定义法及模拟法求概率

当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。

设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。

蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。

它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。

数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。

但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。

最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。

科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。

贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。

”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

这也是我们采用该方法的原因。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。

3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。

在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。

在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。

例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。

如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。

同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。

例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。

解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。

两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。

这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。

平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。

解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。

均匀随机数的产生教学设计教学目标：1.能够利用随机模拟试验估计事件的概率.2.了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题.3.会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验. 教学重点：会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验. 教学方法：讲练结合、启发式． 教学过程： 知识梳理知识点1： 均匀随机数定义：如果试验的结果是在区间[a ，b]上的__________，并且出现每一个实数都是________的，则称这些实数为均匀随机数. 知识点2：均匀随机数的产生1.计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是________函数.2.Excel 软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“________”. 知识点3：用模拟方法近似计算某事件概率的方法[化解疑难](1)均匀随机数的理解①均匀随机数是随机产生的，在一定的区域长度上出现的概率是均等的.②均匀随机数是小数或整数，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.(2)应用模拟试验近似计算概率的方法要点分析用均匀随机数模拟试验时，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型只用一组，面积型需要两组.②由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围.③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式求事件A的概率.基础自测1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率解析：很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率.2.将[0，1]内的均匀随机数转化为[－2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )A.a＝a1*8B.a＝a1*8＋2C.a＝a1*8－2D.a＝a1*6解析：将[0，1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数需进行的变化为a＝a1*(b－a)＋a＝a1*8－2.答案：C3.下列关于随机数的说法中：①计算器只能产生(0，1)之间的随机数；②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；用随机模拟法估计长度型几何概型自主练透型例1、 取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？ 解析： 设剪得两段的长都不小于2 m 为事件A.法一：(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND ； (2)作伸缩变换：y ＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数； (3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m ； (4)则概率P(A)的近似值为m/n.法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合)； (2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数m 及试验总次数n ； (3)则概率P(A)的近似值为m/n. [归纳升华]利用随机模拟计算概率的步骤 (1)确定概率模型；(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数；(3)统计计算；(4)得出结论，近似求得概率.1.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 .解析： 设米粒落入△BCD 内的频率为P 1，米粒落入△BAD 内的频率为P 2，点C 和点A 到直线BD的距离分别为d 1，d 2，根据题意：P 2＝1－P 1＝1－49＝59， 又∵P 1＝S △BCDS 四边形ABCD＝12×BD ×d 1S 四边形ABCD ， P 2＝S △BAD S 四边形ABCD ＝12×BD ×d 2S 四边形ABCD∴P 2P1＝d 2d 1＝54. 用随机模拟估计面积型的几何概型多维探究型如图所示，在墙上挂着一块边长为32 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为3 cm ，6 cm ，9 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计：(1)“投中小圆内”的概率是多少？(2)“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？解析：记事件A ＝{投中小圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}.按如下步骤进行：(1)用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；(2)经过伸缩和平移变换，a＝a1·32－16，b＝b1·32－16，得到两组[－16，16]上的均匀随机数；(3)统计投在小圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜9的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足9＜a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－16＜a＜16，－16＜b＜16的点(a，b)的个数)；(4)计算频率f n(A)＝N1N，f n(B)＝N2N，即分别为概率P(A)，P(B)的近似值.[归纳升华]用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比.2.现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率.解析：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2；(3)数出满足不等式b＜2a－43，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25 144.利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积多维探究型(1)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.无法计算(2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积.解析： (1)由几何概型的公式可得S 阴影S 正方形＝23，又S 正方形＝4， ∴S 阴影＝4×23＝83.(2)①利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；②经过平移和伸缩变换，a ＝a 1·4－3，b ＝b 1·3，得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数；③统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2的点(a ，b )的个数)；④计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值；⑤设阴影部分的面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12，所以S 12≈N 1N ，故S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值.[归纳升华]利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A )＝N 1N ；(3)设阴影部分的面积是S ，规则图形的面积是S ′，则有S S ′＝N 1N ，解得S ＝N 1NS ′，则已知图形面积的近似值为N 1NS ′.3.利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与直线x ＝±1及x 轴围成的图形)的面积.解析： 设事件A 为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”，操作步骤如下：第一步，用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足－1＜x ＜1，0＜y ＜2x(即点落在图中阴影部分)，首先设置n ＝0，m ＝0；第二步，用变换rand( )*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x 表示所投点的横坐标，用变换rand( )*2产生0～2之间的均匀随机数y 表示所投点的纵坐标；第三步，判断点是否落在阴影部分，即是否满足y ＜2x，如果是， 则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1，如果不是，m 的值保持不变；第四步，表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要试验，则返回步骤第二步继续执行，否则结束.程序结束后事件A发生的频率mn作为事件A的概率的近似值.设阴影部分的面积为S，正方形面积为4，由几何概型概率计算公式得，P(A)＝S4，所以mn≈S4，故4mn可作为阴影部分面积S的近似值.。

