2019-2020江苏省徐州市睢宁县古邳中学高一下学期期中考试数学试卷

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°的值为（ ）
A. 32-
B. 32
C. 12-
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦公式求得答案.
【详解】解：sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°＝sin （45°+15°）＝sin 60°3=
， 故选：B.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属基础题.
2.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BD 与1B C 是（ ）
A. 相交直线
B. 平行直线
C. 异面直线
D. 相交且垂直的直线
【答案】C
【解析】
【分析】 根据异面直线的概念可判断出1BD 与1B C 是异面直线.
【详解】由图形可知，1BD 与1B C 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故选：C.
【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，熟悉异面直线的概念是判断的关键，属于。

江苏省徐州市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°的值为（ ） A. 3-B.3 C. 12-D.12【答案】B利用两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】解：sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°＝sin （45°+15°）＝sin 60°32=， 故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属基础题. 2.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BD 与1B C 是（ ） A. 相交直线 B. 平行直线C. 异面直线D. 相交且垂直的直线【答案】C根据异面直线的概念可判断出1BD 与1B C 是异面直线.【详解】由图形可知，1BD 与1B C 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：C.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，熟悉异面直线的概念是判断的关键，属于基础题.3.已知：α，β均为锐角，ta nα12=，tanβ13=，则α+β＝（ ） A.6π B. 4π C. 3πD.512π【答案】B直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果. 【详解】解：由于α，β均为锐角，tanα12=，tanβ13=，所以022ππαβπ++=＜＜.所以()112311116tan tan tan tan tan αβαβαβ+++===--. 所以4παβ+=.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.4.在△ABC 中，已知a ＝6，b ＝8，C ＝60°，则△ABC 的面积为（ ） A. 24D. 12【答案】B由已知利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：∵a ＝6，b ＝8，C ＝60°， ∴△ABC 的面积S 12=absinC 16822=⨯⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的应用，属于基础题. 5.若(),0,αβπ∈，12cos 213βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2αβ+=（ ） A.3365B. 3365-C.6365D. 6365-【答案】C先由(),0,αβπ∈，可得(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈-，结合cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈，继而得到5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转化sin sin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意(),0,αβπ∈，故,0,,222αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈- 又cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭故(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈5sin 213βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3cos 25αβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭则sinsin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63sin cos cos sin 222265βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形【答案】A直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ， 整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ， 故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 7.若tanα＝2，则2cos 2α+sin 2α＝（ ） A.34B.53C.76D.65【答案】D利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解. 【详解】解：∵tanα＝2，∴2cos 2α+sin 2α22222cos sin cos sin cos ααααα+=+ 222222261215tan tan αα++⨯===++.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题.8.如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，若PC ∥平面BDF ，则λ的值为（ ）A. 1B.32C. 3D. 2【答案】A连结AC ，交BD 于O ，连结OF ，则AO ＝OC ，再由点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，PC ∥平面BDF ，能求出OF ∥PC ，【详解】解：连结AC ，交BD 于O ，连结OF∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，∴AO ＝OC ， ∵点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，PC ∥平面BDF ， ∴OF ∥PC ，∴λ＝1. 故选：A.【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. ） A. 2sin 15°cos 15°B. ()1152115tan tan +︒-︒C. 1﹣2sin 215°D.2315115tan tan ︒-︒【答案】BCD利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案. 【详解】解：对于选项A ，2sin 15°cos 15°＝sin 3012︒=；对于选项B ，()()()1154515114515602115214515222tan tan tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒；对于选项C ，1﹣2sin 215°＝cos 30︒=对于选项D ，223153215330115211522tan tan tan tan tan ︒︒=⋅=⋅︒=-︒-︒.∴值为2的是BCD. 故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题. 10.根据下列条件解三角形，有两解的有（ ）A. 已知a =b ＝2，B ＝45°B. 已知a ＝2，b =A ＝45°C. 已知b ＝3，c =C ＝60°D. 已知a ＝，c ＝4，A ＝45°【答案】BD直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：对于选项A ：由于a =b ＝2，B ＝45°，利用正弦定理a bsinA sinB=，解得sinA 12=，由于a ＜b ，所以A 6π=，所以三角形有唯一解. 对于选项B ：已知a ＝2，b =A ＝45°，利用正弦定理a b sinA sinB =，解得sin B =,又b a >,则3B π=或23π，故三角形有两解. 对于选项C ：已知b ＝3，c =C ＝60°，所以利用正弦定理c bsinC sinB=，所以sinB ＝1.5＞1，故三角形无解.对于选项D ：已知a ＝，c ＝4，A ＝45°，由于a ＞csinA ，即以顶点B 为圆心,a 为半径的圆与AC 射线有两个不同交点，故三角形有两解. 故选：BD .【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( ) A. ,,,E F G H 一定是各边的中点 B. ,G H 一定是,CD DA的中点C. ::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D. 四边形EFGH 是平行四边形或梯形 【答案】CD根据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD .【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.在ABC 中，120C =︒，tan tan A B +=是( ) A. 2A B C += B. ()tan A B +=C. tan tan A B =D. cos B A =【答案】CD根据三角形内角和定理可得60A B +=︒，可得()tan A B +=∴选项A ，B 错误；再根据已知条件和两角和的正切公式可得tan tan A B ==，故选项C ，D 正确. 【详解】120C ︒=，60AB ∴+=︒，()2A B C ∴+=，()tan A B ∴+=∴选项A ，B 错误；)tan tan 1tan tan A B A B +=-⋅=1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=②， ∴联立①②解得tan tan A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确: 故选：CD.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，考查了两角和的正切公式，属于基础题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知α为第二象限的角，sinα45=，则tan 2α＝_____. 【答案】247由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解. 【详解】解：∵α为第二象限的角，且sinα45=， ∴cosα35==-，得tan 43sin cos ααα==-.∴tan 2α282243161719tan tan αα-===--. 故答案为：247. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角的正切，是基础题.14.如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为_____.【答案】60°以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与B 1D 1所成的角.【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则E （0，1，2），F （0，2，1），B 1（2，2，2），D 1（0，0，2）， EF =（0，1，﹣1），11B D =（﹣2，﹣2，0）， 设异面直线EF 与B 1D 1所成的角θ， 则cosθ11111228EF B D EF B D ⋅===⋅， ∴θ＝60°. 故答案为：60°. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.15.ABC的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =_______________. 【答案】4π 根据余弦定理和ABC 的面积公式可求角C .【详解】由余弦定理2222cos c a bab C =+-，可得ABC 的面积2222cos 1cos 442a b c ab C ab C +-==，又ABC 的面积in 12s S ab C =， 11sin cos ,sin cos 22ab C ab C C C ，又0,,4CCππ.故答案为：4π. 【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题. 16.已知：51212ππα-＜＜，cos （α12π+）35=，则cos （α4π-）＝_____.【答案】310首先利用已知条件求出12πα+的范围，进一步求出4125sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后利用角的恒等变换的应用求出结果. 【详解】解：由已知51212ππα-＜＜，则0122ππα+＜＜， 由于cos （α12+π）35=，故4125sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.则cos （α4π-）＝cos [（12πα+）3π-]314123123525cos cos sin sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角和差角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 四、解答题（共6小题，满分70分）17.△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ＝acosC. （1）求角C 的大小；（2）若b =c =，求a .