2020届高三自主检测_数学_试题_2020_2_22

山东省2020年高三高考模拟数学试题一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】 【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。

湖南省株洲市第二中学2020届高三数学下学期线上自主测评试题 理（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.回答第Ⅰ卷时，在星光易学公众号上点击正确选项.3.回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答题卡上，拍照上传到星光易学公众号上.★祝考试顺利★ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}|21,xM y y x R -==+∈，MN N =，则集合N 不可能是（ ）A. ∅B. MC. 13|1x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D. {1,2}-【答案】D 【解析】 【分析】集合M 是数集，求出函数21,xy x R -=+∈值域，MN N =，N 是M 的子集，根据选项可得. 【详解】21,x y x R -=+∈,1y ∴> 即(1,)M =+∞M N N =，N M ∴⊆,又{1,2}M -⊄故选：D【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2. 设复数的共轭复数为z 且满足关系2z z i +=+，那么z 等于 A.34i + B.34i - C. 34i -+ D. 34i -- 【答案】A【解析】 【分析】先设,z x yi =+根据题意得到方程组，求解，即可得出结果. 【详解】设,z x yi =+则2,z z x yi i +=+=+.32411x x y y ⎧⎧=⎪⎪=∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩z ∴=34i +.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数模的计算公式，以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.3. 等比数列{}n a 的各项和均为正数，11a = ，1237a a a ++=,则345a a a ++=（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 63【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比q ，再根据3524123)(a a a a a q a ++=++即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为q ， ∵11a =，1237a a a ++=， ∴212(1)17q q a qq ++=+=+，即260q q +-=，解得2q 或3q =-，又0n a >， ∴2q，∴3451232()4728a a a a a a q ++=+=⨯=+．故选C ．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．4. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．5. 如图，CD ，BE 分别是边长为4的等边ABC ∆的中线，圆O 是ABC ∆的内切圆，线段OB 与圆O 交于点F .在ABC ∆中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A.354πB.18π C.327π D.3108π 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【详解】在BOD ∆中，90ODB ∠=︒，30OBD ∠=︒，因为122BD AB ==，所以232tan30OD =︒=，即圆O 的半径为23，由此可得图中阴影部分的面积等于2123269ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，ABC ∆的面积为43，故所求概率354943P π==⨯.故选A. 【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题. 6. 已知等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，则BG CG ⋅=（ ） A. 2 B. 14-C. 23-D. 3【答案】C 【解析】 【分析】以BC 中垂线为y 轴建立坐标系，利用重心求出G 点坐标，再求出向量坐标，运用向量数量积坐标进行计算【详解】如图所示建立平面直角坐标系.则(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ， 重心为G ，∴ 点G坐标为3. 则3(1,BG =，3()CG =-，所以332113BG CG ⋅=-⨯=-.故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积的运算(1)根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.(2)利用坐标计算数量积的方法：先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；再根据数量积的坐标公式进行运算即可．7. “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西嶽，一人去云南.回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏.” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山.” 丙：“甲去了云南，乙去了泰山.” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半. 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A. 甲去了西藏 B. 乙去了泰山 C. 丙去了西藏 D. 甲去了云南 【答案】D 【解析】 【分析】对甲：“我去了泰山，乙去了西藏.” 的陈述进行判断，验证甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半的事实是否成立，可得答案【详解】若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山” 错误，则“乙去了西藏” 正确，则甲去了云南，丙去了泰山，验证乙丙的陈述都说对了一半，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题考查逻辑推理能力. 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．8. 已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia==∑（ ）A.20181010B.20191010C.20192018D.20202019【答案】B 【解析】 【分析】赋值，令1m = ，得到递推式11n n a a a n +=++，累加法求出通项n a ，对1na 裂项求和可得.【详解】令1m =，则11n n a a a n +=++，又11a =，11n n a a n +=++，11n n a a n +-=+，累加法求和得：213231423+++4+n n a a a a a a a a n -⋅⋅⋅----=+++⋅⋅⋅+(+1)2n n n a =， 1211=2()(1)1n a n n n n =-++ 11111111122(1)=2233411i inn a n n n ==-+-+-+⋅⋅⋅-++∑ 201911220192019=201911010i ia =⨯=+∑ 故选：B ．【点睛】本题考查赋值法研究数列递推公式、累加法、裂项求和. 用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 9. 已知21()sin sin f x x ax x =++，若()22f ππ=+，则()2f π-=（ ） A. 2π- B. 2π-C. 2D. π【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中条件求出4a π=，再将2x π=-代入解析式，即可得出结果. 【详解】因21()sin sin f x x ax x =++，()22f ππ=+， 所以2()11224af πππ=++=+，因此24aππ=，故4a π=；所以24()11224f ππππ-=--+⨯=-+.故选B【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型.10. 已知函数231,0()2,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数()g x mx =，若函数()2()y f x g x =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11(,)62B. 1(,1)3-C. 1(,)6-+∞D. 1(,)2-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，画出函数图象，根据()g x mx =及()()2y f x g x =-恰有三个零点，即可根据图象判断m 的取值范围．【详解】由题意，画出函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩的图象如下图所示：()()2y f x g x =-恰有三个零点即()()2f x g x =有三个不同交点，即()2f x mx =有三个不同交点 由图象可知，当直线斜率在OA k ,OB k 之间时，有三个交点 即2OA OB k m k << 所以1213m -<< 可得1162m -<< 所以选A【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 11. 如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为（ ）A.12B.22C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在四棱锥D ABCE '-中AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '，可证得AB ⊥平面D MN '．然后作MH D N '⊥于H ，可得MH 即为点C 到平面ABD '的距离．在D MN '∆中，根据等面积法求出MH 的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ABCE '-中，底面ABCE 为边长是1的正方形，侧面D EA '中，D E AE '⊥，且1D E AE '==．∵,,AE D E AE CE D E CE E ''⊥⊥=，∴AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '， 则由AE ⊥平面D CE '，可得D M AE '⊥，∴D M '⊥平面ABCE ． 又AB 平面ABCE ，∴D MAB '⊥．∵MN AB ⊥，D MMN M '=，∴AB ⊥平面D MN '．在D MN '∆中，作MH D N '⊥于H ，则MH ⊥平面ABD '． 又由题意可得CE平面ABD '，∴MH 即为点C 到平面ABD '的距离． 在Rt D MN '∆中，,1D M MN MN '⊥=， 设D M x '=，则01x D E '<≤=， ∴21D Nx '+．