高一数学必修一平面向量的坐标运算

2 3
k＜
2 3
思考2：△ABC为钝角三角形，求k的范围？
k＜
或
3 2 13
＜k＜
3 2
或
3
＜k ＜ 2
3 2
13
或k＞
11 3
思考3：△ABC为锐角三角形，求k的范围？
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x , y ) 与 v ( y , 2 y x ) 的对应关系用 v f (u ) 表示． （1）设a (1,1), b (1, 0 ) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有： f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ) 成立； （3）求使 f ( c ) ( p , q )（p，q为常数）的向量 c 的坐标． 解：⑴ 由题意，知：
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC
y C4 C2 B
＜0且
AB 、 AC
不共线；
k＜
2 3
即 2 3 k ＜0
或
BA BC
BC ＜0且 BA、 不共线. 即 1 ( 2 ) 3 ( k 3 )＜0
又 mf ( a ) nf ( b ) m ( a 2 , 2 a 2 a 1 ) n ( b 2 , 2 b 2 b1 ),
( ma 2 nb 2 , 2 ma 2 2 nb 2 ma 1 nb 1 )
f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ).
若u
( x , y ),

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、导1.轴上向量坐标及其运算2.平面向量基本定理3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。

我们通常放在直角坐标系 中研究向量的正交分解。

4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？二、思 （按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。

）1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示?2.如何判断两个向量是互相垂直？3.什么叫做正交基底？4.什么叫做正交分解？5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ--------------1122a e e λλ=+6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。

7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。

8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。

9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（），（求顶点D 的坐标。

三、议讨论“思”中的问题。

四、展我展示！我补充！我质疑！五、评1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。

2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。

3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2b b ,2a a (2121++ 六．检 课本103页练习A 第2题、第4题七、练1、《同步练习册》 第52页基础巩固、第53页能力提升2、整理笔记当堂检测向量的正交分解与坐标运算1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b2设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)3.已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a+b的坐标。

