数学：2.2《直接证明与间接证明》测试1(新人教A版选修1—2)

自我小测1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在R 上定义运算：a b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x (x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 25．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (9)的值为__________．6．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________． 7．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为________．8．已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2. 9．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF⊥平面BDE.10．已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列．试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角．参考答案1．解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．解析：若l ⊥α，m β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m β，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l ⊥α，m β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：B3．解析：x (x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＜0x 2＋x －2＜0－2＜x ＜1.答案：B4．解析：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，知b 2＋c 2－a 2＜0，所以a 2＞b 2＋c 2. 答案：C5．解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝4.则f (9)＝f (1)．又∵f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝－1，得f (1)＝－f (－1)．而f (x )是偶函数，∴f (1)＝f (－1)．∴f (1)＝0.故f (9)＝0.答案：06．解析：因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a ≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c ＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．答案：97．解析：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，故四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形8．证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a ＞0，只需证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2， 而上述不等式显然成立．故原不等式成立．9．证明：(1)设AC ，BD 的交点为G ，连接EG ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG .因为EG 平面BDE ，AF 平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形，所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，所以BD ⊥平面ACEF .所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .10．分析：在△ABC 中，要证∠B 为锐角，只要证cos B ＞0，结合余弦定理可解决问题． 证法一：(分析法)：要证明∠B 为锐角，只需证cos B ＞0.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， ∴只需证明a 2＋c 2－b 2＞0，即a 2＋c 2＞b 2.又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac ＞b 2.由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )， ∴只需证明b (a ＋c )＞b 2，即只需证明a ＋c ＞b .而a ＋c ＞b 成立，∴∠B 为锐角．证法二：(综合法)：由题意，得2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac， 则b ＝2ac a ＋c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵a ＋c ＞b ，∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＞0.又∵0＜∠B ＜π，∴0＜∠B ＜π2，即∠B 为锐角． 备选习题1．解析：当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32， ∴a ＜32. 当n 为奇数时，a ＞－2－1n ，而－2－1n＜－2， ∴a ≥－2.综上可得－2≤a ＜32. 答案：⎣⎡⎭⎫－2，32 2．证明：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以y 12y 22＝2px 1·2px 2＝4p 2x 1x 2＝－4p 2y 1y 2.所以y 1y 2＝－4p 2.所以x 1x 2＝－y 1y 2＝4p 2，所以x 1x 2，y 1y 2都是定值，即A ，B 两点的横坐标之积和纵坐标之积都是定值． 点评：对直线与抛物线的交点设而不求，是解答有关问题的一种常见的方法．3．证法一：(分析法)：要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.所以a 2＋c 2－b 2＝ac .所以原式成立．证法二：(综合法)：因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n +=+Ｃ．120m S n S S m n+=+Ｄ．120n S m S S m n+=+答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 232221则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：111121222kk k ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·． 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·，正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>． 因此，只需证明4π>． ∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=， 所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac ac +≤≤，2b cbd bd +≤≤， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··， 又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++． 则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++， 所以a 的最大值等于25．高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ） Ａ．“若22m n =··，则m n =”类比得出“若00m n =··，则m n =” Ｂ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“()a b c ac bc =··” Ｃ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“(0)a b a bc c c c+=+≠” Ｄ．“()n nn pq p q =·”类比得出“()n n n p q p q +=+”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25 Ｂ．66Ｃ．91Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和② 答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ） Ａ．1 Ｂ．12+ Ｃ．123++ Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ） Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法答案：Ｂ6．要使333a b a b -<-成立，则a b ，应满足的条件是（ ）Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b > Ｃ．0ab <且a b < Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b <答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角 答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为（ ）Ａ．41412156325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++答案：Ａ10．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ） Ａ．212rＢ．212lＣ．12rlＤ．不可类比答案：Ｃ11．已知1m >，1a m m =+-，1b m m =--，则以下结论正确的是（ ） Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ12．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（ ） Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题 13．已知21111()12f n n n n n =++++++，则()f n 中共有 项．答案：21n n -+14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：317210+<，7.512.5210+<， 82122210++-<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式 ．答案：当20m n +=时，有210m n +≤15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．答案：265n a n =-16．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++． 24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下： 设等差数列{}n a 的公差为d ，则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．19．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b aca-<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<r ， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证明：2222222()a b b c c a a b c +++++++≥．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提）， 所以2222()22a b a b a b +++≥≥（两次省略了大前提，小前提）， 同理，222()2b c b c ++≥，222()2c a c a +>+， 三式相加得2222222()a b b c c a a b c +++++++≥． （省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1111()23212n n n *++++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： （1）当1n =时，112>，猜想成立； （2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k++++>-， 则当1n k =+时， 111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．22．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立． 令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．。

