矩阵理论的应用
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矩阵理论的应用
摘要：矩阵是数学的基本概念之一。作为线性代数的核心内容，矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。
关键词：矩阵；密码学；化学；数学建模；应用
Abstract：Matrix is one of the fundamental conception in mathematics.As the core
content in the linear algebra,It is used in various domains like mathematical
modeling,cryptology,chemistry,communication&computer science,etc.and also
solve a large amount of practical problems.
Keyword：matrix,cryptology,chemistry,mathematical modeling,application.
一、引言
矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。
矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域也有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，故矩阵理论的研究也就越来越重要。
二、 矩阵理论在实际中的应用
矩阵理论的应用是十分有必要，也是十分简便的。它帮助我们解决了大量的实际问题，具体应用有如下几个方面：
（1）在密码学中的应用
古罗马时期，凯撒大帝为了避免信使在途中背杀以至于情报被敌军劫走，发明了一种方法，即，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第四个字母。
人们为了纪念凯撒，就把这种密码称为凯撒密码。但是凯撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。后来凯撒改良了此种方法，将羊皮纸做成长条绑在木棍上，纵向书写，再展开，如果不按照规定的方法捆绑，就无法读出真实的内容。到了1929年，Hill提出了一种克服凯撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此是密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。下面举两个利用二阶矩阵的例子来说明Hill密码的加密与解密。
如I love you这句话，我们对此进行加密和解密。
首先，我们把A-Z26个字母分别编号为1,2,3„„24,25,0。
其次，两两一组把明文分组，如果明文字母个数为奇数，则在最后随意加一字母，比如Il ov ey ou。
第三，把分过组的字母按照编号转化为1*2数字矩阵Qi：
Q1=（错误！未找到引用源。 ），Q2=（错误！未找到引用源。 ），Q3=（错误！未找到引用源。 ），Q4=（错误！未找到引用源。 ）
第四，取二阶方阵A=（错误！未找到引用源。）分别左乘Qi，得到Pi=AQi：
P1=（错误！未找到引用源。 ），P2=（错误！未找到引用源。 ），P3=（错误！未找到引用源。 ），P4=（错误！未找到引用源。 ）
第五，每个Pi的分量对26取同余，得到余数：
1,4,19,0,15,4,19,25。
第六，把这些余数矩阵转化为英文字母，这就得到了利用Hill方法加密后的密文：
Ad，sz，od，sy。
解码时只要通过A的逆矩阵就可以把原话给求出来。
I love you。
（2）在化学中的应用
化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。
定义：化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数，排列成的数字表成为化学反应矩阵。
例如：2H2+O2=2H2O的反应矩阵为（错误！未找到引用源。），其中行数代表是各个元素，比如第一行代表氢，第二行代表氧。列数代表各个物质，如第一列代表氢气，第二列代表氧气，第三列代表水。各个数值表示该物质中含有的对应元素的原子个数，比如第二行第二列代表氧气中含有两个氧原子。第二行第三列代表水中含有一个氧原子。
在遇到复杂的化学方程式时，我们可以利用克拉默法则进行求解，如：
KMnO4=K2MnO4+MnO2+O2
这是高锰酸钾光解或加热后的反应方程式，这个式子中有4个物质，它们由3种原子（钾，锰和氧）组成。因此，化学反应矩阵如下：
P=（错误！未找到引用源。）
矩阵中第一行代表钾，第二行代表锰，第三行代表氧。列代表每一种元素在各个物质中的原子数量。
接下来，我们分别将第一列，第二列，第三列和第四列去掉，构成四个3*3的方阵：
P1=（错误！未找到引用源。）P2=（错误！未找到引用源。）P3=（错误！未找到引用源。）P4=（错误！未找到引用源。）
不难求得，各个方阵的行列式值的绝对值为4,2,2,2。
因此，化学反应方程式的系数可以写成：
2KMnO4=K2MnO4+MnO2+O2
这种方法在参与反应的物质较多的时候可以大大降低运算程度，占有很好的优势。然而它也有很明显的局限性，因为涉及到行列式求值问题，所以被“削减”后的矩阵必须是方阵，进而可以推出，必须满足“参与反应的物质数量必须比参与反应的元素的数量多一个”这样严苛的条件才能够使用此种方法。
（3）在数学建模中的应用
矩阵在数学建模中也有极大的作用，这里以方幂为例，如果我们设想有ABCD四个地点，其中各个地点间的道路连通情况如图所示：
可以写出其转移矩阵如下：
P1=（错误！未找到引用源。）
其中，上角标1代表一步的转移状态，矩阵中0代表从X点到Y点没有道路直达，1代表有一条路直达。如A→B有一条路直达，因此P12=1。
同理，我们可以将P2P3算出：
P2=（错误！未找到引用源。）
P3=（错误！未找到引用源。）
依旧以A→B为例，上式中的角标2和3代表两步转移状态和三步转移状态，在P2中，P12=1，代表A→B有一条路可以两步到达，即A→C→B；而在P3中，P12=2，代表A→B有两条路可以三步到达，即A→D→C→B和A→D→A→B。由此，我们可以推算出N次转移时，Pn的选择路线。
（4）在计算机图形学的应用
在计算机图形学中接触到很多与矩阵变换有关的知识，下面将简单列举矩阵
在这门课中的重要作用。
在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n维向量。如点A（x,y,z）用齐次向量坐标表示为A(x,y,z,1)。
例3：在二维直角坐标系中有三角形ABC，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向x轴正方向平移2个单位，向y轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵?
解：先写出ABC三点所对应的齐次坐标，A（2，3,1）,B(3,1,1),C(1,1,1)
平移的矩阵变换式为
此处Tx=2 Ty=2,则变换矩阵为
经上述变换后，A点齐次坐标为（4，5，1）B点齐次坐标为(5,3,1)
C点齐次坐标为（3，3，1）。
可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。我们可以定义以下二维变换矩阵：
这样，二维空间中的某点的二维变换可以表示成点的规范化齐次坐标矩阵与三维齐次坐标变换矩阵 相乘的形式，即
根据 在变换中的具体作用，进一步可以将 分成4个子矩阵。
smlqdcpbaTD2DT2smlqdcpbazyxTzyxzyxD111'''2DT2DT21101000111yxyxTyTxTTyxyx122010001
矩阵 的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。
矩阵 的作用是对点进行平移变换。
矩阵 的作用是进行透视投影变换。
矩阵 的作用是产生整体比例变换。
（5）在管理学中的应用
1．生产成本计算
在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁杂乱，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。
例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、
每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。
表1.生产单位产品的成本（元）
表2.每种产品各季度产量（件）成本 产品
A B C
原料费用 10 20 15
支付工资 30 40 20 sT4qpT3mlT2dcbaT1
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示管理及其他费用 10 15 10 产品 季度
春季 夏季 秋季 冬季
A 2000 3000 2500 2000
B 2800 4800 3700 3000
C 2500 3500 4000 2000
101510204030152010M200040003500250030003700480028002000250030002000N
