勾股定理基本图形

几何原本勾股定理证明1. 基本图形构建- 分别以 AB、BC、AC 为边向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHK。

2. 证明三角形全等- 连接 CD、BK。

- 因为∠ ACB=∠ ACH = 90^∘，所以∠ BCK=∠ ACH+∠ ACB = 180^∘，这表明 C、A、K 三点共线。

- 同理，C、B、D 三点共线。

- 在 AKB 和 ACB 中，AK = AC（正方形 ACHK 的边），AB = AB（公共边），∠ KAB=∠ KAC+∠ CAB=∠ BAC + 90^∘，∠ CAB + 90^∘=∠ CAE，而在正方形 ABDE 中∠ CAE=∠ DAB，∠ DAB=∠ ABC + 90^∘，所以∠ KAB=∠ ABC。

- 根据 SAS（边角边）判定定理， AKB≅ ACB。

- 同理可证 BCD≅ BCA。

3. 面积关系推导- 因为 AKB 和矩形 AKNL（N 在 AB 上，L 在 DE 上，且 AN⊥ KL）有相同的底 AK，并且在相同的平行线 AK 和 BL 之间，所以 S_{ AKB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。

- 由于 AKB≅ ACB，所以 S_{ ACB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。

- 同理，S_{ BCD}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}，又因为 BCD≅ BCA，所以S_{ BCA}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}。

- 正方形 ACHK 的面积 S_{ACHK}=AC^2，正方形 BCFG 的面积S_{BCFG}=BC^2，正方形 ABDE 的面积 S_{ABDE}=AB^2。

- 而 S_{ABDE}=S_{矩形AKNL}+S_{矩形CDLM}，即 AB^2=AC^2+BC^2，从而证明了勾股定理。

勾股定理勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

古埃及人利用打结作RT三角形定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。

那么这个三角形是直角三角形。

（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。

例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。

问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图：设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。

《周髀算经》简介青朱出入图《周髀算经》算经十书之一。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。

这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法（图2）第一种方法：外围正方形可以看作是边长为的正方形和由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。

因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得：。

第二种方法：内部边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以化简得。

可以列出等式，这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

勾股定理基本图形、辅助线及其应用一、勾股定理与线段长1、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，CD ＝1，则BC ＝ ，AD ＝ 。

2、如图，由4个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC中BC 边上的高是 。

3、如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为2米，梯子的顶端A 到地面的距离（即AC ）为7m ，如果梯子的底端沿地面左滑至1B 且1B C ＝3m ，那么1AA ＝ 。

4、如图，一根长5米的竹竿AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为4米，如果竹竿的顶端A 沿墙下滑1米，竹竿底端B 外移的距离BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上都不对5、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。

如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米6、如图，已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上的一点，BE∥AC，且DE⊥AD。

若BD＝2，CD ＝4，则BE的长为（）A．2 B．3 C．2D．38、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是_________。

9、如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为__________。

10、△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则AC＝___________。

11、如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO＝2.4 m。

(1) 如果梯子底端B沿地面外移0.6 m，那么梯子顶端也下移0.6 m吗？(2) 试问梯子底端B 沿地面外移多少米时与梯子顶端下移的距离相等？12、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l 、、上，且12l l 、之间的距离为1，23l l 、之间的距离为2，求AC 的长度。