硕士学位论文论文题目 多次数B样条曲线作者姓名 韩敬利 指导教师 汪国昭 教授吴正昌 教授 学科(专业)应用数学所在学院理学院提交日期2007年5月浙 江 大 学申请硕士学位论文多次数B样条曲线作 者：韩敬利学科专业：计算机辅助几何设计与计算机图形学 指导教师：汪 国 昭 教 授浙江大学数学系浙江大学图像图形研究所2007年5月Multi-degree B-spline curvesByHan Jingli(Computer Aided Geometric Design and Computer Graphics)A Thesis Presented toThe Graduated School of Zhejiang University in Partial Fulfillment of the Requirements for theDegree of MasterThesis Supervisor: Professor Guozhao WangDepartment of MathematicsInstitute of Computer Graphics and Image ProcessingZhejiang UniversityHangzhou, P.R. ChinaMay, 2007目录摘要.........................................................................................................Ⅲ Abstract (Ⅳ)第一章 绪论 (1)§1.1自由曲线曲面的发展 (1)§1.2本文研究内容 (4)第二章 多次数B 样条基函数 (7)§2.1多次数样条空间 (7)§2.2准备知识........................................................................................8 §2.3多次数B 样条基函数构造算法 (10)§2.4多次数B 样条基函数性质 (12)第三章 多次数B 样条曲线的构造及其性质 (16)§3.1多次数B 样条曲线的构造 (16)§3.2多次数B 样条曲线的性质 (16)第四章 多次数B 样条曲线的B 样条表示 (20)§4.1 (,)次多次数B 样条曲线 (20)k 1k +§4.2 (,)次多次数B 样条曲线 (23)k 2k +§4.3 (,,k 1k +2k +)次多次数B 样条曲线.. (27)第五章 总结和展望 (28)§5.1本文工作总结...............................................................................28 §5.2未来工作展望. (28)参考文献 (29)致谢 (33)摘要B样条是曲线曲面造型的一个重要工具，但B样条也存在着一定的缺陷．在实际产品设计中，往往会出现一条曲线是不同次数曲线段的连续拼接，B样条方法在表示此类曲线时，相应的控制多边形需要达到一定的要求才能使相应的曲线段退化到设计需要的次数，这样就会使设计过程相对的繁琐且数据储存量大．本文通过得出多次数B样条基函数进而构造多次数B样条曲线．多次数B样条曲线是参数分段多项式表示，且分段次数可以不同．当多次数B样条曲线中各曲线段次数n相同时，曲线退化到B样条曲线．多次数B样条曲线保1nC−连续，其中为相接两段曲线段次数中的较小次数．在应用中多次数B样条曲线更容易表示直线和齿状线，例如只用两个控制顶点就可以表示一条直线段，这就节省了一定量的数据储存．本文首先回顾了计算机辅助几何设计的发展历程，给出了论文的研究背景．本文第二章给出了多次数B样条基函数的构造过程．利用积分迭代的方法得出基函数的表示公式．多次数B样条基函数具有与传统B样条基函数类似的性质，如正性、归一性、局部支柱性等，此外多次数B样条基函数具有次数可异性，在本章中给出了性质的证明．本文第三章给出了多次数B样条曲线的构造过程．多次数B样条曲线同样具有传统B样条曲线的类似的性质，如局部可调性，变差缩减性等，在本章中给出了多次数B 样条曲线的性质的证明．同时给出了一些多次数B样条曲线的应用，用多次数B样条曲线表示能节约一定的数据储存量．本文第四章讨论了曲线多次数B样条表示与其传统B样条表示之间的转换，即两种表示形式的控制多边形的转换关系，并得出从多次数B样条表示到其B样条表示的转换过程是一系列的割角过程，同时本文给出了此割角函数．本文在第五章给出了结论和展望．