连续系统频率分析和微分方程,带通滤波器

实验二连续系统频域分析（硬件实验）实验二连续系统频域分析（硬件实验）姓名：班级：学号：同组人：一、实验目的1．通过观察信号的分解与合成过程，理解利用傅利叶级数进行信号频谱分析的方法。

2．了解波形分解与合成原理。

3．掌握带通滤波器有关特性的设计和测试方法。

4．了解电信号的取样方法与过程以及信号恢复的方法。

5．观察连续时间信号经取样后的波形图，了解其波形特点。

6．验证取样定理并恢复原信号。

二、实验内容与原理内容：1．用示波器观察方波信号的分解，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。

2．用示波器观察三角波信号的分解，并与三角波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。

3．用示波器观察方波信号基波及各次谐波的合成。

4．用示波器观察三角波信号基波及各次谐波的合成。

5．用示波器观察不同的取样频率取样得到的取样信号。

6．用示波器观察各取样信号经低通滤波器恢复后的信号并验证取样定理。

原理：1、信号的分解与合成任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初始相位的正弦波叠加而成的。

对周期信号由它的傅利叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。

而非周期信号包含了从零到无穷大的所有频率成份，每一频率成份的幅度均趋向无穷小，但其相对大小是不同的。

通过一个选频网络可以将电信号中所包含的某一频率成份提取出来。

本实验采用性能较好的有源带通滤波器作为选频网络。

对周期信号波形分解的方案框图如图2-1所示。

图2-1 信号的分解方案框图实验中对周期方波、三角波、锯齿波信号进行信号的分解。

方波信号的傅利叶级数展开式为411()(sin sin 3sin 5)35Af t t t t ωωωπ=+++…；三角波信号的傅利叶级数展开式为2811()(sin sin 3sin 5)925Af t t t t ωωωπ=-+-…；锯齿波信号的傅利叶级数展开式为11()(sin sin 2sin 3)223A A f t t t t ωωωπ=-+++…，其中2T πω=为信号的角频率。

带通滤波器原理
带通滤波器是一种能够选择特定频率范围的滤波器。

其工作原理是通过传输中心频率附近的信号，而抑制低于和高于此范围的信号。

在带通滤波器中，需要设定两个截止频率，分别为下截止频率和上截止频率。

下截止频率及以上频率的信号将被传递，而高于上截止频率和低于下截止频率的信号则将被抑制。

带通滤波器的设计可以基于不同的电子元件，如电容、电感和电阻。

其中常见的带通滤波器类型包括基于电容和电感的RC
带通滤波器和LC带通滤波器。

RC带通滤波器是由电容和电阻构成的滤波器电路。

通过合理
选择电容和电阻的数值，可以实现所需的截止频率范围。

在
RC带通滤波器中，低于下截止频率的信号将被电容短路，高
于上截止频率的信号则通过电容绕过。

因此，只有处于两个截止频率之间的信号能够被输出。

LC带通滤波器是由电感和电容组成的滤波器电路。

类似地，
在LC带通滤波器中，选择合适的电感和电容数值可以确定所
需的截止频率范围。

电感器对低于下截止频率的信号具有阻抗，而电容器则对高于上截止频率的信号产生阻抗。

因此，只有处于两个截止频率之间的信号能够通过滤波器。

带通滤波器在信号处理和通信领域中具有广泛的应用。

通过选
择合适的截止频率范围，带通滤波器可以帮助滤除无关的低频和高频信号，从而提高信号的质量和可靠性。

信号与系统考试方式：闭卷 考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。

一、简答题：1．dtt df t f x e t y t )()()0()(+=-其中x(0)是初始状态，为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性]2．)()(sin )('t f t ty t y =+试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的？[答案：线性时变的]3．已知有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对)3(*)2(t f t f 进行时域取样，求最小取样频率s f =？[答案：400s f Hz =]4．简述无失真传输的理想条件。

[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线]5．求[]⎰∞∞--+dt t t e t )()('2δδ的值。

