第三讲+逻辑联结词、全称量词与存在量词教案-2023届高三数学一轮复习

全称量词、存在量词与逻辑联结词复习教案一、教学目标1. 理解全称量词的概念及其在数学和逻辑中的应用。

2. 掌握存在量词的定义及其在数学和逻辑中的运用。

3. 了解逻辑联结词的种类及其在逻辑表达式中的作用。

4. 能够运用全称量词、存在量词和逻辑联结词分析实际问题。

二、教学内容1. 全称量词：介绍全称量词的定义，举例说明全称量词在数学和逻辑中的应用。

2. 存在量词：讲解存在量词的定义，展示存在量词在数学和逻辑中的实际应用。

3. 逻辑联结词：介绍逻辑联结词的种类，如且、或、非等，解释它们在逻辑表达式中的作用。

4. 综合练习：通过举例和练习题，巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的应用。

三、教学方法1. 采用讲授法讲解全称量词、存在量词和逻辑联结词的概念及其应用。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解全称量词、存在量词和逻辑联结词的实际应用。

3. 开展小组讨论，让学生互动交流，共同探讨全称量词、存在量词和逻辑联结词的使用。

4. 提供练习题，让学生在实践中巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的知识。

四、教学评估1. 课堂问答：检查学生对全称量词、存在量词和逻辑联结词概念的理解。

2. 练习题：评估学生运用全称量词、存在量词和逻辑联结词分析问题的能力。

3. 小组讨论报告：评价学生在小组讨论中的参与程度和对全称量词、存在量词、逻辑联结词的理解。

五、教学资源1. 教案、PPT课件：提供全称量词、存在量词和逻辑联结词的讲解和案例分析。

2. 练习题：供学生课后巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的知识。

3. 小组讨论案例：用于学生分组讨论，培养学生的合作能力。

教学计划：1. 第1-2课时：讲解全称量词的概念及其应用。

2. 第3-4课时：讲解存在量词的定义及其应用。

3. 第5-6课时：介绍逻辑联结词的种类及其作用。

4. 第7-8课时：进行全称量词、存在量词和逻辑联结词的综合练习。

5. 第9-10课时：学生分组讨论，分享讨论成果。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义．(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．必备方法逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．[自测练习]1．(2015·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()A．命题q一定是真命题B．命题p不一定是假命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q真假相同解析：由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q一定为真命题．答案：A知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．(3)特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．3．含有一个量词的命题的否定命 题 命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，綈p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，綈p (x )易误提醒(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．(2)p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”；p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”． 必备方法 不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．[自测练习]2．(2015·郑州预测)已知命题p ：∀x >2，x 3－8>0，那么綈p 是( ) A ．∀x ≤2，x 3－8≤0 B ．∃x >2，x 3－8≤0 C ．∀x >2，x 3－8≤0D ．∃x ≤2，x 3－8≤0解析：本题考查全称命题的否定．依题意，綈p 是“∃x >2，x 3－8≤0”，故选B. 答案：B3．下列命题为真命题的是( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 为假命题；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 为假命题；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0，故D 为真命题．答案：D考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断|1．(2016·石家庄一模)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B2．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3解析：对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以綈p 2∧p 3为真命题，故选D.答案：D判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．考点二 全称命题与特称命题真假判断|1．下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．答案：C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )为偶函数”是真命题．答案：A全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假存在一个对象使命题假否定为真考点三 利用命题的真假求参数范围|(2015·高考山东卷)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[解析] 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.[答案] 1根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题．则实数m 的取值范围为________．解析：易知命题p 为真命题， 若命题q 为真命题，则Δ＝m 2－4<0， 即－2<m <2.当p ∧q 为真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤0，－2<m <2.∴－2<m ≤－1， ∴p ∧q 为假时，m 的取值范围为{m |m ≤－2，或m >－1}． 答案：(－∞，－2]∪(－1，＋∞) 2.全称命题的否定不当致误【典例】 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B[解析] “∀x ∈A ”的否定为“∃x ∈A ”，“2x ∈B ”的否定为“2x ∉B ”，故原命题的否定为“∃x ∈A,2x ∉B ”，故选D.[答案] D[易误点评] 此类题目常易犯下列三种错误：(1)否定了结论，并没有否定量词． (2)否定了条件与结论，没有否定量词． (3)否定了条件，没有否定结论．[防范措施] (1)弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词的命题．(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手：一是量词变化，“∀”与“∃”互换；二是否定命题的结论，但不是否定命题的条件．