关键词：计算机辅助几何设计；B样条曲线；多次数B样条基函数；多次数B样条曲线；转换函数；割角AbstractB-spline model is an important modeling tool for CAGD, however it also has certain flaws. In the actual product design, curve is sometimes composed of polynomial segments with various degrees. Using B-spline model to describe this kind of curves, the corresponding control polygon must meet certain requirements, this make the design complex and big storage .In this paper we propose multi-degree B-spline by computing the basis functions for multi-degree B-spline. Multi-degree B-splines are B-spline-like curves that are comprised of polynomial segments of various degrees. Multi-degree B-splines are a generalization of B-spline curves in that if all curve segments in an multi-degree B-spline have the same degree, then it degenerates to a B-spline curve. The curves are at least 1n C−,which n is the smaller of two adjoining curve segments. Multi-degree B-spline curves can easily get cuspid or linear like appearance, when there is a line segment in multi-degree B-spline, we can just use two control points to make it, so multi-degree B-spline model can save some storage.The research background is introduced in the chapter one.The construction of the basis functions for multi-degree B-spline and corresponding proof are given in the chapter two. The basis functions for multi-degree B-spline have some good properties like positivity, weighting, segmented polynomial properties and so on.The construction of multi-degree B-spline curves and corresponding proof are given in the chapter three. Multi-degree B-spline have local support, obey the convex hull and variation diminishing properties. Some applications of multi-degree B-spline curves is discussed in this chapter.The equivalent representation of multi-degree B-spline as “expanded-form” control polygon, which is a conventional B-spline is given in the chapter four. This chapter give the general expressions for the transformation, and also proves that transformation is a series of corner cutting.In the chapter five we draw the conclusion and talk about some prospects.Key words: CAGD, B-spline, the basis functions for Multi-degree B-spline, Multi-degree B-spline curves, transformation, corner cutting第一章绪论计算机的出现给造船、飞机和汽车制造等领域带来了很大的变化，为了利用计算机来帮助解决设计和制造中出现的问题，计算机辅助设计与制造(CAM/CAD)技术应需而生并得到了迅猛的发展．