1 / 10
探索二次函数的图象与性质
知识点
一、二次函数2xy的图象的画法
（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取4个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为 ，纵坐标 ，所以只计算y轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x一般取整数。
（2）描点：先将y轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y轴左侧的两个对称点。
（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。
二、二次函数2xy与2xy的图象和性质
1.二次函数2xy的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）
2.二次函数2xy的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）
3.图象和性质
2xy 2xy
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<0时，y随x的增大而 ；
当x>0时，y随x的增大而 ； 当x<0时，y随x的增大而 ；
当x>0时，y随x的增大而 ；
最值
2 / 10
三、二次函数)0(2aaxy图象的画法
（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取几个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x一般取整数。
（2）描点：先将y轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y轴左侧的两个对称点。
第18课时二次函数的图象和性质
本课时复习主要解决下列问题.
1.二次函数的图象和性质的运用
此内容为本课时的重点，为此设计了［归类探究］中的
例1，例2（包括预测变形1，2，3，4）；［限时集训］中的第1，3，5，6，7，9，14，
15，16题
.［学生用书P1］
求二次函数的解析式
此内容本课时的重点，为此设计了［归类探究］中的例3，例4；［限时集训］中的第4
题.
3. 有关图象的平移问题
此内容为本课时的重点，为此设计了［归类探究］中的例5；［限时集训］中的第2，10
题.
4.二次函数的综合运用
此内容为本课时的难点，为此设计了［归类探究］中的例6，例7；［限时集训］中的第
8，11，12，13，17题.
1.［2011·佛山］下列函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（
）［学生用书P1］
D
［2011·深圳］对抛物线y=-x2+2x-3而言,下列结论正确的是（）
A.与x轴有两个交点
B.开口向上
C.与y轴的交点坐标是(0, 3)
D.顶点坐标是(1, -2)
3.［2011·陕西］若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1,y1），B（2,y2）,C(3 ,y3)
三点，则y1、y2、y3大小关系正确的是（）
A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y1＞y2D
B
［2011·山西］已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图18-1所示，对称轴为直线
x=1,则下列结论正确的是（）
A.ac＞0
B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3
C.2a-b=0
D.当x>0时，y随x的增大而减小B
二次函数的概念
定义：形如y=
(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.
注意：二次项系数a≠0.
2.二次函数的图象及性质
如下图所示［学生用书P1］
ax2+bx+c
二次函数系数a,b,c与图象的关系a的作用：决定开口的方向和大小.（1）a＞0开口向上，a＜0开口向下;（2）|a|越大，抛物线的开口越小.b的作用：决定顶点的位置.（1）b与a同号时，顶点在y轴的边;（2）b与a异号时，顶点在y轴的右边;（3）b=0时，顶点在.3.二次函数的三种形式
二次函数ｙ＝ ＋ｂｘ＋ｃ ≠０）的图像与系数之间关系的试题，
在中考中频繁出现，由于综合的知识点多，对知识的灵活运用要求 高，不少学生解答起来很吃力，针对此类题型，笔者归纳出一些规
律，以飨读者．
【知识准备】解答此类题型需要运用到下列知识：
１．开口方向决定ａ的正负：开口向上，ａ＞Ｏ；开口向下，ａ＜Ｏ； ２．与Ｙ轴交点的纵坐标决定ｃ的正负：交点在Ｙ轴正半轴，
ｃ＞Ｏ；交点在Ｙ轴负半轴，ｃ＜Ｏ；
３．对称轴位置与ａ一起决定ｂ的正负：通过比较对称轴中
一— 与０的大小，结合０的正负运用不等式性质推出ｂ的正负； ａ ４．与 轴的交点个数决定ｂ２－４ａｃ的正负：若图像与 轴有两 个交点，则６２．４ ＞０；若无交点，则ｂ２－４ａｃ＜０；若恰有一个交点，
则ｂ２—４ａｃ＝０； 及性质的应用
二次函数图像 ５．通过比较对称轴中一— 与１或一１的大小，推出２ａ—ｂ或 Ⅱ ２ａ＋ｂ的正负； ６．特殊点的函数值：如Ｘ－－一１，１，一２，２，一３，３等点的函数值Ｉｆ（一１）
表示当Ｘ－－一１时，Ｙ的函数值１； ７．运用第３点、第５点得到的等式、不等式推导出与口，６，ｃ相 关但只含两个参数的不等式； ８．除上述７点，二次函数的其他性质如对称性、顶点等也需
用到，注意上述各点的使用顺序，如第３点一定用在第１点后面．
【知识运用】以下为中考常见题型。现用上述知识来解答：
例１（２０１１年兰州卷）如图１，在二次函数ｙ＝ ＋ｂｘ＋ｃ的图
像中，刘星同学观察得出了下面四条信 息：（１）ｂＬ４ａｅ＞０；（２）ｃ＞１；（３）２ａ—ｂ＜０； （４）ａ＋ｂ＋ｃ＜Ｏ．你认为其中错误的有（ ）． Ａ．２个 Ｂ．３个
Ｃ．４个Ｄ．１个 分析：观察图像，根据第４条知（１）正 确；根据第２条知（２）错误；根据第５条，由 Ｊ １），
、‘ １ ｛ ． ～ ｝二 Ｄ ＼
图１
对称轴丢＞一１知，（３）正确；根据第６点知 １）＜ｏ，（４）正确．选Ｄ
济学教育 初四•上册•第二单元▪二次函数-第二课时
第 1 页 共 6 页
知识点一
二次函数的概念
一、二次函数的定义
1. 一般地，形如cbxaxy2（cba,,为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，cba,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
2. 任何二次函数都可以整理成cbxaxy2（cba,,为常数，0a）的形式．
3. 判断函数是否为二次函数的方法：
① 含有一个变量，且自变量的最高次数为2；
② 二次项系数不等于0；
③ 等式两边都是整式．
4. 二次函数自变量x的取值范围是全体实数．
例1、下列函数中是二次函数的是（ ）
A．2123yxx B．3232yxx C．222yxx D．22yxx
练1、下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴2xy；⑵21xy；⑶122xxy；⑷)1(xxy；⑸)1)(1()1(2xxxy
练2、下列说法正确的是（ ）
A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数
B．圆的面积公式2Sr中，S是r的二次函数
C．1142yxx不是二次函数
D．212yx中一次项系数为1
练3、已知函数2112ayaxax（a为常数）
⑴当a为何值时，此函数为二次函数？
⑵当a为何值时，此函数为一次函数？
二次函数概念及图象性质 济学教育 初四•上册•第二单元▪二次函数-第二课时
第 2 页 共 6 页
练4、已知函数32-m1y2m-m2XXm）（）（，当m是什么数时，函数是二次函数？这个二次函数的解析式是多少？
