2014-2015年贵州省铜仁市思南中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)

思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A.4B.5C.6D.72、学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N ，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N 为( ) A ．801； B ．808； C ．853； D ．912.3、把100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第k 组中抽取其号码的个位数与()1k m +-的个位数相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当5m =时，从第7组中抽取的号码是（ ）A ．75B ． 71C ．65D ． 614、某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是( ) A ．30； B ．40； C ．50； D ．55.5、某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间471215212527313741则该回归方程a x b y +=中，a b 满足的关系是( )A. a ^＝11b ^－22； B. a ^＝11－22b ^； C. a ^＝22－11b ^； D. a ^＝22b ^－11 6、在区域}400200|),{(⎩⎨⎧<<<<=Ωy x y x 内随机撒100粒黄豆，则黄豆落在区域（第4题图） 是开始k=0S=0S=S+2S结束S<100?输出kk=k+1 否}040|),{(⎪⎩⎪⎨⎧>><+=x x y y x y x M 内的粒数约为( )A 、50B 、75C 、25D 、607、一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为 （ ） A.561； B.563； C.141； D.281. 8、在命题“当0≠a 时，若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则集合{}2|0x axbx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）（A ）都真 （B ）都假 （C ）否命题真 （D ）逆否命题真9、若R b a ∈,，则3311ba >成立的一个充分不必要条件是（ ） A 、0>ab B 、a b > C 、0<<b a D 、0)(<-b a ab10、已知命题p ：,R x ∈∀都有03422≤++x x ；命题q ：),0(π∈∃x ，x x cos sin >.则下列命题为真命题的是（ ）A 、q p ∧B 、)(q p ⌝∨C 、q p ∧⌝)(D 、q ⌝11、思南县在创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况分别如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 ( ) A. 35； B.415； C.715；D. 815.12、设圆36)2(22=+-y x 的圆心为C ，A (-2,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）159.22=-y x A 159.22=+y x B 195.22=-y x C 195.22=+y x D 二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是________________________. 14、用计算机软件电子表格（Excel ）产生[6,8]区间上的一个均匀随机数，打开Excel 软件后，选定A1格产生均匀随机数，应在A1格键入的程序函数为__________________.15、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则b a >是B A cos cos <的___________________条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”)16、已知AB u u u r =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,则动点P 的轨迹方程是_________________.三、解答题（共70分） 17、（10分）已知2321:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 18、（12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（6分） （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.（6分）19、（12分）已知0>a .设命题p ：函数023cos 322sin )(2>-++-=a x x x f 在]2,4[ππ∈x 时恒成立；命题q ：关于x 的方程01241=+⋅-+x x a 有解，若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实数a 的取值范围．20、(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)计算甲班的样本方差；（6分）(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高都不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．（6分）21、（12分）已知向量).,(),1,2(y x b a =-=(1)若y x ,分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次面朝上出现的点数，求满足1-=⋅a 的概率. （6分）(2)若y x ,在连续区间[1,6]上取值，求满足0<⋅b a 的概率. （6分） 22、（12分）本题理科生做A 题，文科生做B 题.A 题:（理科生做）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（4分）（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程. （8分）B 题:（文科生做）已知椭圆C 的两焦点分别为()()1200F F 、，长轴长为6.（1）求椭圆C 的标准方程；（4分）（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.（8分）思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试题(答案)一、选择题（每小题5分，共60分）1、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ A ）A.4B.5C.6D.72、学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N ，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N 为( B ) A 、801 B 、808 C 、853 D 、9123、把100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第k 组中抽取其号码的个位数与()1k m +-的个位数相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当5m =时，从第7组中抽取的号码是（ D ）A ．75B ． 71C ．65D ． 614、某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是( B ) A ．30； B ．40； C ．50； D ．55.5、某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间471215212527313741则该回归方程a x b y +=中，a b 满足的关系是( C )A. a ^＝11b ^－22； B. a ^＝11－22b ^； C. a ^＝22－11b ^； D. a ^＝22b ^－116、在区域}400200|),{(⎩⎨⎧<<<<=Ωy x y x 内随机撒100粒黄豆，则黄豆落在区域（第4题图） 是开始k=0S=0S=S+2S结束S<100?输出kk=k+1 否}040|),{(⎪⎩⎪⎨⎧>><+=x x y y x y x M 内的粒数约为( A )A 、50B 、75C 、25D 、607、一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为 （ C ） A.561； B.563； C.141； D.281. 8、在命题“当0≠a 时，若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则集合{}2|0x axbx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ D ）（A ）都真 （B ）都假 （C ）否命题真 （D ）逆否命题真9、若R b a ∈,，则3311ba >成立的一个充分不必要条件是（ C ） A 、0>ab B 、a b > C 、0<<b a D 、0)(<-b a ab10、已知命题p ：,R x ∈∀都有03422≤++x x ；命题q ：),0(π∈∃x ，x x cos sin >.则下列命题为真命题的是（ C ）A 、q p ∧B 、)(q p ⌝∨C 、q p ∧⌝)(D 、q ⌝11、思南县在创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况分别如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 ( C ) A. 35； B.415； C.715；D. 815.12、设圆36)2(22=+-y x 的圆心为C ，A (-2,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ B ）159.22=-y x A 159.22=+y x B 195.22=-y x C 195.22=+y x D 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C A C D C C C B 二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是________________________. (存在一个能被5整除的整数不是奇数.)14、用计算机软件电子表格（Excel ）产生[6,8]区间上的一个均匀随机数，打开Excel 软件后，选定A1格产生均匀随机数，应在A1格键入的程序函数为__________________.(=2*RAND()+6)15、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则b a >是B A cos cos <的___________________条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”)（充要）16、已知AB u u u r =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,则动点P 的轨迹方程是_________________.(1422=+y x ) 二、填空题答案13、存在一个能被5整除的整数不是奇数. 14、=2* RAND()+615、充要 16、1422=+y x 三、解答题（共70分） 17、（10分）已知2321:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：设]11,1[}2321|{-=≤--=x x A ， ]1,1[)}0(012|{22+-=>≤-+-=m m m m x x x B因为，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以，q 是p 的必要不充分条件。