生的历史背景.以为这就是进行了数学文化的教育 了.而若没人听课，那么上课则就又回到了原来传统 的样子.其实教师学生如果以这样的心态来理解要 学习数学文化的话，那就大错特错了.随着高考自主 命题省份不断增加，越来越多的大学教授和数学专 家参与高考命题.大学教授们非常希望通过此类试 题的考查来选拔一些有发展潜能的人才.这种类型 的试题落脚点一般是：著名的数学问题、著名定理、著名公式或著名图形等，如高考试题除了上面我们 提到的阿波罗尼斯圆、蒙曰圆等著名的数学文化背 景以外，还出现过以杨辉三角、四色问题、蝴蝶定理、哥尼斯堡七桥问题、克拉茨猜想等等为背景的试题，这种试题观点较高，试题的知识点源于初等数学的 内容，解题的手段和方法一般也是中学中较常用的. 以名题为背景的试题使得这些考试对中学数学教学 的创新和改革以及对数学文化的渗透起到明显的导 向作用，更能够调动中学数学教师积极地在课堂里 渗透数学文化，拉近课标理念与实际教学的距离.通 过高考试题文化背景的渗透，学生对数学文化的理 解又会达到一个新的理性的高度.其实现在已经进入了互联网家的时代，学生的 学习不能再是老一套的方法，更多的可以借助网络媒体这样的工具，教师也可以适当给出相应的数学 文化学习的任务，布置一些课外阅读，让学生在课余 兴趣活动中多了解数学的发展历史.特别是高一的 学生刚进入高中，学习的压力没有那么大，学校或备 课组完全可以专门开设数学课外选修课，让学生可 以借助于课外选修课的机会，老师与学生一起学习 数学史,也可以通过网络媒体一起了解学习相应的 数学发展史.最后引入叶中豪先生一句话，“数学是一种文 化，而文化就是要被继承的东西”.教师本身也需要 加强数学文化的学习，提高自身数学文化素养水平，数学教学应将“让数学变得文化些，还数学以文化 之本来面目”作为每个数学教师追求的目标.我们 要从学生的终身发展出发，多思考如何将数学文化 在我们的课堂上生根发芽，从而让课堂教学绽放绚 丽的光彩.[1]中华人民共和国教育部，普通高中《数学课程标准（实验)》.人民教育出版社出版社.[2 ]伏春玲，冯秀芳,董建德.数学文化在中学数学教学中的渗透[J].数学教育学报，2012 (6).参考文献平面向量坐标运算”的教学反思广东广州大学附属中学（510006) 王朝阳平面向量是高中数学的主要部分属于基础性 方法性的内容，是研究几何图形和几何变换的工具，在解析几何中具有重要的作用.而平面向量的坐标 运算，又是平面向量内容里面的重要部分，它是对平 面向量基本定理的进一步深化.笔者在上完《平面 向量坐标运算》课后，有不少教学反思，现与大家分 享-_、教材分析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之 一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.向量的坐标表示，实际是向 量的代数表示.引入向量的坐标表示可以使向量完 全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多 几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.而平 面向量的坐标运算是高考中常考的知识点，运用向 量方法解决解析几何和立体几何中的有关知识，有时候显得非常方便.通过平面向量的坐标运算，我们 可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力，通过代数方法解决几何问题，提高学生用数形结合思想解决问 题的能力.本节的教学重点是:平面向量的坐标运算.本节的教学难点是：对平面向量共线的坐标表 示的理解.二、课程内容设计1. 平面向量的坐标运算本部分内容比较简单，直接运用向量在基底下 的表示形式讲解即可.然后进行小结，再让学生做4 道练习.2. 平面向量共线的坐标表示有向量共线的判定定理S= /^，将两向量用 坐标表示，消元，得到共线的坐标表示,• 4 •中学数学研究2019年第2期然后比较两式的优缺点，并告诉学生消元的时候不 能直接两式相除的理由，最后再通过练习强化.最后 通过边讲边练，让学生充分动手，动脑，动眼达到掌 握本节内容的目的.但是，在课程内容设计上，我把 平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标运算放 一起教学了.课后反思，内容过多了，一方面学生在 接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就很 难把握好，一节课时间内让学生掌握如此多的知识，难度很大.同时，一味地赶进度，带来的直接后果就 是学生学而不精，对深层的问题，没有实质性的认 识，只会死记公式，做原题，对于变形题目，学生仍然 无从下手.三、 学生水平分析本班学生，通过前面几次考试，大部分学生接受 知识的能力还是可以的，20%的学生通过自己看 书，能够掌握本节内容的80%，30%的学生在课堂上能够跟上我的教学思路，通过讲解，也能很快掌 握，30%的学生勉强能跟上，但需要时间消化，剩下 20%的学生，如果不预习课本，基本上课堂很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟上.事实证明：我对本班学生的分析还是很不到位的，学生在接受新 知识方面，大部分学生还是有一定困难的.四、教学启示1. 关于课堂引入上课之前，我已经让学生提前预习，因此，我个 人认为本节内容，大部分学生都能懂，对平面向量的 运算法则，学生再比较数的运算，能很好的理解.因 此，在课堂引入过程中，我直接引用平面直角坐标系 中的基底了有笈=(X m)，方=〇2,：r2)得到萏 ='7 + y!7，五=+ y27，于是3 + 7 = ^7 + ^7 + x27 + y27 = (A + x2)7 + (y! + y2)7,所以 S + 苫=〇! + *2，；^ + y2),同理 a -芯=(A- y2)，A? = (A^，Ay i).如此教学，学生能很快掌握住平 面向量坐标的运算法则，但在教学的过程中，我一直 未引入平面直角坐标系，导致的直接后果是学生不 能够运用数形结合思想，甚至不明白为什么有S= (a，y i)可得到 S = &了+ yi7_ 对于，j i)，B(X2，y2)，我们有= (A- A，y2- y:)，I I= ^(x2 -x t)*2 + (y2 - yxy.学生虽然能很快记住这 种运算，但却不明白是如何得来的，这是教学的一个 失误.2. 