【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.2 椭圆的几何性质课后知能检测 苏教版选修1-1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程课时训练 北师大版选修1-1一、选择题1. 已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的左支C ．一条射线D ．双曲线的右支【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】 C2. 已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的焦距为( ) A ．10B ．5 C.15D ．215 【解析】 由双曲线方程知a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∵c >0，∴c ＝5，故焦距为2c ＝10.【答案】 A3. (2012·北海高二检测)双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22 【解析】 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10.即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.【答案】 D4. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过焦点F 1和双曲线同一支相交的弦AB 长为m ，另一个焦点为F 2，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m【解析】 如图所示，由双曲线的定义，得|BF2|－|BF 1|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a .两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m ，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C.【答案】 C5. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.y 24－x 212＝1 D.y 212－x 24＝1 【解析】 由题意，知圆C 仅与x 轴有交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0， 得x 2－6x ＋8＝0.∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 【答案】 A二、填空题6. 双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．【解析】 化为标准方程：x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32，∴c ＝62，∴右焦点的坐标为(62，0)． 【答案】 (62，0) 7. 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2，1)的双曲线方程是________． 【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 【答案】 x 22－y 2＝18. 双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则k 的值是________．【解析】 原方程化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标为(0，3)，可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，∴k ＝－1. 【答案】 －1三、解答题9. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．【解】 法一 由椭圆方程x 227＋y 236＝1， 得椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)．∵椭圆与双曲线在第一象限的交点A 的纵坐标为4，∴这个交点为A (15，4)．设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（15）2b 2＝1a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 法二 由椭圆方程，得 F 1(0，－3)，F 2(0，3)，A (15，4)．∴2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|（15）2＋（4＋3）2－（15）2＋（4－3）2|＝4. ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5. 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.10. 已知曲线x 216－m －y 2m＝1. (1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标．【解】 (1)当曲线为椭圆时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，－m >0，16－m ≠－m ，解得m <0，即m 的取值范围为(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0，解得0<m <16，即m 的取值范围为(0，16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．11. 根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)． 【解】 (1)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)． ∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴可设所求双曲线的标准方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(3)设所求双曲线的标准方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线经过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，∴λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2（1+2）直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定课时训练新人教版必修2一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是( )【解析】A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a ∥β.D正确．【答案】 D2．(2013·某某高一检测)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面 D．相交或平行【解析】如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.【答案】 B3．直线l∥平面α，直线m∥平面α，若l∩m＝P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A．相交 B．平行C．重合 D．不能确定【解析】∵l∥α，m∥α，l∩m＝P，又l⊂β，m⊂β，∴α∥β.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)平面α与β平行的条件可能是( )A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行【解析】如图①，α内可有无数条直线与β平行，但α与β相交．如图②，a∥α，a∥β，但α与β相交．如图③，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，但α与β相交．故选D.【答案】 D5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．【答案】 C二、填空题图2－2－86．如图2－2－8，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．【解析】观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是DC.【答案】平面A1C1与平面AD1平面AD1DC7．(2013·某某高一检测)设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．【解析】若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.【答案】①②⇒③(或①③⇒②)图2－2－98．(思维拓展题)如图2－2－9，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)【解析】∵H、N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD，易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1，故HN∥平面B1BDD1，故不妨取M点与H点重合便符合题意．【答案】M与H重合(答案不唯一，又如M∈FH)三、解答题图2－2－109．如图2－2－10，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN ∥平面PAD .【证明】 法一 如图，取PD 中点E ，连接NE ，AE ，N 为PC 中点，E 为PD 中点， ∴NE ∥CD 且NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM ∥NE 且AM ＝NE ， 即四边形AENM 为平行四边形， ∴MN ∥AE .又∵MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .法二 如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME .∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， ∴NE ∥PD ，ME ∥AD .可证明NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD . 又NE ∩ME ＝E ， ∴平面MNE ∥平面PAD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面PAD .10．如图2－2－11所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1.图2－2－11【证明】由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.11．(探究创新题)如图2－2－12所示，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．图2－2－12【解】 当点F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE . ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，∴FM ∥平面AEC ，由EM ＝12PE ＝ED ，得E 是MD 的中点．连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 是BD 的中点，所以BM ∥OE . ∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴BM ∥平面AEC .∵FM ∩BM ＝M ，∴平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC .。