高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1．下列说法不正确的是（）Ａ．综合法是由因导果的顺推证法Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法Ｃ．综合法与分析法都是直接证法Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用答案：Ｄ2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件答案：Ｂ3．若a b c，，是不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca++>++．证明过程如下：a b c∈R，，∵，222a b ab+∴≥，222b c bc+≥，222c a ac+≥，又a b c，，∵不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab b c ac++>+++，222a b c ab bc ca++>++∴．此证法是（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法答案：Ｂ41>．证明：1，1，即证75111++>+，，3511>∵，∴原不等式成立．以上证明应用了（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法配合使用Ｄ．间接证法答案：Ａ5．以下数列不是等差数列的是（）Ｂ．π2π5π8+++，，Ｄ．204060，，答案：Ｃ6．使不等式116a<成立的条件是（）Ａ．a b>Ｂ．a b<Ｃ．a b >，且0ab < Ｄ．a b >，且0ab >答案：Ｄ二、填空题7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．答案：三个内角都小于60°8．已知00a b m n >>==，，m 与n 的关系为 ． 答案： m n ≤9．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；；④2ab a b+ 以上4个不等式恒成立的是 ．（填序号）答案：①②③10．函数()sin 2sin [02π]f x x x x =+∈，，的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．答案：13k <<11．设函数()lg f x x =，若0,a b <，且()()f a f b >，则ab ∈ ． 答案：(01)，12．已知平面αβγ，，满足l αγβγαβ⊥⊥=I ，，，则l 与γ的位置关系为 ． 答案：l γ⊥三、解答题13．已知(01)a b c ∈，，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14． 证明：假设三式同时大于14，即1(1)4a b ->，1(1)4b c ->，1(1)4c a ->， 三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64a a b b c c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤， 同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 所以1(1)(1)(1)64a ab bc c ---≤， 与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 14．已知数列{}n a 为等差数列，公差1d =，数列{}n c 满足221()n n n c a a n *+=-∈N ．判断数列{}n c 是否为等差数列，并证明你的结论．答案：是．证明：由条件1(1)n a a n =+-，则2211221n n n c a a n a +=-=--+．所以12n n c c +-=-，所以数列{}n c 为等差数列．15．若下列方程：24430x ax a =-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，或，，即312a -<<-． 所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．。

