空间异面直线的判定

立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ） （直线与直线所成角(]οο90,0∈θ） （斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注： 是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

空间两直线异面的判定方法空间中两直线的位置关系可以分为三种情况：重合、相交和异面。

判断两直线是否相交比较容易，而判断两直线是否异面则需要一定的数学知识和技巧。

本文将介绍空间中两直线异面的判定方法，希望对读者有所帮助。

一、异面直线的定义空间中的两条直线如果既不重合又不相交，则称它们为异面直线。

两条异面直线之间存在一个平面，这个平面称为它们的公共垂直平面。

1. 向量法向量法是判断异面直线位置关系的一种常见方法。

我们可以用两条直线上的向量来求它们的叉积，如果叉积不为零，就说明两条直线不在同一个平面上，也就是异面。

以空间直角坐标系为例，设两条直线分别为：l1: (x1,y1,z1) + t(a1,b1,c1)t和s为参数。

则l1上的向量为(a1,b1,c1)，l2上的向量为(a2,b2,c2)。

这两个向量的叉积为：(a1,b1,c1) × (a2,b2,c2) = [(b1c2-b2c1),(a2c1-a1c2),(a1b2-a2b1)]如果叉积不为零，则说明两条直线不在同一平面上，从而可以判断它们为异面直线。

2. 交点法两条异面直线如果有交点，则交点一定不在任何一个直线所在的平面上。

可以通过求解两条直线的交点来判断它们是否异面。

如果两条直线有交点，则它们一定不是异面的；否则，它们就是异面的。

设两条直线为：它们的交点为P，则有：可以得到一个二元一次方程组：x1 + ta1 = x2 + sa2对它们进行变形，得到：t(b1-sb2)+s(b2-y1)+(y1-y2) = 0写成矩阵形式，有：\begin{bmatrix}a1-sa2 & a2-x1 \\b1-sb2 & b2-y1 \\c1-sc2 & c2-z1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t \\s \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x1-x2 \\y1-y2 \\z1-z2 \\\end{bmatrix}如果该方程组有解，则说明两条直线有交点，即不是异面的；否则，就是异面的。

异面直线垂直的判定
异面直线垂直的判定
在三维空间中，两条直线可以相交、平行或异面。

当两条直线相交时，我们可以通过它们的夹角来描述它们的相对位置。

如果两条直线的夹
角为90度，那么它们就是垂直的。

本文将介绍如何判断两条异面直线是否垂直。

异面直线的定义
异面直线是指在三维空间中不在同一个平面上的两条直线。

它们既不
相交也不平行，而是呈现出一种斜交的状态。

由于它们不在同一个平
面上，因此它们的交点不在任何一个平面上。

垂直的定义
两条直线的夹角是指它们的方向向量之间的夹角。

如果两条直线的夹
角为90度，那么它们就是垂直的。

在三维空间中，两条直线垂直的条件是它们的方向向量的点积为0。

判断两条异面直线是否垂直的方法
方法一：求出两条直线的方向向量，然后计算它们的点积。

如果点积
为0，则两条直线垂直。

方法二：求出两条直线的法向量，然后计算它们的点积。

如果点积为0，则两条直线垂直。

这种方法适用于已知直线所在平面的情况。

方法三：求出两条直线的公垂线，然后判断公垂线是否在两条直线所
在平面内。

如果公垂线在两条直线所在平面内，则两条直线垂直。

这
种方法适用于已知两条直线所在平面的情况。

总结
判断两条异面直线是否垂直的方法有多种，其中最常用的是求出两条
直线的方向向量，然后计算它们的点积。

如果点积为0，则两条直线垂直。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法来判断两
条异面直线是否垂直。

高中数学重要知识点解析：空间异面直线高中数学重要知识点解析：空间异面直线高中数学重要知识点解析：空间异面直线1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面。

相交直线共面有反且有一个公共点;平行直线共面没有公共点;异面直线不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内的射影一定是相交的两条直线。

(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③假设直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内。