【答案】（1）6C π=（2）a 32+=（1）由正弦定理a csinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，即可得出.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，代入化简即可得出. 【详解】解（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，cosC =∵0＜C ＜π，∴sinC ≠0，故cosC ≠0∴tanC =又0＜C ＜π， ∴6C π=.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，得2=a 22+-acos 6π，即a 2﹣3a ﹣8＝0，解得a = 又a ＞0，∴a =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知函数f （x ）＝cos 2x +sinxcosx 12-. （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若x ∈[24π，724π]，求函数f （x ）的取值范围.【答案】（1）π（2）42⎣⎦， （1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论. （2）由题意利用正弦函数函数的定义域和值域，求得函数f （x ）的取值范围.【详解】解：（1）由题意可得，()12111122222222224cos x f x sin x sin x cos x sin x π+⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小正周期为T ＝π.（2）若x ∈[24π，724π]，则2x 4π+∈[3π，56π]， ∴12124sin x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴f （x ）的取值范围为42⎣⎦，. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域、值域，属于基础题.19.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点，M ，N 分别为A 1B 和A 1C 的中点.求证：（1）MN ∥平面ABC ；（2）EF ∥平面AA 1B 1B.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）推导出MN ∥BC ，由此能证明MN ∥平面ABC.（2）取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD.推导出四边形DEFB 是平行四边形，从而EF ∥BD ，由此能证明EF ∥平面AA 1B 1B.【详解】证明：（1）∵M 、N 分别是A 1B 和A 1C 中点.∴MN ∥BC ，又BC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，∴MN ∥平面ABC.（2）如图，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD.∵D 为A 1B 1中点，E 为A 1C 1中点，∴DE ∥B 1C 1且1112DE B C =， 在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是平行四边形， ∴BC ∥B 1C 1且BC ＝B 1C 1，∵F 是BC 的中点，∴BF ∥B 1C 1且1112BF B C =， ∴DE ∥BF 且DE ＝BF ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴EF ∥BD ，又BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ，∴EF ∥平面AA 1B 1B.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ=.（1）求tan （α+β）的值；（2）求2α﹣β的值.【答案】（1）139（2）4π- （1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果. （2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.【详解】解（1）∵()010cos ββπ=-∈，，∴sin β===，∴17sin tan cos βββ===-. ∴()1213721917tan tan tan tan tan αβαβαβ-++===-+. （2）由（1）知127tan tan αβ==-，，∴22222421123tan tan tan ααα⨯===---. ∴()41237214112137tan tan tan tan tan αβαβαβ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭-===-+⋅⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵tanα＝2，α∈（0，π）， ∴02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∵()10072tan πββπβπ⎛⎫=-∈∴∈ ⎪⎝⎭＜，且，，， ∴22παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∵tan （2α﹣β）＝﹣1 ∴24παβ-=-.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换同角三角函数关系式的变换，和（差）角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 21.如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠CAB ＝60°，∠BCD ＝120°，AC ＝2.（1）若∠ABC ＝30°，求DC ；（2）记∠ABC ＝θ，当θ为何值时，△BCD 的面积有最小值？求出最小值.【答案】（1）233CD =（2）θ＝75°时，面积取最小值633-. （1）由题意可求∠ADC ＝120°，在△ACD 中，可得∠CAD ＝90°﹣60°＝30°，∠ADC ＝120°，进而由正弦定理解得CD 的值.（2）由题意可得可得∠CAD ＝30°，可求∠ADC ＝150°﹣θ，在△ADC 中，由正弦定理解得()1150DC sin θ=︒-，在△ABC 中解得3=BC ，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S △BCD ()3413260sin θ=-︒+，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）在四边形ABCD 中，因为AD ⊥AB ，∠BCD ＝120°，∠ABC ＝30°， 所以∠ADC ＝120°，在△ACD 中，可得∠CAD ＝90°﹣60°＝30°，∠ADC ＝120°，AC ＝2，由正弦定理得：CD AC sin CAD sin ADC∠∠=， 解得：23CD =. （2）因为∠CAB ＝60°，AD ⊥AB 可得∠CAD ＝30°，四边形内角和360°得∠ADC ＝150°﹣θ，∴在△ADC 中，由正弦定理得：()230150DC sin sin θ=︒︒-，解得：()1150DC sin θ=︒-， 在△ABC 中，由正弦定理得：260BC sin sin θ=︒，解得3sin θ=BC ， ∴S △BCD 11202DC BC sin =⋅⋅︒ ()314150sin sin θθ=⨯︒- 23413sin cos sin θθθ=⨯+ 3413322sin cos θθ=⨯-+ ()3413260sin θ=⨯-︒+， ∵0°＜θ＜150°，∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，∴当2θ﹣60°＝90°即θ＝75°时，S 取最小值为3633413⨯=-+.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.22.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14.（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=； （2）11223232S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=， 则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（131cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 146S S A ⎛+=--+ ⎝⎭，∴当A =时，2212S S +取到最大值14. 【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.。

参考答案1. A2. C3. B4. C5. A6. D7. A8. C9. ACD 10. ACD 11. BC 12．ACD13. 42 14. 3 15. π2 16. 3π17．解：（1）∵20πα<<，53sin =α， ∴54531sin 1cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα． ………………………………………2分 ∴1027225322544sin sin 4cos cos 4cos =⨯+⨯=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παπαπα． ……………5分 （2）2575321sin 212cos 22sin 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=+-=-=-ααπα）（． ……………10分 18. 证明：（1）∵四边形ABCD菱形，AC 与BD 相交于点O ，∴AO OC = 又∵E 是线段PC 的中点，∴PA //EO ． ………………………………………………………………2分 又∵PA ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ，∴PA //平面EBD ． ……………4分 （2）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ．∵底面ABCD 菱形，∴AC ⊥BD ． …………………………6分 又∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ,PA ⋂AC A =，∴BD ⊥平面PAC ． ……………………………………………………8分 又∵PC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥PC . ……………………………………………………10分19.解：1cos 211()22cos 2222x f x x x x ωωωω-=+-=-sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………………………6分（1）∵22T ππω==,∴1ω=． ………………………………………8分 （2）∵()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当266x ππ-=即6x π=时max 1()sin 662f x f ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ……………12分20．解（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221722a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.……2分 ∵5a=3c ， ∴2223317()2552c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. ∴5c =. ……………………………………………………4分（2）在ABC △中，0B π<<,由1cos 2B =-，得sin 2B ==. ……6分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin c C B b ==. …………………………8分 在ABC △中，由1cos 02B =-<，得∠B 是钝角， ∴∠C 为锐角.∴11cos 14C ===. …………………………10分∴111sin()sin cos cos sin 142B C B C B C +=+=-=分 21．解（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-，故由正弦定理得 222b c a bc +-=-． ……………2分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-． …………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=． ………………………………………6分（2）．∵ABC △的面积为2，∴1sin 22bc A =，∴2bc =． ……………8分 ∴由余弦定理得：22222222cos ()327a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-=-=．∴a = ……………………………………………………12分 22.解（1）在线段AB 上存在点D ，当1AD DB=时，1AC //平面1B CD ．……………2分证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又当1AD DB =，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE //1AC ， …………………………4分 ∵DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1AC //平面1B CD . ……………………………………………………6分 （2）过B 作1BP DB ⊥并交1DB 于点P ，又∵平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面11CDB DB =，∴1BP CDB ⊥平面. ……………………………………………………10分 又∵1CD CDB ⊂平面，∴CD BP ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥平面，CD ABC ⊂平面，∴1CD BB ⊥. ……………………………………………………12分 又∵111BB ABB A ⊂平面，11BP ABB A ⊂平面，1BB BP B ⋂=，∴11CD ABB A ⊥平面.又∵11AB ABB A ⊂平面，∴CD B A ⊥. ……………………………………………………14分。