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明一、综合法和分析法1．综合法的定义利用________和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的特点从“已知”看“________”，逐步推向“________”，其逐步推理，是由______导______，实际上是寻找“已知”的________条件．3．综合法的基本思路用______表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，______表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其逻辑依据是三段论式演绎推理．4．分析法定义从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.5．分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“______”，执果索因，逐步靠拢“______”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的______条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为P⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件【知识点拨】分析法与综合法的区别与联系（1）区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．（2）联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．二、反证法1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理（1）反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．（2）用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．【知识点拨】1．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．2．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：（1）直接证明需分多种情况的；（2）结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；（3）关于唯一性、存在性的命题；（4）结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；（5）条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．K知识参考答案一、1．已知条件 定义公理 定理 推理论证 2．可知 未知 因 果 必要 3．P Q 4．结论 充分 5．需知 已知 充分 P 二、1.矛盾 错误成立一、 K 重点——综合法的应用求证：532111+2log 19log 19log 19+<. 【答案】详见解析 【解析】因为1log log a b b a=，所以左边23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2=++=++231919log (532)log 360=⨯⨯=.因为1919log 360log 3612<=，所以532111+2log 19log 19log 19+<. 【名师点睛】综合法的证明步骤如下：（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； （2）转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程. 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程. 二、K 重点——分析法的应用当0a b +>)2a b ≥+. 【答案】见解析)a b +，只需证22[)]2a b ≥+， 即证22221(2)2a b a b ab +≥++，即证222a b ab +≥. 因为222a b ab +≥对一切实数恒成立，)a b +成立. 综上所述，不等式得证.【名师点睛】分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行 转化，直到获得一个显而易见的命题即可. 三、K 重点——反证法的应用设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.（1）求证：数列{}n S 不是等比数列； （2）数列{}n S 是等差数列吗？为什么？【解析】（1）证法1：（反证法）若{}n S 是等比数列，则2213S S S =，即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.∵10a ≠，∴22()11q q q =+++，即0q =，这与0q ≠矛盾，故{}n S 不是等比数列．证法2：只需证明221n n n S S S ++≠，∵11211,n n n n S a qS S a qS +++=+=+，∴2211111()()n n n n n n n S S S S a qS a qS S ++++-=+-+1111()0n n n a S S a a ++=-=-≠.（2）当1q =时，{}n S 是等差数列．当1q ≠时，{}n S 不是等差数列，否则有123S S S 、、成等差数列．即2132S S S =+， ∴21111()()21a q a a q q =++++． 由于2210,21),2(a q q q q q =≠∴+++=， ∵1q ≠，∴0q =，与0q ≠矛盾．综上，当1q =时，数列{}n S 是等差数列，当1q ≠时，{}n S 不是等差数列． 【名师点睛】应用反证法的注意事项1．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p ，则q ”的过程中，虽然否定了结论q ，但是在证明过程中没有把“q ⌝”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．2．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有： （1）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与已知条件矛盾； （4）与公认的简单事实矛盾．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的． 四、K 易错——忽视隐含条件设0a b +>，n 为偶数，求证：1111n n n n b a a b a b--+≥+.【错解】111111()()n n n n n n n n n nb a a b a b a b a b a b ------+--=.∵n 为偶数，∴()0nab >.又∵nna b -和11n n a b---同号，∴11110n n n n b a a b a b--+-->，∴1111n n n n b a a b a b--+≥+.【辨析】这里题目中的条件为0a b +>，而不是0,0a b >>，因此，应分0a >且0b >和,a b 有一个为负值两种情况加以讨论．【正解】111111()()n n n n n n n n n nb a a b a b a b a b a b------+--=. ①当0,0a b >>时，11)()0,(()0n n n n n a b ab a b ----≥>,11)()0,(()0n n n n n a b ab a b ----≥>，∴11()()0n n n n n na b a b a b----≥， ∴1111n n n n b a a b a b--+≥+.②当a b 、中有一个为负值时，不妨设0,0a b ><，且0a b +>，∴||a b >. ∴11()0,0,0,0nnnn n ab a b a b -->>>><，故110,0nnn n a b ab --->->，∴11()()0n n n n n na b a b a b---->， ∴1111n n n n b a a b a b--+>+，∴由①②知结论成立．【解析】审题过程中注意将条件等价转化，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0,0,0a b c >>>.