第五讲 最大公约数与最小公倍数

第五讲最大公约数和最小公倍数一、求下列每组数的最大公约数和最小公倍数1、｛24，60，45｝2、｛90，74，30｝3、｛1500，30，150｝4、｛56，36，384｝5、｛180，840，150｝二、求出最大公约数1、｛2700，7560，3960｝2、｛440，126，825｝3、｛6519，8733｝4、｛36963，59570｝三、公约和公倍1、将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而没有剩余，问至少可以剪出多少块？2、今有语文课本42本，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆？3、把192支铅笔，128支练习本，96册故事会最多可分成几份同样的奖品？每种奖品各是多少？4、幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200快饼干，120块奶糖平均分发完毕后还剩4个橘子，20块饼干，12块奶糖，这班共有多少个小朋友？5、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？6、有一个自然数，去除200余5，去除300余1，去除400也余10，求之歌自然数最大是多少？7、有一块三角形土地，三边的长度分别是126米，168米，210米，现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两棵花之间的距离尽量大，问一共要栽多少颗花？8、一排电线杆有25根，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米，如果起点的一根不动，可以有几根不需要移动？9、有三根钢管，分别长200厘米，240厘米，360厘米。

现在要把这三根钢管接成尽可能长而且相等的小段，一共可以截成多少段？10、一种长方形木块，长9厘米，宽6厘米，高7厘米。

用这样的长方形堆成一个正方形，至少需要多少块？11、有一个自然数被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个自然数最小是多少？12、有一盒乒乓球每次8个8个数，10个10个数，12个12个数，最后总是剩下3个，这盒乒乓球至少有多少个？13、一班的五十几个同学参加体育活动，每6人一组则少3人，每9人一组则多3人。

第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数（在正整数范围内)整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数。

最大公约数:如果一个数既是数a 的约数,又是数b 的约数,称为[a,b]的约数。

几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.1. 求最大公约数的方法①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。

例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=;③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么,最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的）.例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=;301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。

2。

最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。

3。

求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；ba即为所求。

二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ），那么m 就是n 的倍数。

最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的公共因数和公共倍数。

本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

一、最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。

在计算最大公约数时，我们常用到欧几里得算法。

这个算法基于一个简单的原理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除余数的最大公约数。

例如，如果要计算30和45的最大公约数，首先用较大的数除以较小的数：45 ÷ 30 = 1 余 15然后将较小的数（30）与余数（15）进行计算：30 ÷ 15 = 2 余 0余数为0时，计算结束。

此时，最大公约数为较小的数（15）。

当涉及到多个数的最大公约数计算时，可以逐一计算两个数的最大公约数，得到的结果再与下一个数计算最大公约数，以此类推直到最后一个数。

最大公约数在实际问题中常用于简化分数、约简比例以及计算整数倍等方面。

它也是许多算法和数学问题的重要组成部分。

二、最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。

计算最小公倍数时，我们可以使用最大公约数来简化计算。

最小公倍数可以通过以下公式计算得到：最小公倍数 = 两数的乘积 / 最大公约数例如，如果要计算12和15的最小公倍数，首先计算它们的最大公约数：12的因数为1、2、3、4、6、1215的因数为1、3、5、15可以看出，它们的最大公约数为3。

然后，将两个数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数：（12 × 15）÷ 3 = 60因此，12和15的最小公倍数为60。

最小公倍数在实际问题中常用于解决时间、速度、周期等相关计算。

例如，计算两个车辆同时从起点出发，分别以不同速度绕圈行进，要求它们再次同时回到起点的最短时间，即可使用最小公倍数来得到答案。

数的最大公约数与最小公倍数知识点总结数的最大公约数与最小公倍数是数学中的常见概念，涉及到整数的性质和运算规则。

在解决实际问题和数学计算中，了解和掌握这些知识点对于提高计算效率和解题能力非常重要。

下面将对数的最大公约数与最小公倍数进行知识点的总结。

一、最大公约数最大公约数指的是两个或多个数中都能整除的最大的一个数。

最大公约数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：分别列出两个或多个数的所有因数，找出它们的公共因数，并选择其中最大的一个作为最大公约数。

2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出共有的素因数并相乘，结果即为最大公约数。

3. 辗转相除法（欧几里得算法）：假设有两个数a和b，令r为a除以b所得的余数，如果r为0，则b即为最大公约数；如果r不为0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后继续进行除法运算，直到余数为0为止。

最大公约数在实际应用中有很多用途，比如简化分数、求解整数倍问题等。

二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们整除的最小的数。

最小公倍数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：列出两个或多个数的所有倍数，找出它们的公共倍数，并选择其中最小的一个作为最小公倍数。

2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出所有的素因数并相乘，结果即为最小公倍数。

3. 最大公约数法：假设有两个数a和b，它们的最小公倍数可以通过最大公约数来求解，公式为：最小公倍数=两数乘积/最大公约数。

最小公倍数在实际应用中也有很多用途，比如解决同时到达问题、计算工作效率等。

三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间存在着以下关系：1. 两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积，即a*b=最大公约数*最小公倍数。

2. 如果两个数互质（最大公约数为1），那么它们的最小公倍数就等于它们的乘积。

3. 最大公约数与最小公倍数之间并不总是存在倍数关系。

小学数学中的最小公倍数与最大公约数最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）是小学数学中的重要概念，它们在整数运算和分数化简等方面起着关键作用。

本文将介绍最小公倍数与最大公约数的定义、计算方法以及应用场景。

一、最小公倍数（LCM）最小公倍数是指两个或多个数中能被所有这些数整除的最小的正整数。

用符号LCM表示。

计算最小公倍数的方法有两种常见的途径：质因数分解法和公式法。

1. 质因数分解法通过对每个数的质因数分解，求得各个数中所有质因数的最高次幂，然后将这些最高次幂相乘，即可得到最小公倍数。

举例说明：求16和24的最小公倍数。

首先，对16和24进行质因数分解：16 = 2^424 = 2^3 × 3^1接下来，取所有质因数的最高次幂相乘：最小公倍数 = 2^4 × 3^1 = 48因此，16和24的最小公倍数为48。

2. 公式法对于两个数a和b，其最小公倍数可通过以下公式来计算：最小公倍数 = |a × b| / GCD(a, b)其中，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。

举例说明：求28和42的最小公倍数。

首先，计算28和42的最大公约数：28 = 2^2 × 7^142 = 2^1 × 3^1 × 7^1最大公约数为2^1 × 7^1 = 14。

然后，应用公式法计算最小公倍数：最小公倍数 = |28 × 42| / 14 = 84因此，28和42的最小公倍数为84。

最小公倍数的应用：最小公倍数常用于解决关于分数化简、有理数比较和约分等问题。

例如，在分数的加减乘除运算中，需要将分母化为相同的最小公倍数，以便进行运算。

此外，在化简分数时，最小公倍数可以帮助我们找到最简形式的分数。

二、最大公约数（GCD）最大公约数是指两个或多个数中能整除它们的最大的正整数。

用符号GCD表示。

计算最大公约数的方法有两种主要的途径：欧几里得算法和质因数分解法。