2014-2015学年贵州省铜仁市思南中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1. 已知命题p:∀x∈R，sinx≤1，则( )A.¬p:∃x∉R，sinx>1B.¬p:∀x∈R，sinx≥1C.¬p:∃x∈R，sinx>1D.¬p:∀x∈R，sinx>12. “mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A.23与26B.31与26C.24与30D.26与304. 双曲线x210−y22=1的焦距为（）A.2√3B.4√2C.2√2D.4√35. 中心在原点，准线方程为x=±4，离心为12的椭圆方程是（）A.x24+y23=1 B.x23+y24=1 C.x24+y2=1 D.x2+y24=16. 执行程序框图，如果输入的t∈[−1, 3]，则输出的s属于（）A.[−3, 4] B.[−5, 2] C.[−4, 3] D.[−2, 5]7. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.238. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为√62，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A.12B.√22C.√32D.√339. 已知两点F1(−1, 0)，F2(1, 0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.x216+y29=1 B.x216+y212=1 C.x24+y23=1 D.x23+y24=110. 200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50, 70)的汽车大约有（）A.60辆B.80辆C.70辆D.140辆11. 双曲线x 24−y 29=−11的渐近线方程是（ ） A.y =±23x B.y =±49xC.y =±32xD.y =±94x12. 函数f(x)=x 2−x −2，x ∈[−5, 5]，在定义域内任取一点x 0，使f(x 0)≤0的概率是（ ） A.110B.23C.310D.45二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．如图程序执行后输出的结果是________．已知F 1、F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|＝12，则|AB|＝________．某水池的容积是20m 3，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的流速都是1m 3/ℎ，它们在一昼夜内随机开放（0∼24小时），水池不溢出水的概率为________．给出下列命题：①若“p 或q ”是假命题，则“¬p 且¬q ”是真命题；②若实系数关于x 的二次不等式，ax 2+bx +c ≤0的解集为⌀，则必有a >0且△≤0； ③|x|>|y|⇔x 2>y 2； ④{x >2y >2⇔{x +y >4xy >4．其中真命题的是________．（填写序号）三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）．已知命题p:m >4；命题q ：方程4x 2+4(m −2)x +9=0有实根．若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）（1）求x ，y ；（2）若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率．中心在原点，一焦点为F 1(0, 5√2)的椭圆被直线y =3x −2截得的弦的中点横坐标是12，求此椭圆的方程．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =b ̂x +a ̂；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F:(−2,0)，F:(2,0)，点P(3,√7)的曲线C 上． (1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q(0, 2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E ，F ，若△OEF 的面积为2√2，求直线l 的方程．已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线l:y =kx +√2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →⋅OB →>2（其中O 为原点），求k 的取值范围．参考答案与试题解析2014-2015学年贵州省铜仁市思南中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1.【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sin x>1．从而得到答案．【解答】解：∵¬p是对p的否定∴¬p:∃x∈R，sinx>1故选C．2.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断双曲线的标准方程【解析】根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充分必要条件．【解答】解：①mn<0⇔m>0，n<0或m<0，n>0．若m>0，n<0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；若m<0，n>0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线；所以由mn<0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即充分性不成立．②若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m<0，n>0，所以mn<0，即必要性成立．综上，“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．故选B．3.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数茎叶图【解析】由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．【解答】由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴众数和中位数分别为31，264.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．【解答】双曲线x210−y22=1，可知a2＝10，b2＝2，c2＝12，∴c＝2√3，2c＝4√3．双曲线x210−y22=1的焦距为：4√3．5.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】设出a，b，c分别为椭圆的半长轴，半短轴及焦距的一半，根据椭圆的准线方程公式列出a与c的方程记作①，根据离心率列出a与c的方程记作②，联立①②即可求出a与c的值，根据a2=b2+c2即可求出b的值，由椭圆的中心在原点，利用a与b的值写出椭圆的标准方程即可．【解答】解：设a为半长轴，b为半短轴，c为焦距的一半，根据题意可知：±a2c=±4即a2=4c①，ca=12即a=2c②，把②代入①解得：c=1，把c=1代入②解得a=2，所以b=√a2−c2=√3，又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为：x24+y23=1．故选A．6.【答案】A【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法程序框图【解析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t<1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】由判断框中的条件为t<1，可得：函数分为两段，即t<1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s＝3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s＝4t−t2故分段函数的解析式为：s={3t,t<14t−t2,t≥1，如果输入的t∈[−1, 3]，画出此分段函数在t∈[−1, 3]时的图象，则输出的s属于[−3, 4]．7.【答案】C【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式【解析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有A33=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=26=13．故选C．8.【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】运用离心率公式，由已知双曲线的离心率可得a=√2b，再由离心率公式，可得椭圆的离心率．【解答】解：双曲线x 2a2−y2b2=1的离心率为e=√a2+b2a=√62，即有a=√2b，则椭圆x 2a2+y2b2=1的离心率√a2−b2a=√2b2−b22b=√22．故选B．9.【答案】C【考点】等差中项椭圆的定义轨迹方程【解析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．【解答】解：∵F1(−1, 0)，F2(1, 0)，∴|F1F2|=2.∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上.∵2a=4，∴ a=2.∵ c=1，∴b2=3，∴椭圆的方程是x24+y23=1.故选C．10.【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】根据已知中的频率分布直方图，我们可以计算出时速在[50, 70)的数据对应的矩形高之和，进而得到时速在[50, 70)的数据的频率，结合样本容量为200，即可得到时速在[50, 70)的数据的频数，即时速在[50, 70)的汽车的辆数．【解答】解：由于时速在[50, 70)的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07由于数据的组距为10故时速在[50, 70)的数据的频率为：0.07×10=0.7故时速在[50, 70)的数据的频数为：0.7×200=140故选D11.【答案】C【考点】双曲线的特性【解析】把双曲线x24−y29=−11转化为标准方程：y299−x244=1，得到双曲线x24−y29=−11的渐近线方程是y299−x244=0，由此能求出结果．【解答】解：把双曲线x24−y29=−11转化为标准方程：y299−x244=1，∴双曲线x24−y29=−11的渐近线方程是：y2 99−x244=0，整理，得y=±32x．故选C．12.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）一元二次不等式的解法【解析】先解不等式f(x0)≤0，得能使事件f(x0)≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f(x0)≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f(x)≤0⇔x2−x−2≤0⇔−1≤x≤2，∴f(x0)≤0⇔−1≤x0≤2，即x0∈[−1, 2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[−5, 5]，∴使f(x0)≤0的概率P=2−(−1)5−(−5)=310故选C二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．【答案】【考点】伪代码【解析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5−1=4；第二步：s=5+4=9，n=4−1= 3；第三步：s=9+3=12，n=3−1=2；第四步：s=12+2=14，n=2−1=1；第五步：s=14+ 1=15，n=1−1=0．【解答】解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5−1=4；第二步：s=5+4=9，n=4−1=3；第三步：s=9+3=12，n=3−1=2；第四步：s=12+2=14，n=2−1=1；第五步：s=14+1=15，n=1−1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故答案为：0．【答案】8【考点】椭圆的离心率【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a＝20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】椭圆x225+y29=1的a＝5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，则三角形ABF2的周长为4a＝20，若|F2A|+|F2B|＝12，则|AB|＝20−12＝8．【答案】2572【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，若水池不溢出水，则x+y≤20，记“水池不溢出水”为事件M，求出M所占区域面积和整个区域的面积，由此利用几何概型的概率公式能求出水池不溢出水的概率．