稳恒磁场知识点复习

41 磁 学基本内容一、稳恒磁场 磁感应强度1． 稳恒磁场电流、运动电荷、永久磁体在周围空间激发磁场。

稳恒磁场是指不随时间变化的磁场。

稳恒电流激发的磁场是一种稳恒磁场。

2． 物质磁性的电本质无论是永磁体还是导线中的电流，它们的磁效应的根源都是电荷的运动。

因此，磁场是运动电荷的场。

3． 磁感应强度磁感应强度B是描述磁场的基本物理量，它的作用与E 在描述电场时的作用相当。

磁场对处于其中的载流导线、运动电荷、载流线圈、永久磁体有力及力矩的作用。

可以根据这些作用确定一点处磁场的强弱和方向——磁感应强度B。

带电q 的正点电荷在磁场中以速度v运动，若在某点不受磁力，则该点磁感应强度B 的方向必与电荷通过该点的速度v平行。

当该电荷以垂直于磁感应强度B 通过该点时受磁力⊥F ，则该点磁感应强度大小qvF B ⊥=，且⊥F ，v ，B两两互相垂直并构成右手系。

二、毕奥—萨伐尔定律 运动电荷的磁场1． 磁场的叠加原理空间一点的磁感强度等于各电流单独存在时在该点产生磁感应强度的矢量和：∑=ii B B 可推广为 ⎰=B d B42B d是电流强度有限而长度无限小的电流元l d I 或电流强度无限小而空间大小不是无限小的元电流的磁场。

上式中矢量号一般不能略去，只有当各电流产生磁场方向相同时，才能去掉矢量号。

2． 毕奥—萨伐尔定律电流元l d I 在空间一点产生的磁场B d为： 304rr l d I B d πμ⨯= 大小： 02I sin(I ,r)dB 4r dl dl μπ∠=方向：B d 垂直于电流元l d I 与r 所形成的平面，且B d与l d I 、r构成右手螺旋。

3． 电流与运动电荷的关系导体中电荷定向运动形成电流，设导体截面积为S ，单位体积载流子数为n 。

每个载流子带电q ，定向运动速率为v ，则nqvS I =。

电量为q 的带电体作半径为R 、周期为T 的匀速圆周运动相当于半径为R 、电流强度T q I /=的圆电流，具有磁矩TqR I R p m 22ππ==。

恒定磁场一、基本要求1、了解电流密度的概念。

2、掌握磁感应强度的概念及毕奥—萨伐尔定律，能利用叠加原理结合对称性分析，计算一些简单问题中的磁感应强度。

3、理解稳恒磁场的两个基本规律：磁高斯定理和安培环路定理。

掌握应用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法，并能熟练应用。

4、掌握洛伦兹力公式，能分析运动电荷在磁场中的受力和运动。

掌握安培力公式，理解磁矩的概念，能计算简单几何形状的载流导线和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。

二、主要内容 1、稳恒电流电流：电荷的定向运动。

电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量，即dtdq I =。

电流密度)(δ：通过与该点的电荷移动方向相垂直的单位面积的电流强度，方向与该点的正电荷移动方向一致。

电流密度是描述电流分布细节的物理量，单位是2/m A 。

电流强度⎰⋅=SS d Iδ。

2、磁场在运动的电荷（电流）周围，除了形成电场外，还形成磁场。

磁场的基本性质之一是它对置于其中的运动电荷或电流有作用力。

和电场一样，磁场也是一种物质。

3、磁感应强度磁感应强度B是描述磁场性质的物理量。

当电荷在磁场中沿不同方向运动时，磁场对它的作用力不同，沿某方向运动时不受力，与该方向垂直运动时受力最大，定义B 的方向与该方向平行，由v q F⨯max 决定。

B 的大小定义为qvF B max=。

如右图所示。

B 的单位为T （特斯拉）。

4、毕奥—萨伐尔定律电流元：电流元l Id是矢量，其大小等于电流I 与导线元长度dl 的乘机，方向沿电流方向。

毕奥—萨伐尔定律：电流元l Id 在P 点产生的磁感应强度为 30r rl Id B d⨯=μ式中0μ为真空磁导率，A m T /10470⋅⨯=-πμ，r由电流元所在处到P 点的矢量。

