矩阵分解的研究及应用
摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。
本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用。
关键词：特征值分解 秩分解 三角分解 和分解
关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。
一、特征值分解
性质1：任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得1
10n A T T λλ-*⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中1,,n λλ 为矩阵A 的
特征值。称形如这样的分解叫做矩阵A 的特征值分解。
性质1'：任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得11s J A T T J -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中
11i i i i i i n n J λλλ⨯⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ ，1,2,,i s = 且1,,s λλ 为矩阵A 的特征值。 对于对称矩阵有如下结论：
定理1.1：若A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T ，使得11n A T T λλ-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
其中1,,n λλ 为矩阵A 的特征值。
证明 由性质1,知 存在酉矩阵T ，使得1
10n A T T λλ-*⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
又由于A 为n 阶实对称矩阵，因此
111
111000n n n A T T T T A T T
λλλλλλ---'⎛⎫**⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 从而，得 1
100n n λλλλ*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭
因此11n A T T λλ-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
得证。
定理1.2：矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B ，使得A B B '=。 证明 必要性 因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵T ，使得
11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，且0i λ>，1,2,,i n =
令1B T T -⎫⎪
= ⎪ ⎝
，则
(
)111
0B T T T T T T ---'
⎛⎫⎫⎫⎫
⎪⎪⎪⎪'''=== ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎝
⎝
⎝
⎭
从而有
11B B T TT T --⎫⎫
⎪⎪'= ⎪
⎪ ⎝⎝
2
111
2
n T T T T A λλ--⎛
⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪=== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝
⎭
充分性 因为A B B '=， 则 ()()A B B B B B B A '''''''==== 因此A 为对称矩阵。
又任意不为零的向量x ，有 ()()x Ax x B Bx Bx Bx ''''==
令12(,,)Bx x x = ，又B 为非奇异矩阵， 从而知 12(,,)0Bx x x =≠ 因此 22212()()0n x Ax Bx Bx x x x ''==+++>
所以A 为正定矩阵。 得证。
定理1.3：设A 是n 阶实对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B ，使得k A B =，k 为任意正整数。
证明 必要性 因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵T ，使得
11n A T T λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，且0i λ>，1,2,,i n =
对任意的正整数k
，令1B T T -⎫⎪
= ⎪ ⎝
，则有
1
111
k
k
k
k
n
B T T T T T T A
λ
λ
---
⎛⎫
⎛⎫
⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
====
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎪
⎝
⎝⎭⎝⎭
必要性由于B为正定矩阵，因此对任意的非零向量x，有0
x Bx
'>。
又k
A B
=，则有()()k
k k
A B B B A
'
''
====即A为对称矩阵
且有k
x Ax x B x
''
=
①当k为奇数时，11
22
()()
k k
k
x Ax x B x B x B B x
--
'''
==
又B为正定矩阵，因此120
k
B x-≠，即有22
()()0
k k
k
x Ax x B x B x B B x
'''
==>
②当k为偶数时，22
()()
k k
k
x Ax x B x B x B x
'''
==
又B为正定矩阵，因此20
k
B x≠，即有22
()()0
k k
k
x Ax x B x B x B x
'''
==>
从而，知对任意不为零的向量x，有0
x Ax
'>。
因此A是正定矩阵。得证。
定理1.4：设A为一个n阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S和一个正交矩阵U，使得A US
=或A SU
=。
证明由定理1.2，知B A A'
=为正定矩阵
由定理1.3,得存在正定矩阵S，使得2
B S
=
令1
U AS-
=，则()11
U AS S A
--
'
''
==从而有
11121
U U S A AS S S S E
----
''
===因此1
U AS-
=为正交矩阵。
且又1
US AS S A
-
==同理可证A SU
=的结论。得证。
定理1.5：设A是n阶实对称矩阵，
12
,,,
n
ααα
是A的n个单位正交特征向量，对应的特征值为12
,,,
n
λλλ
。则
111222n n n
Aλααλααλαα
'''
=+++
。
证明因为A为n阶实对称矩阵，由定理1.1,知存在正交矩阵T，使得
1
1
n
A T T
λ
λ
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
设
1
2
n
T
α
α
α
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，其中
i
α为T的的第i个行向量，则1
12
(,,,)
n
T Tααα
-'''
'
== ，于是有
1
1
2
12111222
(,,,)
n n n n
n
n
A
α
λ
α
αααλααλααλαα
λ
α
⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
''''''
==+++
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
