随机过程概论(经典)

第一章随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。

例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。

但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。

这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。

显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。

1.1 随机过程的基本概念及统计特性1.1.1 随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。

当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1t x ，也可能得到波形)(2t x ，)(3t x 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。

而这些所有可能的波形集合)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，…..，就构成了随机过程)(t X 。

图1.1 噪声电压的起伏波形1． 样本函数：)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，都是时间的函数，称为样本函数。

2． 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。

因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果ζ的函数，记为),(ζt X ，简写成)(t X 。

3．随机过程的定义：定义1把随机过程看成一族样本函数。

4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。

具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。

知识点总结第1章 概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。

其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：（1）∈Ω （2）若∈A ，则∈A（3）若∈n A ，，， ,21n =则∈∞= 1n nA那么称为一事件域，也称为σ域.显然，如果是一事件域，那么（1）∈φ（2）若∈B A ,，则∈-B A（3）若∈n A ， ∞==1n n 2,1n A ，则，，定义 1.1.2 设Ω是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(⋅P 如果满足：（1）∈∀A 0)(,≥A P ，（2）1)(=ΩP ， （3）若∈n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则∞=∞=∑=11)()(n n n n A P A P那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω),P 为概率空间。

关于事件的概率具有如下性质：（1）;0)(=φP（2）若∈nA ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则ni ni i i A P A P 11)()(==∑=（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则（6）若∈A );(1)(,A P A P -=则（7）若∈n A ,,2,1, =n 则∞=∞=∑≤11)()(n n n i A P A P（8）若∈i A ,,,2,1,n i =则-===∑ ni ni i i A P A P 11)()(∑∑≤<≤≤<<≤--+-+nj i nk j i n n kj ij i A A A P A A A P A A P 11211)()1()()(一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果,2,1,1=⊃+n A A n n .定理1.1.1 设 ∈n A ,2,1,=n（1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P （2）若 ,2,1,=n A n 是单调递减的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P 定义1.1.3.设,(Ω),P 为一概率空间，∈B A ,.且,0)(>A P 则称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)|(A P ⋅符合定义1.1.2中的三个条件，即 （1）∈∀B , 0)|(≥A B P ；（2）;1)|(=ΩA P （3）设∈n B ,,2,1,,,,2,1, =≠==j j i B B n j i φ则∞=∞=∑=11)|()|(n n n n A B P A B P定理 1.1.2. 设，Ω( ),P 是一概率空间，有： （1）（乘法公式）若∈i A ，,,,2,1n i =且0)(121>-n A A A P ，则)|()()(12121A A P A P A A A P n =(2)（全概率公式）设∈A ,∈iB ,,2,1,0)(, =>i B P i 且∞=⊃=≠=1,,,2,1,,,,i i j i A B j i j i B B φ则∑∞==1)|()()(i i i B A P B P A P（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且∈A ∈>i B A P ,0)(,，,,2,1,0)( =>i B P i且 ∞=⊃==1,,,2,1,,i i j i A B j i B B φ则,2,1,)|()()|()()|(1==∑∞=i B A P B P B A P B P A B P j jji i i定义 1.1.4设,(Ω ),P 为一概率空间，,,,2,1,n i F A i =∈如果对于任意的)1(n k k ≤<及任意的,12n i i i k i ≤<<<≤ 有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =则称n 21,,,A A A 相互独立。

第2章 随机信号的基本概念 作业
2-1、已知随机信号()0cos X t A t ω=，其中0ω 为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。

求00
0,,32t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度。

2-2、已知随机信号()X
t A Bt =+，其中,A B 皆为已知的随机变量。

①求随机信号()X t 的期望()E X t ⎡⎤⎣⎦和自相关函数()12,X R t t ；②若已知随机变量,A B 相互独立，试用,A B 的概率密度()A f a 和()B f b 来表示()X t 的一维概率密度();X f x t 。

2-3、两个随机信号()()0sin X
t t ω=+Φ与()()0cos Y t t ω=+Φ，其中0ω为常数，随机变量Φ服从[]0,2π的均匀分布；试求：
①两个随机信号的互相关函数()12,XY
R t t ； ②讨论两个随机信号的正交的条件，并且判定正交条件下它们的互不相关性与统计独立性。

2-4、设随机信号()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，,A B 是两个
线性无关的高斯随机变量，且期望都为0，方差为2σ，求()X
t 的一维概率密度函数。

第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。

在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。

将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。

其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。

参数T 一般表示时间或空间。

常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。

当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。