模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t, 则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为( )A ．0.41B ．2C ．0.3D ．0.2 【解析】Δs Δt ＝3＋2×2.1－3－2×22.1－2＝0.20.1＝2. 【答案】 B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e22.【答案】 D4．若复数z 满足3－3i ＝z (－23i)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝3－3i －23i ＝3i ＋323＝12＋32i ，其对应点在第一象限．【答案】 A5．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则该函数的图象是( )图1【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．【答案】 B6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1【解析】 ∵|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＋(－sin x )⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2. 【答案】 C8．(2013·宁波高二检测)函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln 2－1B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．2ln 2【解析】 因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a ，即a ＝ln 2－1.【答案】 A9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a【解析】 因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .【答案】 B10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k＋1 C ．2k－1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项．【答案】 D11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C12．(2013·辽宁高考)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】 由题意知f ′(x )＝e xx3－2fx x＝e x －2x 2f xx3.令g (x )＝e x －2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x－2e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g xx 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·西安高二检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第i 个等式左边为1到i ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 515．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i (a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________． 【解析】 由题意知，(a ＋i )2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.【答案】 216．(2013·佛山高二检测)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝2ax ＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线．∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1x＝0有解，∴a ＝－12x 2，∴a ∈(－∞，0)【答案】 (－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，＋2＋22z＝－7＋－4＋＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 18．(本小题满分12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 【解】 推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立， 即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋k ＋＝2k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分12分)函数f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在(－∞，－1)和(32，＋∞)单调递增，在(－1，32)单调递减．(1)求函数的解析式；(2)求f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b ，且由题意可知 －1，32是f ′(x )＝0的两个实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋32＝－2a 12，－32＝b12.解得a ＝－3，b ＝－18， ∴f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)由(1)得f ′(x )＝6(2x －3)(x ＋1)，当x ∈[32，2]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈[－1，32]时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，又f (－1)＝16，f (32)＝－614，f (2)＝－11.故f (x )max ＝16，f (x )min ＝－614. 20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解】 (1)如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2， 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC . ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE＝1AB ＋1AF .易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．21．(本小题满分12分)(2013·南京高二检测)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 22．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 【解】 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法【解析】 结合分析法及综合法的定义可知B 正确． 【答案】 B2．(2013·台州高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B.a 2＋b 22<ab <1C ．ab <a 2＋b 22<1D ．ab <1<a 2＋b22【解析】 ∵a ＋b ＝2且a ≠b ，∴ab <(a ＋b2)2＝1，a 2＋b 22>(a ＋b2)2＝1.∴a 2＋b 22>1>ab ，故选D.【答案】 D3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解析】 欲比较P ，Q ，只需比较P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a 与Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12，显然前者小． 【答案】 C4．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对【解析】 对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，∴甲是乙的充分不必要条件．【答案】 A5．(2013·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －3<2a －3＋2a －2a －1，即aa －3<a －2a －1，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立； 对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0， ∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log2xy＝________. 【解析】 由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x y)2－5x y ＋4＝0，∴x y ＝4或x y ＝1，又x ＞2y ，故x y＝4. ∴log2xy＝log 24＝4. 【答案】 47．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．【解析】 x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝2ab －a －b 2＝－a －b22≤0，∴x 2≤y 2.