【解答】解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，若水池不溢出水，则x+y≤20，记“水池不溢出水”为事件M，则M所占区域面积为12×20×20=200，整个区域的面积为24×24=576，由几何概型的概率公式，得P(M)=200576=2572．即水池不溢出水的概率为2572．故答案为：2572．【答案】①③【考点】复合命题及其真假判断【解析】①利用“或且非”命题的意义即可判断出；②利用不等式的性质即可得出；③若关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为⌀，则必有a>0且△<0；④由{x>2y>2⇒{x+y>4xy>4，反之不成立，例如{1+5>41×5>4．【解答】解：①若“p或q”是假命题，则p，q都为假命题，于是￢P，￢q都为真命题，因此“﹁p且﹁q”是真命题；②若关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为⌀，则必有a>0且△<0，因此不正确；③利用不等式的性质可得：当|x|>|y|时，x2>y2，因此正确；④{x>2y>2⇒{x+y>4xy>4，反之不成立，因此不正确．故答案为：①③．三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）．【答案】解：因为p∧q为真，所以p为真且q为真，所以{m>4(4(m−2))2−4×4×9≥0，解得：m≥5．【考点】复合命题及其真假判断【解析】根据p∧q为真，以及韦达定理得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：因为p∧q为真，所以p为真且q为真，所以{m>4(4(m−2))2−4×4×9≥0，解得：m≥5．【答案】根据分层抽样的方法，有x18=236=y54，解可得x＝1，y＝3；根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共C52=10种，而二人都来自高校C的情况有C32=3种；则这二人都来自高校C的概率为310．【考点】等可能事件等可能事件的概率分层抽样方法【解析】(Ⅰ)根据分层抽样的方法，有x18=236=y54，解可得答案；(Ⅱ)根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】根据分层抽样的方法，有x18=236=y54，解可得x＝1，y＝3；根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共C52=10种，而二人都来自高校C的情况有C32=3种；则这二人都来自高校C的概率为310．【答案】解：设椭圆：y 2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)∵x0=12，∴y0=32−2=−12由{y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒k AB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②解①，②得：a2=75，b2=25，故椭圆的方程为：y275+x225=1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】先根据焦点坐标得出a2−b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．【解答】解：设椭圆：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，则a2−b2=50①又设A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中点(x0, y0)∵x0=12，∴y0=32−2=−12由{y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1⇒y12−y22a2=−x12−x22b2⇒k AB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3⇒a2=3b2②解①，②得：a2=75，b2=25，故椭圆的方程为：y275+x225=1．【答案】解（1）散点图如下：（2）x¯=3+4+5+64=4.5，y¯=2.5+3+4+4.54=3.5∑x i2ni=1=32+42+52+62=86b̂=66.5−4×4.5×3.586−4×4．52=66.5−6386−81=0.7â=y¯−b̂x¯=3.5−0.7×4.5=0.35故线性回归方程为y =0.7x +0.35（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35 故耗能减少了90−70.35=19.65（吨） 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）建立坐标系，由表中数据画出散点图；（2）利用线性回归方程公式，分别求出b ̂，a ̂，即得方程； （3）由（2）的结论代入，即可得出结论． 【解答】解（1）散点图如下：（2）x ¯=3+4+5+64=4.5，y ¯=2.5+3+4+4.54=3.5∑x i 2n i=1=32+42+52+62=86b ̂=66.5−4×4.5×3.586−4×4．52=66.5−6386−81=0.7 a ̂=y ¯−b ̂x ¯=3.5−0.7×4.5=0.35故线性回归方程为y =0.7x +0.35（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35故耗能减少了90−70.35=19.65（吨） 【答案】解：(1)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为x 2a 2−y 24−a 2=1(0<a 2<4)， 将点P(3, √7)代入上式，得9a 2−74−a 2=1， 解得a 2=18（舍去）或a 2=2， 故所求双曲线方程为x 22−y 22=1．(2)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1−k 2)x 2−4kx −6=0①．∵ 直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E ，F ，∴ {1−k 2≠0,Δ=(−4k)2+4×6(1−k 2)>0,⇔{k ≠±1,−√3<k <√3,∴ k ∈(−√3,−1)∪(−1,1)∪(1, √3)． 设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则由①式得x 1+x 2=4k1−k 2，x 1x 2=−61−k 2，于是，|EF|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)(x 1−x 2)2 =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|， 而原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2，∴ S △OEF =12d ⋅|EF| =12⋅√1+k2⋅√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2√3−k 2|1−k 2|． 若S △OEF =2√2，即2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2⇔k 4−k 2−2=0，解得k =±√2．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =√2x +2和y =−√2x +2． 【考点】直线与双曲线结合的最值问题 双曲线的标准方程 【解析】（1）根据题意可得a 2+b 2=4，得到a 和b 的关系，把点(3, √7)代入双曲线方程，求得a ，进而根据a 2+b 2=4求得b ，双曲线方程可得．（2）可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，根据直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，进而可得k 的范围，设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，根据韦达定理可求得x 1+x 2和x 1x 2，进而表示出|EF|和原点O 到直线l 的距离根据三角形OEF 的面积求得k ，进而可得直线方程． 【解答】解：(1)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为x 2a 2−y 24−a 2=1(0<a 2<4)， 将点P(3, √7)代入上式，得9a 2−74−a 2=1， 解得a 2=18（舍去）或a 2=2， 故所求双曲线方程为x 22−y 22=1．(2)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得(1−k 2)x 2−4kx −6=0①．∵ 直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E ，F ，∴ {1−k 2≠0,Δ=(−4k)2+4×6(1−k 2)>0,⇔{k ≠±1,−√3<k <√3,∴ k ∈(−√3,−1)∪(−1,1)∪(1, √3)．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则由①式得x 1+x 2=4k1−k 2，x 1x 2=−61−k 2，于是，|EF|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)(x 1−x 2)2 =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|， 而原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2，∴ S △OEF =12d ⋅|EF| =12√1+k2⋅√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2√3−k 2|1−k 2|． 若S △OEF =2√2，即2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2⇔k 4−k 2−2=0，解得k =±√2．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =√2x +2和y =−√2x +2． 【答案】解：（1）椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1的左、右焦点为(−√3, 0)，(√3, 0)， 则C 2的左、右顶点为(−√3, 0)，(√3, 0)，C 1的左、右顶点为(−2, 0)，(2, 0)，则C 2的左、右焦点为(−2, 0)，(2, 0)． 则双曲线的a =√3，c =2，b =1． 即有双曲线C 2的方程为：x 23−y 2=1；（2）将直线l:y =kx +√2，与双曲线方程联立，消去y 得， (1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6√2k1−3k 2，x 1x 2=−91−3k 2，且1−3k 2≠0，△=72k 2+36(1−3k 2)>0，即有k 2≠13，k 2<1． 由OA →⋅OB →>2得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+√2)(kx 2+√2) =(1+k 2)x 1x 2+√2k(x 1+x 2)+2>2，即(1+k 2)⋅−91−3k 2+√2k ⋅6√2k1−3k 2>0，即3(k 2−3)1−3k 2>0， 即有13<k 2<3，又有k 2≠13，k 2<1．则有13<k 2<1． 解得√33<k <1或−1<k <−√33． 故k 的取值范围是(√33, 1)∪(−1, −√33)． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a =√3，c =2，b =1．即可得到双曲线方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k 的不等式，解出求它们的交集即可． 【解答】解：（1）椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1的左、右焦点为(−√3, 0)，(√3, 0)， 则C 2的左、右顶点为(−√3, 0)，(√3, 0)，C 1的左、右顶点为(−2, 0)，(2, 0)，则C 2的左、右焦点为(−2, 0)，(2, 0)． 则双曲线的a =√3，c =2，b =1． 即有双曲线C 2的方程为：x 23−y 2=1；（2）将直线l:y =kx +√2，与双曲线方程联立，消去y 得， (1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6√2k1−3k 2，x 1x 2=−91−3k 2，且1−3k 2≠0，△=72k 2+36(1−3k 2)>0，即有k 2≠13，k 2<1．由OA →⋅OB →>2得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+√2)(kx 2+√2) =(1+k 2)x 1x 2+√2k(x 1+x 2)+2>2， 即(1+k 2)⋅−91−3k2+√2k ⋅6√2k 1−3k 2>0，即3(k 2−3)1−3k 2>0，即有13<k 2<3，又有k 2≠13，k 2<1．则有13<k 2<1． 解得√33<k <1或−1<k <−√33． 故k 的取值范围是(√33, 1)∪(−1, −√33)．。