在产品初始设计阶段，描述其外形的曲线或曲面常常只有大致形状或只知道它通过一些空间点列，这类没有数学表达式的曲线或曲面称为自由曲线或自由曲面，CAM/CAD从一开始就与曲线曲面造型技术紧密联系在一起．1974年，Barnhill R.E.和 Riesenfeld R.F.[1]首先提出计算机辅助几何设计一词，简称为CAGD (Computer Aided Geometric Design)，用来描述计算机辅助设计（Computer Aided Design）中有关外形的数学方法的研究．自由曲线曲面的表示、设计、显示、分析以及规格、处理(包括数据结构、数据库、图形的信息形式和调整方式等)等问题，是计算机辅助几何设计的主要研究对象和内容．计算机辅助几何设计(CAGD: Computer Aided Geometric Design)作为一个非常有用的曲线曲面造型工具，其首要任务就是建立自由曲线曲面的数学模型，它的产生和发展极大的影响着CAD/CAM 技术的水平．所以随着CAD/CAM 技术的进步CAGD做为一个新的学科开始蓬勃发展，且成为技术革新的重要手段．计算机辅助几何设计是代数几何、微分几何、函数逼近论、计算数学和数控技术的边缘科学．在20世纪60年代典型的曲面表示中，最著名和最实用的是由法国雷诺汽车公司的工程师Bézier提出的Bézier技术和美国机械工程师Coons提出的Coons技术，Bézier、Coons等大师奠定了CAGD的理论基础．之后在工业领域的带动下，20世纪70年代Gordon 和Riesenfeld提出B样条技术，20世纪80年代典型的曲面表示是有理B样条技术．非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline,简称NURBS)曲线，它兼有B样条曲线形状局部可调性及连续阶数可调的优点，又兼有有理Bézier曲线可精确表示圆锥曲线的特性，所以在1991年国际标准化组织ISO正式把NURBS作为自由曲线曲面的标准数学模型．NURBS作为一种标准为不同的CAD系统之间的数据交换提供了有效的支持．§1.1 自由曲线曲面的发展早在20世纪40年代中期美国数学家I.J.Schoenberg[2]提出了样条函数的概念，尽管当时未引起人们的广泛重视，但对近代样条函数理论和应用的发展有着重大意义．他的研究工作无疑是样条函数发展史上一项奠基工作，但真正奠定CAGD 理论基础的是Bézier 、Coons 等大师．法国工程师Bézier [3]于1962年提出Bézier 曲线系，并根据此理论在雷诺汽车公司建立了著名的UNISURF 自由曲线曲面设计系统[4,5,6]．Bézier 方法简单实用，设计员只要移动控制顶点就可修改几何形状,然而在当年Bézier 提出的曲线表达式非常奇特令人难以理解，直到1972年Forrest [7]才提出Bézier 曲线恰好是Bernstein 基与控制顶点的线性组合．一个次的Bézier 曲线由下式定义n 0()()nn i i P t B t p ==∑i 01t ≤≤其中()(1)n i n n i i B t t i −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠t 为Bernstein 基函数，0,1,...,i n =，01...n p p p 称为控制多边形或特征多边形或Bézier 网，简称B 网，(0,1,...,)i p i n =称为控制顶点．早在1974 年，Chaikin [8]提出对多边形割角的方法来产生自由曲线，1980年，Lane 和Riesenfeld [9]把割角方法推广到对空间多边形的所有边每次都同时取中点的递归割角. 割角法的引入使得Bézier 曲线的定义方法简单，几何直观性强．如果把简单割角法改为一般割角法，还可产生B 样条曲线、有理Bézier 等其它自由线．Bézier 方法是一种由控制多边形定义曲线的方法，简单方便、形象直观，只要在空间上定义好控制多边形的形状就可以大致确定曲线曲面的形状，使用户能直观的控制设计对象．但Bézier 曲线也有缺点，它不能精确表示除抛物线外的圆锥曲线，而有理Bézier 曲线既能表示多项式曲线又能表示圆锥曲线，所以它一出现就称为CAGD 的一个研究热点．最早提出并研究应用有理参数曲线的是Rowin [10] , Coons [11]，继之有Ball [12]， Forrest [13]，Farin [14]， Pigel [15]，刘鼎元[16]等．1964年，美国麻省理工学院机械工程系教授S.A.Coons [17]为设计海军舰艇外形提出了用小块曲面片组合起来表示自由曲面，使曲面片边界连接处可达到任意阶连续的方法，称之为Coons 曲面．