二次函数的图像及性质6

第二章 二次函数

《二次函数的图象与性质（第3课时）》

教学设计说明

深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础

学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2axy、函数caxy2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2axy的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数khxay2)( 的图象和性质.

学生活动经验基础

在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质.

二、教学任务分析

根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下：

知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(hxay和khxay2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2axy的图象的关系，理解kha,,对二次函数图象的影响.

过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手

作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.

情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

教学重点：二次函数khxay2)(的图象与性质.

教学难点：二次函数khxay2)(图象与图象2axy之间的关系，kha,,对二次函数图象的影响.

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一、二次函数的根本形式

1. 二次函数根本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2yaxc的性质：

上加下减。

3. 2yaxh的性质：

左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． -

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二次函数的图像和性质

知识梳理

一、二次函数的概念

一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．

二次函数的两种形式：

(1)一般形式：____________________________；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．

二、二次函数的图象及性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

图象

(a＞0) (a＜0)

开口方向 开口向上 开口向下

对称轴 直线x＝－b2a 直线x＝－b2a

顶点坐标 －b2a，4ac－b24a －b2a，4ac－b24a

增减性 当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；当x＞－b2a时，y随x的增大而增大 当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；当x＞－b2a时，y随x的增大而减小

最值 当x＝－b2a时，y有最______值4ac－b24a 当x＝－b2a时，y有最______值4ac－b24a

三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系

四、二次函数图象的平移

抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下： 2

五、二次函数关系式的确定

1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。

2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。

3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

济学教育 初四•上册•第二单元▪二次函数-第二课时

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知识点一

二次函数的概念

一、二次函数的定义

1. 一般地，形如cbxaxy2（cba,,为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，cba,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.

2. 任何二次函数都可以整理成cbxaxy2（cba,,为常数，0a）的形式．

3. 判断函数是否为二次函数的方法：

① 含有一个变量，且自变量的最高次数为2；

② 二次项系数不等于0；

③ 等式两边都是整式．

4. 二次函数自变量x的取值范围是全体实数．

例1、下列函数中是二次函数的是（ ）

A．2123yxx B．3232yxx C．222yxx D．22yxx

练1、下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．

⑴2xy；⑵21xy；⑶122xxy；⑷)1(xxy；⑸)1)(1()1(2xxxy

练2、下列说法正确的是（ ）

A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数

B．圆的面积公式2Sr中，S是r的二次函数

C．1142yxx不是二次函数

D．212yx中一次项系数为1

练3、已知函数2112ayaxax（a为常数）

⑴当a为何值时，此函数为二次函数？

⑵当a为何值时，此函数为一次函数？

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练4、已知函数32-m1y2m-m2XXm）（）（，当m是什么数时，函数是二次函数？这个二次函数的解析式是多少？