2019-2020学年徐州市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l′的倾斜角不可能为( )A. θB. π2−θC. π−θD. 3π2−θ2. 正方体的全面积为24，它的顶点都在球面上，则这个球的体积是( )A. 12πB. 4√3πC. 4πD. 4π3 3. 若直线2tx +3y +2=0与直线x +6ty −2=0平行，则实数t 等于( )A. 12或−12B. 12C. −12D. 14 4. 在△ABC 中A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( )A. sinA >sinBB. cosA <cosBC. sin2A >sin2BD. cos2A <cos2B5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为( )A. 7+√2,3B. 8+√2,3C. 7+√2,32D. 8+√2,326. 已知直线l 1：ax +y +2a =0，l 2：(2a +1)x +ay +a =0互相垂直，则实数a =( ) A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−1 7. 在△ABC 中，若b cosB =c cosC ，则△ABC 形状一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 任意三角形8. 若命题“存在x ∈R ，使x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A. a >3或a <−1B. a ≥3或a ≤−1C. −1<a <3D. −1≤a ≤39. 把一个圆锥的侧面展开后它恰好是半径为的半圆，则此圆锥的体积为A.B. C. D. 10. 设1+tanx 1−tanx =2，则sin2x 的值是( )A. 35B. −34C. 34D. −111.平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(−2,0)，B(2,0)，λ=12，则此阿波尼斯圆的方程为()A. x2+y2−12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2−203x+4=0 D. x2+y2+203x+4=012.如果函数f(x)=sinωx+√3cosωx的两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(9)的值为()A. 1B. −1C. √3D. −√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过P(2,0)且与直线x−2y+3=0平行的直线方程为______ ．14.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，一丈等于十尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约为______ 斛．【注】这里说明的“圆窖”就是就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”15.如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，则AC=______．16.在中，，，则；若点为内一动点，且，的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知以点P为圆心的圆经过点A(−1,1)和B(2,0)，线段AB的垂直平分线交该圆于C、D两点，且|CD|=10(Ⅰ)求直线CD的方程；(Ⅱ)求圆P的方程．18.设平面ABCD⊥平面ABEF，AB//CD，AB//EF，∠BAF=∠ABC=90°，BC=CD=AF=EF=1，AB=2．(Ⅰ)证明：CE//平面ADF；(Ⅱ)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．19.求值．(1)cos(−585°)sin495∘+sin(−570∘)；(2)tan(−356π)sin(−463π)−cos37π6tan55π6．20.如图1，梯形ABCD中，AB//CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE−BCF，如图2．(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(2)在(1)的条件下，若DE//CF，求二面角D−AF−C的余弦值．21.已知向量m⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(sinx,cosx)，n⃗⃗⃗⃗ =(cosx,√3cosx)，函数f(x)=2m⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且f(C)=2√3，a+b=4，c=√13，求2SΔABC的值．22.现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A、B两名运动员是甲队队员，C是乙队队员，A在B的正东方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14√3m.现A沿北偏西60°方向水平传球，球速为10√3m/s，同时B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同时也以10m/s的速度前去截球．假设球与B、C都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．(1)若C沿南偏西60°方向前去截球，试判断B能否接到球？请说明理由(2)若C改变(1)的方向前去截球，试判断C能否截球成功？请说明理由【答案与解析】1.答案：C解析：解：设直线l′的倾斜角为α，则α，θ∈[0,π)，直线l和直线l′关于直线y=x对称，则也关于y=−x对称，故α+θ=π2或3π2，当θ=π4,α=π4=θ，故选项A正确；当θ=0,α=π2=π2−θ，故选项B正确；当θ=3π2,α=5π6=3π2−θ，故选项D正确．故选：C．利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐一分析判断即可．本题考查了直线关于直线的对称性问题，涉及了倾斜角的理解和应用，属于中档题．2.答案：B解析：解：由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．正方体的全面积为24，则设正方体的边长为a，即有6a2=24，解得a=2，设球的半径为R，则2R=2√3，解得，R=√3，则有球的体积为V=43πR3=43π×3√3=4√3π．故选B．由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．运用正方体的表面积公式，求得边长，再求出正方体的对角线长即为球的直径，得到半径，再由球的体积公式计算即可得到．本题考查正方体的外接球的体积，考查正方体与球的关系，注意运用球的直径即为正方体的对角线，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵直线2tx+3y+2=0与直线x+6ty−2=0平行，∴2t1=36t≠2−2(t≠0)，解之得t=12(舍−12)故选：B给出两条直线方程的一般式，它们互相平行的充要条件是x的系数之比等于y的系数之比，且不等于常数项的比．由此建立关于t的方程，解之即可得到实数t的值．本题给出两条直线互相垂直，求参数t之值，着重考查了平面直角坐标系中两条直线互相垂直的充要条件的知识，属于基础题．4.答案：C解析：解：在三角形中大角对大边，∵A>B，∴a>b，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而a=2RsinA，b=2RsinB，∴2RsinA>2RsinB，∴sinA>sinB.∴选项A正确．y=cosx在(0,π)上是减函数，∵0<A<π，0<B<π，且A>B，∴cosA<cosB.∴选项B正确．取A=60°，B=45°，则sin2A=sin120°=√32，sin2B=sin90°=1，有sin2A<sin2B，∴选项C 不一定正确．∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sinC，∵0<A−B<π，∴sin(A−B)>0，又sinC>0，∴cos2A−cos2B=−2sin(A+B)sin(A−B)=−2sinCsin(A−B)<0，∴cos2A<cos2B.∴选项D 正确．故选：C．由三角形中大角对大边知a>b，再由正弦定理知选项A正确；由余弦函数在(0,π)上的单调性知选项B正确；若取A=60°，B=45°，可判断选项C是否正确；利用作差法可判断选项D正确．本题考查了三角形中的不等关系及不等式，要注意三角形中所包含的条件，如：A+B+C=π，大边对大角等．5.答案：C解析：解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长等于1；上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于√2．由此可得它的侧面积S侧=(1+1+2+√2)×1=4+√2，∵底面积S底=12(1+2)×1=32，∴四棱柱的表面积S=S侧+2S底=7+√2，体积为V=S底ℎ=32．故选：C将几何体还原成直观图，可得它是一个上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱．根据题中的数据利用柱体的体积、表面积公式加以计算，可得答案．本题给出直四棱柱的三视图的形状，求它的表面积与体积．着重考查了三视图的认识、直棱柱的性质和柱体的表面积、体积公式等知识，属于中档题．6.答案：D解析：解：∵直线l1：ax+y+2a=0与直线l2：(2a+1)x+ay+a=0互相垂直，∴a×(2a+1)+1×a=0，解之得a=0或a=−1，故选：D．两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0互相垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0，由此建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值．本题给出两条直线互相垂直，求参数a之值，着重考查了平面直角坐标系中两条直线互相垂直的充要条件的知识，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵bcosB =ccosC，∴sinBcosB=sinCcosC∴tanB=tanC，∵0<B<π，0<C<π，∴B=C，∴△ABC形状一定是等腰三角形．故选C．利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦化简整理求得B=C，进而可判断出三角形为等腰三角形．本题主要考查了正弦定理的运用．解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互化．8.答案：D解析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．解：∵命题“存在x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=(a−1)2−4≤0，整理得出a2−2a−3≤0∴−1≤a≤3故选D．9.答案：A解析：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l.如图，由圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆面，故母线长为l=1即SA=1又因为半圆的弧长为πl，圆锥的底面周长为2πr，所以πl=2πr，得r==所以圆锥的高ℎ=SO=所以圆锥的体积为故选A10.答案：A解析：解：∵1+tanx1−tanx=2，∴tanx=13则sin2x=2sinxcosxsin2x+cos2x =2tanx1+tan2x=231+19=35故选A由已知先求出tan x，然后对所求sin2x进行变形sin2x=2sinxcosxsin2x+cos2x =2tanx1+tan2x代入即可求解本题主要考查了二倍角正弦公式及同角平方关系的应用，解题的关键是1的变形11.答案：D解析：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础．由题意，设P(x,y)，则√(x+2)2+y222=12，化简可得结论．解：由题意，设P(x,y)，则√(x+2)2+y222=12，化简可得x2+y2+203x+4=0，故选：D．12.答案：A解析：解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，且f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2，所以f(x)的最小正周期为4，即T=2πω=4，解得ω=π2；所以f(x)=2sin(π2x+π3)，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(9)=2sin(π2+π3)+2sin(π+π3)+2sin(3π2+π3)+⋯+2sin(9π2+π3)=2cos π3=1．故选：A．化简函数f(x)，根据f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2得出f(x)的最小正周期为4，求出ω的值，再计算f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(9)的值．本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．13.答案：2y−x+2=0解析：解：∵直线直线x−2y+3=0的斜率为12，∴过点P(2,0)且与直线x−2y+3=0平行的直线斜率为12，所以直线的方程为：y−0=12(x−2)，即2y−x+2=0．故答案为：2y−x+2=0．利用直线平行，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线l的方程．本题考查直线与直线的平行，直线方程的求法，考查计算能力，基础题．14.答案：2700解析：解：由题意知，圆柱的底面周长是54尺，高是18尺，设圆锥的底面半径为r，则2πr=54，解得r=542π≈542×3=9(尺)，所以圆柱的体积V=πr2ℎ≈3×81×18=4374(立方尺)，因为1斛米的体积约为1.62立方尺，所以出堆放的米约为43741.62=2700(斛)，故答案为：2700．