其主要思想是把一张复杂的曲面用一定数量的曲面片来表示，适当选择曲面片的数学表达式，然后通过曲面片之间按一定的连续条件拼接，设计过程又能方便地进行修改，增添控制条件以便修改原始曲面，当把附加条件输入计算机时会自动产生新的曲面，直至充分反映设计者意图为止．这种由小曲面片拼接成复杂形状曲面，并可交互设计、修改，达到一定需要精度的交互设计思想是Coons 曲面最早体现出来的曲面设计方法．显然Coons 曲面法对CAGD 的发展有着重要的贡献，是一开创性的工作．Coons 和Bézier 并列被称为现代计算机辅助几何设计技术的奠基人．1974年Gordon 和Riesenfeld [18]把B 样条函数推广到矢值形式得到B 样条曲线．给定参数轴上分割，，用de Boor-Cox 递推公式可得到相应于分割T 的阶B 样条基函数t :{}i i T t ∞=−∞1i i t t +≤k ,()i k N t 1,1,,11,1111[,)()0()()(),2i i i i i k i k i k i k i k i i k i t t t N t t t t t N t N t N t k t t t t ++−+−+−++⎧∈⎧=⎨⎪⎪⎩⎨−−⎪=+⎪−−⎩其他≥ 由于其具有归一性和局部支柱性等特殊性质，使由B 样条基函数表示的样条曲线在造型上有很多好的性质．给定控制顶点列1{}n i i p =，是相应于参数t 轴上分割的阶B 样条基函数，则称,()i k N t :{}i i T t ∞=−∞k ,1()()i ni k i i P t N t p ===∑1(k n t t t +)≤≤为相应于节点向量T 的阶B 样条曲线．以B 样条基函数定义的B 样条曲线是CAGD 中最基本的造型工具之一， 它即具有Bézier 曲线的几何特性，又拥有形状局部可调性及连续阶数可调等Bézier 曲线所没有的特性．把多项式形式的Bézier 曲线向有理多项式推广得到了有理Bézier 曲线，同样把分段多项式形式的非均匀B 样条曲线向分段有理多项式推广可得到非均匀有理B 样条（NURBS)曲线．美国Syracuse 大学的Versprille k [19]在他1975 年的博士论文中首次提出有理B 样条方法. 此后，Piegl 和Tiller [20-27]等人对有理B 样条方法进行了更深入的研究，为非均匀有理B 样条(NURBS)方法打下了坚实的基础．NURBS 曲线兼有B 样条曲线形状可调及连续阶可调的优点，又兼有有理Bézier 曲线可精确表示圆锥曲线的特性，所以在1991年国际标准化组织ISO 正式颁布的工业产品数据交换的STEP 标准中，把NURBS 作为曲线曲面的唯一定义，而国际著名的CAD 软件公司也把造型系统首先建立在NURBS 数学模型上．有理方法固然能解决很多问题但它还是有其固有的缺点，其中不能精确表示螺旋线、摆线等工程上很有用的超越曲线等在实际应用中的缺陷迫切需要解决，于是就催生了一系列B 样条的扩展形式．为了表示螺旋线、摆线等曲线，提出了许多新空间上的基函数．Pottmann [28],张纪文[29-31]提出了一种新型曲线——三次C-曲线，以空间span{, , ,1}代替span{}中幂基构造的曲线．S ânchez-Reyes sin t cos t t 21,,t t [32]研究了三角多项式空间span{1} 的基．Mainar 、Pena 和S ânchez-Reyes ,sin ,cos ,...,sin ,cos t t mt mt t ,...,,sin ,cos n t t t −[33]考虑其他空间，分别在空间span {}、span {,,,,,}、span {1,t ,,,,}中给出了基．这些基函数是随着CAGD 的发展而产生的，它虽然能精确的表示一些B 样条不能表示的曲线，但要表示高阶的自由曲线还是无能为力．2003年，陈秦玉和汪国昭21,,,sin ,cos t t t t 1t sin t cos t sin 2t cos 2t sin t cos t sin t t cos t [34]考虑更一般的情况，在代数和三角多项式混合空间span {}中构造非均匀代数三角（NUAT ）B -样条曲线，可以精确表示圆锥螺线和摆线，使得表示高阶的自由多项式曲线的问题得到了解决. 类似与三角多项式空间，Lü和Wang 221,,t t [35]以为基构造代数双曲B -样条（AH B-basis ）曲线，能够精确表示一类重要的曲线，例如悬链线与双曲线等．3{1,,...,,sinh ,cosh }n t t t t −在实际设计中经常会出现已有两个曲面的拼接，把两个B 样条曲面拼接为一个B 样条曲面要求这两个B 样体曲面有同样的节点向量，而现实中往往不能满足这一条件，所以在拼接之前先要执行插入节点的操作，而插入节点相应的会增加一列或一行控制顶点，这就大大的加大了操作的数据储存了量，且拼接之后的效果中容易出现裂口需要进一步的弥补．