运动电荷的磁场：304rrqv B πμ ⨯= 本章判断磁场方向的方法与高中所学方法相同。

几种特殊形状载流导线的磁场()012 cos cos 4I B aμθθπ=- a I B πμ20= a I B πμ40= )1(cos 40+=θπμa IB0=B5、磁场的高斯定理磁感应线：磁感应线为一些有向曲线，其上各店的切线方向为该点的磁感应强度方向，磁感应线是闭合曲线。

稳恒磁场小结1、磁感应强度 B 描写磁场大小和方向的物理量2、磁通量mΦ：穿过某一曲面的磁力线根数。

定义：θφcos ⋅⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰S B S B d d ss m单位：韦伯， Wb nˆ NIS S NI P m == 3、磁矩m ：描写线圈性质的物理量。

定义：单位：安培·米2方向：与电流满足右手定则。

一、基本概念n I二、磁感应强度B的计算20ˆ4rr l d I B d ⨯=πμ1）载流直导线的磁场aI B πμ20=)cos (cos 4210θθπμ-=aI B 无限长直导线的磁场1 利用毕萨定律求B PlId rθB1θIa P2θ二、磁感应强度B的计算20ˆ4rr l d I B d ⨯=πμ2）圆电流轴线上的磁场232220)(2x R R I B +=μ在圆弧电流圆心处：πθμ220R I B =在圆电流圆心处：RI B 20μ=1利用毕萨定律求B IB⊗θI⊗B l I d ROPxBiLI 1I 2I 3∑-=12I I Ii应用：分析磁场对称性；选定适当的安培环路。

各电流的正、负:I 与L呈右手螺旋时为正值；反之为负值。

⎰∑=⋅LIl d B 0μ2 利用安培环路定理计算磁场 B⎰∑=⋅LI l d B 0μ 1）、密绕长直螺线管内部nIB 0μ=rIN B πμ20=2） 螺绕环内部3）圆柱载流导体内部r < R 区域圆柱载流导体外一点r > R 区域r R IB 202πμ=rI B πμ20=4）圆柱面载流导体内部r < R 区域圆柱载流导体外一点r > R 区域I B μ0==B20 ˆ4rr v q B ⨯= πμ3 运动电荷的磁场Pqv+rθ大小 20 sin 4rv q B θπμ=三、两个重要定理1、磁场中的高斯定理0=⋅=Φ⎰⎰S m S d B2、磁场中的环路定理⎰∑=⋅LIl d B 0μ（1）磁场是“无源场”。