由题意求出圆柱的底面周长和高，由圆的周长公式求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式求出对应的体积，再除以1.62可得答案．本题考查圆柱体积公式的实际应用，属于基础题．15.答案：24km解析：【试题解析】解：在△BCD中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得cos∠BDC=212+202−3122×21×20=−17，所以sin∠BDC=4√37．在△ACD中，CD=21，∠CAD=20°+40°=60°，由正弦定理得AC=21×4√37√32=24km．故答案为：24km．根据题意可知CD，BC，BD在△BCD中，由余弦定理求得cos∠BDC，在△ACD中，由正弦定理求得AC．本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．16.答案：解析：结合数量积和面积公式即可求三角形ABC的面积，利用基本不等式可求的最小值．解：因为，所以，所以，又点 为 内一动点，所以，又，所以，所以．故答案为．17.答案：解：(1)直线AB 的斜率k =−13，AB 中点坐标为(1,2)，…(3分)∴直线CD 的斜率为3，方程为y −2=3(x −1)即3x −y −1=0； (2)设圆心P(a,b)，则由点P 在直线CD 上得： a +b −3=0 ①…(8分) 又直径|CD|=10， ∴|PA|=5∴(a +1)2+b 2=25 ②…(10分) 由①②解得{a =2b =5或{a =−1b =−4∴圆心P(2,5)或P(−1,−4)…(12分)∴圆P 的方程为(x −2)2+(y −5)2=25 或(x +1)2+(y +4)2=25 (14)解析：(1)直接用点斜式求出直线CD 的方程；(2)根据条件得知|PA|为圆的半径，点P 在直线CD 上，列方程求得圆心P 坐标，从而求出圆P 的方程此题考查直线方程的点斜式、圆的标准方程的求法．18.答案：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，AB//EF ，∴CD//EF ． 又∵CD =EF ，∴四边形CDFE 是平行四边形． ∴CE//DF ，又CE ⊄平面ADF ，DF ⊂平面ADF ． ∴CE//平面ADF ．(Ⅱ)解：如图所示，取AB 的中点O ，连接OE ，OD ． 由题意可得EO ⊥平面ABCD ，OD ⊥平面ABEF ． 建立空间直角坐标系．可得B(0,−1,0)，D(1,0，0)，E(0,0，1)，F(0,1，1)． BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1)． 设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取n⃗ =(1,−1,1)． 设直线DF 与平面BDE 所成角为θ， 则sinθ=|cos <n ⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√3×√3=13．解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成的角、向量垂直与数量积的关系等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，属于难题．(Ⅰ)由于AB//CD ，AB//EF ，可得CD//EF.进而点到四边形CDFE 是平行四边形．可得CE//DF ，利用线面平行的判定定理可得CE//平面ADF ．(II)如图所示，取AB 的中点O ，连接OE ，OD.由题意可得EO ⊥平面ABCD ，OD ⊥平面ABEF.建立空间直角坐标系．可得B(0,−1,0)，D(1,0，0)，E(0,0，1)，F(0,1，1)．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1).设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，利用线面垂直的性质可得n ⃗ =(1,−1,1).设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，利用sinθ=|cos <n ⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ ||DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可得出． 19.答案：解：(1)原式=cos585°sin495∘−sin570∘=cos(720°−135°)sin(360∘+135∘)−sin(720∘−150∘)=cos135°sin135∘+sin150∘=−cos45°sin45∘+sin30∘=−√22√22+12=√2−2. (2)tan(−356π)sin(−463π)−cos 37π6tan55π6=tan(−6π+π6)⋅sin(−14π−4π3)−cos(6π+π6)⋅tan(9π+π6)=tan π6⋅sin 2π3−cos π6⋅tan π6=√33×√32−√32×√33=0．解析：(1)原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果． (2)由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又由AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE ； (2)在图2中，由(1)知ED ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ，EF ，ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(2,0，0)，F(0,2，0)，C(0,2，2)，D(0,0，1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−,1)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， 设平面ADF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0得m⃗⃗⃗ =(1,1,2)， 设平面ACF 的一个法向量为n⃗ =(a,b,c)， 由{n ⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，得n⃗ =(1,1,0)， 设二面角D −AF −C 的大小为θ， cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=2√2⋅√6=√33． 所以二面角D −AF −C 的余弦值为√33．解析：(1)先判断AF ⊥平面BDE ，∴AF ⊥DE ，由AE ⊥DE ，得到结论；(2)由(1)知ED ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ，EF ，ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADF 和平面ACF 的法向量，利用夹角公式求出即可． 考查羡慕垂直的判定定理和性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查空间想象力和运算能力，中档题．21.答案：解：(Ⅰ=2sinx ⋅cosx +√3(2cos 2x −1)+√3=sin2x +√3cos2x +√3 =2sin(2x +π3)+√3所以 T =2π2=π又2kπ−π2⩽2x +π3⩽2kπ+π2，解得kπ−5π12⩽x ⩽kπ+π12 (k ∈Z)故的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k ∈Z)；(Ⅱ)f(C2)=2sin(2×C2+π3)+√3=2sin(C+π3)+√3=2√3，从而又因为C∈(0,π)，所以C=π3．在ΔABC中，c2=a2+b2−2abcosC，又知a+b=4，c=√13，C=π3，则ab=1，所以SΔABC=12absinC=√34．解析：本题考查向量的运算法则、三角函数的降幂公式、辅助角公式、三角函数的面积公式、三角函数的余弦定理．(Ⅰ)用向量的数量积法则及三角函数的降幂公式、辅助角公式化简f(x)，再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间；(Ⅱ)由f(C2)=2√3，求角C，使用余弦定理得ab，进而可求面积．22.答案：解：(1)由题意可设B在t秒在D处接到球，可得△ADB为等腰三角形，且AB=BD=20，即10t=20，可得t=2，而C截球的速度小于球速，C不能截球，B能够接球；(2)C改变(1)的方向前去截球，设在E处截球成功，可得在△ACE中，由余弦定理可得(10t)2=(10√3t)2+(14√3)2−2⋅10√3t⋅14√3⋅12，即为50t2−105t+147=0，△=1052−4×50×147<0，即方程无解，可得C不能截球成功．解析：(1)由题意可设B在t秒在D处接到球，可得△ADB为等腰三角形，且AB=BD=20，可得t，可得结论；(2)C改变(1)的方向前去截球，设在E处截球成功，可得在△ACE中，由余弦定理解方程可得结论．本题考查解三角形的应用，考查余弦定理和二次方程的解，考查运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年江苏省徐州市睢宁县古邳中学高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，合计50分）1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ）A ．y ＝33x －4 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝3x －6 D. y ＝33x ＋2 2. 不等式201xx -<+的解集为（ ） A. {}12>-<x x x 或 B. {}12<<-x x C. {}21>-<x x x 或 D. {}21<<-x x 3．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11)在同一直线上，那么k 的值是（ ） A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 4．下列四个命题中错误的是( )A ．若直线a ，b 互相平行，则直线a ，b 确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；② ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β m ∥α⇒m ⊥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④7. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的 余弦值是( )A. 13B.1010C. 105D.223 9．已知b>a >0且a ＋b=1，则有 （ ） A ． a ab b a b >>>+>21222 B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2a b10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 二、填空题（每小题5分，合计30分）. 11．不等式2680x x -+->的解集为___▲____.12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____. 13．过点)1,2(-P ，在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为___▲____.14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则三角形ABC 的周长为__▲___. 15．已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____.16. 在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为_ ▲ _. 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .18. (4分+8分)在锐角ABC △中，已知22sin A =. (1) 求cos()B C +的值； (2) 若2a =，2ABC S =△，求b 的值.19. (6分+6分)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O 上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ． （1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．20．(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为何值时，PQR ∆的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程．21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.22. (6分+6分)已知函数21()21x x f x -=+,（1）若存在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22(sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解，求实数k 的 取值范围；（2）若函数()g x 满足[]()()222x xf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．高一数学期中试卷答案2019.4 一选择题:A C D CBCD A B C 二、填空题:11. {}24x x << 12. π12 13. 013=++y x 或02=+y x ； 14. 915. (2,3)- 16.三、解答题:17. (1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB ………………………………2分11ABD,AB ABD,A B ⊄⊂而面面 11//ABD,A B 所以平面………………………5分(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =I , 所以AB ⊥面11BCC B ……………8分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………10分 18. 