为了解决这一问题，Sederberg [40]提出了T 样条的概念．T 样条理论的依据是PB 样条，PB 样条的控制顶点之间没有拓扑关系，T 样条是建立在T 网格上的PB 样条，则在此基础上插入一个控制顶点不会改变曲面的形状．根据T 样条给出的曲面拼接的方法简单且易于操作．此后Sederberg [41]对T 样条进行了进一步的研究，T 样条逐渐称为一种重要的造型工具．§1.2 本文研究内容前面介绍的B 样条曲线是曲线曲面造型的很好的工具，但B 样条曲线也存在着一定的缺陷．在实际产品设计中，往往会需要一条曲线是不同次数曲线段的连续拼接，在这种情况下如果用B 样条方法表示此类曲线，为了达到设计需求，相应的曲线的控制多边形需要达到一定的要求才能使相应的曲线段退化到设计需要的次数，这样就会使设计过程相对的繁琐．例如需要一条B 样条曲线，在参数分割01{,,...,}n T t t t =中，设计需要曲线在为直线段，在其他参数区间曲线皆为3次曲线，在曲线表示中1[,)i i t t +,41()()i ni i i P t N t p ===∑(其中为控制顶点列，是相应于参数t 轴上分割的4阶B 样条基函数)，整条曲线需统一用4阶的B 样条基函数表示，且需要设定1{}n i i p =,4()i N t 321i i i i p p p −−−p ===来使区间1[,)i i t t +上的曲线为直线段，同时在表示当中会出现需用高次基函数来表示低次曲线段的情况，这些都导致了大量几何数据信息的存储．基于解决上述B 样条曲线表示中的问题，本篇文章构造多次数B 样条曲线，多次数B 样条曲线更容易表示直线段和齿状线，比如只用两个控制顶点就可以表示一条直线段，这就节约了数据储存．最初提出构造一条含有不同次数曲线段的样条曲线是应用于保形插值（Costantini,1997,2000[37,38];Kaklis and Pandelis,1990[39]），多次数样条曲线应该说是一个老问题，虽然它在应用上有很多的好处但表达不够直观．随后在多次数样条曲线的概念基础上又提出了多次数B 样条曲线的概念，2003年Sederberg [36]提出了MD-spline 即多次数B 样条的概念，但没有提及多次数B 样条的基函数和构造方法．本文构造了整体曲线的曲线段次数之差不大于2的多次数B 样条曲线的基函数，由此得出构造一条多次数样条曲线的算法．在文献[36]中Sederberg 提出待解决问题之一，就是得到由多次数B 样条曲线转化为其B 样条表示形式的转换函数，并希望得到转换函数的一般表示形式，本篇文章在得出多次数B 样条曲线的基础上解决多次数B 样条曲线转化为相应B 样条表示的问题，并得到转化函数的一般表示且转化过程是割角过程．本文共分五章，各章内容安排如下：第一章：对CAGD 中自由曲线曲面造型技术的发展历程做了综述，并介绍了多次数B 样条曲线的研究背景．第二章：构造了多次数B 样条基函数，并列举了多次数B 样条基函数的性质，如归一性、局部支柱性等，并给出了证明．第三章：讨论了多次数B 样条曲线的构造及性质，并简单介绍了多次数B 样条曲线的应用．第四章：讨论了多次数B 样条曲线与其相应的B 样条表示形式之间的转化，并给出其转化过程就是多次数B 样条控制顶点的重复割角过程，最终得到相应B 样条表示的新的控制顶点列．第五章：全文工作的总结，并展望今后的工作．第二章 多次数B 样条基函数§2.1 多次数样条空间样条是一种特殊的函数，它由多项式分段定义．给定区间[,的一个分割，若函数满足下列两条件：(1)在区间]a b 01:...n a x x x b Δ=<<<=()g x 1[,]i i x x +上，为()g x x 的次多项式；(2) ，即在[,上有直到k 1()[,]k g x C a b −∈()g x ]a b 1k −阶的连续导数；则称是[,上对于分割的k 次样条函数，()g x ]a b Δ(0,1,...,)i x i n =称为样条函数的节点．对于一个给定的节点向量，所有次样条构成一个向量空间，为次样条空间．k k k 次样条空间上一组基函数是次B 样条基函数．给定参数t 轴上分割k :{}i i T t ∞=−∞，，，用下列递推方法所确定的函数称为相应于分割T 的阶即1i i t t +≤0,1,...i =±,()i k N t k 1k −次B 样条基函数的定义1,1,,11,1111[,)()0()()(),2i i i i i k i k i k i k i k i i k i t t t N t t t t t N t N t N t k t t t t ++−+−+−++⎧∈⎧=⎨⎪⎪⎩⎨−−⎪=+⎪−−⎩其他≥l 这里规定，凡是出现0/的的项均为0．上式称为de Boor-Cox 公式，T 称为节点序列或节点向量，称为节点，且若0i t 111...i i i i l i t t t t t −++−+<===<，则称为T 的重节点．