1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。

磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。

8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。

(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。

10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。

12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。

推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。

大学物理 恒定电流稳恒磁场知识点总结1. 电流强度和电流密度 电流强度：单位时间内通过导体截面的电荷量 （电流强度是标量，可正可负）；电流密度：电流密度是矢量，其方向决定于该点的场强E 的方向（正电荷流动的方向），其大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度dQ I dt =， dIj e dS= ， S I j dS =⎰⎰ 2. 电流的连续性方程和恒定电流条件 电流的连续性方程：流出闭合曲面的电流等于单位时间闭合曲面内电量增量的负值（其实质是电荷守恒定律）dqj dS dt=-⎰⎰ ， （ j tρ∂∇=-∂ ）； 恒定电流条件： 0j dS =⎰⎰ ， （ 0j ∇= ） 3. 欧姆定律及其微分形式： UI R=， j E σ=， ，焦耳定律及其微分形式： 2Q A I Rt == 2p E σ= 4. 电动势的定义：单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功AK dl q ε+-==⎰ ， K dl ε=⎰5. 磁感应强度：是描述磁场的物理量，是矢量，其大小为0sin FB q v θ=，式中F 是运动电荷0q 所受洛伦兹力，其方向由 0F q v B =⨯决定 磁感应线：为了形象地表示磁场在空间的分布，引入一族曲线，曲线的切向表示磁场的方向，密度是磁感应强度的大小；磁通量：sB dS φ=⎰⎰ （可形象地看成是穿过曲面磁感应线的条数）6．毕奥一萨伐尔定律： 034Idl r dB r μπ⨯=34L Idl rB r μπ⨯=⎰7．磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理： 0SB dS =⎰⎰、 （ 0B ∇= ） （表明磁场是无源场）安培环路定理：0i LiB dl I μ=∑⎰、LSB dl j dS =⎰⎰⎰ 、(0B j μ∇⨯=)（安培环路定理表明磁场是有旋场）8．安培定律： dF Idl B =⨯ 、L F Idl B =⨯⎰磁场对载流线圈的作用: M m B =⨯ (m 是载流线圈的磁矩m IS =)9．洛伦兹力：运动电荷所受磁场的作用力称为洛伦兹力f qv B =⨯带电粒子在匀强磁场中的运动：运动电荷在匀强磁场中作螺旋运动，运动半径为mv R qB⊥=、周期为 2m T qB π= 、螺距为 2mv h v T qB π==霍尔效应 ： 12HIBV V K h-= 式中H K 称为霍尔系数，可正可负，为正时表明正电荷导电，为负时表明负电荷导电 1H K nq=10．磁化强度 磁场强度 磁化电流 磁介质中的安培环路定理mM τ∑=∆ 、 LL M dl I =∑⎰，内、n i M e =⨯， 0BH M μ=- 、m M H χ= 、 00m r B H H μχμμμ==（1+）H=、 0i LiH dl I =∑⎰、LSH dl j dS =⎰⎰⎰。

第三章稳恒磁场一、 填空题 1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a μ=-< (柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流L A dl ⋅⎰ 表示（ ）.4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A 的解析表达式（ ）5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.6、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.7、 电流体系()J x ' 的磁矩等于（ ）.8、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A 的解析表达式（ ）.二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A ⋅21C. H B ⋅D. J A ⋅ 2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A3、 引入磁场的矢势的依据是A.0=⨯∇H ;B.0=⋅∇H ;C.0=⨯∇B ;D. 0=⋅∇B4、 电流J 处于电流e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为e A ,则它们的相互作用能为A. e V A Jdv ⋅⎰B. 12e V A Jdv ⋅⎰C. e e V A J dv ⋅⎰D. VA Jdv ⋅⎰ 5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度;C. A 的散度始终为零;6、 磁偶极子的矢势 A 和标势ϕm 分别等于 A. 330,44ϕπμπ⨯⋅== m R m R A R R B. 033,44μϕππ⋅⨯== m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅== m R m R A R R7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯= .三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？2、 判定下述说法的正确性，并说明理由：（1） 不同的矢势，描述不同的磁场；（2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；（3） 0B = 的区域，A 也为零。

第六章稳恒磁场
1、主要的概念：电流强度，磁感应强度，电流元，磁感应线，磁通量，磁化和磁介质。

2、主要的了解定律：磁场叠加原理，毕奥—萨伐尔定律（推导一些特殊载流导线和运动电荷的B），磁场中的高斯定律，安培环路定律。

（了解定理的导出以及其重要的物理意义）
3、主要计算：利用毕奥—萨伐尔定律、安培环路定理计算一些特殊载流导线产生的磁感应强度；安培力和洛伦兹力的计算；磁介质中的磁化，以及应用介质中的安培环路定理计算磁场强度矢量（H）和磁感应强度（B）。