2014-2015学年贵州省铜仁市沿河民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=x B．y=±2x C．y=2x D．y=﹣2x2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则实数a的值为（）A．4 B．C．D．﹣43．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．4．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．125．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等6．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．7．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．48．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=19．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）P是抛物线y=x2上任意一点，则当P点到直线x+y+2=0的距离最小时，P点与该抛物线的准线的距离是（）A．2 B．1 C．D．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣3，0），（3，0），一个顶点是（2，0），则C的方程为．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（﹣3，4）的双曲线方程是．15．（5分）设抛物线C1的方程为y=x2，它的焦点F关于原点的对称点为E．若曲线C2上的点到E、F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆=1（a ＞b＞0）的离心率为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（b+c﹣a）（b+c+a）=3bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB、sinA、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．19．（12分）设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．20．（12分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1（3）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．21．（12分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．2014-2015学年贵州省铜仁市沿河民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=x B．y=±2x C．y=2x D．y=﹣2x【解答】解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，即y=±2x．故选：B．2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则实数a的值为（）A．4 B．C．D．﹣4【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，准线方程为y=﹣，由准线方程为x=1，得1=﹣，解得，a=﹣，故选：C．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B．4．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选：B．5．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16，b2=5﹣k，c2=21﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16﹣k，b2=5，c2=21﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：D．6．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．7．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．8．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）P是抛物线y=x2上任意一点，则当P点到直线x+y+2=0的距离最小时，P点与该抛物线的准线的距离是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程是y=﹣P点到直线x+y+2=0的距离最小时，点P处的切线必与直线x+y+2=0平行，故令y'=2x=﹣1，得x=﹣，得点P的纵坐标为所以P点与该抛物线的准线的距离是+=故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F1F2=2c，在双曲线中，=，a2+b2=c2，得a2=．不妨设p在第一象限，则由椭圆的定义得PF1+PF2=，由双曲线的定义得PF1﹣PF2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF12+PF22=4c2∴48+=8c2，解c=，∴e===．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣3，0），（3，0），一个顶点是（2，0），则C的方程为．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣3，0），（3，0），一个顶点是（2，0），∴设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），且a=2，c=3，∴b2=9﹣4=5，∴C的方程．故答案为：．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（﹣3，4）的双曲线方程是．【解答】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为=λ，（λ≠0）把点（﹣3，4）代入，得：9﹣=5，∴双曲线方程是．故答案为：．15．（5分）设抛物线C1的方程为y=x2，它的焦点F关于原点的对称点为E．若曲线C2上的点到E、F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为．【解答】解：方程y=可化为x2=20y，它的焦点为F（0，5），∴点E的坐标为（0，﹣5），根据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，设方程为，（a＞0，b＞0），则2a=6，a=3，又c=5，b2=c2﹣a2=16，∴曲线C2上的标准方程为．故答案为：．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为﹣1．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），设椭圆另一焦点为E．当x=时代入抛物线方程得y=±p．又因为PQ经过焦点F，所以P（，p）且PF⊥OF．所以|PE|==p，|PF|=P．|EF|=p．故2a=p+p，2c=p．e==﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知a n=3﹣2n，所以S n==2n﹣n2，进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（b+c﹣a）（b+c+a）=3bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB、sinA、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知（b+c﹣a）（b+c+a）=3bc得．cosA===，…（4分）∵A是三角形的内角，∴A=．（Ⅱ）sinB、sinA、sinC成等比数列，所以sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得：a2=bc，又b2+c2=a2+bc，∴b2+c2=2bc，可得b=c，又a2=bc，所以a=b=c△ABC是正三角形．19．（12分）设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．【解答】解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2∵c2=a2+b2∴a=1，b=∴双曲线的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A（1，）为线段MN的中点，可得∴=∴直线L方程为，即4x﹣6y﹣1=0．20．（12分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1（3）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC…（2分）又∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1，∴AC⊥BC1．…（5分）（2）证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE⊂面CDB1，AC1⊄面CDB1，∴AC1∥平面B1CD．…（10分）（3）解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB1A1，而，∵，而，∴．…（14分）21．（12分）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．【解答】解：（1）设双曲线的方程为，由题意知，，∴b2=c2﹣a2=1，解得b=1，故双曲线方程为．（2）将代入，得由得，且k2＜1，，，设A（x 1，y1），B（x2，y2），则由，得==，得．又k2＜1，∴，解得，所以k的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得．（*）∴|CD|=2==．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x1+x2=m ，．∴|AB|==．由=，得，解得满足（*）．因此直线l 的方程为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2013-2014学年贵州省重点高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”2．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8 B．18 C．26 D．803．（3分）直线l过点P（﹣2，0）且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．± C．±D．±4．（3分）下列各数中，最大的是（）A．32（8）B．111（5）C．101010（2）D．54（6）5．（3分）一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm）分布茎叶图如图所示，记录的平均身高为177cm，则这7名选手身高的方差为（）A．B．14 C．D．6．（3分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．558．（3分）一个中袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12，21，25，43，则总人数N为（）A．801 B．808 C．853 D．91210．（3分）设a，b为实数，则“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件11．（3分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如回归方程=x+的斜率是，则它的截距是（）A．=11﹣22 B．=11﹣22C．=22﹣11D．=22﹣1112．（3分）在某市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）13．（4分）直线2x+3y﹣6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为．14．（4分）如果执行如图所示的程序，则输出的数t=．15．（4分）在区域内随机撒一粒黄豆，落在区域内的频率是．16．（4分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6个小题，每题8分，共48分）17．（8分）学校举行演讲比赛，高二（12）班有4名男同学和3名女同学都很想参加这次活动，现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛，求女同学甲参赛的概率是多少？18．（8分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．19．（8分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图所示）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，求抽取的学生人数．20．（8分）甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．21．（8分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．22．（8分）已知向量=（﹣2，1），=（x，y）．（Ⅰ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足•=﹣1的概率．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足•＜0的概率．2013-2014学年贵州省重点高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”【解答】解：先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}，故选：A．2．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8 B．18 C．26 D．80【解答】解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选：C．3．（3分）直线l过点P（﹣2，0）且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．± C．±D．±【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，由直线l过点（﹣2，0），得到直线l的方程为：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，∵直线l与圆相切，∴圆心（0，0）到直线l的距离d==r=1，两边平方整理得：4k2=k2+1，即k2=，则k=±．故选：D．4．（3分）下列各数中，最大的是（）A．32（8）B．111（5）C．101010（2）D．54（6）【解答】解：A.=26．B.=31C.101010（2）=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42．D.=34．比较以上化成“十进制”的数可知：只有C最大．故选：C．5．（3分）一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm）分布茎叶图如图所示，记录的平均身高为177cm，则这7名选手身高的方差为（）A．B．14 C．D．【解答】解：=（180+181+170+173+170+x+178+179）=177，解得x=8，∴S2=[（180﹣177）2+（181﹣177）2+（170﹣177）2+（173﹣177）2+（178﹣177）2+（178﹣177）2+（179﹣177）2]=．故选：D．6．（3分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比依次为6：2：1：4，红色或蓝色的区域占总数的，故指针停在红色或蓝色的区域的概率是．故选：B．7．（3分）某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．55【解答】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率．在[3.2，3.6）的频率为0.625×0.4=0.25，频数为0.25×100=25，在[3.6，4.0）的频率为0.375×0.4=0.15，频数为0.15×100=15．则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）内大约有25+15=40人．故选：B．8．（3分）一个中袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：基本事件总数n==28，取得两张卡片的编号和不小于14的基本事件个数m=2，∴取得两张卡片的编号和不小于14的概率：p==．故选：C．9．（3分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12，21，25，43，则总人数N为（）A．801 B．808 C．853 D．912【解答】解：由题意知：=，解得N=808．故选：B．10．（3分）设a，b为实数，则“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【解答】解：由a＜或b＞，∴b（ab﹣1）＜0或a（ab﹣1）＞0，∴或或或．因此“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的必要条件但不是充分条件．故选：B．11．（3分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如回归方程=x+的斜率是，则它的截距是（）A．=11﹣22 B．=11﹣22C．=22﹣11D．=22﹣11【解答】解：由题意，==11，==22，∵回归方程=x+的斜率是，∴=22﹣11．故选：C．12．（3分）在某市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：总体平均数为=7.5．设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果．事件A包含的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果；∴所求的概率为二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）13．（4分）直线2x+3y﹣6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为3x+2y+16=0．【解答】解：设P（x，y）为所求直线上的任意一点，则P关于直线x+y+2=0对称点P′（x′，y′）在直线2x+3y﹣6=0，∴必有2x′+3y′﹣6=0 （*）由对称性可得，解得，代入（*）式可得2（﹣y﹣2）+3（﹣x﹣2）﹣6=0化简可得3x+2y+16=0∴所求对称直线的方程为：3x+2y+16=0故答案为：3x+2y+16=014．（4分）如果执行如图所示的程序，则输出的数t=120．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，得出该程序输出的是：t=1×2×3×4×5=120．故答案为：120．15．（4分）在区域内随机撒一粒黄豆，落在区域内的频率是．【解答】解：区域在平面直角坐标系中的形状如下图矩形所示，区域在平面直角坐标系中的正式成立如下图阴影所示，=2×4=8由图可知：S矩形S阴影=×2×4=4故落在区域内的频率P==，故答案为：16．（4分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切．其中真命题的序号是①③．【解答】解：①因为球的体积是半径的三次函数关系，所以一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①正确．②根据平均数和标准差的公式可知若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，所以②错误．③圆心到直线的距离d=等于半径，所以直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切，所以③正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6个小题，每题8分，共48分）17．（8分）学校举行演讲比赛，高二（12）班有4名男同学和3名女同学都很想参加这次活动，现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛，求女同学甲参赛的概率是多少？【解答】解由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A，B，C，D，女生为1，2，3，我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果．如（A，1）表示：从男生中随机选取的是男生A，从女生中随机选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“女同学甲参赛”为事件E．由上表可知，可能的结果总数是12个．设女同学甲为编号1，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P（E）==．18．（8分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（1）==170．甲班的样本方差s2=[（158﹣170）2+（162﹣170）2+（163﹣170）2+（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57.2．（2）设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A．从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：（181，173），（181，176），（181，178），（181，179），（179，173），（179，176），（179，178），（178，173），（178，176），（176，173），共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：（181，176），（179，176），（178，176），（176，173）．所以P（A）==．19．（8分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图所示）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，求抽取的学生人数．【解答】解：前3个小组的频率和为1﹣0.0375×5﹣0.012 5×5=0.75．因为前3个小组的频率之比为1：2：3，所以第2小组的频率为×0.75=0.25．又知第2小组的频数为12，则=48，即为所抽取的学生人数．20．（8分）甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．【解答】解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y．则作出如图所示的区域．本题中，区域D的面积S1=242，区域d的面积S2=242﹣182．∴P===．即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为．21．（8分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，结合y=x+1的斜率为1得直线CP的斜率为﹣1，所以=﹣1，化简得a+b+1=0①，再由CP的中点在直线y=x+1上，得到=+1，化简得a﹣b﹣1=0②联解①②，可得a=0，b=﹣1，∴圆心C的坐标为（0，﹣1），可得圆心C到直线AB的距离d==3，又∵|AB|=3，∴根据勾股定理，得r满足：r2=d2+（|AB|）=18，因此，圆C的方程为x2+（y+1）2=18．22．（8分）已知向量=（﹣2，1），=（x，y）．（Ⅰ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足•=﹣1的概率．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足•＜0的概率．【解答】解：（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36个；由a•b=﹣1有﹣2x+y=﹣1，所以满足a•b=﹣1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；故满足a•b=﹣1的概率为=．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；满足a•b＜0的基本事件的结果为A={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6且﹣2x+y＜0}；画出图形如下图，矩形的面积为S 矩形=25，阴影部分的面积为S 阴影=25﹣×2×4=21， 故满足a•b ＜0的概率为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