由D M MN D N MH ''⋅=⋅可得21x x MH =+，∴2222111MH x x ==≤++，当1x =时等号成立，此时D E '⊥平面ABCE ，综上可得点C 到平面ABD '2． 故选B ．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．12. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）． A. 4(2)9(3)f f -< B. 4(2)9(3)f f -> C. 2(3)3(2)f f >- D. 3(3)2(2)f f -<-【答案】A 【解析】设()()()()()()()()22'2'20g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞ 上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先()()()()()()()()22'2'20x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞ 上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数81()ln(1)1x f x x x -=--+，则函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为_______. 【答案】5y =- 【解析】 【分析】 函数求导，21()19(1)f x x x '=--+，计算(2)k f '=，点斜式方程写出切线方程.【详解】21()19(1)f x x x '=--+,(2)=0k f '=, 点(2,5)-点斜式方程000())(yy f x x x ＝写出切线方程：2)5(y x ＝05y ＝-故答案为：5y ＝-【点睛】本题考查求“在”曲线上一点处的切线方程.其方法：求“在”曲线()y f x ＝上一点00(,)P x y 处的切线方程：点00(,)P x y 为切点，切线斜率为0()k f x ＝，有唯一的一条切线，对应的切线方程为000())(y y f x x x ＝14. 已知二项式((0)n x a>的展开式中，二项式系数之和为64，含3x 的项的系数为154，则a =_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项式系数之和为64，求出n ，利用二项展开式得到3x 求出参数a . 【详解】二项式系数之和为64,264n,6n =6((0)x a∴+>得36216k k kk TC a x，3x 的项的系数为154， 令3632k ，2k = 22615=4C a ，2a =故答案为：2【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．15. 如图，点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点,A B 分别在抛物线C 和圆22(1)4x y +-=的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则AFB △周长的取值范围是_______.【答案】(4,6) 【解析】 【分析】求出抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，1,A AFy 三角形周长转化为++3+B FB AF ABy ，求出B y 范围可解.【详解】抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)F ，2R =2,1,A B A FB AFy ABy y∴ 三角形周长为：++2+1+=3+A B A B FB AF ABy y y y13ByAFB △周长的取值范围是(4,6)故答案：(4,6)【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．16. 三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是边长为3的等边三角形，侧面ACD ∆为等腰三角形，132AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是__________． 【答案】16π 【解析】根据题意，将题中所述三棱锥在直三棱柱中进行截取，再求三棱柱的外接球半径，即为所求外接球的半径，结合球的表面积公式即可求得结果.【详解】∵三棱锥A BCD ﹣中，底面△BCD 是边长为3的等边三角形， 侧面三角△ACD 为等腰三角形，且腰长为13，2AB =， ∴222AB BC AC +=，222AB BD AD +=， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，∵BC BD B ⋂=，∴AB ⊥平面BCD ， ∴将三棱锥还原成三棱柱AEF BCD ﹣，则上下底面中心12,O O 的连线的中点O 为三棱锥A BCD ﹣外接球的球心， 如图，222333332BO BF ==⨯⨯=212112O O O O ==，BO =2222BO O O +=2，∴三棱锥A BCD ﹣外接球表面积244416S r πππ==⨯=． 故答案为：16π．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法()1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．()2若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA a ＝，PB b ＝，PC c ＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】 【分析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ； （2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围； 【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =， 而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=， 解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c +∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18. 如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ACD ∆是边长为2的等边三角形，且2AB BC ==，2PA =，点M 是棱PC 上的动点.（I ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）3010． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由PA ⊥底面ABCD 可得PA BD ⊥．取AC 的中点O ，连接,OB OD ，根据等腰三角形的性质可得AC BD ⊥，于是得到BD ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取CP 中点E ，连接OE ，可证得,,OC OD OE ，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点M 的坐标，再根据线段MB 最短得到点M 的位置，进而得到BM ．求出平面PBD 的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求． 【详解】（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PA BD ⊥．取AC 的中点O ，连接,OB OD ，∵ACD ∆是等边三角形，AB BC =， ∴AC OB ⊥，AC OD ⊥，∴点,,O B D 共线，从而得AC BD ⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PAC ⊥平面PBD .（Ⅱ）解：取CP 中点E ，连接OE ，则//OE PA ， ∴EO ⊥底面ABCD ， ∴,,OC OD OE 两两垂直．以O 为原点如图建立空间直角坐标系Oxyz ， 则()()()()0,1,0,1,0,0,3,0,1,0,2B C D P --， ∴()()0,31,0,1,1,2BD BP =+=-,设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，由()31020n BD y n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得02y x z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()2,0,1n =．设()01CM CP λλ=≤≤，则()12,1,2BM BC CM λλ=+=-，∴(142BM ==⎝⎭，∴当14λ=时，BM 有最小值，且minBM =11,1,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设直线MB 与平面PBD 所成角为θ，则11||2sincos<,>10|3|||BM n BM n BM n θ+====⨯⋅， ∴直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值为【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,，离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）设点,A F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点）.【答案】（1）22143x y +=；（2）3 【解析】 【分析】（1）点(0,代入椭圆方程，离心率12c a = 与222a b c =+ 联立求解椭圆方程； （2）设直线CD 方程1x ky =+，与椭圆联解，利用根与系数关系及三角形面积公式得四边形面积，再利用换元法和对勾函数单调性求出四边形面积的最大值.【详解】点(0,代入椭圆方程22031a b+=，23b = 又离心率12c a = 与222a b c =+，则24a = 椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设直线CD 方程为1x ky =+ , 1122(,),(,)C x y D x y221431x y x ky ⎧+=⎪∴⎨⎪=+⎩ 化简得：22(34)690k y ky ++-= 22163+=,4ky y k 122934y y k =-+， 四边形OCAD 面积：1211=2222OCAODAS S Sy y2121212()4y y y y yy = 令21(1)t k t212121313t St tt， 1t ≥13y t t=+ 在[1,)+∞上单增，4y ∴≥ 12313S tt，当且仅当1t =即0k =时等号成立. 四边形OCAD 面积的最大值为3【点睛】与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．20. 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求： （i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973kkk P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 21. 已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．