解：（1）因为锐角△ABC 中，22sin 3A =，所以1cos 3A =又A ＋B ＋C ＝π， 所以1cos()cos 3B C A +=-=-. ……….4分（2）1122sin 22ABC S bc A bc ∆==⨯Q ，12222bc ∴⨯=，即3c b=，……….6分将2a =，1cos 3A =，3c b=代入余弦定理：222a b c 2bccosA ＝＋－得： 42690b b -+=， ……….11分 即b =3. ………..12分19. 解析：（1）连接OC ，由AD=BD 知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆的直径，∴AC ⊥BC ， ∵AC=BC ，∴∠CAB=60°，∴△ACO 为等边三角形，∴CD ⊥AO ． ……….2分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥CD ，PD ∩AO=D ，∴CD ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥CD ． ……….6分 （2）过点D 作DE ⊥PB ，垂足为E ，连接CE ， 由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD ⊥PB ，又DE ∩CD=D ，∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE ⊥PB ，∴∠DEC 为二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角．……….9分 设AB=4,则由（1）可知CD=，PD=BD=3， ∴PB=3，则DE==， ∴在Rt △CDE 中，tan ∠DEC==，∴cos ∠15，即二面角C ﹣PB ﹣A 15．……….12分20. 解：(1)设直线l 的倾斜角为α，则直线m 的倾斜角为︒+45α，kkk m -+=-+=+︒=11tan 1tan 1)45tan(ααα ………4分 (2)直线l 的方程为)2(1+=-x k y ，直线m 的方程为)2(111+-+=-x k ky令0=x ，得k k y k y R Q -+=+=13,12，∴||||21P R Q PQR x y y S ⋅-=∆|1)1(2|2-+=k k ……….6分∵1>k ，∴112|1)1(2|22-+⋅=-+=∆k k k k S PQR]212)1[(2+-+-=k k ≥)12(4+………9分由121-=-k k 得21(12-=+=k k 舍去)，∴当12+=k 时，PQR ∆的面积最小，最小值为)12(4+，此时直线l 的方程是0322)12(=++-+y x ．………12分21. 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23．因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ……….4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)，且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ，……….6分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． ………8分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．………11分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大……….12分22. 解：（1）()21212121x x xf x -==-++．对任意12,x x ∈R ，12x x <有：12212112222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++． 因为12x x <，所以12220x x -<，所以()()12f x f x <， 因此()f x 在R 上递增．………………………………………2分 令sin t θ=,则[]0,1t ∈且22()(2)f t t f t k -<-，所以222t t t k -<-，即2k t t <+在[]0,1t ∈时有解．当[]0,1t ∈时，2max ()2t t +=，所以2k <．…………………………6分(2)因为[]()()222x x f x g x -⋅+=-，所以()22x xg x -=+(0x ≠)， ………7分所以()222222(22)2x x x x g x --=+=+-． 不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，即2(22)222)10(x x x xm --+-+-⋅≥，822,2,2.x x r r r r-=+>≤>令则m r+在时恒成立， ………………10分因为2r >，由基本不等式可得：8+r r≥r =所以m ≤m 的最大值为12分。

古邳中学高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.sin15cos15︒⋅︒的值是（ ） A.12B. 12-C.14D. 14-【答案】C 【解析】 【分析】原式变形后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值计算即可得出结果. 【详解】解：11sin15cos15sin 3024︒⋅︒=︒=. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，属于基础题.2. 用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（ ） A. ,A l l α∈∉ B. ,A l l α∈⊄ C. ,A l l α⊂⊄ D. ,A l l α⊂∉【答案】B 【解析】试题分析：用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点A 在直线l 上用属于符号∈，l 在平面α外用不包含⊄．故选B ． 考点：点、线、面位置关系的表示．3.在ABC ∆中，已知4a =，22b =45A =︒，则角B 等于（ ） A. 30B. 30或150︒C. 60︒D. 60︒或120︒【答案】A 【解析】 【分析】根据边长的比较，可知,A B 大小关系，结合正弦定理，可得结果.【详解】在ABC ∆中，已知4a =，22b = 可知a b >，所以A B > 由sin sin a b A B=，又45A = 可知1sin 2B =，则30B =故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理，属基础题. 4.和直线l 都垂直的直线a ，b 的位置关系是( ) A. 平行 B. 平行或相交C. 平行或异面D. 平行、相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体为载体，能判断直线a ，b 的位置关系． 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB 和BC 都同时1BB 垂直，AB 和BC 相交， AB 和11A B 都同时1BB 垂直，AB 和11A B 平行， AB 和11B C 都同时1BB 垂直，AB 和11B C 异面，∴若直线a ，b 同时和第三条直线垂直，则直线a ，b 的位置关系是相交、平行或异面． 故选D ．【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.已知球的半径为3，则该球的体积为（ ） A.83π B.163πC. 16πD. 36π【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据球的体积公式343R V π=，将3R =代入计算即可得到答案.【详解】解：根据题意，已知球的半径为3，则其球的体积为34363R V ππ==.故选：D.【点睛】本题考查球的体积计算，考查运算能力，属于基础题.6.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A.23B. 23-C. 13-D. 14-【答案】D 【解析】【详解】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D 8.若4cos 25α=-，(,)2παπ∈，则tan()4πα+=（ ）A. -2B. 12-C. 2D.12【答案】B 【解析】 【分析】 由4cos25α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合22sin cos 1αα+=，可求出sin α和cos α，得到tan α，再求出tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】4cos25α=-，可得224cos sin 5αα-=- 22cos sin 1αα+=，2219cos ,sin 1010αα∴==,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin αα∴== sin tan 3cos ααα∴==-，1tan 131tan 41tan 132πααα+-⎛⎫∴+===- ⎪-+⎝⎭ 故选B 项.【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的正切值，属于简单题.9.若ABC ∆的周长等于20，面积是60A =，则BC 边的长是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 利用面积公式1sin 2S bc A =得到bc 的值，结合周长为20a b c ++=，再根据余弦定理列出关于a 的方程，求出a 的值即为BC 的值. 【详解】因为面积公式1sin 2S bc A =，所以1sin 602bc =，得40bc =， 又周长为20，故20,20a b c b c a ++=+=-，由余弦定理得，222222cos 2cos60a b c bc A b c bc =+-=+-()2223b c bc b c bc =+-=+-，故()2220120a a =--，解得7a =，故选C.【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简已知得)x ϕ-，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时cos θ的值.【详解】由题得sin cos sin cos cos sin )x x x x x ϕϕϕ-=⋅-⋅-,其中cos 5ϕϕ== 当sin()1x ϕ-=，即2()x 222x k k z k ππϕππϕ-=+∈=++即时，函数取到最大值.所以=2,cos cos(2)sin 225k k ππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=-. 故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.钝角三角形的三边长为a ，1a +，2a +，其最大角不超过120︒，则a 的取值范围（ ） A. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (]2,3 D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得2a +所对的角为C ，且为最大，可得90120C ︒<≤︒，利用余弦定理和余弦函数的单调性，进而可得a 的取值范围.【详解】解：钝角三角形的三边长为a ，1a +，2a +，其最大角不超过120︒， 可设2a +所对的角为C ，且为最大，()()()()222212233cos 21212a a a a a a C a a a a a++-+---===++， 由题意可得90120C ︒<≤︒， 则1cos 02C -≤<， 解得：332a ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查三角形的余弦定理和余弦函数的性质，考查运算能力，属于基础题.12.2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值为（ ）A. 3C. 1【答案】D 【解析】 【分析】把分子中的cos10︒化为()cos 3020︒-︒，利用两角差的余弦公式进行计算即可.【详解】解：原式()1220sin 20sin 2022cos 3020sin 20cos 20cos 20⎫︒+︒-︒⎪︒-︒-︒⎝⎭==︒︒==故选：D.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知正四棱锥的底面边长是2________. 【答案】43【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -中，2AB =，AP =设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，求出PO ，由此能求出该正四棱锥的体积.【详解】解：如图，正四棱锥P ABCD -中，2AB =，AP =PO ，连结AO ，则12AO AC == 在直角三角形POA中，1PO ===.11441333P ABCD ABCD V S PO -∴=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：43.【点睛】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力，运算求解能力，属于中档题. 14.cos18cos 42cos72sin 42⋅-⋅=_____. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解． 【详解】解：11842724218421842602cos cos cos sin cos cos sin sin cos ︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒-︒⋅︒=︒=， 故答案为12． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．15.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足()()3a b c b c a bc +++-=，则A =________.【答案】60︒ 【解析】 【分析】已知等式左边利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，再利用余弦定理表示出cos A ，将得出的关系式代入求出cos A 的值，由A 是三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数.