∵a ，b 是不相等的正数，∴x >0，y >0，x ≠y ，∴x 2<y 2即x <y . 【答案】 x <y8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，f (x )＝2x －1x ＋1，a n ＝log 2f n ＋1f n ，则S 2 011＝________.【解析】 a n ＝log 2f n ＋1f n＝log 2f (n ＋1)－log 2f (n )，∴S 2 011＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 011＝[log 2f (2)－log 2f (1)]＋[log 2f (3)－log 2f (2)]＋[log 2f (4)－log 2f (3)]＋…＋[log 2f (2 012)－log 2f (2 011)]＝log 2f (2 012)－log 2f (1)＝log 24 024－12 012＋1－log 22－11＋1＝log 21 341671＋1.【答案】 log 21 341671＋1三、解答题9．(2013·东城高二检测)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零， 因此只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立，∴原不等式成立．10．(2013·武汉高二检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． (2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3) ≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)＝a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －cc＝b ＋c ·a ＋c ·a ＋b ≥2bc ·2ac ·2ab＝8. 故(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .又由于1＜a ≤b ≤c ，所以x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时训练 北师大版选修2-1一、选择题1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45B ．35 C.25 D ．15【解析】 由题意知，2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b .∴a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 2－2ac －5c 2＝0，∴5e 2＋2e －3＝0解得e ＝35或－1(舍去)． 【答案】 B2．若椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34 D ．64 【解析】 由△BF 1F 2是正三角形得，b c ＝tan 60°＝ 3.∴b ＝3c .∴e ＝ca ＝cb 2＋c 2＝c 3c 2＋c2＝12. 【答案】 A3．若点A (m,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则m 的取值范围是( ) A ．－2<m < 2B ．m <－2或m > 2C ．－2<m <2D ．－1<m <1【解析】 由点A 在椭圆x 24＋y 22＝1的内部． m 24＋122<1，整理得m 2<2. 解得－2<m < 2.【答案】 A4．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆方程是( ) A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 24＋y 216＝1 D ．x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 【解析】 若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14. ∴a 2＝4b 2＝16.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 【答案】 D5．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 即为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c ＝8－4＝2. 又b ＝2，∴点P 为短轴的端点，有2个．【答案】 B二、填空题6．若椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m 的值等于________． 【解析】 当m >0时，由m m ＋9＝14，得m ＝3；当m <0时，由－m 9＝14，得m ＝－94. 【答案】 3或－947．椭圆(1－m )x 2－my 2＝1的长轴长为________．【解析】 椭圆标准方程为x 211－m ＋y 2－1m ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞0，－m ＞0.∴m ＜0.此时1－m ＞－m ＞0，∴11－m ＜－1m. ∴a 2＝－1m ，b 2＝11－m，2a ＝2－1m ＝－2－m m . 【答案】 －2－m m8．(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3，∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°. ∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°， ∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c .由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 【答案】3－1 三、解答题9．求经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程．【解】 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，－5)与(0，5)．则设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．又椭圆过点(2，－3)，∴4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1. 10．如图3－1－4，A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC →⊥BC →，|BC →|＝2|AC →|，求椭圆的方程．图3－1－4【解】 由题意知A (2,0)，椭圆方程为x 24＋y 2b 2＝1.设点C 的坐标为(m ，n )，则点B 的坐标为(－m ，－n )． ∵AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0，即(m －2，n )·(2m,2n )＝0，∴m 2－2m ＋n 2＝∵|BC →|＝2|AC →|，∴|CO →|＝|AC →|， 即m 2＋n 2＝m －2＋n 2，∴m ＝1. 将m ＝1代入得n ＝1， ∴C (1,1)．将x ＝1，y ＝1代入椭圆方程，得14＋1b 2＝1， ∴b 2＝43. 故椭圆方程为x 24＋3y 24＝1. 11.如图3－1－5，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，求椭圆离心率e 的取值范围．图3－1－5【解】 设P (x 0，y 0)，∵F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∴PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)． ∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，∴(－c －x 0)(c －x 0)＋(－y 0)(－y 0)＝0， 即x 20＋y 20－c 2＝0. 又∵x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴y 20＝b 2(1－x 20a 2)， ∴x 20＋b 2(1－x 20a 2)－c 2＝0， 整理得x 20＝a 2c 2－b 2c 2＝a 2c 2－a 2c 2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤x 20≤a 2.∴0≤a 2c 2－a 2c 2≤a 2. 用椭圆的范围建立a ，b ，c 的不等关系． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2c 2－a 2≥0，a 2≥c 2.∴12≤e 2≤1. 又∵0<e <1，∴22≤e <1. 即椭圆离心率的取值范围是[22，1)。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.2 圆的一般方程课后知能检测 新人教B 版必修2一、选择题1．方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12－2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，圆心A 为(2，－1) 由题意可知P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0， 即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(1)求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程； (2)若x 2＋y 2＋(2λ－1)x ＋2λy ＋2λ2＝0表示圆，求λ的取值范围．【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.(2)因为方程x 2＋y 2＋(2λ－1)x ＋2λy ＋2λ2＝0表示圆， 所以(2λ－1)2＋(2λ)2－8λ2>0，解得λ<14，即所求λ的取值范围为(－∞，14)．10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|PA |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，则方程可化为：2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λλ－]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆． 11．如图2－3－1所示，已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．图2－3－1【解】 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4， 整理，得(x －32)2＋(y －32)2＝1.所以，点M 的轨迹是以(32，32)为圆心，半径长是1的圆.。