（2）(]0,1 【解析】 【分析】（1）求出导数()22x af x x='+，对a 分类讨论，明确函数函数()f x 的单调性； （2）对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，等价于()max e 1f x ≤-．()()1b b x f x x-'=，函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max f x 为1e e bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．再利用导数求解不等式即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x a f x x x x='+=+．当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增．当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． （2）因为对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．当0a b +=即=-a b 时，()ln bf x b x x =-+，()()11b b b x b f x bx x x---=='+． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()220b b g b e e -=+->='，所以()g b 在()0,∞+上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e e 1b b -+≤-即e e 10b b --+≤．设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 10bb ϕ'->．所以()b ϕ在()0,∞+上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤． 因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1． 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），()2,0A ，P 为曲线C 上的一动点.（I ）求动点P 对应的参数从3π变动到23π时，线段AP 所扫过的图形面积； （Ⅱ）若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）6π；（Ⅱ）存在点P 满足题意，且7,88P ⎛± ⎝⎭. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先判断出线段AP 所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设()cos ,sin Pθθ，由题意得()2cos 2,2sin Q θθ-，然后根据点Q 在曲线C 上求出cos ,sin θθ后可得点的坐标． 【详解】（Ⅰ）设3πθ=时对应的点为2,3M πθ=时对应的点为N ，由题意得MN x 轴， 则线段AP 扫过的面积211236AMN OMN OMN S S S S S ππ∆∆=+=+==⨯⨯=弓形弓形扇形.（Ⅱ）设()cos ,sin Pθθ，()2,0A ，∵P 为线段AQ 的中点， ∴()2cos 2,2sin Qθθ- ，∵Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y +=， ∴()()222cos 22sin 1θθ-+= ， 整理得8cos 7θ=， ∴7cos 8θ=，∴sin θ==±，∴存在点P 满足题意，且点的坐标为7,88P ⎛± ⎝⎭．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题． 选修4—5：不等式选讲23. 已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-.（1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}10x x -≤≤；（2）9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解集； （2）作出函数()f x 的图象和函数()g x 的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得a 的取值范围.【详解】（1）若1a =，则不等式()f x +()g x 3≥化为2−2x 13x +-≥． 当x≥1时，2−2x 1x +-≥3，即2x −20x +≤， 因为不等式对应的一元二次方程180=-<，故不等式无解；当1x <时，2213x x --+≥，即2x 0x +≤，解得10x -≤≤． 综上，不等式()f x +()g x ≥3的解集为{|10}x x -≤≤．（2）作出y =()f x 的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示，由22y x a y x=-⎧⎨=-⎩，得2x 20x a +--=，若相切，则()1420a ∆=++=，得a =94-， 数形结合知，当a ≤-94时，不等式无负数解，则−940a <<． 当0a =时，满足()f x >()g x 至少有一个负数解． 当0a >时，()g x 的图象如折线②所示， 此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知， 当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<．综上所述，若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解， 则实数a 的取值范围是(−94，2)．【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题.。

2020年12月高三质检数学试题及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A.3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（ ）A.2y =B.y =C.yD.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知，选项A中2,(0)y x x ==≥，选项B中,(0)y x x ==≥，选项C中y x ==，选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C.4.已知tan(3)2x π+=-，则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（ ）A.4B.3C.3-D.4-解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-，所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（ ） A.21153151a a a-= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选D 由题得，2112110531553151a a aaa --++===，所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=，所以成立；12212211111101333333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===，所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-，所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y z x =的取值范围是（ ）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为412,,32，所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面（ ）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在 解析：选B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在，且只有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.8.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：选A 由21x -<解得13x <<，由220x x +->解得2x <-或1x >.因为(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的子集，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.9..若函数()f x 是偶函数，当10x -≤<时，2()41f x x x =-+，则当01x <≤时，函数()f x 的解析式为（ ）A.241x x ++B.241x x -++C.241x x --D.241x x ---解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()()f x f x -=.因为01x <≤，所以10x -≤<，所以22()()4()141()f x x x x x f x -=---+=++=.所以当01x <≤，2()41f x x x =++.故选A.10.首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =-解析：选D 由题可得，21()2333()2313nn n S -==-⋅-，12()3n n a -=，所以32n n S a =-.故选D.11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D.12π解析：选D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体，所以该几何体的表面积为422312S ππππ=++⨯=.故选D.12.若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为（ ） A.6πB.3πC.32π D.65π 解析：选B 因为2a b a b a +=-=，所以a b ⊥且3b a =，所以()cos a b a a b aθ+⋅=+22122aa==，所以夹角为3π.故选B.13.如图所示，已知正四棱锥S ABCD -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ）A.90B.60C.45D.30解析：选B 连接,AC BD 交于点O ，连接EO ，则//EO SC .所以OEB ∠为所求角.OEB ∆是直角三角形，26,2OE OB ==，所以tan 3OBOEB OE∠==，所以60OEB ∠=.故选B.俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 32 214.若函数()y g x =的定义域为[3,5]-，则(21)y g x =+的定义域为（ ） A.[5,11]- B.[3,5]- C.[2,2]- D.[2,3]- 解析：选C 由题可得，3215x -≤+≤，解得22x -≤≤，所以函数的定义域为[2,2]-.故选C.15.已知双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3解析：选A 由双曲线的定义式可知：122AF AF a -=，因为1253AF AF =，所以可得：125,3AF a AF a ==，因为122F F c =，由2AF x ⊥轴可知12AF F ∆是以21AF F ∠为直角的直角三角形.故有2224925c c a +=，解得2224c e a==，即2e =.