[答案：3]6．已知)()(ωj F t f ↔，求信号)52(-t f 的傅立叶变换。

[答案：521(25)()22j f t e F j ωω--↔]7．已知)(t f 的波形图如图所示，画出)2()2(t t f --ε的波形。

[答案： ]8．已知线性时不变系统，当输入)()()(3t e e t x t t ε--+=时，其零状态响应为)()22()(4t e e t y t t ε--+=，求系统的频率响应。

[答案：())4)(2(52)3(++++ωωωωj j j j ]9．求象函数2)1(32)(++=s s s F ,的初值)0(+f 和终值)(∞f 。

[答案：)0(+f =2，0)(=∞f ]10．若LTI 离散系统的阶跃响应为)(k g ，求其单位序列响应。

其中：)()21()(k k g k ε=。

[答案：1111()()(1)()()()(1)()()(1)222k k k h k g k g k k k k k εεδε-=--=--=--]11．已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else ==⎧⎨⎩ ，()2 1 , 0,1,2,30 , k k f k else -==⎧⎨⎩设()()()12f k f k f k =*，求()3?f =。

试题一一． 选择题（共10题，20分) 1、n j n j een x )34()32(][ππ+=，该序列是 .A 。

非周期序列B 。

周期3=N C.周期8/3=N D 。

周期24=N2、一连续时间系统y(t)= x （sint),该系统是 .A.因果时不变 B 。

因果时变 C 。

非因果时不变 D 。

非因果时变 3、一连续时间LTI 系统的单位冲激响应)2()(4-=-t u e t h t ，该系统是 .A 。

因果稳定B 。

因果不稳定 C.非因果稳定 D 。

非因果不稳定4、若周期信号x[n ］是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数a k 是 .A 。

实且偶 B.实且为奇 C.纯虚且偶 D 。

纯虚且奇 5、一信号x （t ）的傅立叶变换⎩⎨⎧><=2||02||1)(ωωω，，j X ，则x(t)为 。

A. t t 22sinB. tt π2sin C 。

t t 44sin D 。

t t π4sin6、一周期信号∑∞-∞=-=n n t t x )5()(δ，其傅立叶变换)(ωj X 为 .A 。

∑∞-∞=-k k )52(52πωδπ B 。

∑∞-∞=-k k )52(25πωδπC. ∑∞-∞=-k k )10(10πωδπD. ∑∞-∞=-k k )10(101πωδπ7、一实信号x[n]的傅立叶变换为)(ωj e X ，则x[n ］奇部的傅立叶变换为 。

A.)}(Re{ωj e X j B 。

)}(Re{ωj e XC. )}(Im{ωj e X jD. )}(Im{ωj e X8、一信号x(t)的最高频率为500Hz ，则利用冲激串采样得到的采样信号x （nT ）能唯一表示出原信号的最大采样周期为 。

A. 500 B 。

1000 C 。

0。

05 D. 0。

001 9、一信号x （t)的有理拉普拉斯共有两个极点s=－3和s=－5,若)()(4t x e t g t=，其傅立叶变换)(ωj G 收敛，则x(t)是 .A. 左边B. 右边C. 双边D. 不确定10、一系统函数1}Re{1)(->+=s s e s H s，，该系统是 。