4、重点内容：毕奥—萨伐尔定律、安培环路定理、磁场力、力矩；磁介质的磁化、介质中的安培环路定理。

2．磁场方程： 磁场高斯定理：
（表明磁场是无源场）
（表明磁场是有旋场）
掌握推导过程
*通过霍尔电压可以求得磁场和电流大小。

6. 均匀磁化的B 、H 、M 关系及表面磁化电流密度与磁化强度的关系
）
（M H B 0 +=μ H M m χ= m r 1χμ+=
B 代表 H 代表 M 代表
—
——m r 0χμμ 4.载流线圈的磁矩 3.电磁相互作用 B
l Id f d ⨯=2)磁场对载流导线的安培力
⎰⨯=l
B
l Id f 3)磁场对载流线圈的作用力矩 B
m M
⨯=4)5.霍耳电压
1)安培定律。

Ⅱ 内容提要一.磁感强度B 的定义用试验线圈(P m )在磁场中受磁力矩定义：大小 B=M max /p m ，方向 试验线圈稳定平衡时p m 的方向.二.毕奥—沙伐尔定律1.电流元I d l 激发磁场的磁感强度d B =[μ0 /( 4π)]I d l ×r /r 3三.磁场的高斯定理1.磁感线(略)；2.磁通量 Φm =S d ⋅⎰B S3.高斯定理 d 0⋅=⎰S B S 稳恒磁场是无源场.四.安培环路定理真空中0d i l I μ⋅=∑⎰ B l介质中 0d i l I ⋅=∑⎰ H l稳恒磁场是非保守场,是涡旋场或有旋场.五.磁矩 P m ：1.定义 p m = I ⎰S d S3. 载流线圈在均匀磁场中受力矩M= p m ×B六.洛伦兹力1.表达式 F m = q v ×B (狭义)F = q (E ＋v ×B ) (广义)2.带电粒子在均匀磁场中运动：回旋半径R=mv sinα/(qB)回旋周期T=2πm /(qB)回旋频率ν= qB /(2πm)螺距d=2π mv cosα/(qB)七.安培力1. 表达式d F m= I d l ×B；八.介质的磁化3. 磁场强度矢量各向同性介质B=μ0μr H=μH九.几种特殊电流的磁场：1.长直电流激发磁场有限长B=μ0 I (cosθ1－cosθ2) / (4πr) 无限长B=μ0I / (2πr)方向都沿切向且与电流成右手螺旋；2.园电流在轴线上激发磁场B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]中心B=μ0I/(2R )张角α的园弧电流中心的磁感强度B=[μ0I/(2R )]⋅[α/(2π)]方向都沿轴向且与电流成右手螺旋；3.无限长密饶载流螺线管激发的磁场管内B=μ0nI管外B=04.密绕载流螺饶环环内磁场B=μ0NI //(2πr)5.无限大均匀平面电流激发磁场B=μ0 j/26.无限长均匀圆柱面电流激发磁场：柱面内B=0,柱面外B=μ0I /(2πr)7.无限长均匀圆柱体电流激发磁场：柱内B=μ0Ir/(2πR2)柱外B=μ0I /(2πr)1.半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为ω，求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=σ2πrdr,[σ=Q/(πR 2) ],等效电流元为dI=dQ/T=σ2πrdr/(2π/ω)=σωrdr(1)求磁场, 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与ω同向, 大小为dB=μ0dIr 2/[2(x 2+r 2)3/2]=μ0σωr 3dr/[2(x 2+r 2)3/2]()()()2223003/232222200d d 42R Rr r x r r B r x r x μσωμσω+==++⎰⎰ =()()()2222032220d 4R r x r x r x μσω+++⎰ =()()222032220d 4Rx r x r x μσω++⎰ =222022002R R x r x r x μσω⎛⎫ ⎪++ ⎪+⎝⎭=220222222Q R x x R R x μωπ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭(2)求磁距. 