数学分析2期末考试题库

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数学分析2期末考试题库(总49页) 11 数学分析 2 期末试题库

《数学分析 II 》考试试题( 1)

一、 叙述题:(每小题 6 分,共 18 分)

1、 牛顿-莱不尼兹公式

2、 a 收敛的 cauchy 收敛原理

n

n 1

3、 全微分

二、 计算题 :(每小题 8 分,共 32 分)

1、

lim

x 0

x

0 2

sin t dt

4

x

2、求由曲线 2

y x

和 2

x y 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体

积。

3、求

n n

x

1 n(n 1) 的收敛半径和收敛域,并求和

y

4、已知 z

u x ,求 2

u

x

y

三、(每小题 10 分,共 30 分)

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

x

p 1e x dx

2、讨论反常积分

的敛散性

0

1

2 x

3、讨论函数列 Sn ( , ) 的一致收敛性

( x) x

2

n

四、 证明题 (每小题 10 分,共 20 分)

x 1

n

1 n

1、设 x 0, 1 ( 1,2 )

n ,证明

x n

n

n 1 x 发散

n

2、证明函数 xy

2 2

x y 0

f (x, y) 2 2 在(0,0)点连续且可偏导,

x y

2 2

0 x y 0

但它在该点不可微。 ,11 《数学分析 II 》考试题( 2)

一、 叙述题 :( 每小题 5 分,共 10 分)

b

1、 叙述反常积分 f (x)dx,a 为奇点收敛的 cauchy 收敛原理

a

2、 二元函数 f (x, y)在区域 D上的一致连续

二、 计算题 :(每小题 8 分,共 40 分)

1 1 1

1、 )

lim (

n 1 n 2 2

n n

x a(t sin t) 2、求摆线 t [ 0,2 ] y a(1 cost) 与 x 轴围成的面积

1 x

3、求 (cpv ) dx

2

1 x

4、求幂级数

n 1 (x n

1)

2

n 的收敛半径和收敛域

x

5、 ( , ) u f xy , 求

y 2

u

x y

三、 讨论与验证题 :(每小题 10 分,共 30 分)

1、 f 2

x y

(x, y) ,求lim lim f (x, y),mil mil f (x, y)

x y x 0 y 0 y 0 x 0 ; lim ( , )

f x y (x, y) (0,0) 是否存在?

为什么?

2、讨论反常积分

0 arctan

p

x x dx 的敛散性。

3、讨论

n 1 3

n ( 2 (

n

3 1) n n

) 的敛散性。

四、 证明题 :(每小题 10 分,共 20 分)

b

1、 设 f (x)在 [ a, b] 连续, f (x) 0但不恒为 0,证明 f (x)dx 0

a

2、 设函数 u 和 v 可微,证明 grad ( uv)= ugradv+vgradu11 《数学分析 II 》考试题( 3)

五、 叙述题 :(每小题 5 分,共 15 分)

1、定积分

2、连通集

3、函数项级数的一致连续性

六、 计算题 :(每小题 7 分,共 35 分)

1、 e

sin(ln 1 x)dx

2、求三叶玫瑰线 r asin 3 [ 0, ] 围成的面积

3、求 n 2n

xn cos 的上下极限 2n 1 5

4、求幂级数

n n

(x 1)

n

1 2 的和

5、u f (x, y) 为可微函数, 求 ( u

x u

2 ( ) y

) 2

在极坐标下的表达式

七、 讨论与验证题 :(每小题 10 分,共 30 分)

1、已知 f (x,

y) 2 2

(x y ) sin

0

x 0

y

0 或 1

x cos 1

y x 0, y 0

,求 lim

( , )

f

x y ( x ,y) (0,0)

,问

lim

x 0 lim y 0 f ( x, y), lim y 0 lim f (x, x 0 y) 是否存在为什么

2、讨论反常积分

0

x

p 1

q

x dx 的敛散性。

nx

3、讨论 [ 0,1]

f n (x) x 的一致收敛性。

1 n x

八、 证明题 :(每小题 10 分,共 20 分)

--1

1、 设 f (x)在 [ a,+ ∞)上单调增加的连续函数, f (0) 0 ,记它的反函数 f

(y),

a b

1

证明 f (x)dx f ( y)dy ab (a 0, b 0)

0 0

2、 设正项级数 x 收敛,证明级数

n 2

x 也收敛 n

n 1 n 111 《数学分析》(二)测试题( 4)

一. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“× ” ;每小题 3 分,共 15 分):

1.闭区间 a, b 的全体聚点的集合是 a, b 本身。

2

2.函数 ln x x 1 是

x 1

2

1 在区间 1, 内的原函数。

3.若 f x 在 a, b 上有界,则 f x 在 a, b 上必可积。

x

4.若 f x 为连续的偶函数,则 F x f t dt

0 亦为偶函数。

5.正项级数

n n

10

1 n 1 ! 是收敛的。

二.填空题 (每小题 3 分,共 15 分):

1.数列 1 n n

3n

1 的上极限为 ,下极限为 。

2. 1 2 n

lim n n

2 2 2 22 2

n 1 n n 2 。

3. d tan

dx 0 x t

e dt 。

4.幂级数

n n

x

n

1 n 3 的收敛半径 R 。

5 .将 函数 f x x x 展开成 傅里叶 级数,则 a0 ,

a ,

n

b 。

n

三.计算题 (每小题 7 分,共 28 分):

dx 1. x x e e ; 2. e

0

xln x dx;

x

3. dx ; 4. xdx

2 0 1 4

x 1 x 1 11 四.解答题 (每小题 10 分,共 30 分):

2

1.求由抛物线 y 2x 与直线 y x 4 所围图形的面积。

n

2.判断级数

1 tan

n 1 1

n 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

3.确定幂级数

n 1 2n

x

2n 1

1 的收敛域,并求其和函数。

五.证明题 (12 分):

证明:函数 sin nx

f x 在 , 上有连续的二阶导函数,并求 f x 。

4

n n 1 11 《数学分析》(二)测试题( 5)

二. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“× ” ;每小题 3 分,共 15 分):

1.设 a 为点集 E 的聚点,则 a E 。

2

2.函数 ln x x 1 是

x 1

2

1 在 , 内的原函数。

3.有界是函数可积的必要条件。

x

4.若 f x 为连续的奇函数,则 F x f t dt 0 亦为奇函数。

2

n

5.正项级数 是收敛的。

n

n 1

2

二.填空题 (每小题 3 分,共 15 分):

1.数列 n

2 1 的上极限为 ,下极限为 。

2. 1 2 n

lim n n

2 2 2 2

n

n n n n 2 。

3. d sin

dx 0 x t

e dt 。

4.幂级数

n 1

n n

4

2 1 n

x 的收敛半径 R 。

5 .将 函数 f x x x 展 开 成傅 里叶级 数,则 a0 ,

a ,

n

b 。

n

三.计算题 (每小题 7 分,共 28 分):

3

x

1. dx 2

9 x ; 2. 1

0 e x dx ;