解简单的概率转换问题概率转换问题是概率论中的一个重要内容，其涉及到数学模型、数据分析和逻辑推理等方面的知识。

在解决简单的概率转换问题时，我们需要运用一些基本的概率规则和计算方法。

本文将从概率的定义、概率转换的常见问题以及解决问题的方法等角度进行探讨。

一、概率的定义概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。

概率P(A)表示事件A发生的可能性大小，其数值在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

在计算概率时，我们需要运用概率的基本性质和规则，例如加法原理、乘法原理等。

二、概率转换的常见问题1. 联合概率问题：给定两个事件A和B，如何计算两个事件同时发生的概率P(A∩B)？根据乘法原理，P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2. 条件概率问题：给定事件A，如何计算在事件A发生的条件下，事件B发生的概率P(B|A)？根据条件概率的定义，P(B|A) = P(A∩B) /P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A 发生的概率。

3. 相互独立事件问题：如果两个事件A和B是相互独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生造成影响，反之亦然。

在独立事件条件下，P(A∩B) = P(A) × P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。

三、解决问题的方法在解决概率转换问题时，我们可以运用以下几种常用的方法：1. 统计法：通过实验、观测或调查等手段，获取事件发生的频率数据，然后根据频率估计概率。

例如，我们可以通过投掷一枚均匀的骰子来估计掷出1的概率。

2. 理论法：通过利用概率的基本性质和规则，运用数学推理的方法，计算概率。

例如，通过使用条件概率的计算公式，可以计算出在已知某些条件下的事件发生概率。

3. 模拟法：通过构建概率模型，使用计算机进行模拟，得到事件发生的概率。

概率模拟使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟：使用随机数生成器进行概率模拟概率模拟是一种通过生成随机事件来模拟研究概率问题的方法。

为了有效进行概率模拟，我们常常使用随机数生成器来产生符合一定概率分布的随机数。

本文将介绍概率模拟的基本原理，并详细说明如何使用随机数生成器进行概率模拟。

一、概率模拟基本原理概率模拟是基于概率论的一种分析方法，通过模拟随机事件的发生情况来预测其概率分布。

在现实世界中，很多事件的结果是不确定的，无法通过精确计算得到其概率。

这时候，我们可以通过随机数生成器模拟一系列随机事件，然后根据模拟结果统计频率，从而推断真实概率。

概率模拟的基本原理可以用以下步骤总结：1. 定义随机试验：明确研究对象、试验过程和结果。

2. 设定概率分布：根据实际情况，假设事件的概率分布。

3. 生成随机数：使用随机数生成器生成符合设定概率分布的随机数。

4. 进行模拟：多次独立地重复试验，并记录事件发生的频率。

5. 统计频率：根据模拟结果统计频率分布，推断真实概率。

二、随机数生成器的选择随机数生成器是概率模拟的关键工具，它能够生成满足特定概率分布的随机数序列。

在选择随机数生成器时，需要考虑以下几个因素：1. 均匀性：生成的随机数应该具有均匀分布特性，保证随机性。

2. 独立性：生成的随机数应该相互独立，避免序列中的随机数之间存在相关性。

3. 有效性：生成的随机数应该能够满足模拟的需求，有足够的精度和范围。

常用的随机数生成器包括线性同余法、Mersenne Twister算法等。

三、使用随机数生成器进行概率模拟的步骤使用随机数生成器进行概率模拟通常包括以下几个步骤：1. 确定模拟的随机事件和概率分布。

在进行概率模拟前，首先需要明确研究对象和所关注的随机事件，并根据实际情况设定相应的概率分布。

2. 设定随机数生成器参数。

根据所选择的随机数生成器，设定相应的参数，如随机数种子、生成的随机数范围等。

3. 生成随机数序列。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。