④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。

⑤在平面内的射影是直线的图形一定是直线。

(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)⑥在同一平面内的射影长相等，那么斜线长相等。

(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦是夹在两平行平面间的线段，假设，那么的位置关系为相交或平行或异面。

2. 异面直线断定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

(不在任何一个平面内的两条直线)3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4. 等角定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，那么这两个角相等(如以下图).(二面角的取值范围)(直线与直线所成角)(斜线与平面成角)(直线与平面所成角)(向量与向量所成角推论：假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等。

5. 两异面直线的间隔：公垂线的长度。

空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直。

是异面直线，那么过外一点P,过点P且与都平行平面有一个或没有，但与间隔相等的点在同一平面内。

(或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)二、立体几何学习中的图形观知识点总结一、作图作图是立体几何学习中的根本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系。

所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

2019年高一年级数学学问重点：空间两直线的位置关系学习是一个边学新学问边巩固的过程，对学学问肯定要多加安排，这样才能进步。

因此，为大家整理了2019年高一年级数学学问重点，供大家参考。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面重视复习和总结：1、刚好做好复习. 听完课的当天，必需做好当天的复习。

复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。

然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。

2、做好单元复习。

学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。

3、做好单元小结。

单元小结内容应包括以下部分：(1)本单元(章)的学问网络;(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);(3)自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其缘由及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

做适量的有不少同学把提高数学成果的希望寄予在大量做题上，这是不妥当的。

异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.(这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）>（三）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。

异面直线的判定定理
异面直线的判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平面内不经过该点的直线
是异面直线。

另外判定两条直线异面,还可依据：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线。

异面直线就是无此同一平面上的两条直线。

异面直线就是既不平行，又不平行的直线。

因为两条直线如果平行或平行，则它们必在同一平面上。

若并无特别的表明，所说的空间
直线，都就是所指异面直线。

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两条直线的位置关系有三种，
即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。

另外一种情况就是不相交也不平行
称为异面直线。

异面直线的性质：
1、两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

2、两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫作这两条异面直线的公垂
线段，公垂线段的长度，叫作两条异面直线的距离。

3、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

4、经过两条异面直线中的一条，存有一个平面与另一条直线平行。

5、异而冉直线的公垂线存在且唯一。

6、在两条异面直线上各任挑一点，这两点构成的所有线段中这两条异面直线的距离
最轻。

异面直线所成角的判定方法在三维几何中，我们经常会遇到两条直线在空间中的相交情况。

当这两条直线不在同一个平面上时，我们称其为异面直线。

本文将介绍判定异面直线所成角的方法。

1. 异面直线的定义异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。

在三维空间中，一条直线可以用参数方程表示为：L1: x = x1 + a * ty = y1 + b * tz = z1 + c * t另一条直线可以表示为：L2: x = x2 + m * sy = y2 + n * sz = z2 + p * s其中，(x, y, z)是空间中的点坐标，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两条直线上的已知点坐标，(a, b, c)和(m, n, p)是方向向量。

2. 判定异面直线所成角的方法要判断两条异面直线所成角是否存在，我们可以使用以下方法：2.1 求解法向量首先，我们需要求解两个平面的法向量。

由于异面直线不在同一个平面上，因此可以通过计算两条直线的方向向量的叉积来得到法向量。

n = (a, b, c) × (m, n, p)其中，×表示叉积运算。

求解得到的法向量n可以用来表示两个平面。

2.2 求解夹角接下来，我们可以使用向量的内积来求解两个平面的夹角。

假设得到的法向量分别为n1和n2，则两个平面之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 · n2) / (||n1|| ||n2||)其中，·表示内积运算，||n1||和||n2||分别表示n1和n2的模。