【错解】假设0a ≤，0b ≤，0c ≤，则0a b c ++≤，0abc ≤与题设条件0a b c ++>，0abc > 矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．【辨析】错解没有弄清原题待证的结论是什么,导致反设错误．“求证：a >0，b >0，c >0”的含义是“求证a 、b 、c 三数都是正数”，故反设应为“假设a 、b 、c 中至少有一个不大于0.”【正解】证法1：假设a b c 、、中至少有一个不大于0，不妨设0a ≤，若0a <，则由0abc >，得0bc <，由0a b c ++>得，0b c a +>->，∴()0ab bc ac a b c bc ++=+<+，这与已知0ab bc ac ++>矛盾．又若0a =，则0abc =与0abc >矛盾． 故“0a ≤”不成立，∴0a >， 同理可证0,0b c >>.证法2：假设a b c 、、是不全为正的实数，由于0abc >，所以a b c 、、中只能是两负一正，不妨设0a <，0,0b c <>，∵0ab bc ac ++>，∴()0a b c bc ++>， ∵()0,0bc a b c <∴+>， ∵0a <，∴0b c +<， ∴0a b c ++<， 这与0a b c ++>矛盾， 故假设不成立，原结论成立． 即,,a b c 全为正实数．1,a b 应满足的条件是A ．0ab <且a b >B ．0ab <且a b >C ．0ab <且a b <D ．0ab >,a b >或0ab <,a b <2．设ABC △的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos =sin b C c B a A +，则ABC △的形状为A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定3．若0)P Q a ==≥，则,P Q 的大小关系是A ．P Q >B ．P Q =C ．P Q <D ．由a 的取值确定4．实数a b c 、、不全为0等价于A ．a b c 、、均不为0B ．a b c 、、中至多有一个为0C ．a b c 、、中至少有一个为0D ．a b c 、、中至少有一个不为0 5．有以下结论：①已知332=p q +，求证：2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥；②已知,a b ∈R ，||||1a b +<，求证方程20x ax b +=+的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设1||1x ≥.下列说法中正确的是 A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确6．已知1x 是方程24xx +=的根，2x 是方程2log 4x x +=的根，则12x x +的值是________.7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________.8．用分析法证明：若ABC △的三内角A B C 、、9．在ABC △中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且A B C 、、成等差数列，a b c 、、成等比数列，求证：ABC △为等边三角形．10．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：”索的因应是A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()0()a b a c ->-D ．()0()a b a c -<-11．用反证法证明命题“若直线AB 、CD 是异面直线，则直线AC 、BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线；③假设直线AC 、BD 是共面直线． 则正确的序号顺序为 A ．①②③ B ．③①② C ．①③②D ．②③①12．命题“若sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=________． 13．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞为增函数； （2）用反证法证明方程()0f x =没有负实根．1． D 【解析】要证b ，只需证3<，即a b a b ---，即证<，只需证22ab a b <，即()0a b b a -<.只需0ab >，0b a -<或0ab <，0b a ->.2．B 【解析】由正弦定理得2sin cos sin cos =sin B C C B A +，所以2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，而sin 0A >，∴sin 1A =，故2A π=，所以ABC △是直角三角形．3．C 【解析】取1a =得14P =，24Q =>，∴P Q <，故选C. 证明如下：要证P Q <，只要证22P Q <，只要证2727a a ++<++， 只要证227712a a a a +<++， 只要证012<，显然012<成立，∴P Q <成立．4．D 【解析】“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．5．D 【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“+2p q >”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．6．4 【解析】∵24xx +=，∴24xx =-，∴1x 是2x y =与4y x =-交点的横坐标． 又∵2log 4x x +=，∴2log 4x x =-，∴2x 是2log y x =与4y x =-交点的横坐标． 又2x y =与2log y x =互为反函数，其图象关于y x =对称， 由4y x y x=-⎧⎨=⎩得2x =，∴1222x x +=，∴124x x +=. 7．丙 【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．8． 222()()()()()(3)a b c b c a b c a b a b b c a c b ac +++++++=+++-=即.∵A B C 、、成等差数列，∴60B =，∴ 1cos .2B = 所以由余弦定理，得222a c b ac +-=.9．【解析】证明：由A B C 、、成等差数列，得2B A C =+①. 因为A B C 、、为ABC △的内角，所以.A B C ++=π② 由①②，得3B π=③，由a b c 、、成等比数列，得2b ac =④.11 由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac ==+-+-.将④代入，可得22a c ac ac +-=，即2()0a c -=，因此a c =，从而有A C =⑤. 由②③⑤，得3A B C π===，所以ABC △为等边三角形． 10．C<，只需证223b ac a <-，只需证223()a c ac a -+<，只需证2220a ac c -++<，即证2220a ac c -->，即证2)0()(a c a c +>+，即证()0()a c a b ->-.11．B 【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.12．12- 【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论=os 1(2c )αβ--. 13．【解析】（1）任取12,(1,)x x ∈-+∞，不妨设12x x <，则210x x ->，211x x a->，且10x a >. 所以21121()10x x x x x a a a a --->=.又因为1210,10x x >++>， 所以21212211x x x x ---++211212(2)(1)(2)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+=++21122()0(1)(1)x x x x -=>++ 于是2121212122()()011x x x x f x f x a a x x ---=-+->++，故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数． （2）设存在000(1)x x <≠-满足0()0f x =， 则00021x x a x -=-+. 又001x a <<，所以002011x x -<-<+，即0122x <<. 与假设00x <矛盾，故()0f x =没有负实根．。

