2的点所示。
（3）如果只有25套住房可以出租，均衡价格为200美元（含）到500美元（含）之间的任意数值。
理由同（1），如图1-2的点所示。
第8章斯勒茨基方程1．假设消费者对两种商品的偏好为完全替代型的，在此情形下，你能变动价格使得需求总变动全部由收入效应引起吗？答：如果两种商品是1∶1完全替代的，而且商品1的价格低于商品2的价格，则消费者只会消费商品1。
现在令商品1的价格下降，消费者仍然只会消费商品1，但商品1消费量的增加完全由收入效应引起，因为商品2的消费量原本已为0，不可能再用商品1替代商品2。
2．假定消费者的偏好是凹的，替代效应仍然是负的吗？答：在消费者的偏好是凹的情况下，替代效应是非正的。
替代效应为负是指替代效应的变化和价格变化方向相反。
在消费者的偏好是凹的情况下，消费者的最优选择是端点消费束。
这种情况有点类似于完全替代的偏好，消费者根据预算线的斜率与无差异曲线来决定购买哪种商品。
图8-1 凹偏好的替代效应在图8-1的情况下，当商品1的价格上涨时，最优消费束从A点移动到C点，消费者仍然把所有的收入拿来购买商品1，再从图中虚线的位置就知道替代效应等于0；而在图8-2的情况下，价格的变化使消费者由原来的只购买商品1变为只购买商品2，从图中虚线的位置就知道，此时只有替代效应，收入效应为零。
价格上涨，而消费减少至0，则替代效应为负。
因此，在偏好是凹性的情况下，替代效应不一定为负，还可能为0。
图8-2 凹偏好的替代效应3．在征收汽油税的例子中，如果不是根据最终消费的汽油量x'，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，情况会发生怎样的变化？答：如果不是根据最终消费的汽油x'，而是根据原先消费的汽油x向消费者退税，那么消费者的汽油消费量会减少，但他们的境况至少和以前一样好。
分析如下：假设消费者的预算线为px y m+=，其中p代表石油价格，x代表石油的消费量，y表示花在其他商品上的货币，m表示总收入，从而消费者的最优选择为()**，，如图8-3所x y示。
图8-3 退税对消费者的影响特别的，该选择必然满足：**+=px y m实行退税政策后，消费者的预算线变为：()*++=+p t x y m tx此时新的预算线过原来的最优点，但斜率不一样，新的预算集包括原来的最优消费束，所以现在消费者的境况至少和原来一样好。