故选A.16.函数2log 1y x =-的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选D 由题可得，令2log 10x -=，解得2log 1x =±，当2log 1x =时，解得2x =，即2x =±；当2log 1x =-，解得12x =，即12x =±.所以函数的零点有4个.故选D.17.若,x y≤恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A.2B.1解析：选 C≤恒成立，即a ≥恒成立，即max a ≥恒成立.因为21112==+≤+=，≤a ≥所以实数a，故选C.18.如图，在长方形ABCD 中，3,1AB BC ==，E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C 时，则K 所形成的轨迹的长度为（ ）A.2π B.3πC.32D.233解析：选B 由题可得，'D K AE ⊥，所以K 的轨迹是以'AD 为直径的一段圆弧'D K .设'AD 的中点为O ，因为长方形'ABCD 中，3AB =，1BC =，所以'3D AC π∠=，所以'23D OK π∠=，所以K 所形成的轨迹的长度为3π.故选B .非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)A ，则p = ，其准线方程为 . 解析：2;1x =- 由题可得，24p =，解得2p =.所以准线方程为12px =-=-. 20.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .解析：9 因为等差数列{}n a 的公差d 满足21179d -<<-，所以{}n a 是递减数列.又因为11a =，0d <，所以令1(1)0n a a n d =+->，即111d a n d d-<=-，因为21179d -<<-，所以19.5110n d <=-<，所以9n ≤.即9n ≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <.所以当9n =时，n S 取到最大值.21.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积4222c b a S -+=，则角C =____________．解析：4π 因为2221sin 42a b c S ab C+-==，所以2222sin 2cos a b c ab C ab C +-==，所以sin cos C C =，即tan 1C =，解得4C π=.22.设,0a b >，且满足21a b +=.若不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，则实数t 的取值范围是 .解析：94t ≤ 因为对于任意的正数,0a b >，不等式(2)(1)3abt t a t b t +-+-≤-恒成立，即不等式可转化为1211t a b +≥++恒成立.因为121211()111142a b a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭51159142(1)2(1)44b a a b ++=++≥+=++，当且仅当112(1)2(1)b a a b ++=++，即13a b ==时，取到最小值.因为1211t a b +≥++恒成立，所以有94t ≤. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()22C f =，且2c ab =，试判断ABC ∆的形状.解：(1)2()2cos cos 1f x x x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以22T ππ==. 所以函数的最小正周期为π. (2)()2sin()226C f C π=+=，因为02C π<<，所以解得3C π=.又因为222222cos c ab a b ab C a b ab ==+-=+-， 所以2()0a b -=，即a b =所以ABC ∆是正三角形.24.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(2,3)P ，且它的离心率21=e . (1)求椭圆的标准方程；(2)与圆1)1(22=++y x 相切的直线:l y kx t =+交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足ON OM λ=+，求实数λ的取值范围.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：22222491,1,2a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得4,23,2a b c ===所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x . (2)因为直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切，所以211t kd k-==+，解得212(0)t k t t -=≠. 把y kx t =+代入1121622=+y x 并整理得222(34)8(448)0k x ktx t +++-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有122834ktx x k+=-+， 121226()234ty y k x x t k +=++=+，因为1212(,)OC x x y y λ=++所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k ， 解得22222211134()()1t k t tλ==+++ 因为02>t ，所以 11)1()1(222>++tt 所以102<<λ所以λ的取值范围为)1,0()0,1( -. 25.设函数()(,)f x x x a b a b R =-+∈. (1)当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；(2)若不存在正数a ，使得不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数b 的取值范围.解：(1)当0a >时，22,,(),x ax b x a f x x x a b x ax b x a⎧-+≥=-+=⎨-++<⎩当x a ≥时，函数2()f x x ax b =-+在[,)a +∞上单调递增；当x a ≤时，函数2()f x x ax b =-++在(,]2a -∞上单调递增，在[,)2a a 上单调递减. 所以函数()y f x =的单调递增区间为(,]2a -∞和[,)a +∞，单调递减区间为[,)2a a . (2)由题可得，0b ≥时显然成立； 当0b <时，()0f x <即b x a x -<-，即b b x a x x<-<-， 所以有,b x a xb x a x ⎧+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩.所以不等式()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立即为max min ,b x a x b x a x ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩由maxb x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可得1b a +<， 由minb x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭可得当10b -<<时，a >； 当1b <-时，1b a ->.所以当1b <-时，11b a b +<<-，符合题意的正数a 总是存在的. 当10b -<<时，当1b +≥时符合题意的正数a 不存在，此时解得30b -+≤<.综上可得，3b ≥-+。

山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。

高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::．二、填空题：13.14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算 ，1(120110907060)905y =++++=，...............2分 则5152221419559.59032453.7559.5i ii i i x y nx y b x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．..........................................6分 （Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，................8分 则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），.........................11分 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．........................................12分18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，.............................2分 两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，.....................................................4分 又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．..........................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n n n -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分 所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-.......................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．...........................................12分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥1019．