[跟踪练习] (2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C. 答案：CA 组 考点能力演练1．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0解析：綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. 答案：C2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4≤0，则下列说法正确的是( ) A ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题 B ．綈p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为假命题 C ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题 D ．綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为假命题解析：因为x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74≥74，所以命题p 为假命题，所以綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋4>0，且綈p 为真命题，故选C.答案：C3．(2016·珠海一模)命题p ：5的值不超过2，命题q ：2是无理数，则( )A ．命题“p 或q ”是假命题B ．命题“p 且q ”是假命题C ．命题“非p ”是假命题D ．命题“非q ”是真命题解析：因为5≈2.236>2，故p 为假命题，2是无理数，故q 是真命题，由复合命题的真假判断法则可知B 正确．答案：B4．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x >0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真命题解析：A 中命题的否定是：∀x ∈R ，x 2－x >0，故A 不对；B 中当p 为假命题、q 为真命题时，p ∨q 为真，p ∧q 为假，故B 不对；C 中当m ＝0时，a ，b ∈R ，故C 的说法正确；D 中命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C.答案：C5．(2016·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.答案：B6．命题“存在x ∈R ，使得|x －1|－|x ＋1|>3”的否定是________．解析：本题考查了特称命题与全称命题．命题“存在x ∈R ，使得|x －1|－|x ＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．答案：对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤37．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件；命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中为真命题的是________．解析：依题意知p 假，q 真，所以p ∨q ，綈p 为真． 答案：p ∨q ，綈p8．命题：“存在实数x ，满足不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，“对任意的实数x ，都满足不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1>0”是真命题，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，(－m )2－4(m ＋1)(m －1)<0，解得m >233.答案：⎝⎛⎭⎫233，＋∞ 9．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围．解：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4； 命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假． 若p 真q 假，则a <－12； 若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)． 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0得a <x <3a ， 即p 为真命题时，a <x <3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x >2或x <－4，即2<x ≤3，即q 为真命题时2<x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1<x <3.由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3，得2<x <3， 所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件， 所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围为(1,2]．B 组 高考题型专练1．(2014·高考辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.答案：A2．(2014·高考安徽卷)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论． 答案：C3．(2015·高考浙江卷)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0”．答案：D4．(2015·高考湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【考纲下载】
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
2．
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？
A．(非p)∨(非q) B．p∨(非q)
C．(非p)∧(非q) D．p∨q
A．非p：∃x∈A,2x∈B
B．非p：∃x∉A,2x∈B
C．非p：∃x∈A,2x∉B
D．非p：∀x∉A,2x∉B
A．非p B．q
C．(非p)∨q D．(非q)∧p
A．非p：∀x＜0,2x≠3
B．非p：∀x≥0,2x≠3
C．非p：∃x0≥0,2x0≠3
D．非p：∃x0＜0,2x0≠3
易误警示(一)
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[答案] C
[名师点评] 1.若忽视对量词的改写，易错选D；若对不等号改写不准确，易误选A.
(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律．
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数。

课题第三节简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词教学目标：知识与技能：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的含义，能正确地对一个含有量词的命题进行否定。

过程与方法：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生理解全称量词与存在量词的含义，能正确地对一个含有量词的命题进行否定。