思南中学2015-2016第一学期月考（数学）试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．双曲线x 2－3y 2＝9的焦距为( )A. 43 B ．23 C ． 26 D ． 6 2.若α，β∈(0, )，则“α＝β”是“cos α＝cos β”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >17的概率是( )A.710 B .310C. 13D. 174.以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )A.x 216－y 248＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对 5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )A ．2 B. 3 C. 2 D.326．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是 ( )A.45B.15C. 25D. 357.如果测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2，3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A.y ^＝1.04x ＋2B.y ^＝1.04x ＋1.9 C.y ^＝1.05x ＋1.9 D.y ^＝1.9x ＋1.048．用系统抽样法从140名学生中抽取容量为20的样本，将140名学生从1～140编号，按编号顺序平均分成20组(1～7号， 8～14号，…，134～140号)．若第16组抽出的号码是110，则第1组抽出的号码是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．79．在下列各结论中，正确的是 ( )． ① “p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分不必要条件； ②“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件； ④“p ⌝”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件；A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．8B ．6C ．3D ．211. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ） A. （1,315--） B. （315,0） C.（0,315-） D. （315,315-） 12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．) 13．若点A(1，2)到抛物线)0(22>=p py x 准线的距离为4，则p ＝________.14．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为7，则输出s 的值为________． 15．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图2所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分 。