解：（Ⅰ）证明：作DH AF ⊥于H ，∵，，∴，∴，...............2分∵，∴，∴，∴，即，................4分∵面面，为两个面的交线，∴面．.......................6分 （Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又2AD DF ==，..............9分 ∴，6BDF S =V A 到面BDF 的距离为h , 则11633h =，6h =．.....12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立，∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分 若，恒成立，即在上恒成立，........................2分 设，则，......................................3分 当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以当时，取得最大值，，所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．................5分 （Ⅱ）依题意，， 所以，....................................6分 设，则，.........................................8分 当，，故在上单调增函数，AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH ==45HDF ∠=︒2AF =1AH =45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DF AD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEF AB AD ⊥AB ⊥ADEF 111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB =3BD =0x ≥()0f x >0x =a ()0xf x e =>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞()ln x xM x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e因此在上的最小值为，即，...................10分 又，所以在上，， 所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以 ，故轨迹方程为：． .................................................5分（Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分 设的中点为，则，， 直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 , ......................................9分 当为等边三角形时，, ()h x [1,]e (1)0h =1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0xe >[1,]e 1()(ln 1)10x M x x e x '=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g xf x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r=||||IC IM +=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631kk x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||PQ AB =解得，即直线的方程为或．.......................12分22．解：（Ⅰ）将222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分 将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =， ∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分（ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=，设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=，1232t t =-， ∴16，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分 得； ..................................................3分 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分 （Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，................................7分 要使原不等式恒成立，则只需，由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分 22223(1)1)31231k k k k ++=++1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。

陕西省2020届高三第二次检测考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||a b >B ．22ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 4．总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．5．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．639．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-10．函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（ ） A ．322+B ．323+C ．4D ．512．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____． 14．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______．16．已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P ．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值．19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87920．如图，椭圆221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△．（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直是否做操是否近视不做操 做操 近视 44 32 不近视618线PQ 的斜率为定值． 21．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点． （1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值； （2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-．当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：13．1 14．6π 15．323π 16．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =- 因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值．18解：（1）证明 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以PA CE ⊥． 因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥．又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD ． （2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=．又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形．所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19．解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人） 所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5．0以上的频率为0．18，故全年级视力在5．0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系．21．解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--． （1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-． 所以a 的最大值为7-． （2）当1a >时，()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦， 3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭． 所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点， 故函数()f x 共有三个零点．22．解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由直线l 的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得，直线l的普通方程为1)3y x =-，即33y x =-． （2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得2211410242t t t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖ 23．解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+． 解不等式|22|26x -+„得13x -剟． 因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟．（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥．①当1a „时，①等价于13a a -+…，无解． 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …． 所以a 的取值范围是[2,)+∞．。

深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。

