数学分析第二学期期末考试题及答案

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数学分析第二学期考试题

一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题4分,共32分)

1、 函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是( b )

A、连续 B、有界 C 、无间断点 D、有原函数

2、函数)(xf是奇函数,且在[-a,a]上可积,则( b )

A、aaadxxfdxxf0)(2)( B、0)(aadxxf

C、aaadxxfdxxf0)(2)( D、)(2)(afdxxfaa

3、 下列广义积分中,收敛的积分是( a )

A、 101dxx B、 11dxx C、 0sinxdx D 、1131dxx

4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的( c )

A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件

5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是( a )

A、10arcsinxdx B、11lneedxxx

C、12111dxx D、10sinxdxx

6、下面结论错误的是( b )

A、若)(xf在],[ba上可积,则)(xf在],[ba上必有界;

B、若)(xf在),(ba内连续,则 )(dxxfba存在;

C、 若)(xf在],[ba上可积,则)(xf在],[ba上必可积;

D、 若)(xf在],[ba上单调有界,则)(xf在],[ba上必可积。

7、下列命题正确的是( d )

A、)(1xann在[a,b]绝对收敛必一致收敛

B、)(1xann在[a,b] 一致收敛必绝对收敛

C、 若0|)(|limxann,则)(1xann在[a,b]必绝对收敛

D、)(1xann在[a,b] 条件收敛必收敛

8、012121)1(nnnxn的和函数为( c )

A、xe B、xsin C、)1ln(x D、xcos

二、计算题:(每小题7分,共28分)

9、914)(dxxf,求202)12(dxxxf。

10、计算 02221dxxx。

11、计算11nnxn的和函数,并求1)1(nnn。

12、计算xxdx22cossin

三、讨论题与应用:(每小题10分,共20分)

13、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性

14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分,求这两部分面积之比。

四、证明题:(每小题10分,共20分)

15、设f(x)是以T为周期的函数,且在[0,T]上可积,证明

TTaadxxfdxxf0)()(

16、设)(xf在[a,b]连续,证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf,并求

02cos1sindxxxx

参考答案

一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C

二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf(3分)令122xu,912022)(21)12(duufdxxxf(3分)

2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx(6分)

3、解:令)(xf=11nnxn,由于级数的收敛域)1,1[(2分),)('xf=xxnn1111,)(xf=)1ln(110xdttx(2分),令1x,得2ln)1(1nnn

4、解:两边对x求导02232xxxzzzz(3分)xzzzx2322(2分)2)1,1,1(xz(1分)

5、解:xyxyx||0222(5分)0lim22200yxyxyx(1分)

由于x=-2,x=2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)

三、1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx(2分)

000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4分)

1)0,0(),0(lim)0,0(02yfyfxyzxxy

1)0,0()0,(lim)0,0(02xfxfyxzyyx(6分)

2、解:由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim(3分),即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛,1sin22x级数发散(7分)

所以原级数发散(2分)

四、证明题(每小题10分,共20分)

1、证明:因为)(1xf在[a,b]上可积,故在[a,b]上有界,即0M,使得]),[()(1baxMxf,(3分)从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说,若对n有)!1()()(1naxMxfnn(5分)则)()!1()()(1nnabMxfnn,所以)}({xfn在[a,b]上一致收敛于0(2分)

aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()((2)(4分)

将式(2)代入(1)得证(2分)

2、 yexzyx1,2yxeyzyx,(7分)则012yxyeyxeyzyxzxyxyx(3分)

3、 证明:令tx

0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证(7分)8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx(3分)