第七章 线性变换

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

第七章 线性变换§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算教学目的：变换简单地讲就是映射，对线性变换的学习是本章的基础。

教学重点：线性变换的性质，逆变换。

课时：4。

教学方法：讲练结合。

教学内容：一、定义：对P k V ∈∀∈∀,,βα，有)()()()()(ααβαβαkA k A A A A =⋅+=+则称V V A →:为V 上的线性变换。

二、几个特殊的线性变换：1、恒等（单位）变换E ：V E ∈∀=ααα,)(。

2、零变换0：V ∈∀=αα,0)(0。

3、数乘变换k ：V k k ∈∀=ααα,)(。

三、性质：1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。

2、若rr k k k αααβ+++= 2211，则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。

3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα 也线性相关。

练习：323P 1。

四、记{}的线性变换是V A A V M =)(1 定义乘法：对()()()()()ααB A AB V M B A =∈∀，，可证()V M AB ∈，设()VM C ∈有)()(BC A C AB =。

2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证)(V M B A ∈+。

则()V M 也是P 上的线性空间。

（若又有()()CABA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()V M 作成一个环）。

五、逆变换：()V M A ∈若()V M B ∈∃，使EBA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，而B 称为A 的逆变换，记为1-=AB ，则1-A 也是可逆的线性变换。

特别地：()EA A n A AA A n ==0,,个 ；()()0,,,≥==+n m AAA A A mnnmn mnm ；()()+--∈=Z n AAnn,1。

第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，β称为α的象，α称为β的原象。

象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件（1） 对任意V ∈βα,有（2）)()()(βαβαT T T +=+；（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有)()(ααkT k T =，则称变换T 为V 中的线性变换。

例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ，即ℴ)(0)(V ∈=αα都是线性变换.例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 是一线性变换.例7.5 在3R 中，定义下列变换：对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 3R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 1321321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 2332213212x x x x x x x x试确定它们是否为线性变换？解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,y y y x x x 3R 和数∈k R ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 1321132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x yx y x y y y x x x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。

第七章线性变换§7.1 线性映射=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的1．令（1）(ξ) =ξ+ α，α是R3的一个固定向量．（2）(ξ) = (2x1–x2 + x3，x2 + x3，–x3)（3）(ξ) =（x12，x22，x32）．（4）σ() =（cos x1，sin x2，0）．2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性V，都有() = a，这里a是F中一个映射的充要条件是：对于任意3．令M n (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A M n (F).对任意(F)，定义(X) = A X–X A．X Mn(i)证明：是M n (F)是自身的线性映射。

(ii)证明：对于任意X，Y M n (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) ．4．令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．5．设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。

6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．§7.2 线性变换的运算1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．2．在F[x]中，定义：f (x) f’(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有n–n = n n-13．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？L(V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，4．设但k() = 0．证明：，()，…，k-1() 线性无关．Ker()当且仅当2 = ；(1) Im()(2)(3)(i) 证明：是F n的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数．§7.3 线性变换和矩阵1．令Fn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求 关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，…，x n，(2) 1，x –c ，，…，，c F ．2．设F 上三维向量空间的线性变换关于基 {1，2，3}的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2= 31+42+3，3=1+22+23，的矩阵．设= 2 1 +2–3．求( )关于基1，2，3的坐标．3．设{1，2，…，n}是n 维向量空间V 的一个基．j= ，= ， j = 1，2，…，n ，并且1，2，…，n线性无关．又设是V 的一个线性变换，使得 (j) =，j = 1，2，…，n ，求关于基，，…，的矩阵．4．设A ，B 是n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似．5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．7．令M n (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A M n (F) ．对任意X M n (F)，定义(X) = A X–X A．由7.1习题3知是M n (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij|1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切a i–a j(1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ ==则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

第七章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=；4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a) 8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾. 其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可. 因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。