3.5 两种特殊的波束形成技术3.5.1协方差矩阵对角加载波束形成技术常规波束形成算法中，在计算自适应权值时用XX R ∧代替其中的X X R 。
由于采样快拍数是有限的，则通过估计过程得到的协方差矩阵会产生一定误差，这样会引起特征值扩散。
从特征值分解方向来看，自适应波束畸变的原因是协方差矩阵的噪声特征值扩散。
自适应波束可以认为是从静态波束图中减去特征向量对应的特征波束图，即:m in1()()()()(()())Ni V V iv iv V i iG Q E E Q λλθθθθθλ*=-=-∑,其中()V G θ是是自适应波束图，()V Q θ是静态波束图，即没有来波干扰信号而只有内部白噪声时的波束状态。
i λ是矩阵X X R 的特征值。
()iv E θ是对应i λ的特征波束图。
由于X X R 是 Hermite 矩阵，则所有的特征值均为实数，并且其特征向量正交，特征向量对应的特征波束正交。
而最优权值的求解表达其中的X X R 是通过采样数据估计得到的，当采样快拍数很少时，对协方差矩阵的估计存在误差，小特征值及对应的特征向量扰动都参与了自适应权值的计算，结果导致自适应波束整体性能的下降。
鉴于项目中的阵列形式，相对的阵元数较少，采样数据比较少，很容易在估计协方差矩阵的时候产生大的扰动，导致波束的性能下降，所以采用对角加载技术来保持波束性能的稳定及降低波束的旁瓣有比较好的效果。
（1）对角加载常数λ当采样数据很少时，自适应波束副瓣很高，SINR 性能降低。
对因采样快拍数较少引起自相关矩阵估计误差而导致的波束方向图畸变，可以采用对角加载技术对采样协方差矩阵进行修正。
修正后的协方差矩阵为:XX XX R R I λ∧=+。
自适应旁瓣抬高的主要原因是对阵列天线噪声估计不足，造成协方差矩阵特征值分散。
通过对角加载，选择合适对角加载λ ，则对于强干扰的大特征值不会受到很大影响，而与噪声相对应的小特征值加大并压缩在λ附近，于是可以得到很好的旁瓣抑制效果。
对于以上介绍的通过 LCMV 准则求得的权值o p t w 经过对角加载后的最优权值为：111()(())H opt XX XX w R I A A R I A f λλ---=++（2）广义线性组合加载技术对角加载常数λ 来修正采样协方差矩阵，能够有效实现波束旁瓣降低的同时提高波束的稳健性。
但是对加载值λ 的确定有一定难度，目前还是使用经验值较多。
于是，来考虑另外一种能够有效实现协方差矩阵的修正，而且组合参数能够精确求解的方法即广义线性组合加载技术。
通过线性组合方式修正后的协方差矩阵为：XX XX R R Iβα∧=+其中XX R为修正后的协方差矩阵，XX R ∧为采样协方差矩阵，α和β为组合参数。
且0,0αβ≥≥，可保证修正后的协方差矩阵XX R为非负定矩阵。
α和β基于最小方差准则（MSE ）确定，2M SE R E R R⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭即使修正后的协方差矩阵尽可能的接近期望协方差矩阵。
基于最小方差准则（MSE ）的线性组合加载优化问题如下所示：222(1)M SE R I RE R Rαββ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=--+-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭其中R 为广义线性组合加载后修正的协方差矩阵，R 为期望协方差矩阵，α和β为对应式中的线性组合参数。
这样很容易解得优化参数α和β如下：,ργανβγργρ==++其中，2E R Rρ∧⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()tr R M υ=,2I R γν=-,01,1βα≤≤≥,为了从已知数据中得到α和β参数的估计值，需要得到ρ的估计值，计算表达式如下所示：422111()Ni y n RNNρ∧∧==-∑通过修正后的协方差矩阵求得全新权值，实现自适应波束形成，能够有效地降低波束的旁瓣，提高其稳健性。
3.5.2 幅度加权技术对于阵列天线，为了获得低旁瓣性能，通常以加窗函数（即幅度加权）的方法来实现常用的幅度加权函数有：多尔夫-切比雪夫加权、海明加权等等。
另一种加权方式如圆孔径加权，圆孔径加权是加权系数与天线阵元距离阵面中心距离有关的一种加权方式，其形式为：220(1)pr w r r R⎧⎪=⎨-⎪⎩＞R ≤Rr 为阵元距离阵面中心的距离，R 是圆阵面半径，1,2,3,4p P = 为圆孔径加权函数的阶数。
在幅度加权降低波束旁瓣的过程中，把幅度权值的确定与阵列的特殊形式结合起来考虑，能够更有效的实现波束旁瓣的降低。
结合圆孔径加权规律即加权系数与天线阵元距离阵面中心距离有关。
针对项目研究中的七臂圆环阵列，采用幅度加权方式如下：70.51()()2,3,4,5pk k k r k ω-=⎧=⎨=⎩其中，k 代表圆环阵列中的环数，即对每一圆环上的阵元施加相同权值()k ω，7k r - 则代表第（7-k ）个圆环的半径，1,2,3,4p P = 为加权函数的阶数。