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我小测新人教A版选修2—21．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca。

证明过程如下:∵a,b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加，得2（a2＋b2＋c2）＞2（ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac。

此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法2．在△ABC中,若sin A sin B＜cos A cos B，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是( ）A．|a｜≥1且｜b|≥1B．｜a|≥1且｜b|≤1C．(｜a｜－1)（|b|－1）≥0D．(|a｜－1）(｜b|－1)≤04．使不等式错误!＋错误!＞1＋错误!成立的正整数a的最大值是（)A．13 B．12 C．11 D．105．已知直线l，m，平面α,β，且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β。

其中正确的命题的个数是（)A．2 B．3 C．4 D．56．平面内有四边形ABCD和点O，=OA OC OB OD++，则四边形ABCD为________．7．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则xy＝________.8．要证错误!－错误!＞错误!成立,则a，b应满足的条件是________．9．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证:错误!＋错误!＝错误!。

2015高中数学 2.2直接证明与间接证明练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2．(2013·浙江理，3)已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y[答案] D [解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y.3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab[答案] B[解析] ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b 22(a ≠b )．4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．不能确定[答案] C[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析] a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 二、填空题7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b2>a ＋b2，所以m >n .8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________． [答案] a >c >b [解析] b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2， 所以a >c .也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c .9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________． [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1.[证明] 要证1n>n －n －1，即证1>n －n n －，只需证nn －>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln2)>2f (ln3)B ．3f (ln2)<2f (ln3)C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定[答案] B [解析] 令F (x )＝fxx(x >0)，则F ′(x )＝fx －f xx ，∵x >0，∴ln x∈R ，∵对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f3>f2，∴3f (ln2)<2f (ln3)．12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b[答案] D [解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列，∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 则cos(α－β)＝________. [答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝12cos(α－β)＝－1， cos(α－β)＝－12.三、解答题16．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．∵aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2， ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.17．求证：α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[证明] 要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β， 又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原命题成立．选修2-2 第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a >b >0，那么a 2>b 2”时，假设的内容应是( )A ．a 2＝b 2B ．a 2<b 2C ．a 2≤b 2D ．a 2<b 2，且a 2＝b 2[答案] C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B ．13 C ．12 D ．1[答案] B[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．3．(2013·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 [答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至多有一个为0 C ．a 、b 、c 中至少有一个为0 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0[答案] D[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”． [点评] 要与“a 、b 、c 全不为0”加以区别，“a 、b 、c 全不为0”是指a 、b 、c 中没有一个为0，其否定应为“a 、b 、c 中至少有一个为0”．5．(2013·大庆实验中学高二期中)设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2[答案] C[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a)＋(b ＋1b)＋(c ＋1c)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n＋bm ＋n>a n b m ＋a m b n”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] D [解析] am ＋n＋bm ＋n－a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a m>b ma n >b n 或⎩⎪⎨⎪⎧a m <bma n <b n，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m ，am ＋n＋bm ＋n>a m b n＋b m a n⇒/ a >b .二、填空题7．“x ＝0且y ＝0”的否定形式为________． [答案] x ≠0或y ≠0[解析] “p 且q ”的否定形式为“¬p 或¬q ”．8．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________． [答案] 异面[解析] 假设AC 与BD 共面于平面 α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________________．[答案] ①[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD 中，可以有AB ＝CD ，AD ＝BC ，例如将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2013·泰州二中高二期中)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1<n ＋1－n .[证明] 要证上式成立，需证n ＋2＋n <2n ＋1， 需证(n ＋2＋n )2<(2n ＋)2，需证n 2＋2n <n ＋1， 需证(n ＋1)2>n 2＋2n ， 需证n 2＋2n ＋1>n 2＋2n ， 只需证1>0，因为1>0显然成立，所以原命题成立．一、选择题11．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.12．若x 、y >0且x ＋y >2，则1＋y x 和1＋x y的值满足( )A ．1＋y x 和1＋x y 中至少有一个小于2B ．1＋y x 和1＋x y 都小于2C ．1＋y x和1＋x y都大于2 D ．不确定 [答案] A[解析] 假设1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0，y >0，∴1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加得1＋x ＋1＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2，这与x ＋y >2相矛盾， 因此1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2.13．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.二、填空题14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________． [答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．[证明] 假设1、3、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d ， 则1＝3－md,2＝3＋nd ，其中m ，n 为两个正整数， 由上面两式消去d ，得n ＋2m ＝3(n ＋m )． 因为n ＋2m 为有理数，而3(n ＋m )为无理数， 所以n ＋2m ≠3(n ＋m )，矛盾，因此假设不成立， 即1，3，2不能为同一等差数列的三项．16.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上．[证明] 假设点M在线段CD上，则BD<BM＝CM<CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<BM2＋AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，所以AB<AC.这与AB>AC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．[解析] (1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f(－b)．同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：a ＋b<0⇒a<－b⇒f a f－ba ＋b<0⇒b<－a⇒fb f－a⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．。