【详解】解：()()()2222223a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+= 即222b c a bc +-=.∴2221cos 22b c a A bc +-==.A 为三角形的内角，∴A =60︒.故答案为：60︒.【点睛】本题考查余弦定理以及特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于基础题. 16.△ABC 中，已知a x =，2b =，60B =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围_____________. 【答案】432x << 【解析】当sin a B b a <<时,三角形ABC 有两组解,所以2b =，60B =,设a x =,如果三角形ABC 有两组解, 那么x 应满足xsin602x <<,即432x <<. 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18至22题每题12分）17.在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．【答案】表面积845π，体积为485π. 【解析】 【分析】由已知三角形ABC 为直角三角形，斜边AB 为轴旋转一周，所得旋转体是AB 边的高CO 为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．【详解】过C 点作CD⊥AB，垂足为D ．△ABC 以AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示， 这两个圆锥高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC BC AB ＝125， 故S 表＝π·DC·(BC＋AC)＝845π.V ＝13π·DC 2·AD＋13π·DC 2·BD＝13π·DC 2(AD ＋BD)＝485π.即所得旋转体的表面积为845π，体积为485π.【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键． 18.已知2sin()410απ+=(,)2παπ∈. （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin(2)4πα-的值.【答案】(Ⅰ)35；(Ⅱ)172【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可．（2）根据两角和差公式得到πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由二倍角公式得到sin2α，cos2α，代入公式即可． 解析：（Ⅰ）由π2sin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，12，即1sin cos 5αα+=. ①22sin cos 1αα+= ② 由①②解得3cos 5α=-或cos α= 45. 因为ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5α=-.（Ⅱ）因为ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 3cos 5α=-,2234sin 1cos 155αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 2237cos22cos 12525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 24272252252⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17250=-. 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三．19.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1AB BC ⊥，求证：()1 //AB 平面11A B C()21AB ⊥平面1A BC【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】 ()1由11//AB A B ，AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，即可求证//AB 平面11A B C ； ()2由已知可得四边形11ABB A 为菱形，可得11AB A B ⊥，所以1AB BC ⊥，因为1A B BC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，进而可求证出1AB ⊥平面1A BC .【详解】证：()1因为1111ABCD A B C D -四棱柱， 所以11//AB A B ，因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以//AB 平面11A B C .()2因为1111ABCD A B C D -是四棱柱，所以侧面11ABB A 为平行四边形.又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此11AB A B ⊥.则1AB BC ⊥.又因为1A B BC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC .【点睛】本题考查四棱柱的性质，以及空间线面平行，线面垂直的判定，属于中档题.20.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值；（2）求CD 的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：根据平方关系由cos A 求出sin A ，利用cos ACB ∠求出sin ACB ∠，根据三角形内角和关系利用和角公式求出cos B ，利用正弦定理求出AB ，根据3AD DB =，计算BD ，最后利用余弦定理求出CD .试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈， 所以2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A =∠=⨯=． 又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD 中，由余弦定理得，222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅221651325139265=+-⨯⨯⨯=． 【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.21.如图，在三棱锥ABCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且//BD 平面AEF .()1求证：//EF 平面ABD ；()2若AE ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，求证：平面AEF ⊥平面ACD .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1运用线面平行的判定定理即可求证；()2由线面垂直的判定定理可推出CD ⊥平面AEF ，进而可求证.【详解】解：证明：()1因为//BD 平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF 平面BCD EF =，所以//BD EF .因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以//EF 平面ABD .()2因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE CD ⊥.因为BD CD ⊥，//BD EF ，所以CD EF ⊥又AE EF E ⋂=，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF .又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD .【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，考查推理能力，属于基础题.22.如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，21EA =百米，60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．【答案】（13平方百米；（2）577百米. 【解析】【分析】 （1）由余弦定理求出4AB =百米，由此能求出ABE 区域的面积；（2）记AEB α∠=，在ABE 中，利用正弦定理求出sin α和cos α的值，当CH DE ⊥时，水管长最短，由此能求出当水管CH 最短时的长.【详解】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABE α=∠，即4sin α=，所以sin 7αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭百米. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB 的长度，由三角形面积公式即可求得ABE S的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得CH的长.。

徐州市2019-2020学年度第二学期期中测试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.直线的倾斜角为 2.化简sin10cos50+cos10sin50= ___ 在数列中， =1，，则的值为4. 在等比数列中,已知,12nn a a -=且,求数列5. 在中，若b=2,,则7.一个等比数列前n 项的和为48，,2n 项的和为60，则前3n 项的和为 ___8. 已知直线1l :()()3150m x m y ++--=与直线()213m 910l:m x ()y -++-=互相垂直,求m的值9. 在△ABC 中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC= ___10. 在△ABC 中,已知,, 11. 若数列{}n a 的前n 项和S n =n 2 -10n （n=1，2，3，…），则数列{}n na 中数值最小的项是第 ___项．12. 经过点,倾斜角是直线倾斜角一半的直线的方程是___13. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123262319a a ,a a a +==设，求数列的前项和为___14. 将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为()ij a i,j N *∈，例如4318a ,=若2016ij a =，则i j += ___二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）已知等差数列{}n α满足124310,2αααα+=-=（1）求数列{}n α的通项公式（2）若等比数列{}n b 满足2337,b b αα==，求数列{}n b 的通项公式16. （本题满分14分） 已知直线10l :x y +-=,(1)若直线1l 过点()32,且1l l ∥,求直线1l 的方程;(2)若直线2l 过l 与直线270x y -+=的交点,且2l l ⊥,求直线2l 的方程.17. （本题满分14分）数列{}n α中，32n a ,n =前项和为63n S =， （1）若数列{}n α为公差为11的等差数列，求1α（2）若数列{}n α为以11α=为首项的等比数列，求数列{}2n α的前m 项和m T(1)求.(2)若点M 为BC 中点,且AM AC =,求sin BAC ∠的值.19. （本题满分16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20. （本题满分16分）设数列}{n a 的前项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n,点()1n n a ,S +在直线220x y +-=上. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列}2{nn n S λλ++为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.