贵州省思南中学2014-2015学年度第二学期期中考试试题高二数学（理）命题人 田仁勇一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i + 2．已知曲线2212-=x y 上一点)23,1(--P ，则过点P 的切线的倾斜角为( )． A ．30° B ．45° C ．135° D ．60° 3. 设函数)(x f 在0x x =处可导，且满足1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0'x f 等于（ ）A ．1B ．0 C.3 D.314.函数x ex x f 3)(-=的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(4,+∞) C ．(∞-,4) D ．(2，＋∞)5.已知函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x x f ，则)(x f 的最大值是（ ） A.-1 B.2πC.1D.0 6.函数142+=x xy （ ） A.有最大值为2，无最小值 B.最大值为2，最小值为-2 C.无最大值，有最小值为-2 D.无最值7.用数学归纳法证明等式：)(2)4)(3()3321*N n n n n ∈++=+++++（ 时，第一步验证1=n 时，左边应取的项是（ ）A.1B.21+C.321++D.4321+++ 8.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A . -2 B. -1 C . 2 D. 39.若函数1ln )(+-=x x a x f 在],[2e e x ∈内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是 （ ）A.()2,e ∞- B.()e ,∞- C.()2,0eD.()e ,010.自然数按下表的规律排列：则上起第2006行左起2007列的数为 （ ） A ．2007×2008 B ．2006×2007C ．22007D ．2200811.已知函数x a x x x f ln 2)(2++=，若函数)(x f 在 (0,1)是单调增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．0≥aB ．4-<aC ．0≥a 或4-≤a D.0>a 或4-<a 12.已知32()f x ax bx cx d =+++与x 轴有3个交点12(0,0),(,0),(,0),x x 且()f x 在1,1-==x x 时取极值，则12x x ⋅的值为（ ）A.-3B.-4C.6D.不确定 二.填空题（每小题5分，共计20分） 13.设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 14.dx x e x ⎰+22-2||)-4(=15.在各项均为正数的数列}{n a 中，它的前n 项和为n s ，且满足)1(21nn n a a s +=，根据321,,a a a 的值，猜想出通项公式=n a （*N n ∈） 16.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，N n ∈，则=)(2016x f三.解答题（第17题10分，其余各题12分，共计70分）17．（本小题10分）已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