3.6 基于粒子群优化的数字波束形成算法3.6.1 算法原理介绍假设有 P 个独立的空间远场窄带信号源{}1()Pi i s t =，分别以方位角与俯仰角为{}1,Pi i i θφ=，同时照射到由 M 个阵元构成的空间信号接收阵列，则第m 个阵元接收信号为：2()1()()(),1,2,,Pj R m i m i x t s t en t m M λ-∆==+=∑∏,其中λ代表信号波长，cos cos cos cos sin m m i i m i i m i R x y z θφθφθ∆=++，(,,)m m m x y z 代表第 m 个阵元的空间坐标，()m n t 代表第 m 个阵元输出的零均值、方差为2σ统计独立的高斯白噪声。
假设信号 1 为期望信号，其它 P-1 个信号为干扰信号，这样上式可改写为：111()(,)()()()j j X t a s t A S t N t θφ=++其中11(,)a θφ代表期望信号()s t 的阵列方向向量，[]2233(,)(,)(,)j PPA a a a θφθφθφ= 代表干扰信号矢量()j s t 对应的阵列流型。
数字波束形成就是以某种波束形成准则为基础，在某种约束条件下计算出阵列的权值矢量[]11,,TMW w w w =，通过对阵元的输出信号进行加权，从而使期望方向上的信号得到加强的同时最大限度地抑制干扰，提高系统的输出信干噪比。
假设求得的第m 个阵元的最佳加权系数为M w ,令[]11,,TMW w w w = 表示加权矢量，则阵列接收的信号为：11()()()()P HHs Jii y t W s t Wst N t -==++∑对于常规的基于最大信号干扰噪声比准则导出 SMI 波束形成算法，尽管是 Wiener 解，但是需要阵列输出信号协方差矩阵求逆。
当阵元数较多时，计算负担相当大，有时甚至无法接受。
本文针对波束形成这一非线性问题，以输出最大信干噪比为准则，给出一种基于粒子群算法的波束形成算法。
粒子群算法是基于群体的优化方法，算法中每个优化问题的解都是搜索空间中的一个粒子，所有粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值( fitness value )，每个粒子还有一个速度(v)决定他们飞翔的方向和距离。
然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索，如此反复，直到满足停止条件，从而得到最优解。
粒子群算法的收敛速度和优化解的性能都与适应度函数的选取有很大的关系，而且粒子数、速度、加速常数及惯性权重都是由经验值确定，因此粒子群算法的关键问题是适应度函数的选取。
不同的优化问题，适应度函数的选取不一样。
由于阵列信号处理中波束形成所要解决的问题是在接收有用信号的同时，最大限度地抑制干扰，从而提高阵列天线的输出信干噪比。
因此，本文以输出最大信干噪比为适应度函数，以输出最大信干噪比为目标来寻求最优权值。
选择接收信干噪比 SINR 作为适应值函数。
阵列输出信号加权和的信号干扰噪声比为:2HHJN W WSIN R WR Wσ=其中2JN J R R I σ=+，J R 代表阵列输出干扰信号的协方差矩阵，JN R 则代表阵列的输出干扰和噪声的协方差矩阵。
上式就可以计算出数字波束形成向量。
下面基于粒子群优化计算，算法中取函数的适应值为:F itness SIN R=在基于粒子群算法的波束形成问题中，定义每一组权值为一个粒子。
在算法的过程中，首先要确定粒子的数目，粒子数根据实际的问题一般取 10～100，粒子数确定后，就要初始化权值和权值更新变化速度，然后通过下面式子计算每个阵元权值的自我更新速度和新的权值。
1012()()k k k k k k v c v c pbest w c gbest w +=+-+-11k k k w w v ++=+其中k v 是权值的自我更新速度矢量，k w 是当前权值的位置，k pbest 代表第 k 次迭代最优解的位置；k gbest 代表整个种群当前最优解的位置，0c 代表速度惯性因子，1c 和2c 代表学习因子。
通常有[]00.4,0.9c ∈，122c c ==。
基于粒子群算法的波束形成算法的计算步骤如下：1) 初始化 n 组阵列的初始权值和 n 组初始速度。
为了多样性，它们都是随机产生的。
2) 根据这 n 组权值和它的更新速度得到 n 组新的权值。
3) 根据天线接收的数据计算每组权值的适应值；对各组权值，若它的适应值优于原来的各组权值的最优解p b e s t ，则设置当前适应值为各组的最优解pbest 。
4) 根据各组权值的个体最优解pbest 找出全局最优解gbest 。
按速度更新公式更新自己的速度，并返回数据。
如此往复直到达到设定的迭代次数，从而得到的全局最优解gbest 就是阵列天线的权值。
用得到的权值对天线的阵进行加权，就可以得到天线的波束输出信号。