徐州市2019-2020学年度第二学期期中测试答案一、填空题 1、3π 2、 23 3、397 4、12-n 5、26- 6、724- 7、63 8、m =1或－39、132 10、10 11、3 12、093=+-y x 13、12+-n n14、63 二、解答题15、解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则234=-=a a d ， ……2分 又1021=+a a ，∴1021=+d a ，解得41=a ， ……4分 所以22)1(24+=-+=n n a n ． ……6分 （2）设等比数列}{n b 的公比为q ，由（1）知832==a b ，1673==a b ， ……8分 ∴223==b b q ， ……10分 又q b b ⨯==128，有41=b ， ……12分 ∴11224+-=⨯=n n n b ． ……14分 16、解：（1）设直线1l 的方程为0=++m y x ， ……2分 ∵直线1l 过点(3,2) ，∴5-=m ……4分 ∴直线1l 的方程为05=-+y x ……6分（2）由 ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+-=-+3207201y x y x y x 解得，l 与直线072=+-y x 的交点为)3,2(- ……9分∵l l ⊥2 ∴直线2l 的斜率为1， ……11分 ∴直线2l 的方程为23+=-x y 即05=+-y x ……14分 17、解：（1）由已知：632)(1==+n n S a a n ① ……2分 3211)1(1==⨯-+n a n a ② ……4分解①②得：101=a ，3=n （11=a ，1142=n 舍去） ……7分 （2）由已知：3211=⨯-n qa 且631)1(1=--⨯qq a n ……9分解得：q=2 ，n=6 ……11分 ∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， ……12分∴31441)41(1-=--⨯=m m m T ……14分18、解：（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， ……2分 ∴B B cos 3sin =，即3tan =B ， ……4分 又0B π<<，所以3B π=． ……6分(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM = MC =2a， ……8分 在ABM ∆与ABC ∆中，由余弦定理分别得：,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+=,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= ……10分又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， ……12分 因为0a ≠，所以23ac =，故,b = ……14分由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． ……16分 19、解：（1）由已知，点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， ∵8AB =，6ABC π∠=，∴3BAC π∠=，4AC =， ……2分在ACE ∆中，由余弦定理：2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE = ……4分 ∴213164AE AE =+-，解得1AE =米或3AE =米 ……6分 （2）∵2ACB π∠=，6ECF π∠=，∴ACE α∠=[0,]3π∈，∴362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭， 在ACF ∆中，由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC ACA CFA παα===∠-∴CF =， ……8分 在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+∴sin()3CE α=+ ， ……10分若产生最大经济价值，则△ECF 的面积ECF S ∆最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++， ……13分因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα+≤≤， ……14分∴当=3πα时，S △ECF取最大值为平方米时，该空地产生的经济价值最大． ……16分 20、解：（1）由题意可得：0221=-++n n S a ①∴当n ≥2时，0221=-+-n n S a ② ……2分 ①－②得：0221=+-+n n n a a a ，有211=+n n a a （n ≥2） 又11=a ，02212=-+a a ，有212=a ，2112=a a ……4分 ∴}{n a 是首项为1，公比为21的等比数列，从而1)21(-=n n a ……6分 （2）由（1）知：1212--=n n S ，nnn n n S 2222-++=++λλλλ ……8分若数列}2{nn n S λλ++为等差数列，则有：)47825()123()2349(2+++=+λλλ ……10分解之得：2=λ ……12分 当2=λ时，令n b =222+=++n n S nn λλ（*N n ∈）有2)22(2)1(21=+-++=-+n n b b n n ……14分 所以存在实数2=λ，使得数列{nn n S 2λλ++}为等差数列。

江苏省徐州市2019年高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知角终边上一点，则（）A .B .C .D .2. （2分）为了得到函数y=3sin（2x+ ）的图象，只要把函数y=3sinx的图象上所有的点（）A . 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度B . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D . 向左平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）3. （2分）若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（）共线，则的值为（）A . 1B .C .D .4. （2分） (2015高二下·宜昌期中) 若，是夹角为60°的两个单位向量，则 =2 + ； =﹣3 +2 的夹角为（）A . 60°B . 30°C . 150°D . 120°5. （2分）已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若，则m 的值为（）A . 1B . sinAC . cosAD . tanA6. （2分）(2020·马鞍山模拟) 已知非零向量，满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分）如图，已知A，B，C为直线y=1与函数y=sinx，y=tanx的图象在第一象限的三个相邻交点，若线段AC的长度记为|AC|，则|AB|：|BC|=（）A . 1：2B . 1：3C . 1：4D . 1：58. （2分）已知α∈（，），a=（cosα）cosα ， b=（sinα）cosα ， c=（cosα）sinα ，则（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜a＜cD . c＜a＜b9. （2分） (2020高一上·铜仁期末) 已知、、是的三个内角，，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·岳阳月考) 已知向量 =（-2，m）， =（1，2），若向量在向量方向上的投影为2，则实数m=（）A . -B . 1±C . 1-D . 1+二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高一下·嘉兴期中) 已知中，，，分别为角，，的对边且，，，则 ________.12. （1分） (2019高一下·台州期中) 已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围为________.13. （1分）函数y=cosx+sinx,，的值域是________14. （1分）(2016·南通模拟) 如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q，若||=3，| |=5，则（ + ）•（﹣）的值为________．15. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2020高一下·温州期中) 若函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为________．三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2020高一下·大丰期中) 已知α∈ ，且sin ＋cos ＝ .（1）求cos α的值；（2）若sin(α－β)＝－，β∈ ，求cos β的值．18. （10分） (2019高一下·柳州期末) 已知，，函数 .（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，求函数的值域.19. （10分）(2019高一下·佛山期末) 已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．20. （10分） (2016高一下·海珠期末) 已知向量 =（4，3）， =（2，﹣1），O为坐标原点，P是直线AB上一点．（1）若点P是线段AB的中点，求向量与向量夹角θ的余弦值；（2）若点P在线段AB的延长线上，且| |= | |，求点P的坐标．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共40分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

江苏省徐州市睢宁县古邳中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、单选题(★) 1 . 的值是（）A．B．C．D．(★) 2 . 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（）A．B．C．D．(★) 3 . 在中，已知，，，则角等于（）A．B．或C．D．或(★) 4 . 和直线 l都垂直的直线 a， b的位置关系是A．平行B．平行或相交C．平行或异面D．平行、相交或异面(★) 5 . 已知球的半径为，则该球的体积为（）A．B．C．D．(★★) 6 . 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(★) 7 . 在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A．B．C．D．(★) 8 . 若，，则（）A．-2B．C．2D．(★★) 9 . 若的周长等于20，面积是，则边的长是（）A．5B．6C．7D．8(★) 10 . 设当时，函数取得最大值，则（）A．B．C．D．(★)11 . 钝角三角形的三边长为，，，其最大角不超过，则的取值范围（）A．B．C．D．(★) 12 . 的值为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13 . 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为________. (★) 14 . _____ .(★) 15 . 已知的内角、、的对边分别为，，，若，，满足，则________.(★★)16 . △ 中，已知，，，如果△ 有两组解，则的取值范围_____________ .三、解答题(★★) 17 . 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB 所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．(★★) 18 . 已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.(★★) 19 . 在四棱柱中，，，求证：平面平面(★★) 20 . 如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长.(★) 21 . 如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的点，且平面.求证：平面；若平面，，求证：平面平面.(★★) 22 . 如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分点处（靠近点），百米，，，百米，.（1）求区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长．。

江苏省徐州市数学高一下学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·嘉兴期末) 已知，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知，且，则锐角为（）A .B .C .D .3. （2分）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A . =（0，0），=（2，3）B . =（1，﹣3），=（2，﹣6）C . =（4，6），=（6，9）D . =（2，3），=（﹣4，6）4. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 若向量，不共线，，，，则下列关系式中正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 某人向正西方向走x千米后，他向左转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x的值是（）A . 3B .C . 2 或3D . 或26. （2分）已知函数其中（）则“f(0)=0”是“y=f(x)是奇函数”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分）（）A .B .C .8. （2分）已知，则的值为（）A .B . 7C .D . －79. （2分） (2020高一上·芜湖期末) 已知，则的值为（）A . 18B .C . 16D .10. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 已知锐角α满足sinα+cosα= ，则tan（）=（）A . ﹣B .C .D .11. （2分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点，且（其中O为坐标原点），则实数a的值为（）A . 2C . 2或-2D . 或-12. （2分）(2020·安阳模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上存在一点，使得，直线 .若直线，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D . 5二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）已知O为坐标原点，=，=，=（0，a），=，记 ||| |||中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是________14. （2分） (2020高一上·宁波期末) 已知是单位向量, , , ,,若 ,则实数 ________;若三点共线,则实数 ________.15. （2分） (2019高二上·丽水月考) 已知，且，则 ________；________.16. （1分） (2018高三上·镇江期中) 在△ABC中，已知(tanA＋1)(tanB＋1)＝2，则cosC＝________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 如图，在中，点为直线上的一个动点，且满足（1）若，用向量表示；（2）若，且，请问取何值时使得？18. （5分）已知函数，F（x）=sinx•f（cosx）+cosx•f（sinx）且．（Ⅰ）将函数F（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数F（x）的值域．19. （10分） (2016高一上·武汉期末) 计算：（1）若cos = ，π＜x＜π，求的值．（2）已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求cos2x0的值．20. （5分） (2018高三上·邹城期中) 已知为坐标原点，，，若 .（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若时，函数的最小值为，求实数的值.21. （5分）求函数f（x）=sin2x+ sinxcosx在区间[ ]上的最大值．22. （10分） (2018高二下·临汾期末) 直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为 .（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