B 样条基函数具有很多好的性质，如归一性、局部支柱性等．11,,...,i i i l t t t ++−l 多次数样条同样是由多项式分段定义．给定区间[,的一个分割，若函数满足下列两条件：(1)在不同区间]a b 01:...n a x x x b Δ=<<<=()g x 1[,]i i x x +，1[,]j j x x +(i j ≠)上，分别为()g x x 的次和次多项式，和可以不同；(2)，其中为相接两段曲线段次数中的较小次数；则称是[,上对于分割的多次数样条函数，对于一个给定的节点向量和对应每个节点区间的次数，多次数样条构成一个向量空间，为多次数样条空间．k l k l 1()[,]n g x C a b −∈n ()g x ]a b Δ当给定节点向量，对应每个节点区间的曲线段次数均相等时，多次数样条曲线即为样条曲线．§2.2 准备知识下面介绍构造多次数B 样条基函数的准备知识．本篇文章中只考虑整体曲线各曲线段次数之差不大于2次的变次数B 样条曲线，为了构造多次数B 样条曲线的基函数的需要，下面给出0次、1次和2次的初始函数和平移函数的定义．初始函数均定义在节点向量上． 011{,,...,,}n n T t t t t −=定义1： 零次初始函数在节点向量上设节点区间的两端点皆为单节点，定义零次初始函数T 10,01()0i i i t t t I t +≤<⎧=⎨⎩其他 如图(1)所示图(1)：零次初始函数定义2： 一次初始函数令节点区间的两端点皆为两重节点．在节点向量上定义一次初始函数T 22111,011/()/0i i i i i i i i i t t t t t t t 2i i I t t t t t t t t ++++++−−≤<⎧⎪=−−≤<⎨⎪⎩其他+图(2)：一次初始函数定义3： 二次初始函数令节点区间的两端点皆为三重节点，定义二次初始函数2233222221211,02211()/()2()()/()()()/()0i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t I t t t t t t t t +++++++++++⎧−−≤<⎪−−−≤<⎪=⎨−−≤<⎪⎪⎩其他32i i ++如图(3)所示图(3)：二次初始函数定义4： 平移函数j I在上面给出的三种初始函数的定义中，节点重数都是同为1重、2重或者3重，但在构造多次数B 样条曲线基函数的过程中节点重数并不要求具有同样的重数．为了基函数构造过程的需要，本文给出一个函数的定义，此函数用来平移一个基函数的定义区间，记此函数为j I ，其中j 表示平移区间的个数．下面给出了平移函数对于三种不同次数初始函数的作用效果10,01()0i j i ji j t t t I t I +++≤<⎧+=⎨⎩其他22111,011/()/0i j i j i j i j i j i j i j i j i ji i t t t t t t t I t I t t t t t t t +++++++++++++++−−≤<⎧⎪+=−−≤<⎨⎪⎩其他22233222221211,02211()/()2()()/()()()/()0i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j t t t t t t t t t t t t t t t t I t I t t t t t t t +++++++++++++++++++++++++++++⎧−−≤<⎪−−−≤<⎪+=⎨−−≤<⎪⎪⎩其他32§2.3多次数B 样条基函数的构造算法因为在实际的设计当中，参数的范围往往被限定在一个有限区间如[,上，在多次数B 样条基函数的构造过程中，不妨令参数定义在一个有限区间上．当给定区间[,的一个参数分割(t ]a b ]a b 011{,,...,,}n n T t t t t −=1,0,1,...,1i i t t i n +<=−)，给定每个节点区间对应的曲线次数即对应节点向量T 的次数列011{,,...,}n K k k k −=，其中对应节点区间的曲线次数为，基于本文的限定，这些次数之差必须小于3即1[,)i i t t +i k 3i j k k −<()，记曲线次数中的最小次数为k 即,0,1,...,1i j n =−min()k K =，则每个节点区间对应的曲线次数相应的可表示为j j k k r =+，其中为0、 1或2的正整数． (0,1,...,1)j r j n =−下面给出多次数样条曲线基函数的构造算法1) 确定各区间初始基函数的次数，分别为(0,1,...,1)j r j n =−．2) 插入重节点．此处规定不同次数相接处的节点重数按右边区间的次数确定．根据前面给出的初始基函数的定义，0次基的区间端点节点的重数设为1，1次基的区间端点节点的重数设为2，2次基的区间端点节点的重数设为3．