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2。

2.1 综合法和分析法[课时作业］[A组基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ）（cos2θ－sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法答案:B2．已知函数f(x）＝lg错误!，若f（a）＝b,则f（－a)等于（)A．b B．－bC.错误!D．－错误!解析：f(x)定义域为（－1，1)，f(－a）＝lg错误!＝lg(错误!)－1＝－lg错误!＝－f(a）＝－b.答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a〉b〉c，且a＋b＋c＝0，求证：错误!<错误! a,则证明的依据应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c）>0 D．（a－b)（a－c）〈0解析:错误!〈错误!a⇔b2－ac<3a2⇔（a＋c）2－ac<3a2⇔(a－c）·（2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b）〉0.答案：C4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论,对三边a，b，c应满足的条件,判断正确的是（）A．a2〈b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2〉b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝错误!，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2。

人教版新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数（）A . 成等比数列而非等差数列B . 成等差数列而非等比数列C . 既成等差数列又成等比数列D . 既非等差数列又非等比数列2. （2分）设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（）A . 1≤ab≤B . ab<1<C . ab< <1D . <ab<13. （2分）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A . 只有一条，不在平面α内B . 有无数条，不一定在平面α内C . 只有一条，且在平面α内D . 有无数条，一定在平面α内4. （2分）已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（）A . x< <y<2xyB . 2xy<x< <yC . x< <2xy<yD . x<2xy< <y5. （2分）要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A . 综合法B . 分析法C . 反证法D . 归纳法6. （2分）已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知是两个平面，直线 l 不在平面内， l 也不在平面内，设① ；② ；③ ．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2018高二下·双鸭山月考) 要证成立，应满足的条件是（）A . 且B . 且C . 且D . ,或 ,9. （2分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（－a）等于（）A . bB . －bC .D .10. （2分）设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则（）A . a+b≥2( +1)B . a+b≤ +1C . a+b≤( +1)2D . a+b>2( +1)11. （2分）设0<x<1，则a= ，b=1+x ， c= 中最大的一个是（）A . aB . bC . cD . 不能确定12. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ③①②C . ①③②D . ②③①13. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的假设为（）A . 都是奇数B . 都是偶数C . 中至少有两个偶数D . 中至少有两个偶数或都是奇数14. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设、、都是偶数B . 假设、、都不是偶数C . 假设、、中至多有一个是偶数D . 加速、、中至多有两个是偶数15. （2分）用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一上·杭州期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________17. （1分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3 ，则a5与b5的大小关系为________．18. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.19. （1分）已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．20. （1分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分） (2018高一下·上虞期末) 设，数列满足， .（Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；（Ⅱ）证明：对于一切正整数，．22. （10分）(2020·河南模拟) 已知函数，记不等式的解集为 .（1）求；（2）设，证明： .23. （5分）已知函数f（x）=ln（1+ex）﹣x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得”成立．利用这个性质证明x0唯一；24. （15分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，25. （5分）已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、24-3、25-1、。