思南中学2014-2015学年度第一学期半期考试高二年级文科数学试题参考公式：回归直线的方程是：，其中i i ni ini i ix yx b y a x xy y x xb 是与其中ˆ;,)())((121-=---=∑∑==对应的回归估计值. 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)。

1．已知命题，，则（ ）。

A ．，B ．，C ．，D ．，2. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）。

A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）。

Ａ．23与26 B ．31与26 C ．24与30 D ．26与30 4. 双曲线的焦距为（ ）。

A ．B ．C ．D ．5．中心点在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（ ）。

A. B. C. D.6.执行右面的程序框图，如果输入的， 则输出的属于 （ ）。

A 、 B 、 C 、 D 、7．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）。

A. B. C. D.8．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率为，椭圆的离心率为（ ） 。

A. B. C. D.9．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ）。

A ．B ．C ．D ．10．200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70)的汽车大约有（ ）。

Ａ．60辆 B ．80辆 Ｃ．70辆 Ｄ．140辆11．双曲线的渐近线方程是（ ）。

A ．B ．C ．D ．12．函数[]2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）。

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．右边程序执行后输出的结果是（ ）。

14．已知F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则=_____________ 。

2017-2018学年贵州省铜仁市思南中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan βB．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin BD．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数3．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β5．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，306．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．347．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x8．（5分）关于曲线的对称性的论述正确的是（）A．方程x2+xy+y2=0的曲线关于X轴对称B．方程x3+y3=0的曲线关于Y轴对称C．方程x2﹣xy+y2=10的曲线关于原点对称D．方程x3﹣y3=8的曲线关于原点对称9．（5分）下列说法正确的是（）A．函数y=2sin（2x﹣）的图象的一条对称轴是直线x=B．若命题p：“存在x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”C．若x≠0，则x+≥2D．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件10．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）得到的回归直线方程为=x+，下列四个命题中正确的个数有（）（1）直线=x+必经过点（，）（2）直线=x+至少经过点（x 1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点（3）直线=x+，的斜率为，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的偏差[y i﹣（4）直线=x+，和各点（x（bx i+a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）按如图所示的框图运算：若输入x=8，则输出的结果为．14．（5分）一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π）．若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为．16．（5分）已知椭圆c：+y2=1的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足0＜+y02＜1，则|PF1|+|PF2|的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．表示a n；（1）求a1的值，并用a n﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．18．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．19．已知△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，向量=，=，且．（1）求角C；（2）若，试求sin（A﹣B）的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．21．已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．2017-2018学年贵州省铜仁市思南中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选：D．2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan βB．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin BD．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数【解答】解：A．存在在α=β=0，使tan（α+β）=tan α+tan β，是真命题；B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1=+＞0，是真命题；C．△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，是真命题；D．取φ=（k∈Z），函数y=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函数，因此是假命题．故选：D．3．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α，故C正确；若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：D．5．（5分）某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，30【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是900×=45人，高二年级抽取的人数是1200×=60人，高三年级抽取的人数是600×=30人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为45，60，30．故选：D．6．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．7．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2 B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosxC．∃x∈R，使得x2+x=﹣2 D．∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；∵方程x2+x=﹣2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=﹣2”，不正确；令f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e x﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，又∵f（0）=e x﹣x﹣1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有e x＞1+x”正确；故选：D．8．（5分）关于曲线的对称性的论述正确的是（）A．方程x2+xy+y2=0的曲线关于X轴对称B．方程x3+y3=0的曲线关于Y轴对称C．方程x2﹣xy+y2=10的曲线关于原点对称D．方程x3﹣y3=8的曲线关于原点对称【解答】解：令x=a，y=﹣b，则a2﹣ab+b2=0，故点（a，﹣b）不在曲线C上，即不关于x轴对称；令x=﹣a，y=b，则﹣a3+b3=0，故点（﹣a，b）不在曲线C上，即不关于y轴对称；令x=﹣a，y=﹣b，则a2﹣ab+b2=10，故点（﹣a，﹣b）在曲线C上，故C正确；令x=﹣a，y=﹣b，则﹣a3+b3=0，故点（﹣a，﹣b）不在曲线C上，故D不正确．故选：C．9．（5分）下列说法正确的是（）A．函数y=2sin（2x﹣）的图象的一条对称轴是直线x=B．若命题p：“存在x∈R，x2﹣x﹣1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”C．若x≠0，则x+≥2D．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件【解答】解：A：直线x=代入函数y=2sin（2x﹣）=0，所以x=不是图象的一条对称轴，A不正确；B命题：”存在x∈R，x2﹣x﹣1＞0”是一个特称命题，其否定是一个全称命题所以命题“存在x∈R，x2﹣x﹣1＞0”的否定为“对任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，B正确；C：令x=﹣1，可得x+=﹣1﹣1=﹣2≤2，故C错误；D：“a2=1”⇔“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”，所以“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要，D错．故选：B．10．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）得到的回归直线方程为=x+，下列四个命题中正确的个数有（）（1）直线=x+必经过点（，）（2）直线=x+至少经过点（x 1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点（3）直线=x+，的斜率为，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的偏差[y i﹣（4）直线=x+，和各点（x（bx i+a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由回归系数公式=可知（1）正确；由回归系数公式=可知（3）正确；由最小二乘法原理可知（4）正确，（2）不正确．故选：C．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则，即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），已知区域面积为=32，阴影部分面积为，所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是；故选：C．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）按如图所示的框图运算：若输入x=8，则输出的结果为4．【解答】解：输入x=8，根据执行的顺序，x的值依次为8，17，35，71，143，故程序只能执行4次，故k的值由0变化为4，故答案为：4．14．（5分）一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π）．若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为2．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故答案为：2．16．（5分）已知椭圆c：+y2=1的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足0＜+y02＜1，则|PF1|+|PF2|的取值范围为[2，2）．【解答】解：由题意可知|PF1|+|PF2|=2a点P（x0，y0）满足0＜+y02＜1，得出点P在椭圆内部，且与原点不重合，∵当点P在椭圆上时|PF1|+|PF2|最大，最大值为2a=2，而点P在椭圆内部，∴|PF1|+|PF2|＜2∵当点P在线段F1F2上除原点时，|PF1|+|PF2|最小，最小值为2，∴|PF1|+|PF2|＞2则PF1+PF2的取值范围为[2，2）故答案为[2，2）．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．表示a n；（1）求a1的值，并用a n﹣1（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设T n=+++…+，求证：T n＜．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=（n+2）a n﹣1（n∈N*）．令n=1时，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1由于：2S n=（n+2）a n﹣1①=（n+3）a n+1﹣1②所以：2S n+1=（n+3）a n+1﹣（n+2）a n，②﹣①得：2a n+1整理得：，则：，即：．（2）由于：，则：，…，，利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得：，即：当n=1时，a1=1符合上式，所以数列的通项公式是：．（3）证明：由于：，所以：，则：=2（），所以：…+=+++…++）=2（）=．18．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．19．已知△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，向量=，=，且．（1）求角C；（2）若，试求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（1）由题意知，=0，即，1+cosC﹣2（1﹣cos2C）=0，2cos2C+cosC﹣1=0，即cosC=﹣1，或，因为0＜C＜π，所以C=60°．（2）=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．【解答】证明：（I）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB．因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN．因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（II）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BNG中，．故CD与平面ADMN所成角的正弦值为．21．已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．当a∈[1，2]时，的最小值为3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只须|m﹣5|≤3，即2≤m ≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（4，8]．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．【解答】解：（Ⅰ）由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2，b=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由，得．从而．所以．由，得．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角为或．（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为．以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是．由，得．（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．。