教学重点：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解全称量词与存在量词的含义教学难点：正确地对一个含有量词的命题进行否定教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识回顾：1.命题p,q,p q,p q, p的真假关系2.全称量词和存在量词3.含有一个量词的命题的否定二．例题讲解【典例1】(1)(2014·龙岩模拟)已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是( )(A)p∧q (B)﹁p∧﹁q (C)﹁p∧q (D)p∧﹁q(2)已知命题p：方程x2-mx+1=0有实数解，命题q：x2-2x+m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、﹁p真，则实数m的取值范围是________．【思路点拨】(1)首先判断命题p,q的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真假判断方法逐项进行判断.(2)根据命题q∨(p∧q)真、 p真可得命题p,q的真假，然后根据方程和不等式的知识得出m的取值范围．【规范解答】(1)选B.当x=1时,y=2-a2≠2,所以命题p为假,故﹁p为真;由函数f(x-1)是偶函数知,函数y=f(x-1)的图象关于y轴对称,由函数图象的平移法则知,y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q为假,故﹁q为真.所以﹁p∧﹁q为真.(2)由于 p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2-mx+1=0无实数解，此时m2-4<0，解得-2<m<2；当命题q真时，4-4m<0，解得m>1．所以所求的m的取值范围是1<m<2．答案：(1，2)【互动探究】题(2)中，命题p,q不变，若命题p∨q为真，则m的取值范围是________．【解析】命题p∨q为真时，p,q至少有一个为真．若命题p真q假，则m≤-2或m≥2，且m≤1，此时m≤-2；若命题p假q真，则-2<m<2，且m>1，此时1<m<2；若命题p,q均为真命题，则m≤-2或m≥2，且m>1，此时m≥2．故命题p∨q为真时，m的取值范围是(-∞,-2］∪(1,+∞)．答案：(-∞,-2］∪(1，+∞)【典例2】(1)(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )(A) x0∈R, ≤0(B) x∈R,2x>x2(C)a+b=0的充要条件是 =-1(D)a>1,b>1是ab>1的充分条件(2)下列命题为假命题的是( )(A) x∈R,x2+x+1>0 (B) x∈R,ex+x=1(C) a∈R,f(x)=x3+ax在(-∞,+∞)单调递增(D) a∈R,f(x)=x2+ax+a存在零点【思路点拨】(1)根据函数、不等式等知识逐项分析即可．(2)只要根据不等式、函数、方程的知识进行推证即可，注意全称量词和存在量词的区别．答案 D D【典例3】(1)(2012·辽宁高考)已知命题p: x1,x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0，则 p为( )(A) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(B) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(C) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0(D) x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0(2)“ a∈R，函数是R上的奇函数”的否定是_________．【思路点拨】(1)已知命题是一个含全称量词的命题，其否定是一个含存在量词的命题．(2)已知命题是一个含存在量词的命题，其否定是含全称量词的命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”．答案（1）C（2） a∈R，函数不是R上的奇函数三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。

p p p q q 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识梳理：（阅读教材选修2-1第14页—第27页）1、 简单的逻辑联结词：常用的简单的逻辑联结词有 ，用符号 来表法；其含义是：“且”是若干个简单命题都成立；“或”是若干个简单命题中至少有一个成立；“非”是对一个简单命题的否定。

（只否定结论）2、 由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假“p 且q ”即 ，含义是p ，q 两个命题 成立；“p 或q ”即 ，含义是p ，q 两个命题 成立；“非p ”即 ，含义是对p 命题的 。

由“或”，“且”，“非”联结的命题的真值表3、 量词（1）、短语“对所有的”或“对任意一个”，在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，含有全称量词的命题叫做全称命题．．．．。

（2）、短语“存在一个”或“至少有一个”，在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“”来表示，含有存在量词的命题叫做特称命题．．．．，或叫存在性命题。

（3）、全称命题p ：x ，p(x)：它的否定 ： ， ();特称命题q ：，q()：它的否定 ：x ， (X)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

二、题型探究【探究一】：由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假 例1：分别写出下列各组命题的构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断它们的真假（1）p ：1不是质数 q ：1不是合数（2）p ：四条边都相等的四边形是正方形 p ：四个角相等的四边形是正方形探究二：由“或”，“且”，“非”联结的命题的真假为背景，求解参数例2：已知命题p ：关于方程实根；命题q ：函数y=在[3，+是上增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

pq pq pq 真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假 假 假 假 真探究三：含有量词的命题的否定例3：（1）、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是(B )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3（2）、命题“R ，”的否定是 (A)A ． xB ．xC ．R ，D ．不存在(3)、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是 （ C ）A ．所有被5整除的整数都不是奇数；B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除三、方法提升1、复合命题是简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断，对于“p 或q ”都假或为假，对于p 且q 都真且为真。