2.3 判断夹角类型根据求解得到的夹角值，我们可以判断异面直线所成角的类型：•如果夹角为零度，则说明两条直线是平行关系。

•如果夹角为九十度，则说明两条直线是垂直关系。

•如果夹角为锐角，则说明两条直线在空间中相交。

•如果夹角为钝角，则说明两条直线在空间中相交。

3. 示例让我们通过一个具体的例子来演示上述方法。

假设有以下两条直线：L1: x = 1 + ty = 2 + 2tz = 3 + 3tL2: x = 4 + sy = -1 - sz = 2 - 2s首先，我们可以计算出两条直线的方向向量：(a, b, c) = (1, 2, 3)(m, n, p) = (1, -1, -2)然后，我们可以求解法向量：n = (a, b, c) × (m, n, p)= (1, 2, 3) × (1, -1, -2)通过叉积运算，我们可以得到法向量n的值。

异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P，那么α上任意一条不经过点P的直线n 都与m互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n在平面上，另一条直线m与该平面相交于P点，然后就只需证明P不在直线n上就可以了.实践一下实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD中，,=≠，DM ABAC BC AD BD⊥⊥于M，CN AB 于N，求证DM与CN是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM和CN为异面直线，很显然，DM是在平面ABD上的，而CN与平面ABD交于点N，所以，根据判定定理，我们只需要证明N不在DM上就可以了.这里AC BC⊥，所=，CN AB以N为AB的中点，而AD BD⊥，所以M不是AB的中点，≠，DM AB也就是说，DM不会过点N，所以，DM和CN为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC 都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,AC b BC b⊥⊥，那么这个平面内，过直线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在所以原假设错误，a、b为异面直线.判断题1、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直与另一个平面。

异面直线的判定方法以异面直线的判定方法为标题，写一篇文章。

异面直线是指在空间中不共面的两条直线。

判断两条直线是否异面是空间几何中的一个重要问题，在实际应用中也具有一定的意义。

本文将介绍一种常用的判定方法。

判断两条直线是否异面，可以通过两种方法来进行判定：向量法和方程法。

我们来介绍向量法。

假设有两条直线L1和L2，其方向向量分别为a和b。

如果a和b不平行，则直线L1和L2异面；如果a和b平行但不共线，则直线L1和L2异面；如果a和b共线，则需要进一步判断两条直线的位置关系。

接下来，我们来介绍方程法。

设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。

则直线L1的参数方程可以表示为：x=x1+ta1y=y1+ta2z=z1+ta3直线L2的参数方程可以表示为：x=x2+tb1y=y2+tb2z=z2+tb3如果存在一组参数t1和t2，使得直线L1和L2的参数方程同时成立，则直线L1和L2相交，即不异面；如果不存在这样的一组参数，则直线L1和L2异面。

通过向量法和方程法，我们可以判断两条直线的位置关系，进而判断它们是否异面。

需要注意的是，方程法在实际应用中更为常用，可以通过解方程组的方法来判断两条直线的位置关系。

除了以上介绍的方法，还有一种常用的判定方法是使用点法向量。

设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。

则直线L1和L2异面的充要条件是向量a与向量P2P1的点积等于0，即a·(P2P1)=0。

通过以上介绍，我们了解了异面直线的判定方法。

无论是向量法、方程法还是点法向量，都可以用来判断两条直线是否异面。

证明异面直线的几种方法
范文哲
异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。

在这里讲几种常用的方法，供同学们学习。

一. “判定定理”法
判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

例1. 如图1，空间四边形ABCD，，AE 是的边BC上的高，DF是
的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。

图1
证明：由题设条件可知点E、F不重合，设
所在的平面为。

因为
，所以AE和DF是异面直线。

二. 反证法
例2. 已知a//b//c，且a，b，c不在同一平面内，A、
B，求证：AD与BC是异面直线。

证明：因为a//b，所以a，b确定平面。

又A，B a，
C b，所以A、B、C不共线，且A，B，
Cα。

假设AD与BC共面，则
，而
，c//a，
，从而
，此与a，b，c不在同一平面内矛盾，故AD与BC是异面直线。

三. 排除法
例3. 如图2，已知，求证：a，b是异面直线。

图2
证明：（1）因为，所以b与
只有一个公共点。

而，故a与b无公共点。

（2）上只有一个点在平面
内，其他点都在平面
内，不在
内，
上的点都在平面
内，又
故a，b不在同一平面内。

综合（1）（2）可知，a，b是异面直线。