关于习题处理在处理练习上，我高估了学生的水平，对学生的 认知能力没有一个清楚的认识，在应该点评之处却 未做点评，导致学生虽然知道错了，却不知道错在何 处，下次再做到这种题型，还是很有可能出现问题.例如:⑴若職3, -2)，iV(-5, - 1)，且—=士威，则点P的坐标为________;(2)已知平行四边形仙CD的三个顶点4(-2，1)，5(-1，3)，(：(3,4)，则点■〇的坐标为________■习题处理要注意可行性：教师应在学生“最近 发展区”内进行习题的处理，如果不顾学生思维的 质量，过分简单地处理习题既会影响学生思维活动 充分的展开，也不能让学生的思维得到其应有的激 励；而难度过大的习题易挫伤学生的学习积极性，使 学生难以获得成功的喜悦，长此以往,将使学生丧失 自信心.所以，习题的选择要把握好“度习题选择要有典型性选择要克服贪多、贪全.有时看看题目那 个也不错，都想让学生做一做，结果题量就大了，所 以习题的选择一定要典型，既要注意到对知识点的 覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的.习题选择还要有研究性，选择习题 要精，要有丰富内涵，教师除注重结果之外，更要注 重组题方式和质量，达到“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共同本质；多题归一，归纳思考规律.”同时，习题选择要注重对课本习题的挖掘，教师在题 目选编中，要优先考虑课本中例题与习题，适当拓 深、演变，使其源于教材，又不拘泥于教材.不应“丢了西瓜去捡芝麻”，忽视课本习题去搞大量的课外 习题.在实践中我们要精心设计和挖掘课本习题，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，由此提高学生灵活运用知识的能力.比如，在平面向量共线问题中，设S = (A A J，芯=(A，y：z)，其中芯_I有平面向量共线的判断定 理可得:存在实数A,使得S= A"?，进而得到^= /U2,7i=Ay2,两式消去A,得到=^7!,在这个 过程中应该让学生自己去消A,学生中肯定存在直 接两式相除的，这样就可以引导学生，相除的时候应 该注意什么，从而得出分类讨论，进一步把分类讨论 思想教给学生.再如，给学生布置以下3道小题课堂练习：(1)已知 S = (4,2)J = (6，y)，且：//方，则J = ________;(2)已知 M(1，0)，W(0，1)，P(2，1)，<?(l,y)，且滿//玲，则％ = ________;(3)若向量2019年第2期中学数学研究• 5 •S = (- 1，x)与芯=(-%，2)共线且方向相同，则x在组织方法上，我是让学生到黑板上做并且只 让学生写了答案，而没给出过程，这是一个失误.在 教学的过程中，学生做题的过程才是重要的.对于第(3)题，我只是简单的提示了一下，但仍然是高估了 学生，有部分学生不明白为什么只有一个答案.3.重视发挥学生的主观能动性在解题的过程中，应该充分发挥学生的主观能 动性，学生的思维是灵活的，只要给他一丝春风，他就会给你一片灿烂的花园.例如，已知4(-1，-1)'(1，3)，<：(2,5)，试判 断4，C三点之间的位置关系.变式 已知向量冗=(左，12)，成=(4,5)，冗=(10,左），若A，B，C三点共线，则A=在这个例题讲解中，我只给了两种方法，如果当时给一点时间让学生思考，学生肯定能想到更多很 好的方法，而在做变式时，当时我让一个学生到黑板 上板演，当她在做到因式分解时，迟迟写不出来，由于时间关系，我没让她再做下去.这样中途制止她，很有可能打击了她学习的积极性.作为教师，我们应 该充分相信学生，充分发挥他们的主观能动性，给他 们创造奇迹的机会和平台.4•充分估计学生能力在课堂教学之前，做为教师，我们应该对学生有 个充分的估量，特别是在这些容易出错的地方，学生 会出现那些错误，学生会用什么方法解决问题，教师 应该事先有个充分的估量，由此才会不至于课堂教 学中，出现教师没预料到的情况，出现被动教学境 地.总之，做为教师，我们只是组织者，推进者和指 导者，我们应该把更多的主动权交给学生，让学生充 分发挥自己的主观能动性，去创造奇迹，让他们的思 维更灵活，情感升华更彻底，知识的获得更完善.一道解析几何题的变式教学及反思江苏省苏州实验中学（215000)张文海题目是研究数学思想方法的载体，在数学教学 中对它们不能简单地就题论题，而应进行适当的变 化、引申、挖掘与推广，提出有价值的新问题,这样做 不仅使知识能够触类旁通，起到真正举一反三的学 习效果，而且可以开阔学生的思想，培养学生的探究 能力和创新能力•在教学过程中，笔者发现一道有意 思的解析几何题，以此为背景，通过适当的变化，可以得到一些有趣的问题.1.原题如图1，已知抛物线C:y2=4x的焦点为f，过点以-1，〇)的直线Z与C相交于4、B两点，点4关于％轴的对称点为■〇•证明：点f在直线证明：设，图1B〇2，：T2)，D(*1，- ：T i)，则Z的方程为 a: =/n y-l(7n#0)■将x =m y-l代入 y2 =4x并整理得y2 -4my+ 4 = 0,从而 & +y2 = 4m，= 4,直线 的方程为；y - y2 = —— •{x -X^丨2)，即;r- J2 = —----(x -亨），令y = 〇,得％ =Jz - Jl4f = 1，所以点f(l，0)在直线5/)上.注：本题的条件有三个:①抛物线的方程c:y2 =知;@过点尺（-1，0)的直线^与（：相交于/1、5两点；③点4关于X轴的对称点为要求证的结论是：点f在直线上.2.问题的变式(1)互换题目的条件③和结论变式1已知抛物线C:/ =4x的焦点为F,过 点反（-1,0)的直线Z与C相交于两点，点5与f连线交抛物线于■〇点，证明丄％轴.证明：设 ，B(a:2，y2)，Z)(x3，y3)，直线 Z 的方程为％ = my- l(m#0).将a: = my- 1代入y2 =4% 并整理得y2 -+ 4 = 0,从而y! + y2 = 4m,Tih= 4•直线的方程为;i; - 1=」---y,将％ -J2。

类型二 向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ， 求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
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