1.2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．『试一试』1．若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否定为________．『答案』若ab≠0，则a≠0且b≠02．(2013·四川高考改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则綈p为____________．『解析』由命题的否定易知选C ，注意要把全称量词改为存在量词． 『答案』∃x ∈A,2x ∉B1．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p ∧q 中一假即假． (2)p ∨q 中一真必真．(3) 綈p 真，p 假；綈p 假，p 真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真． 『练一练』1．(2013·南通二模)命题“∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ”的否定是________． 『解析』根据存在性命题与全称命题之间的关系可知原命题的否定是：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ≤sin x .『答案』∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ≤sin x 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p ∨q 中是真命题的是________．『解析』p 是真命题，则q 是假命题． 『答案』p 、p ∨q考点一全称命题与存在性命题的真假判断1.(2014·皖南八校联考)下列命题： ①存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12②任意x ∈(0，π)，sin x >cos x ③任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x④存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1， 其中真命题的序号是________．『解析』对于①：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故①为假命题；对于②：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故②为假命题；对于③：x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，③为真命题；对于④：x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故④为假命题． 『答案』③2．(2014·苏北三市质检)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.『解析』由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1. 『答案』1『备课札记』 『类题通法』全称命题与存在性命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假存在一个对象使命题假 否定为真 存在性命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真考点二含有一个量词的命题的否定『典例』 (2012·辽宁高考改编)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，『f (x 2)－f (x 1)』(x 2－x 1)≥0，则綈p 是________『解析』 全称命题的否定为存在性命题，即若p 为“∀x ∈M ，q (x )”，则綈p 为“∃x ∈M ，綈q (x )”．『答案』 ∃x 1，x 2∈R ，『f (x 2)－f (x 1)』(x 2－x 1)<0『备课札记』『类题通法』全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．『针对训练』写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.『解析』(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．考点三含有逻辑联结词的命题『典例』(1)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：②命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的结论有________．(填写序号)(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在『3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．『解析』 (1)因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．(2)命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)． 『答案』 (1)②③ (2)(－∞，－12)∪(－4,4)『备课札记』保持本例(2)条件不变，若p ∧q 为真，则a 的取值范围为________. 『解析』p ∧q 为真，∴p 和q 均为真． ∴a 的取值范围为『－12，－4』∪『4，＋∞)． 『答案』『－12，－4』∪『4，＋∞) 『类题通法』1．判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题p 、q 的真假；(2)依据『必会3个方法中的第一个方法』判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”命题的真假． 2．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 『针对训练』1．对于下述两个命题，p ：对角线互相垂直的四边形是菱形；q ：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中真命题的有________个．『解析』容易判断p 、q 均为假命题．所以“p ∨q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题，故真命题的个数为1. 『答案』12．已知命题p ：“∀x ∈『0,1』，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．『解析』“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈『0,1』，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e≤a ≤4. 『答案』『e,4』『课堂练通考点』1．(2013·盐城二模)若命题“∀x ∈R ，x 2－ax ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由条件得Δ＝a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤4. 『答案』『0,4』2．(2013·南京二模)下列四个命题： ①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________．『解析』①中，“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；②中，“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题，③④很显然是假命题． 『答案』①②3．“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的____________条件．『解析』若命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，若命题“p 且q ”为真命题，则p ，q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件． 『答案』必要不充分4．(2013·苏北四市联考)若命题“∃x ∈R ，x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．『解析』设命题p ：∃x ∈R ，x 2＋ax ＋1<0，则命题綈p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0.又命题綈p 为真时，即为Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，所以命题p 是真命题时，实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．『答案』(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．已知p ：2＋3＝5，q ：5<4，则下列结论： ①“p 或q ”为真，p 为假； ②“p 且q ”为假，q 为真；③“p且q”为假，p为假；⑤“p且綈q”为真，“p或q”为真．其中正确的是________(填序号)．『解析』∵p为真，∴綈p为假．又∵q为假，∴綈q为真，∴“p且綈q”为真，“p或q”为真．『答案』④6．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题：①p ∧q；②p∨(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)．其中为真命题的是________(填序号)．『解析』由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(綈q)”为假命题，命题“(綈p)∧q”为真命题，命题“p∧(綈q)”为假命题．『答案』③。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。