中国人民大学附属中学2020届高三寒假自主学习综合练习数学参考答案和评分标准一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．）(注：11,14题第一个空3分，第二个2分)三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （17）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，.……………………… 1分根据已知条件得sin 2cos B ab C =，sin sin cos C B B C =， ..…………………………2分 ∵0B π<<，∴0sinB ≠，cos C C =， …………………………4分即tan 3C =， .…………………………5分 ∵0C π<<， ∴6C π=.…………………………6分 【注：不声明B 和C 角的范围扣1分】（Ⅱ）由sin()cos b A a B π-=及正弦定理，得sin sin sin cos B A A B =..………………… 8分∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴sin cos B B =， ∴4B π=. .…………………………10分根据正弦定理sin sin b c B C =，可得sin sin 46cππ=，解得1c =.……………………… 11分∴111sin 1sin sin()2224ABC S bc A A B C ∆==⨯=⨯+=.…………………13分 【注：不声明A 角的范围扣1分】18. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为： 9.6×16+10×36+10.4×26≈10.07．.…………………………2分（Ⅱ）由分层抽样法知，在抽取的件产品中， 指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件， 指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件，指标Y 在 [9.4,9.8)内的有1件， .…………………………3分 设事件A=“从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]”从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件2615C =个，其中，指标Y 都在[9.8,10.2]内的事件有233C =个， .…………………………5分所以31()155P A ==， 即从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为15；.……6分 （Ⅲ）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为 η=148(48x +16×300+8×600)=x +200 元．.……9分 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x +100)元， 一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300=2400元，平均每件产品的消费费用ξ=148×[48(x +100)+2400]=x +150元， .……12分因为，x +200> x +150，所以该服务值得购买． .……13分19. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC为正三角形.∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.又BCAD ，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥， ..…………………………2分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =， ∴AE ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥； .…………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，//AB CD ，∵AB ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ，∴//CD 平面P AB ， .…………………………6分 ∵CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面P AB =l ， ∴//CD l ，∴//l AB ； .…………………………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),1,0),A B C -，(0,2,0),(0,0,2),D P E，1,12F ⎫⎪⎝⎭………………………………9分∴(3,0,0)AE =，31,122AF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11110102x y z =++=取11z =-， 则(0,2,1)m =-…… 因为,,BD AC BD PA PAAC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量又(BD =- ………………………………………………13分∴5||cos ,5m BD m B m D D B ⋅==⋅⨯=∴二面角的余弦值为5. .………………………………………………14分20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）由f ʹ(x )=lnx −2ax +2a ，得 g (x )=lnx −2ax +2a ，x ∈(0,+∞)． 则g ʹ(x )=1x −2a =1−2ax x． .………………………………………………1分当 a ≤0 时，x ∈(0,+∞) 时，g ʹ(x )>0，.……………………………………………2分 当 a >0 时，x ∈(0,12a) 时，g ʹ(x )>0，x ∈(12a,+∞) 时，g ʹ(x )<0， .………………………………………4分∴当 a ≤0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,+∞)；当 a >0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,12a)，单调减区间为 (12a ,+∞)．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f ʹ(1)=0． .………………………………………7分①当 a ≤0 时，f ʹ(x ) 在(0,+∞)上单调递增，∴当 x ∈(0,1) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减； 当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增．∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.…………………………………8分②当 0<a <12 时，12a>1，由（Ⅰ）知 f ʹ(x ) 在 (0,12a) 内单调递增，当 x ∈(0,1) 时， f ʹ(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1,12a ) 时，f ʹ(x )>0，f (x )单调递增，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.………………………………10分③当 a =12 时，12a =1，f ʹ(x ) 在 (0,1) 内单调递增，在 (1,+∞) 内单调递减．∴当 x ∈(0,+∞) 时，f ʹ(x )≤f ʹ(1)=0，f (x ) 单调递减，不合题意．……11分④当 a >12 时，0<12a <1，f ʹ(x )在(12a ,+∞)上单调减，∴当 x ∈(12a ,1) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极大值，符合题意．综上可知，实数 a 的取值范围为 (12,+∞)． .………………………………14分21.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，2a =，2223b a c =-=，所以，椭圆E 的方程为22143x y +=． .………………………………4分（Ⅱ）当1l 、2l 的斜率都存在且不为0时，设1:l ()1y k x =-，则2:l ()11y x k=--， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立()221341x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 因为直线1l 经过椭圆内一点，所以0∆>，由韦达定理得，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， .………………………………7分 所以，AB 中点M 的坐标为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 用1k -替换k ，可得CD 中点N 的坐标为223,43434k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭， （1）若=1k ±，此时求得4MN :7x =，过定点4,0)7（.………………………………8分 （2）当10k ≠±，， ∴()2741MN kk k =-， .………………………………9分∴直线MN 的方程为：()222374434341k ky x k k k ⎛⎫-=⋅- ⎪++-⎝⎭，即()277441k y x k ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭，∴直线MN 经过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； . ………………………………11分当1l 、2l 的斜率分别为0和不存在时，直线MN 的方程为0y =，也经过点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭. .………………………………13分22.(本题满分13分)解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，1,0,1,0,1． .………………………………3分 （Ⅱ）因为数列A 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m =11，则数列{a n }中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列A 一定是“3阶可重复数列”； .………………………………6分 若m =10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 故3≤m ≤10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列．所以，要使数列{a n }一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11； .……………………7分（Ⅲ）由题，在数列A 的最后一项a n 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即存在正整数i ，j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3，a i +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，0按次序对应相等，且 a j ，a j +1，a j +2，a j +3，a j +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，1按次序对应相等， 由于a i +4=0 ≠ 1=a j +4，所以必有i ≠j ． 如果a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 不能按次序对应相等， 那么必有2≤i ，j ≤n －4，i ≠ j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3；a j ，a j +1，a j +2，a j +3与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等．此时考虑a i ﹣1，a j ﹣1和a n ﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列A 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列A 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列A 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等，从而a n =a 4=1．.………………13分。