插入重节点后节点向量为，其中'''''011{,,...,,}m m T t t t t −=012...2n m n r r r r 1n −−=+++++．为了保持端点插值性，初始节点我们设为重，则起始端点处节点为，同样终止节点我们设为，终止端点处节点为 ．01k r ++0'''10{,...,,,...,}k t t t t −−'r +m k +11n k r −++1''''1{,...,,,...,}n m r m m m k t t t t −−+3) 利用2.1节准备知识在节点向量上定义初始基函数．''''''01{,...,,,...,,...,}k m T t t t t t −=Step1.初始化, (0i =,0()0j B t =01,1,...,...1n j k k r r n k −=−−+++++−) Step2.得到初始基函数for()0;;j j n j =<++Step2.1 for()0;1;j s s r s =<+++0,01,0,02,0()0()()()s i j s i s ij s i j I t I r B t I t I r I t Ir +⎧+⎪=+⎨⎪+⎩＝ ＝1＝2End-for Step2.2 i i s =+ End-forStep3. 得到多次数B 样条基函数for(01;...1;n j k j r r n k j −=−<+++−++),11,1,,11,1()()()[]tj k j k j k j k j k B s B s B t d σσ−+−−+−−∞=−∫ s其中,,()j k j kBt dt σ+∞−∞=∫，如果,()0j k B t =则定义,,()10tj k j k j kB s t t j m ds σ+−∞>≤⎧=⎨⎩∫如果且 其他End-for例如，在节点向量01234{,,,,}T t t t t t =上，曲线在各个参数区间上所需的次数要求如下图所示1次 2次 1次 3次图(4) 可知曲线段中最小次数为1，则令1k =按照算法第一步，确定各个参数区间初始基函数的次数，对应各个参数区间由左往右分别为零次、一次、零次、二次．然后按照每个参数区间上初始基函数的次数来得到新的节点向量，如下图所示'T图(5)在节点向量上按照算法构造相应的初始基函数，如下图所示'T图(6)§2.4 多次数样条基函数的性质多次数B 样条基函数具有类似与B 样条基函数的性质．性质3.1 归一性：．,()1i k iB t =∑证明：当时由初始基函数的定义显然成立，0k =,0()1i iB t =∑．不妨设在非零区间上非零的初始基函数为1[,)r r t t +,0j B ,,（2次初始基函数），或1,0j B +2,0j B +,0j B ,（1次初始基函数），或1,0j B +,0j B （0次初始基函数），由基函数的积分公式 ,11,1,,11,1()()[]ti k i k i k i k i k B s B s B ds σσ−+−−+−−∞=−∫积分次后，则在区间上非零的基函数对应上述三种情况分别为k 1[,)r r t t +,j k k B −,1,j k k B −+,,...1,j k B −,,j k B ,1,j k B +,2,j k B +，或,j k k B −,1,j k k B −+,,...1,j k B −,,j k B ,1,j k B +或是,j k k B −,1,j k k B −+,.,..1,j k B −,,j k B ．则在区间上根据基函数的积分公式可得1[,)r r t t +,11,1,,,11,1()()()()tmmi k i k i k i k i j ki j k i k i k B s B s B t B t σσ−+−=−=−−+−−∞==−∑∑∑∫ds整理后可得,11,1,,11,1()()()tmj k k m k i k i j kj k k m k B s B s B t d σσ−−+−=−−−+−−∞=−∑∫s 2其中对应初始基函数的三种情况,1,m j j j =++，又根据基的定义可知在区间上为零，1,1m k B +−1[,)r r t t +,1j k k B −−的非零区间为1[,)a r t t −，其中为a t ,0j k B −非零部分所在区间的起始端点节点，所以,1,1,,1,1()()()1()j k k mj k k i ki j kj k k j k k Bt dtB s Bt ds Bt dtσ+∞−−+∞−−−∞+∞=−−−−∞−−−∞==∫∑∫∫= 性质得证． 性质3.2 线性无关性证明：由基的定义可知当时是线性无关性成立，根据归一性的证明，同样不妨设在任一非零区间上，假设当0k =1[,)r r t t +1n k =−时基函数线性无关即当且仅当．