信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。

在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。

本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。

一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。

连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。

二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。

在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。

三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。

其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。

四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。

通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。

五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。

通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。

六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。

此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。

结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。

通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。

带通滤波器的设计报告设计报告：带通滤波器一、引言：二、设计原理：带通滤波器的工作原理是只允许特定频率范围的信号通过滤波器。

其设计的关键在于确定带通滤波器的中心频率和带宽。

常见的带通滤波器包括主动滤波器和被动滤波器，其中主动滤波器采用放大器和运算放大器等主动元件工作，而被动滤波器则主要由电容器和电感器等被动元件组成。

三、设计步骤：1.确定滤波器的中心频率和带宽：根据实际需求，选择需要通过的频率范围，然后计算出滤波器的中心频率和带宽。

2.选择滤波器的类型：根据设计要求，选择适合的滤波器类型，如二阶巴特沃斯滤波器、椭圆滤波器等。

3.计算滤波器的参数：根据选择的滤波器类型，计算出所需的电阻、电容和电感等参数数值。

4.组装滤波器电路：根据计算结果，组装相应的电路，包括放大器、电容和电感等元件，构成带通滤波器。

5.进行实验验证：使用信号发生器提供输入信号，通过示波器观察滤波器的输出情况，验证滤波器的设计效果。

四、实现过程中的问题及解决方案：1.参数计算问题：参数计算是滤波器设计中的重要步骤，对滤波器性能有直接影响。

解决方法是通过查阅资料或使用相关软件进行计算，同时根据实际需求进行调整。

2.元件选型问题：选择适合的电容器和电感器等元件也是滤波器设计中的关键步骤。

解决方法是根据设计要求选择合适的元件，考虑其额定参数和价格等因素。

3.实验验证问题：在实验过程中可能会遇到输出信号不稳定、频率失真等问题。

解决方法是检查电路连接是否正确，调整电源参数和放大器增益等，确保滤波器正常工作。

五、总结：通过本次带通滤波器的设计过程，我们深入了解了带通滤波器的原理和设计步骤。

在实践中遇到的问题都得到了解决，并且通过实验验证了滤波器的设计效果。

带通滤波器在电子电路设计中具有广泛的应用，本设计报告对于滤波器设计感兴趣的读者将会提供有用的参考和指导。

基于Matlab 的信号与系统实验指导实验一 连续时间信号在Matlab 中的表示一、实验目的1、学会运用Matlab 表示常用连续时间信号的方法2、观察并熟悉这些信号的波形和特性二、实验原理及实例分析1、信号的定义与分类2、如何表示连续信号？连续信号的表示方法有两种；符号推理法和数值法。

从严格意义上讲，Matlab 数值计算的方法不能处理连续时间信号。

然而，可利用连续信号在等时间间隔点的取样值来近似表示连续信号，即当取样时间间隔足够小时，这些离散样值能被Matlab 处理，并且能较好地近似表示连续信号。

3、Matlab 提供了大量生成基本信号的函数。

如：（1）指数信号：K*exp(a*t)（2）正弦信号：K*sin(w*t+phi)和K*cos(w*t+phi)（3）复指数信号：K*exp((a+i*b)*t)（4）抽样信号：sin(t*pi)注意：在Matlab 中用与Sa(t)类似的sinc(t)函数表示，定义为：)t /()t (sin )t (sinc ππ=（5）矩形脉冲信号：rectpuls(t,width)（6）周期矩形脉冲信号：square(t,DUTY)，其中DUTY 参数表示信号的占空比DUTY%，即在一个周期脉冲宽度（正值部分）与脉冲周期的比值。

占空比默认为0.5。

（7）三角波脉冲信号：tripuls(t, width, skew)，其中skew 取值范围在-1~+1之间。

（8）周期三角波信号：sawtooth(t, width)（9）单位阶跃信号：y=(t>=0)三、实验内容1、验证实验内容直流及上述9个信号2、程序设计实验内容（1）利用Matlab 命令画出下列连续信号的波形图。

（a ）)4/3t (2cos π+（b ）)t (u )e 2(t -- （c ）)]2()(u )][t (cos 1[--+t u t π（2）利用Matlab 命令画出复信号)4/t (j 2e)t (f π+=的实部、虚部、模和辐角。

1 / 254专业课习题解析课程第2讲第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=]为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=2 / 254解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r(t(sin)（7）)f kε=t(k2)(3 / 2544 / 254（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f5 / 254（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f6 / 254（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ7 / 254（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

