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例：求z x y的全微分 解：dz z dx z dy yx y1dx x y ln xdy
x y 例 : 设函数z xe xy y,求dz(1,1)
解：dz z dx z dy e xy (1 xy)dx ( x2e xy 1)dy x y
因此：dz(1,1) 2edx (e 1)dy
y
y2
2u x2
x2 y2 x 2x ( x2 y2 )2
(
y2 x2
x2 y2 )2
同理
2u y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
2u x 2
2u y2
0
全微分
回顾：对于一元函数 y f ( x) ，可导与可微一致
f '( x) ＝ lim y y ＝ f ( x)x (x)
对于函数u f ( x1, x2 ,L , xn )
n u u u
u
u
du i1 xi x1 dx1 x2 dx2 L xi dxi L xn dxn .
在点(
x0
,
y0
),
若
z x
、z y
连续
则 z f (x, y) 可微
证 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
RT V2
R V RT p R pV
1
dy dy 1 dx dx
对 z ? x
注意：
分段函数分段点的偏导数必须用定义计算
z 是一个整体符号
z
x
x
二、高阶偏导数
z x
二、高阶偏导数
x
z x
2z x 2
fxx( x, y)
z y y
2z y 2
f yy ( x, y)
证：Q z f ( x, y)可微
z Ax By o(r ) r 0
若y 0,则r＝| x |
z f ( x x, y) f ( x, y) Ax o(| x |)
z lim f ( x x, y) f ( x, y) A
x x0
x
同理可得：z ＝ lim f ( x, y y) f ( x, y) B
fx(x, y)
例3 求 z x2 3xy y2 在(1,2)处的偏导数
解
z x 2x 3 y
z y 3x 2 y
z x
x1 y2
8
z y
x1 y2
5
例4 求z x3 sin5 y的偏导数
解 z 3x2 sin5 y z 5x3 cos5 y
x
y
例5 设z x y 求证
x z 1 z 2z y x ln x y
[ f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 y)]
[ f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )]
fx(1, y0 y)x f y( x0 ,2 )y
[f
x
(
x0
,
y0 )
1]
x
[f
y
(
x0
,
y0 )
2 ] y
（
1
,
无穷小量）
2
f
x
(
x0
,
y0
)x
y
z x
2z xy
fxy( x, y)
混合偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y)
例7 求z x3 y2 3xy3 xy 7
的二阶偏导数及 3z y3
解 z 3x2 y2 3 y3 y x
2z x 2
6 xy 2
z 2x3 y 9xy2 x y
2z y 2
x0
r 0
y0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
定理3 （必要条,件) 如果函数 z f ( x, y)
在点( x, y)可微分，则该函数在点 ( x, y)的偏导数 z 、z 必存在，且函数 z f ( x, y)在点( x, y)的
x y 全微分为
dz z x z y x y
x3 y 2x
3x2 y x2 y2
(
x
2x 2
4y y2
)2
f (x,0) f (0,0)
f
x
(0,0)
lim
x0
x
0
fxy(0,0)
lim
y0
f x (0, y) y
f x (0,0)
0
fxy(0,0) 0
同理
f
y
( x,
y)
x2
x3
y2
(
2x3 x2
y2 y2
)2
0
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解
fx
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
lim 0 0 0 x0 x
同理
f y (0,0) 0
? 注意： 在P0( x0 , y0 )处 偏导数
连续
在P0( x0 , y0 )处 偏导数 例2 设f ( x, y) x2 y2
连续
lim f ( x, y) lim x2 y2 0 f (0,0)
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
一元函数：连续 可导 可微
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
y y0
y
dz z x z y x y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数偏导数存在(可导)
微）．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
全微分存在（可
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有
f x(0, 0) f y(0, 0) 0
z [ fx(0, 0) x f y(0, 0) y]
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设z f ( x, y)在P0( x0 , y0 )的某U (P0 )内有定义
若
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
则称此极限为z f ( x, y)在P0( x0 , y0 )处对x的偏导数
或z | 记作f x( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )
x0 x
P
x
dy
微分概念推广到二元函数 z f ( x, y)
x x x
f ( x x, y) f ( x, y) fx( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y)
二元函数
对x 和对y 的偏增量
f y( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量： z = f ( x x, y y ) f ( x, y )
2x3 18xy
3z y3 18x
2z xy
y
z x
(3x2 y2 3 y3
y
y)
6x2 y
9y2 1
2z 6x2 y 9y2 1 yx
例8 求u eax cosby的二阶偏导数
解 u aeax cosby x
u beax sin by y
2u x 2
a 2e ax
cos by
全微分的应用：近似计算
例 计算函数z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z ye xy , x
z xe xy , y
z e2 , x (2,1)
z 2e2 , y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
例 求函数 z y cos( x 2 y) ， 当 x ， y ，
z f (x, y)
x
x0
实质： 仍是一元函数的导数
x0 ( x0 , y0 )
z
x x0 0
y•0
y
( x0 , y0 )
偏导(函)数 设z f ( x, y)在区域D内每点的偏导数都
f
x
(
x0
,
y0
)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
( x0 , y0 )可以是D内的点
f
yx
(0,0)
lim
x0
f y (x,0) x
f y (0,0)
1
fxy(0,0) f yx (0,0)
定理1 设z f ( x, y)
若 2z 、 2z 在区域D内连续,则相等 xy yx
例10
验证 z
1 ln( 2
x2
y
2
)
满足 2u x 2
2u y2
0
证
u x
x2
x
y2
u y
x2
函数在点(0,0) 处不可微.
偏导数存在 全微分存在（可微）
定理 4（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏
导数 z 、 z 在点 ( x0 , y0 ) 连续，则该函数在点 x y
( x0 , y0 ) 可微分．
习惯上，记全微分为 dz z dx z dy. x y
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
( x, y )(0,0)
( x, y )(0,0)
f ( x, y)在(0,0)连续
f
x
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
lim x 0 x0 x
