随机过程2013_16

第一章随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。

例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。

但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。

这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。

显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。

1.1 随机过程的基本概念及统计特性1.1.1 随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。

当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1t x ，也可能得到波形)(2t x ，)(3t x 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。

而这些所有可能的波形集合)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，…..，就构成了随机过程)(t X 。

图1.1 噪声电压的起伏波形1． 样本函数：)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，都是时间的函数，称为样本函数。

2． 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。

因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果ζ的函数，记为),(ζt X ，简写成)(t X 。

3．随机过程的定义：定义1把随机过程看成一族样本函数。

4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。

具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。

g t1 , , t n ( 1 , 2 , , n ), t 1 , t 2 , , t n T , n 1


n 其中 g t1 , , t n ( 1 , 2 , , n ) E exp i i X ( t i ) k 1
B X ( s, t ) D X (s) D X (t ) 1 st (1 s )( 1 t )
2 2
{X(t),t>0}的一维概率密度
ft ( x)
2 1 x exp ,t 0 2 2 2 (1 t ) 2 (1 t )
15
2.2 随机过程的分布律和数字特征

t
0
g 1 ( v L ) g 2 ( v L ) dv
18
L
1
L
0
g 1 ( v ) g 2 ( v ) dv
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，设 W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相 关函数。 解 m ( t ) EW ( t ) E [ X ( t ) Y ( t )]
2 2
i . i .d
identical
Байду номын сангаас
on
B X ( s , t ) E [ X ( s ) X ( t )] m X ( s ) m X ( t ) E [( Y Zs ) (Y Zt ) ] 1 st
14
2.2 随机过程的分布律和数字特征
X ( s, t )
{X(t),t>0}的二维概率密度
f s ,t ( x1 , x 2 ) 1 2 (1 s )( 1 t )( 1 )

2.2 随机过程的分类和举例
2、离散参数、连续状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的t∈T， X(t)是连续性随机变量。
例 设Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…是相互独立同服从标准正态 分布的随机变量，则{Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…}为一随机
过程，其参数集T={…,-2,-1,0,1,2,…}，状态空间 S=(﹣∞,+∞)
2.3 随机过程的有限维分布函数族
例2.3.2 令X(t)=Acost,﹣∞<t<+∞,其中A是随机变量，其
分布律为 试求
P(A=i)= 1 , i=1,2,3 3
(1) 随机过程{X(t),﹣∞<t<+∞}的一维分布函数
(x)
2,
1 2
0,其他
x
0
时X( )Vcos V，故 X
(
)
的概率密度
1,1x0 fX()(x)0,其他
2.1 随机过程的定义
(3) 当t
2
时，X(2)Vcos20，不论V取何值,
均有 X ( ) 0，因此，P(X( )0)1，从而X ( ) 的
2
2
2
分布函数为
1,x0
F
X(
(x)
…
exp[
j(u1x(t1)
u2x(t2)
…
unx(tn))]dF(t1,t2,? ,tn;x1,x2,…,xn) ui∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,j= 1
为随机过程{X(t), t ∈T }的n维特征函数.
2.3 随机过程的有限维分布函数族
称 { ( t 1 , t 2 , … , t n ; u 1 , u 2 , … , u n ) , u i R , t i T , i 1 , 2 , … , n , n N }

第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。

在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。

将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。

其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。

参数T 一般表示时间或空间。

常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。

当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。