文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21iz =+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B = （）A ．{(0,0)}B ．{(1,1)}C ．{(0,0),(1,1)}D ．{0,1}3．设πsin 6a =，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．c b a<<4．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（）x681012y6m32A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m=C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,45．已知点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为π3”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列关于函数()sin f x x =和函数()sin g x x =的结论，正确的是（）A ．()g x 值域是[1,1]-B ．()0f x ≥C ．()()2πf x f x +=D ．()()πg x g x +=7．已知函数()21cos 4f x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若//n α，βn//，则//αβ；②若//m α，//m n ，则//n α；③若m α⊥，m β⊥，则//αβ；④若m α⊥，//αβ，则m β⊥．其中所有正确命题序号是（）A ．③④B ．②④C ．①②D ．①③9．已知双曲线2222:1x a C y b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的倾斜角为140°，则C 的离心率为（）A ．2sin 40︒B ．2cos 40︒C ．1sin 50︒D ．1cos50︒10．函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且()()2xf xg x e +=，若关于x 的方程()()20f x mg x -=在区间(0,2]内有解，则实数m 的最小值为（）A ．4B．C ．8D．11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，AB AC ⊥，则四棱锥111A BCC B -的外接球的体积是（）A．B ．12πC ．83D．12．已知函数()1,03,0x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a ∈R ），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．lg 0.252lg 2+=________．14．已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________．15．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A，若3PF FQ =u u u r u u u r ，则AQQF=________．16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =．若2sin 4sin()a C B C =+，22()12a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点．（1）求证：PN ^平面ABCD ；（2）在棱BC 上是否存在点E ，使得//BN 平面DEP ？并说明理由．18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()241n n S a =+（n ∈*N ）．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容．某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．（1）求图中a的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有99．9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）通过用分层抽样方法从B试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率．附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．()2P K k≥0．0100．0050．001 0k6．6357．87910．82820．（12分）已知函数()xf x ax e =-．（1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当22a e ≤≤+时，求证：()2f x x≤21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠？若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，0πα≤<)．在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=．（1）当π4α=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且两点对应的参数12,t t 互为相反数，求||AB 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|||2|f x x a x =++-．（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()||4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 【解析】由题意得22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，所以复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选D ．2．【答案】C【解析】由2y x y x⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，A B ∴= {(0,0),(1,1)}，故选C ．3．【答案】B 【解析】1sin 62πa ==Q ，21log 32b <=<，12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，c a b ∴<<，故选B ．4．【答案】B【解析】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误；对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确，故选B ．5．【答案】A 【解析】当AB 与AC的夹角为π3时，222=||+2+||AB AC AB AB AC AC +⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，π2=2||||cos 03AB AC AB AC ⋅⋅⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r ，222222=||+2+||||2+||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB ∴+⋅>-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||AB AC AC AB BC ∴+>-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r时，2222222=||+2+||||2+||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB BC +⋅>-⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简得：0AB AC ⋅>，A ，B ，C 不共线，AB ∴ 与AC的夹角为锐角，所以“AB 与AC 的夹角为π3”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的充分不必要条件，故选A ．6．【答案】D【解析】()sin g x x = ，(0)1g x ∴≤≤，()()π|sin(π)||sin ||sin |g x x x x g x ∴+=+=-==，故A 错误，D 正确，()sin f x x = ，||0x ≥，()[1,1]f x ∴∈-，()()2πsin |2π|f x x f x ∴+=+≠，故B ，C 错误，故选D ．7．【答案】A 【解析】()21cos 4f x x x =+ ，1()sin 2f x x x '∴=-，1()sin ()2f x x x f x ''∴-=-+=-，即函数为奇函数，排除B ，D 选项，令()()g x f x '=-，则1()cos 2g x x '=-，当π(0,)3x ∈时，()0g x '<，()f x '∴在π(0,3x ∈上单调递减，故选A ．8．【答案】A 【解析】由m ，n 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，知：在①中，若n α∥，n β∥，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m α∥，//m n ，则n α∥或n ⊂α，故②错误；在③中，若m α⊥，m β⊥，则由线面垂直的性质定理得//αβ，故③正确；在④中，若m α⊥，αβ∥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确，故答案为③④．9．【答案】C 【解析】 渐近线的倾斜角为140°，tan140tan 40ba-=︒=-︒，tan 40a∴=︒，2221tan 40sec 40e ∴=+︒=︒，1cos 40i 01s n 5e ︒∴==︒，故选C ．10．【答案】B【解析】()()2xf xg x e +=Q ，()()2xf xg x e -∴-+-=，又函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，()()2xf xg x e -∴-=，()2x x e e f x -+∴=，()4x x e e g x --=，()()20f x mg x -=Q 在(0,2]有解，222()x x x xe e m e e--+∴=-在(0,2]内有解，令x x t e e -=-，t 是增函数，则220t e e -<≤-，即2222()2[()2]42x x x x x x x xe e e e m t e e e e t----+-+===+--在22(0,]e e --有解，4222()y t tt t=+=+≥ ，当且仅当t =时，等号成立，m ∴的最小值，故选B ．11．【答案】A 【解析】连接1BC ，AB AC ⊥ ，1AA AC ⊥，1AA AB A = ，AC ∴⊥平面1A AB ，11A C ∴⊥平面1A AB ，111A C A B ∴⊥，11A BC ∴△，1CBC △，11B BC △都是以1BC 为斜边的直角三角形，1BC ∴是四棱锥111A BCC B -的外接球的直径，12AB AC AA === ，在1CC B Rt △中，可解得1223BC R ==，34π43π3V R ∴==，故选A ．