电流元的磁矩dP m =dI S=σωrdr πr 2=πσωr 2dr30Rm P r dr πσω=⎰=π σ ωR 4/4=ω QR 2/41、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流. 设圆柱体内(r < R)的磁感强度感强度为B2，则有：(A 为B1，圆柱体外(r >R)的磁) B1、B2均与r 成正比.(B) B1、B2均与r 成反比.(C) B1与r 成正比, B2与r 成反比.(D) B1与r 成反比, B2与r 成正比.【C 】3. 在图12.1(a)和12.1(b)中各有一半径相同的圆形回路L1和L2，圆周内有电流I 2和I 2，其图12.1∙ ∙ ∙ P 1 I 1 I 2 L 1 (a ) I 3 L 2P 2 ∙ ∙ ∙ I 1 I 2 ∙(b )分布相同，且均在真空中，但在图12.1(b ）中，L2回路外有电流I 3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：(A) 1 d L ⋅⎰B l =2 d L ⋅⎰ B l , 12P P =B B . (B) 1 d L ⋅⎰B l ≠2 d L ⋅⎰ B l , 12P P =B B . (C) 1 d L ⋅⎰ B l =2 d L ⋅⎰ B l ， 12P P ≠B B . (D) 1 d L ⋅⎰ B l ≠2d L ⋅⎰ B l , 12P P ≠B B . 【C 】.5. 如图12.3,在一圆形电流I 所在的平面内,选取一个同心圆形闭合回路L,则由安培环路定理可知(A) d 0 L ⋅=⎰ B l , 且环路上任意点B ≠0.(B) d 0 L ⋅=⎰ B l , 且环路上任意点B=0.(C) d 0 L ⋅≠⎰ B l , 且环路上任意点B ≠0.(D) d 0 L ⋅≠⎰ B l , 且环路上任意点B=0. I LO 图12.2【A 】6. 三条无限长直导线等距地并排安放, 导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1A 、2A 、3A 同方向的电流,由于磁相互作用的结果,导线单位长度上分别受力F1、F2和F3，如图13.2所示，则F1与F2的比值是：(A) 7/8. (B)5/8.(C) 7/18. (D)5/4.【A 】二、填空题1. 如图13.3所示, 在真空中有一半径为R 的3/4圆弧形的导线, 其中通以稳恒电流I, 导线置于均匀外磁场中,且B 与导线所在平面平行.则该载流导 O O B I cb R a 图13.3R Ⅲ Ⅱ Ⅰ F3 F 2 F 1 3A 2A 1A 图13.2线所受的大小为 BIR .2. 磁场中某点磁感强度的大小为2.0Wb/m 2,在该点一圆形试验线圈所受的磁力矩为最大磁力矩 6.28×10-6m ⋅N,如果通过的电流为10mA,则可知线圈的半径为 10－2m, 这时线圈平面法线方向与该处磁场方向的夹角为 π/2 m M P B =⨯ .3. 一半圆形闭合线圈, 半径R = 0.2m , 通过电流I =5A , 放在均匀磁场中. 磁场方向与线圈平面平行, 如图13.4所示. 磁感应强度B = 0.5T. 则线圈所受到磁力矩为 0.157N·m .三、计算题1. 如图13.5所示，半径为R 的半圆线圈 ACD 通有电流I 2, 置于电流为I 1的无限长直线 电流的磁场中, 直线电流I 1 恰过半圆的直径, 两导线相互绝缘. 求半圆线圈受到长直线电流 I 1的磁力. RI B 图13.4 C D I 1 I 2A 图13.5解：在圆环上取微元I2dl= I2Rdθ该处磁场为B=μ0I1/(2πRcosθ)I2dl与B垂直,有dF= I2dl B sin(π/2) dF=μ0I1I2dθ/(2πcosθ)dFx=dFcosθ=μ0I1I2dθ /(2π)dFy=dFsinθ=μ0I1I2sinθdθ /(2πcosθ) 201222x I I dFππμθπ-=⎰=μ0I1I2/2因对称Fy=0.故F=μ0I1I2/2 方向向右.。