现设,11()0mi i k i j k a B t −=−+=∑0(1,...,)i a i j k m ==−+,()0mii ki j ka Bt =−=∑，由算法中基函数的积分公式,11,1,,11,1()()[ti k i k i k i k i k B s B s B ds σσ−+−−+−−∞=−∫可得到,()mi i k i j ka B t =−=∑,11,1,11,1()()tmi k i k ii j ki k i k B s B s a d σσ−+−=−−+−−∞−∑∫s整理后得,()mi i k i j ka B t =−∑,1,1()tj k k j kj k k B s a ds σ−−−−−−∞=∫11,1()tmi i i j k i k a a σ−=−+−−∞−+∑∫,1()i k B s ds −1,11,1()tm k mm k B s a d σ+−+−−∞−∫s在区间上，在基函数的归一性证明中可知1[,)r r t t +,1,1()1tj k k j k k B s ds σ−−−−−∞=∫，1,11,1()0tm k m k B s ds σ+−+−−∞=∫，所以,()mi i k i j ka B t =−∑j k a −=+11,1()tmi i i j k i k a a σ−=−+−−∞−∑∫,1()i k B s ds −．把，r t t =12r t t t +r+=两种情况带入上式可得0(,...,)i a i j k m ==−，由数学归纳法性质得证．性质3.3 正性：此性质的说明见第四章．性质3.4 次数可异性：由基函数的构造方法可知． 性质3.5 局部支柱性证明：当时，在非零区间上非零的初始基函数只有0k =1[,)r r t t +,0j B ,,（2次初始基函数），或1,0j B +2,0j B +,0j B ,（1次初始基函数），或1,0j B +,0j B （0次初始基函数）．由基函数的积分公式,11,1,,11,1()()[ti k i k i k i k i k B s B s B ds σσ−+−−+−−∞=−∫k 积分次后，可以得到在区间上非零的基函数只有1[,)r r t t +,j k k B −,1,j k k B −+,.,..1,j k B −,,j k B ,1,j k B +,2,j k B +，或,j k k B −,1,j k k B −+,.,..1,j k B −,,j k B ,1,j k B +或是,j k k B −,1,j k k B −+,.,..1,j k B −,,j k B 分别与上述三种初始基函数的情况对应，性质得证．性质3.6 当给定曲线每个曲线段次数相同时，变次数B 样条基函数即为B 样条基函数．性质3.7 求导公式：()(1)(1),,1,11,1()()/()/r r r i k i k i k i k i k B t B t B t σσ−−−−+−+−=−1,1证明：由基函数积分公式,11,1,,11,1()()[ti k i k i k i k i k B s B s B ds σσ−+−−+−−∞=−∫求导可得．第三章 多次数B 样条曲线的构造及其性质§3.1 多次数B 样条曲线的构造利用上一章所定义的基函数，可以得到整个参数空间上的多次数B 样条曲线． 不妨设参数定义在一个有限区间[,上，给定区间[,的一个参数分割(]a b ]a b 011{,,...,,}n n T t t t t −=1,0,1,...,i i t t i n +1<=−)和对应节点区间的曲线段次数列，根据第二章算法可得到对应的多次数B 样条基函数10:{}n i i K k −=,k k B −,,…,1,k k B −+,m k B ，其中，，同样由基函数的定义可知min()k K =10(1)(1)n i i m n k k −==−−∑1,s k B +,…,,m k B ，在参数区间上恒为零，其中，所以在区间上有非零定义的基函数为11(n i i s n k k −==−+−∑),k k B −，,…,1,k k B −+,s k B ，可以定义样条空间上的曲线如下,()()sj kj j kP t Bt p =−=∑其中是控制顶点， ，(,...,)j p j k s =−3i p R ∈1...k k s p p −−+p 是控制多边形或控制网格，整条曲线保阶连续，两段曲线相接处保1k C −1n C −连续，其中为相接两段曲线段次数中的较小次数．n 由于本篇文章只讨论曲线中各曲线段次数差不大于2的多次数B 样条曲线，所以我们给出此类多次数B 样条曲线的记法．如果多次数B 样条中含有，和次曲线段，我们记这条曲线为次多次数B 样条曲线，如果只含有和次曲线段，我们把曲线记为次多次数B 样条曲线，同样如果只含有和次曲线段，我们把曲线记为次多次数B 样条曲线．k 1k +2k +(,1,2)k k k ++k 1k +(,1)k k +k 2k +(,2)k k +§3.2 多次数B 样条曲线的性质与B 样条曲线类似，多次数B 样条曲线具有以下性质：。