人教新课标A版选修1-2数学2.2直接证明与间接证明同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A . 三个内角都不大于B . 三个内角都大于C . 三个内角至多有一个大于D . 三个内角至多有两个大于2. （2分） (2016高二下·清流期中) 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程x3+ax﹣b=0没有实根B . 方程x3+ax﹣b=0至多有一个实根C . 方程x3+ax﹣b=0至多有两个实根D . 方程x3+ax﹣b=0恰好有两个实根3. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 欲证成立，只需证（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（－a）等于（）A . bB . －bC .D .5. （2分）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个6. （2分）设a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，则a与b大小关系为（）A . a>bB . a=bC . a<bD . 无法确定7. （2分）下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个8. （2分）若a ， b ， c是常数，则“ a>0 ，且b2-4ac<0 ”是“对任意，有ax2+bx+c>0 ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分） (2018高二上·陆川期末) 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 <a”索的因应是（）A . a－b>0B . a－c>0C . (a－b)(a－c)>0D . (a－b)(a－c)<010. （2分）设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（）A . 0B .C .D . 111. （2分） (2017高二下·武汉期中) 设a，b∈（﹣∞，0），则（）A . 都不大于﹣2B . 都不小于﹣2C . 至少有一个不大于﹣2D . 至少有一个不小于﹣212. （2分）用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（）A . 假设是有理数B . 假设是有理数C . 假设或是有理数D . 假设+是有理数13. （2分）已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分）下列说法中正确的是（）A . 合情推理就是类比推理B . 归纳推理是从一般到特殊的推理C . 合情推理就是归纳推理D . 类比推理是从特殊到特殊的推理15. （2分）设a，b，m都是正整数，且a<b，则下列不等式中恒不成立的是（）A . < <1B . ≥C . ≤ ≤1D . 1< <二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则________ 必定是在撒谎．17. （1分） (2017高一上·泰州期末) 已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是________．18. （1分）若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，，a2＋b2 ， 2ab中最大的是________．19. （1分）请阅读下列材料：若两个正实数a1 ， a2满足a12＋a22＝1，那么a1＋a2≤ .证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ .根据上述证明方法，若n个正实数满足a12＋a22＋…＋an2＝1时，你能得到的结论为________．20. （1分）(2018·宝鸡模拟) 2018年4月初，甲、乙、丙三位全国文化名人特来我市参加“宝鸡发展大会”.会后有旅游公司询问甲、乙、丙三位是否去过周公庙，法门寺，五丈原三个地方时.甲说：我去过的地方比乙多，但没去过法门寺；乙说：我没去过五丈原；丙说：我们三人去过同一个地方.由此可判断乙去过的地方为________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （10分）(2018·榆林模拟) 选修4-5：不等式选讲设，且 .求证：（1）；（2）与不可能同时成立.22. （5分）已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，用反证法证明：a，b，c＞0．23. （5分）设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣， 3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．24. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .25. （10分）(2018高二下·中山月考)（1）用分析法证明： ;（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、。

课堂探究探究一 综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：根据题意进行适当配凑，再利用基本不等式进行证明即可．证明：∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3， ∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19 ≥23a ＋23b ＋23c ＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 规律小结 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ， 特别是b a ＋a b≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.规律小结利用一些常见的结论常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中的一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段． 【典型例题3】已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a .思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a －5－a －3＜a －2－a ， 只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2， 只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2，即2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6， 即证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，即证0＜6.因为0＜6恒成立，所以原不等式成立．故a －5－a －3＜a －2－a .温馨提示 1．只有不等号两端均为非负数时，才能直接平方．2．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．探究三 综合法与分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，宜于表述，但思路不太好想．因此对二者交互使用，相互转换，解题时联合运用可增加解题思路．【典型例题4】已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1，求证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c . 思路分析：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．证明：要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＜log x (abc )， 而已知0＜x ＜1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立． 温馨提示 解题时，常用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合运用综合法与分析法，找到沟通已知条件与结论的途径．探究四 易错辨析易错点 分析法与综合法相混淆致错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6. 错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立， 所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数， 所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。