数学分析2期末考试题库
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数学分析2期末考试题库(总49页) 11 数学分析 2 期末试题库
《数学分析 II 》考试试题( 1)
一、 叙述题:(每小题 6 分,共 18 分)
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、 a 收敛的 cauchy 收敛原理
n
n 1
3、 全微分
二、 计算题 :(每小题 8 分,共 32 分)
1、
lim
x 0
x
0 2
sin t dt
4
x
2、求由曲线 2
y x
和 2
x y 围成的图形的面积和该图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体
积。
3、求
n n
x
1 n(n 1) 的收敛半径和收敛域,并求和
y
4、已知 z
u x ,求 2
u
x
y
三、(每小题 10 分,共 30 分)
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
x
p 1e x dx
2、讨论反常积分
的敛散性
0
1
2 x
3、讨论函数列 Sn ( , ) 的一致收敛性
( x) x
2
n
四、 证明题 (每小题 10 分,共 20 分)
x 1
n
1 n
1、设 x 0, 1 ( 1,2 )
n ,证明
x n
n
n 1 x 发散
n
2、证明函数 xy
2 2
x y 0
f (x, y) 2 2 在(0,0)点连续且可偏导,
x y
2 2
0 x y 0
但它在该点不可微。 ,11 《数学分析 II 》考试题( 2)
一、 叙述题 :( 每小题 5 分,共 10 分)
b
1、 叙述反常积分 f (x)dx,a 为奇点收敛的 cauchy 收敛原理
a
2、 二元函数 f (x, y)在区域 D上的一致连续
二、 计算题 :(每小题 8 分,共 40 分)
1 1 1
1、 )
lim (
n 1 n 2 2
n n
x a(t sin t) 2、求摆线 t [ 0,2 ] y a(1 cost) 与 x 轴围成的面积
1 x
3、求 (cpv ) dx
2
1 x
4、求幂级数
n 1 (x n
1)
2
n 的收敛半径和收敛域
x
5、 ( , ) u f xy , 求
y 2
u
x y
三、 讨论与验证题 :(每小题 10 分,共 30 分)
1、 f 2
x y
(x, y) ,求lim lim f (x, y),mil mil f (x, y)
x y x 0 y 0 y 0 x 0 ; lim ( , )
f x y (x, y) (0,0) 是否存在?
为什么?
2、讨论反常积分
0 arctan
p
x x dx 的敛散性。
3、讨论
n 1 3
n ( 2 (
n
3 1) n n
) 的敛散性。
四、 证明题 :(每小题 10 分,共 20 分)
b
1、 设 f (x)在 [ a, b] 连续, f (x) 0但不恒为 0,证明 f (x)dx 0
a
2、 设函数 u 和 v 可微,证明 grad ( uv)= ugradv+vgradu11 《数学分析 II 》考试题( 3)
五、 叙述题 :(每小题 5 分,共 15 分)
1、定积分
2、连通集
3、函数项级数的一致连续性
六、 计算题 :(每小题 7 分,共 35 分)
1、 e
sin(ln 1 x)dx
2、求三叶玫瑰线 r asin 3 [ 0, ] 围成的面积
3、求 n 2n
xn cos 的上下极限 2n 1 5
4、求幂级数
n n
(x 1)
n
1 2 的和
5、u f (x, y) 为可微函数, 求 ( u
x u
2 ( ) y
) 2
在极坐标下的表达式
七、 讨论与验证题 :(每小题 10 分,共 30 分)
1、已知 f (x,
y) 2 2
(x y ) sin
0
x 0
y
0 或 1
x cos 1
y x 0, y 0
,求 lim
( , )
f
x y ( x ,y) (0,0)
,问
lim
x 0 lim y 0 f ( x, y), lim y 0 lim f (x, x 0 y) 是否存在为什么
2、讨论反常积分
0
x
p 1
q
x dx 的敛散性。
nx
3、讨论 [ 0,1]
f n (x) x 的一致收敛性。
1 n x
八、 证明题 :(每小题 10 分,共 20 分)
--1
1、 设 f (x)在 [ a,+ ∞)上单调增加的连续函数, f (0) 0 ,记它的反函数 f
(y),
a b
1
证明 f (x)dx f ( y)dy ab (a 0, b 0)
0 0
2、 设正项级数 x 收敛,证明级数
n 2
x 也收敛 n
n 1 n 111 《数学分析》(二)测试题( 4)
一. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“× ” ;每小题 3 分,共 15 分):
1.闭区间 a, b 的全体聚点的集合是 a, b 本身。
2
2.函数 ln x x 1 是
x 1
2
1 在区间 1, 内的原函数。
3.若 f x 在 a, b 上有界,则 f x 在 a, b 上必可积。
x
4.若 f x 为连续的偶函数,则 F x f t dt
0 亦为偶函数。
5.正项级数
n n
10
1 n 1 ! 是收敛的。
二.填空题 (每小题 3 分,共 15 分):
1.数列 1 n n
3n
1 的上极限为 ,下极限为 。
2. 1 2 n
lim n n
2 2 2 22 2
n 1 n n 2 。
3. d tan
dx 0 x t
e dt 。
4.幂级数
n n
x
n
1 n 3 的收敛半径 R 。
5 .将 函数 f x x x 展开成 傅里叶 级数,则 a0 ,
a ,
n
b 。
n
三.计算题 (每小题 7 分,共 28 分):
dx 1. x x e e ; 2. e
0
xln x dx;
x
3. dx ; 4. xdx
2 0 1 4
x 1 x 1 11 四.解答题 (每小题 10 分,共 30 分):
2
1.求由抛物线 y 2x 与直线 y x 4 所围图形的面积。
n
2.判断级数
1 tan
n 1 1
n 是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
3.确定幂级数
n 1 2n
x
2n 1
1 的收敛域,并求其和函数。
五.证明题 (12 分):
证明:函数 sin nx
f x 在 , 上有连续的二阶导函数,并求 f x 。
4
n n 1 11 《数学分析》(二)测试题( 5)
二. 判断题(正确的打“√” ,错误的打“× ” ;每小题 3 分,共 15 分):
1.设 a 为点集 E 的聚点,则 a E 。
2
2.函数 ln x x 1 是
x 1
2
1 在 , 内的原函数。
3.有界是函数可积的必要条件。
x
4.若 f x 为连续的奇函数,则 F x f t dt 0 亦为奇函数。
2
n
5.正项级数 是收敛的。
n
n 1
2
二.填空题 (每小题 3 分,共 15 分):
1.数列 n
2 1 的上极限为 ,下极限为 。
2. 1 2 n
lim n n
2 2 2 2
n
n n n n 2 。
3. d sin
dx 0 x t
e dt 。
4.幂级数
n 1
n n
4
2 1 n
x 的收敛半径 R 。
5 .将 函数 f x x x 展 开 成傅 里叶级 数,则 a0 ,
a ,
n
b 。
n
三.计算题 (每小题 7 分,共 28 分):
3
x
1. dx 2
9 x ; 2. 1
0 e x dx ;