思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试高三年级数学文科试题第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知i 为虚数单位，则2(1)i +的模为 ( ) A ．1 B 2 C ．2 D ．42．若集合{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =>，则A B ⋂为 ( ) A ．{|02}x x << B ．{}|12x x << C ．{}|2x x > D ．{}|1x x > 3．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a = ( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．144．已知A 是三角形ABC 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥6．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++L 的值，则在判断框中应填写( )A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤7．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 ( )A ．1-B ．0C ．3D ．48．已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数9．双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．310．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且)0,23(-∈x 时，()x x f -=1log )(21，则=+)2011()2010(f fA ．1B ．2C ．1-D ．2-11．已知二面角βα--l 的平面角为θ，点P 在二面角内，α⊥PA ，β⊥PB ，B A ,为垂足，且,5,4==PB PA 设B A ,到棱l 的距离分别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是A ．)0(922≥=-x y x B ．)0,0(922≥≥=-y x y x C ．)0(922≥=-y x y D ．)0,0(922≥≥=-y x x y12．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥1y x y x y 表示的平面区域为A ，不等式b ax y +≥2（b b ,0<为常数）表示的平面区域为B ，),(y x P 为平面上任意一点，p ：点),(y x P 在区域A 内，q ：点),(y x P 在区域B 内，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．b a -<≤10B ．b a -≤<10C ．b a -≤≤10D ．b a -≤1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13. 某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为_____________人． 14. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为___15. 已知不等式0)6(62<-+-a a x x 的解集中恰有三个整数，则实数a 的取值范围为___________．16. 椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A 、B 是顶点，F 是左焦点，当BF ⊥AB 时，此的离心率e ＝ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）GCDAF EB17．（本小题满分12分）已知函数43sin 23cos sin 23)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ） 求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若0)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．18.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+（1）设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列; 2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

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思南中学2018—2019学年度第一学期半期考试高二年级数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球"和“至多有1个红球"C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球"D ．“至多有1个白球”和“都是红球”2、[]无实解得概率是程中任取一个实数，则方是从区间若010,102=+-ax x a （ ）A 0。

1B 0。

2C 0.3D 0.43、执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ )A ．2016B ．2 C.错误! D ．－1 4.根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4。

0 2.5—0.50。

5 -2.0—3。

得到的回归方程为a bx y +=∧,则( ）.A.a 〉0，b<0 B 。

a 〉0,b>0 C 。

a 〈0,b<0 D 。

a 〈0,b 〉05．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4,若y i ＝x i ＋a （a 为非零常数,i ＝1，2，…，10)，则y 1,y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ）A ．1,4＋aB ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1＋a,46、直线l:y=kx+1与圆O ：x 2+y 2=1相交于A,B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件7. 甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试,三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为( )Ａ．31 Ｂ．41 Ｃ． 21 Ｄ． 328、下列说法正确的是 ( ）A.函数y ＝2sin （2x －错误!）的图象的一条对称轴是直线x ＝错误!B 。