1 专题6：空间的平行与垂直问题
问题归类篇
类型一: 线线平行
一、前测回顾
1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．
提示：法一：用线面平行的判定定理来证：
“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．
“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM．
法二：用面面平行的性质
取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．
二、方法联想
（1）证明线线平行
方法1：利用中位线；
方法2：利用平行四边形；
方法3：利用平行线段成比例；
方法4：利用平行公理；
方法5：利用线面平行性质定理；
方法6：利用线面垂直性质定理；
方法7：利用面面平行．
（2）已知线线平行，可得线面平行
三、归类巩固
*1．如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：EF∥BC．
(平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行)
类型二: 线面平行
一、前测回顾
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C
(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF．
提示：(1)用面面平行的判定定理证：
证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．
(2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．
二、方法联想
（1）证明线面平行
方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线． A1 D1
A B C D B1 C1
E· F· A
B C A1
B1 C1 D
EA B C D E
F
2
方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．
第二讲 大题考法——立体几何
题型(一)
平行、垂直关系的证明与求线面角
主要考查以具体几何体三棱锥或四棱锥为载体，建立恰当的空间直角坐标系求解线面角问题.
[典例感悟]
[典例1] (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
[审题定向]
(一)定知识
主要考查线线垂直、线面垂直、线面角．
(二)定能力
1.考查直观想象：三棱锥几何体中线线垂直、线面垂直的空间位置关系.
2.考查逻辑推理：欲证线面垂直，需证线线垂直；欲求线面角，需建系求面的法向量.
3.考查数学运算：法向量的求解、向量夹角的求解.
(三)定思路
第(1)问利用线面垂直的判定定理求证：
连接OB，由已知条件得出OP⊥AC，OP⊥OB，再利用线面垂直的判定定理得证；
第(2)问建立空间直角坐标系，用向量法求解：
建立以OB―→的方向为x轴正方向的空间直角坐标系，求出PC―→与平面PAM的法向量，进而求出PC与平面PAM所成角的正弦值.
[解] (1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23.
连接OB，因为AB＝BC＝22AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.
又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.
(2)以O为坐标原点，OB―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz.
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，23)，AP―→＝(0,2,23)．
取平面PAC的一个法向量OB―→＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．
1 常考问题14 空间中的平行与垂直
(建议用时：50分钟)
1．(2013·无锡模拟)对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析 n有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．
答案 ④
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.
则其中正确命题的序号是________．
解析 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．
答案 ①②
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B -B1EF的体积为________．
解析 VB-B1EF＝VE-B1FB＝13S△B1BF·EB＝13×12×2×1×1＝13.
答案 13
2 4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号)．
①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；
③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.
解析 由①a⊂α，b∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.
答案 ②③④
5．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析 ∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝12AC＝12×22＝2.
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二轮复习之立体几何 ０广东清远华侨中学粟高军
随着新课改进一步地深入， 高考强化了对立体几何的 “美化包装”，呈现出“百花 齐放，五彩缤纷”的局面．本 文通过对“形形色色”的立 体几何题进行分类解析，从 而帮助大家更好地理解和 掌握它们．
瞧— 蘸 … １４ 立体几何与空间 蟊窿狮“形缺数时难人微”， 直观的空间几何体有时给人以错觉， 借助空间向量精确描述其各种属性 是数学研究的需要．也是解答立体几 何试题的法宝． 匿暖豳使用空间向量对空 间几何问题进行运算和证明．关键是 几何问题向量化的转化过程．从建立 空间直角坐标系，到空间点的坐标、 具体向量的坐标，再到向量的有关运 算，一直到得出结论。构成了一个非 常严密的解答（证明）过程．这也代表 了立体几何的一个发展趋势．空间向 量在立体几何中的应用技巧列举如下． （１）线线平行．若劢∥ ，则 ＡＢ ？ＣＤ． （２）线面平行． （Ｉ），ｌ是平面 的法向量，若 上 ，ＡＢ ，￣ＪＪＡＢ／／ｏ，； （ＩＩ）若翮， ， 共面，删 平 面ＡＢＣ．则ＭＮｆｆ平 曰ｃ （３）线线垂直．若 Ｊ＿ ，则 Ａ 上ＣＤ． （４）线面垂直． （Ｉ）若 上 ，翮上 ，则 ＭＮ Ｌ平面ＡＢｃ （Ⅱ 是平面ａ的法向量， ∥ ｜１．则Ａ８上 （５）面面垂直．Ｊｌ，是平面Ｏｔ的法向 量，ｎ２是平鄙的法向量，若，ｌ。ｔｎ２，则 上Ｊ＆ （６）线线成角．设ＡＢ与ＣＤ所成角 大小为 ，则ｃｏｓ ｆｃｏｓ（ ， ＞１． （７）线面成角．设 Ⅳ与平面ＡＢＣ 所成角大小为 ，若ｎ是平面Ａ Ｃ的法 向量，则ｓｊｎ Ｊｃｏｓ（翮，，ｌ＞Ｊ。 （８）面面成角．设平面ｄ与平面晰 成角大小为 ，若，ｌ。，，ｌ 分别是平面ａ与 平面ｐ的法向量，￣ｃｏｓＯ＝＿＋ｅｏｓ（Ｊｌｌ，，ｌ２＞ （正负取值视实际情况而定）． （９）点面距离．设Ｊｌ是平面ＡＢＣ的 法向量，则点删平面Ａ Ｃ的距离ｄ＝ Ｊ两。露ｆ ｌ，ｌｌ ‘ 倒１ 如图１．在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ ｌＢｌＣｌＤｌ中，Ｄ是ＢＤ与ＡＣ的 交点．