12．【答案】B 【解析】当0x ≤时，()20f x -=，即为320x +-=，即1x =-，所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根，所以当0x >时，()20f x -=有2个根，即1(2)x e a x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，设过原点与1x y e -=相切的直线切点为010(,)x x e -，则切线斜率0011000()0x x e k f x ex ---'===-，解得01x =，所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点，则需21a ->，即1a <，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】0【解析】lg 0.252lg 2lg 0.25lg 4lg10+=+==Q ，故答案为0．14．【答案】3-【解析】因为πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．15．【答案】2【解析】过P ，Q 分别作PM ，QN 垂直准线l 于,M N ，如图：3PF FQ =u u u r u u u r Q ，1||||4QF PQ ∴=，由抛物线定义知，||||PM PF =，||||QF QN =，||3||PM QN ∴=，PM QN ∥，||||1||||3AQ QN AP PM ∴==，11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=，2AQ QF ∴=，故答案为2．16．【答案】3【解析】2sin 4sin()a C B C =+Q ，2sin 4sin a C A =Q ，24a c a ∴⋅=，4ac ∴=，22()12a c b +=+Q ，2221224a c b ac ∴+-=-=，214116123424S ⎡⎤⎛⎫=-=⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】（1）由底面ABCD 是矩形，知AB AD ⊥，AB PA ⊥，又PA AD A = ，,PA AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，由PA PD =，N 是棱AD 的中点得：PN AD ^，AD AB A = ，PN ∴⊥平面ABCD ．（2）在棱BC 上存在点E ，使得//BN 平面DEP ，且E 为BC 的中点．证明如下：如图取BC 中点E ，连接PE ，DE ，在矩形ABCD 中，//ND BE ，ND BE =，∴四边形BNDE 是平行四边形，//BN DE ∴，BN ⊄ 平面DEP ，DE ⊂平面DEP ，//BN 平面DEP ．18．【答案】（1）证明见解析，21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=．【解析】（1）由()241n n S a =+()n ∈*N ，知：当1n =时，有()21141a a =+，10a >，解得11a =，由()241n n S a =+，()21141n n S a ++=+两式相减，得：()()2211411n n n a a a ++=+-+，化简得：2211220n n n n a a a a ++---=，变形得：()()1120n n n n a a a a +++--=，对n ∀∈*N ，有0n a >，120n n a a +∴--=，即12n n a a +-=，故数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-．（2）2n a n n b a =+Q ，21n a n =-，21212n n b n -∴=-+，()3521(1321)2222n n T n -∴=+++-+++++L L ()2122214[1(21)]24223221433nn n n n n n +-+-⨯-+-=+=+=-，2122323n n n T ++-∴=．19．【答案】（1）0．025；（2）列联表见解析，没有99．9%的把握认为；（3）35．【解析】（1）根据频率直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =．（2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯=，列联表如下：A 试验区B 试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得；22120(10302060)7210.310.828705030907K ⨯-⨯==<<⨯⨯⨯，所以，没有99．9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系．注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论．（3）由（2）知：B 试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30株，故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为1a 、2a ，记3株非优质树苗为1b 、2b 、3b ，则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，∴优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为63105=．20．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，单调减区间为(1,)-+∞；()2ef x =-极大值，没有极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a e =时，1()xf x x e e =-，()1x f x e e='-在R 上单调递减，由()0f x '=，得1x =-，∴当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，单调减区间为(1,)-+∞．()2(1)ex f f =-=-极大值，但()f x 没有极小值．（2）证明：证法一：令()()2F x x f x =-(2)x e a x =--，①当2a =时，()0xF x e =>，故()2f x x <，②当22a e <≤+时，()(2)xF x e a '=--在R 上是增函数，由()(2)0xF x e a '=--=，得ln(2)x a =-，∴当ln(2)x a <-时，()0F x '<，()F x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，当ln(2)x a >-时，()0F x '>，()F x 在(ln(2),)a -+∞上单调递增，()ln(2)min (ln(2))(2)ln(2)(2)[1ln(2)]a F x F a e a a a a -∴=-=---=---，()(2)[1ln(2)]F x a a ∴≥---，由22a e <≤+，知02a e <-≤，ln(2)1a ∴-≤，于是1ln(2)0a --≥，()0F x ∴≥，即()2f x x ≤，综上所述，当22a e ≤≤+时，()2f x x ≤．证法二：()2f x x ≤，即()20xax e x -+≤，其中22a e ≤≤+，x ∈R ，以a 为主元，设()()2xg a ax e x =-+，22a e ≤≤+，则当22a e ≤≤+时，()0g a ≤⇔(2)0(2)0x xg e g e ex e ⎧=-≤⎨+=-≤⎩．由0x e >知，(2)0x g e =-≤对任意x ∈R 成立．令()xh x ex e =-，则()xh x e e '=-在R 上单调递减，又()10h '=，∴当1x <时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，()()max 10h x h ∴==，∴对任意x ∈R ，都有()0h x ≤，即0x ex e -≤，综上所述，当22a e ≤≤+时，()2f x x ≤．21．【答案】（1）22(2)314x y x +=≠±，是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在，(0,6)Q ．【解析】（1）由题意得：34PA PB k k =-，3(2)224y y x x x ∴⋅=-≠±+-，化简得：221(2)43x y x +=≠±，∴曲线C 的方程为22(2)314x y x +=≠±，C ∴是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）．（2）假设存在的定点(0,)Q m 符合题意，由题意知：直线,AD BD 的斜率分别为14AD k =，14BD k =-，由题意及（1）知：直线MN 与直线,AD BD 均不重合．当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，由MQO NQO ∠=∠，得直线,MQ NQ 的倾斜角互补，故0MQ NQ k k +=，又()12121212121212114(12)222MQ NQ kx m kx m kx x m x x y m y m k k x x x x x x +-+-+-+--+=+=+=，()12124(12)0kx x m x x ∴+-+=①由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y ，整理得()22344110k x kx ++-=．()221644340Δk k =++>，又122434k x x k -+=+，1221134x x k -=+②将②代入①中，得221144(12)3434k k m k k --⋅+-⋅++28(6)034k m k -==+③ 当14k ≠±时，又k 不恒为0，∴当且仅当6m =时，③式成立，即定点(0,6)Q 满足题意．当直线MN 的斜率不存在时，点(0,6)Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意．综上所述，在y 轴上存在定点(0,6)Q ，使得MQO NQO ∠=∠．22．【答案】（1）(0,0)，π4；（2）【解析】（1）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即2240x y x +-=，当π4α=时，直线l的参数方程21212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =，联立2240y x x y x =⎧⎨+-=⎩，解得交点为()0,0或()2,2，化为极坐标为()0,0，π4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得()22sin cos 20t t αα+--=，可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以12AB t t =-==23．【答案】（1）1{|}4x x x ≤≥或；（2）[]3,0-．【解析】（1）当3a =-时，()25,21,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，当2x ≤时，由()3f x ≥，得253x -+≥，解得1x ≤；当23x <<时，()3f x ≥无解；当3x ≥时，由()3f x ≥，得253x -≥，解得4x ≥．所以()3f x ≥的解集为1{|}4x x x ≤≥或．（2）()44|||||2|f x x x x x a ≤---≥+⇔-．当2[]1,x ∈时，()()4242||||||22x x x a x x x a a x a -⇔⇔--≥+--≥+-≤≤---，由条件得21a --≤且22a -≥，解得30a -≤≤，故满足条件的实数a 的取值范围为[]3,0-．。