8 / 2541-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

连续系统频率响应的物理意义及工程概念
连续系统的频率响应是指系统对不同频率的输入信号产生的输
出信号的响应情况。

在信号处理和控制系统中，频率响应是一个重要的概念，用于分析和设计系统的性能。

物理意义：
频率响应反映了系统对不同频率输入信号的传递特性。

它告诉我们系统在不同频率下对输入信号的放大或衰减程度，以及相位延迟情况。

通过分析频率响应，可以了解系统在不同频率下的频率选择性、滤波特性和传递特性。

工程概念：
在工程中，频率响应常用于系统分析和设计。

一些常见的工程概念与频率响应相关，包括：
1. 频率响应曲线：将系统的频率响应以图形的方式表示出来，通常用频率作为横轴，增益或幅度响应作为纵轴。

频率响应曲线可以用于评估系统的频率选择性、滤波特性和稳定性。

2. 增益：频率响应中的增益表示系统对输入信号的放大或衰减程度。

增益可以是线性的，也可以是对数形式的（如分贝）。

3. 相位：频率响应中的相位表示系统对输入信号的相对延迟。

相位可以是正的或负的，表示信号相对于输入信号的滞后或超前。

4. 频率特性：频率响应可以用于分析系统的频率选择性和滤波特性。

例如，可以通过频率响应曲线确定系统的截止频率、带宽和滤波器类型（如低通、高通、带通或带阻）。

5. 稳定性：频率响应可以用于评估系统的稳定性。

通过分析频率响应曲线，可以确定系统的增益裕度和相位裕度，以判断系统是否稳定。

总之，连续系统的频率响应具有重要的物理意义和工程概念，可以用于分析系统的传递特性、滤波特性和稳定性，以及用于系统的设计和控制。

实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

1. 已知一个连续时间LTI 系统的微分方程为)(7)(13)(5)(8)(10)(t x t x t y t y t y t y +'=+'+''+'''求该系统的频率响应，并用MA TLAB 绘出其幅频特性和相频特性曲线。

2. 下图是实用帯通滤波器的一种最简单形式。

试求当Ω=10R 、H L 1.0=、F C 1.0=时该滤波器的频率响应，并用MA TLAB 绘出其幅频特性和相频特性曲线。

%-----------------------------内容2-------------------------------------%绘制微分方程的幅频特性和相频特性%H(jw)=Y(jw)/X(jw)clc,clf,clear;%清除变量及图形a=[13 7];%a 为分母b=[1 10 8 5];%b 为分子w=-2*pi:0.01:2*pi;%采样点F=freqs(b,a,w);%利用freqs 函数求出系统频率响应的数值解y=abs(F);%求出幅频值x=angle(F);%求出相频值figure(1)%控制图形窗口的数量subplot(2,1,1)%作子图plot(w,y,'b');%绘制幅频波形grid %添加网格xlabel('\omega(rad/s)');%在x 轴上注释(见MATLAB 特殊符号转化规则)ylabel('|H(\omega)|');%在y 轴上注释title('H(w)幅度特性')%添加标题subplot(2,1,2)plot(w,x,'b');gridxlabel('\omega(rad/s)');ylabel('\phi(\omega)');title('H(w)相频特性');%----------------------------------内容3---------------------------------%下面是绘制带通滤波器频率响应波形%首先求出网络函数表达式H(jw)=%确定谐振频率 = =10(rad/s)%H(jw)=Y(jw)/X(jw)figure(2)w=-8*pi:0.01:8*pi;%取频点上系统系统响应的样值b=[1,0];%b 作为分子a=[1,1,100];%a作为分母FH=freqs(b,a,w);%利用freqs（）函数求出系统频率响应的数值解Y=abs(FH);%求出频谱值X=angle(FH);%求出相频值subplot(2,1,1)%分割成子图plot(w,Y,'b');%绘制幅频特性波形grid %添加网格xlabel('\omega(rad/s)');%注释x轴(见MATLAB特殊符号转化规则) ylabel('|H(\omega)|');%注释y轴title('带通滤波器的幅频特性');%注释标题subplot(2,1,2)%子图plot(w,X,'b');%绘制相频波形grid %添加网格xlabel('\omega(rad/s)');%注释x轴(见MATLAB特殊符号转化规则) ylabel('\phi(\omega)');%注释y轴title('带通滤波器的相频特性');%注释标题。