数学分析第二学期期末考试题及答案
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数学分析第二学期考试题
一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题4分,共32分)
1、 函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是( b )
A、连续 B、有界 C 、无间断点 D、有原函数
2、函数)(xf是奇函数,且在[-a,a]上可积,则( b )
A、aaadxxfdxxf0)(2)( B、0)(aadxxf
C、aaadxxfdxxf0)(2)( D、)(2)(afdxxfaa
3、 下列广义积分中,收敛的积分是( a )
A、 101dxx B、 11dxx C、 0sinxdx D 、1131dxx
4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的( c )
A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件
5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是( a )
A、10arcsinxdx B、11lneedxxx
C、12111dxx D、10sinxdxx
6、下面结论错误的是( b )
A、若)(xf在],[ba上可积,则)(xf在],[ba上必有界;
B、若)(xf在),(ba内连续,则 )(dxxfba存在;
C、 若)(xf在],[ba上可积,则)(xf在],[ba上必可积;
D、 若)(xf在],[ba上单调有界,则)(xf在],[ba上必可积。
7、下列命题正确的是( d )
A、)(1xann在[a,b]绝对收敛必一致收敛
B、)(1xann在[a,b] 一致收敛必绝对收敛
C、 若0|)(|limxann,则)(1xann在[a,b]必绝对收敛
D、)(1xann在[a,b] 条件收敛必收敛
8、012121)1(nnnxn的和函数为( c )
A、xe B、xsin C、)1ln(x D、xcos
二、计算题:(每小题7分,共28分)
9、914)(dxxf,求202)12(dxxxf。
10、计算 02221dxxx。
11、计算11nnxn的和函数,并求1)1(nnn。
12、计算xxdx22cossin
三、讨论题与应用:(每小题10分,共20分)
13、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性
14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分,求这两部分面积之比。
四、证明题:(每小题10分,共20分)
15、设f(x)是以T为周期的函数,且在[0,T]上可积,证明
TTaadxxfdxxf0)()(
16、设)(xf在[a,b]连续,证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf,并求
02cos1sindxxxx
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C
二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf(3分)令122xu,912022)(21)12(duufdxxxf(3分)
2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx(6分)
3、解:令)(xf=11nnxn,由于级数的收敛域)1,1[(2分),)('xf=xxnn1111,)(xf=)1ln(110xdttx(2分),令1x,得2ln)1(1nnn
4、解:两边对x求导02232xxxzzzz(3分)xzzzx2322(2分)2)1,1,1(xz(1分)
5、解:xyxyx||0222(5分)0lim22200yxyxyx(1分)
由于x=-2,x=2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)
三、1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx(2分)
000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4分)
1)0,0(),0(lim)0,0(02yfyfxyzxxy
1)0,0()0,(lim)0,0(02xfxfyxzyyx(6分)
2、解:由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim(3分),即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛,1sin22x级数发散(7分)
所以原级数发散(2分)
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、证明:因为)(1xf在[a,b]上可积,故在[a,b]上有界,即0M,使得]),[()(1baxMxf,(3分)从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说,若对n有)!1()()(1naxMxfnn(5分)则)()!1()()(1nnabMxfnn,所以)}({xfn在[a,b]上一致收敛于0(2分)
aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()((2)(4分)
将式(2)代入(1)得证(2分)
2、 yexzyx1,2yxeyzyx,(7分)则012yxyeyxeyzyxzxyxyx(3分)
3、 证明:令tx
0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证(7分)8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx(3分)