江苏省徐州市 2020 版高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）中，,,则A.B. C.D.2. （2 分） (2016 高二上·临泉期中) 已知数列第项．（ ）A . 12B . 13C . 14D . 15，那么 9 是此数列的3. （2 分） 已知正项等比数列 的最小值为（ ）满足：A.9,若数列中存在两项 使得，则B.C.D.第 1 页 共 10 页4. （2 分） 在△ABC 中，已知，则角 A 大小为（ ）A.B.C.D.5. （2 分） 设{ }为等差数列，公差 d = -2， 为其前 n 项和.若， 则 =（ ）A . 18B . 20C . 22D . 246. （2 分） (2017·怀化模拟) 设点 M（x，y）满足不等式组 最大时，点 M 为（ ），点 P（﹣4a，a）（a＞0），则当A . （0，2）B . （0，0）C . （4，6）D . （2，6）7.（2 分）在正项等比数列{an}中，a1=1，前 n 项和为 Sn,且－a3 ，a2 ，a4 成等差数列，则 S7 的值为（ ）.A . 125B . 126C . 127D . 128第 2 页 共 10 页8. （2 分） 复数 值范围是（ ）在复平面内所对应的点位于第四象限,则 m 的取A . (-1，6)B . (－∞，1)C . (4,6)D . (1，＋∞)9. （2 分） 一个无穷数列的前三项是 1，2，3，下列不可以作为其通项公式的是（ ）A . an=nB . an=n3﹣6n2+12n﹣6C . an= n2﹣ n+1D . an=10. （2 分） 于（ ）的三个内角对应的边分别，且A.B.C.D.11. （2 分） 1 和 9 的等比中项是（ ）A.5B.3C . -3D . ±3第 3 页 共 10 页成等差数列，则角 等12. （2 分） (2020 高一下·辽宁期中) 在中，，，积为（ ）．，则的面A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·桐乡模拟) 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，，则________，的面积是________．14. （ 1 分 ） (2017· 扬 州 模 拟 ) 设 数 列 {an} 满 足 ，则 a2017=________．， 且 对 任 意 的 n∈N* ， 满 足15. （1 分） 且、 ，则△是双曲线 的面积为________.的两个焦点，点 是双曲线 上一点，16. （1 分） (2017·金华模拟) 若不等式组 的值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数 a17. （5 分） (2019 高二下·梧州期末) 已知椭圆的长轴长为 ，且椭圆 与圆的公共弦长为 （1） 求椭圆 的方程.（2） 过点作斜率为的直线 与椭圆 交于两点，试判断在 轴上是否存在点，使得为以 为底边的等腰三角形.若存在，求出点 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理第 4 页 共 10 页由.18. （5 分） (2019 高二下·九江期末) 已知数列 满足，．(Ⅰ)求的值，猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令，求数列 的前 项和 .19. （10 分） 设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且 b=3，c=1，△ABC 的面积为 cosA 与 a 的值．，求20. （5 分） (2020 高一下·武汉期中) 在数列 ， 中，，，.等差数列 的前两项依次为.（1） 求 的通项公式；（2） 求数列的前 项和 .21. （10 分） (2019 高二下·南宁期中) 已知 a ， b ， c 分别为三个内角 A ， B ， C 的对边，且.（1） 求角 的大小；（2） 若，且的面积为 ，求 a 的值.22. （10 分） 已知数列{an}前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中 a2≠0．（Ⅰ）求证数列{an}是首项为 1 的等比数列；（Ⅱ）当 a2=2 时，是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2 对一切 n∈N* 都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由．第 5 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、第 6 页 共 10 页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、17-2、第 7 页 共 10 页18-1、19-1、20-1、20-2、第 8 页 共 10 页21-1、 21-2、第 9 页 共 10 页22-1、第 10 页 共 10 页。

2019-2019学年江苏省徐州市六校联考高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1．（5分）已知直线的斜率是﹣3，点P（1，2）在直线上，则直线方程的一般式是3x+y﹣5=0．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：先由点斜式求得直线的方程，再化为一般式．解答：解：已知直线的斜率是﹣3，点P（1，2）在直线上，由点斜式求得直线的方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化为一般式为3x+y﹣5=0，故答案为3x+y﹣5=0．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的一般式方程，属于基础题．2．（5分）若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴．故答案为．点评：熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．3．（5分）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据三角形内角和，得到∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，从而∠A=∠C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得△ABC的面积为BC•ABsinB=，得到正确答案．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=120°，∴∠C=180°﹣30°﹣120°=30°∴∠A=∠C⇒BC=AB=6由面积正弦定理公式，得S△ABC=BC•ABsinB=×6×6sin120°=即△ABC的面积为．故答案为：点评：本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，若a2=3，a3+a7=26，则a8=23．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a2=3，a3+a7=26，结合等差数列的性质可求a5，然后代入到d=可求公差d，即可求解解答：解：∵{a n}为等差数列，且a2=3，a3+a7=26由等差数列的性质可知，a3+a7=2a5=26∴a5=13d==a8=a5+3d=13=23故答案为：23点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，灵活利用公式是求解问题的关键5．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理化简已知的比例式，得到a，b及c的比值，根据比例设出a，b及c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的三边长代入，即可求出cosC的值．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得cosC===﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．分）中12n+2n+1n4=﹣3．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：已知a1=3，a2=6，令n=1代入可得a3=a2﹣a1，可以求出a3，再令n=2代入a n+2=a n+1﹣a n，即可求出a4；解答：解：∵中a1=3，a2=6，n=1可得，a3=a2﹣a1，即a3=6﹣3=3，n=2，可得a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，故答案为﹣3；点评：此题主要考查数列的递推公式以及应用，利用特殊值法进行求解，是一道基础题；7．（5分）tan19°+tan26°+tan19°tan26°=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan45°=tan（19°+26°）=1，利用两角和与差的正切函数公式化简，变形后代入所求式子中化简即可求出值．解答：解：∵tan45°=tan（19°+26°）==1，∴tan19°+tan26°=1﹣tan19°tan26°，则tan19°+tan26°+tan19°tan26°=1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°=1．故答案为：1点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（5分）数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和．已知a1=1，q=3，S t=364，则a t=243．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得S t===364，解之可得t=6，代入等比数列的通项公式可得答案．解答：解：由题意可得S t===364，化简可得3t=729，解之可得t=6，故a t=a6=1×35=243故答案为：243点评：本题考查等比数列的前n项和公式，属基础题．9．（5分）（2019•杭州模拟）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和1234n n1n2n31n 的值，代入等差数列的前n项和公式，结合已知条件可求n的值．4（a1+a n1+a n由等差数列的前n项和公式可得：=210，=﹣2sin40°．∴原式=2﹣12．（5分）两等差数列{a n}、{b n}的前n项和的比，的值是．利用等差数列的性质，及求和公式，可得==解：∵==，∴==故答案为：13．（5分）已知数列{a n}中，，，则a2019=．}是以解：∵由，两边取倒数得，即．}是以．，解得=，∴=故答案为：2f（2）+f（4）+…+f（2n）=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）=（2+4+…+2n）×2+n=4×+n=2n（n+1）+n=3n+2n2，故答案为3n+2n2．点评：本题考查了等比数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．15．（14分）若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设三个数分别为a﹣d，a，a+d，由题意可建立关于ad的方程组，解之即可求得三个数．解答：解：由题意设三个数分别为a﹣d，a，a+d，则（a﹣d）+a+（a+d）=15，（a﹣d）2+a2+（a+d）2=83，解得a=5，d=±2．所以这三个数分别为3、5、7；或7、5、3．点评：本题考查等差数列的基本运算，属基础题．16．（14分）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）所求式子利用二倍角的正切函数公式化简，将tan的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，将tan的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵tan=，∴tanα===；（2）∵tan=，∴tan（α﹣）===．点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没考点：点到直线的距离公式．分析：由条件求得∠ACB=150°，BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=4＞3.8，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=15°，∠ACB=150°，AC=8，可得：∠ABC=15°．（1）若，c=2，求△ABC的面积；，再由正弦定理得sinC=．根据b＞c得C为锐角，得到C=，从而A=π﹣B﹣C=，△ABC是直角三角形，由此不难求出它利用余弦定理，B=）∵∴由正弦定理sinC==．C=C=．=×+c=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．19．（2019•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；：计算题．利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．=2x+，2x+2x++x﹣cosx（cosx+cos==cos2x，）的最小正周期为cos2x﹣sin2x=（﹣（cos cox2x sin sin2x cos2x+=2k﹣取得最大值，，n n+n n（1）写出数列{a n}的前3项；（2）求数列{a n}的通项公式（写出推证过程）；（3）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N+都成立的最小正整数m的an=（3）把（2）题中a n的递推关系式代入b n，根据裂项相消法求得T n，最后解得使得对所有n∈N*）∵对所有n∈N+都成立∴即m≥10。