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基础达标检测一、选择题1．已知随机变量X的分布列X －10 1P 0.50.30.2则DX＝()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0.2[答案] B[解析]EX＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为()A．100 B．200C．300 D．400[答案] B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的均值等．记“不发芽的种子数为X”，则X～B(1 000,0.1)，所以EX＝1 000×0.1＝100，则E(2X)＝2EX＝200，故选B.3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为( )X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后乘余子弹的数目X 的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4[答案] C[解析] X ＝0,1,2,3，此时P (X ＝0)＝0.43，P (X ＝1)＝0.6×0.42，P (X ＝2)＝0.6×0.4，P (X ＝3)＝0.6，EX ＝2.376.故选C.5．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] 因为方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4X <0，得X >4， 即P (X >4)＝12＝1－P (X ≤4)， 故P (X ≤4)＝12，∴μ＝4. 6．已知随机变量X 的分布列为X123 P 0.5 xy若EX ＝158，则DX 等于( ) A.3364 B.5564 C.732 D.932[答案] B[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又EX ＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以DX ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.二、填空题7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数X 的期望是________．[答案] 509[解析] 由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B (10，59)，所以EX ＝509.8．已知随机变量X 的分布列为X12345P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1则EX ＝[答案] 3 1.2[解析] EX ＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝0.1＋0.4＋1.2＋0.8＋0.5＝3.DX ＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2.9．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.[答案] 916[解析] ∵X ～B (3，14)， ∴DX ＝3×14×34＝916. 三、解答题10．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝2 7.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1， X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形； X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.能力强化训练一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子中：①EX ＝－3；②DX ＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；DX＝(－1＋1 3)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确，③显然正确，应选C.2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是()X 200300400500P 0.200.350.300.15A.706元C．754元D．720元[答案] A[解析]节日期间预售的量：EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)．则期望的利润：η＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450.∴Eη＝3.4EX－450＝3.4×340－450＝706(元)．∴期望利润为706元． 二、填空题3．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则EX 的最大值为________，DX 的最大值为________.X 0 1 2 P12－pp12[答案] 32 1 [解析]∵⎩⎨⎧0≤12－p <10≤p <1∴p ∈[0，12]．∴EX ＝p ＋1≤32，DX ＝－p 2－p ＋1≤1.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X 的均值EX ＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X 的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，则X45678P P 1 P 2 P 3 P 4 P 5P 1＝C 44⎝⎛⎭⎪⎫124＝116，P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·12＝14，P 3＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P 4＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，P 5＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫124＝116，EX ＝4×116＋5×14＋6×38＋7×14＋8×116＝6. 三、解答题5．(2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11·C 12C 23＝23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 34C 35＝25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25＝415.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，观众甲选中3号歌手的概率为23观众乙选中3号歌手的概率为1－25＝35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－25＝35，则P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×2×35×(1－35)＝2075＝415 P (X ＝2)＝23×2×35×(1－35)＋(1－23)×(35)2＝3375＝1125 P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875＝625 则X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P4754151125625EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝2815.6．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列及均值EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736； (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5 P (X ＝0)＝14·(13)2＝136，高考资源网（ ）您身边的高考专家 版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区 试卷投稿QQ 2355394696P (X ＝1)＝34·(13)2＝112，P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19，P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13，P (X ＝4)＝14·(23)2＝19，P (X ＝5)＝34·(23)2＝13.所以X 的分布列为： X0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112＝3512.。
第U章统计、统计案例ZSWL知识网络抽签法 简单随机抽样线性回归方程 变量间的相关关系 整理、分析赠 估计，推断 (随机抽样)收集数回归分析 统计案例 独立性检验MTFX命题分析•统计和统计案例主要以应用题为命题背景,考查分层抽样、系统抽样的有关计算，或三种抽样方法的区别.以及茎叶图频率分布表、频率分布直方图的识图及运用，少部分涉及到回归分析和独立性检验.一般以选择题、填空题考查，少有大题，有些只是解答题中的一问.主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法.FXJY复习建议•复习中要注意以下几点：• (1)合理选用三种抽样方法•在三种抽样中，简单随机抽样是最简单、最基本的抽样•方法，其他两种抽样方法是建立在它的基础上的，三种抽样方法的共同点：它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性；三种抽样方法各有其特点和适用范围，在抽样实践中要根据具体情况选用相应的抽样方法.• (2)正确运用频率分布条形图和直方图•由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体分布，一般地 ,样本容量越大，估计越精确.•①当总体中个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本的不同数值及相应频率表示，其几何表示就是相应的条形图•②当总体中个体取不同数值很少时，用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布• (3)分析两个变量相关关系的常用方法•①利用散点图进行判断：把样本数据表示的点在平面直角坐标系中作岀，从而得到散点图，如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系.•②利用相关系数成行判断:|^1而且M 越接近于1,相关程度越大；州越接近于0 ，相关程度越小•(4)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2X2列联表°②根据公式/2> n(ad~bc)、+皆—(a + b)(a + c)(b+d)(c+d)，'的值.③比较于与临界值的大小关系作统计推断.抽样方法GKMB咼考目标•考纲解读•1・理解随机抽样的必要性和重要性.•2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.•考向预测•1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、选择适当的抽样方法抽取样本.KQZZYX课前自主预习•知识梳理• 1.简单随机抽样•⑴定义：设一个总体含有2个个褚T从中放豎_________ 抽取门个个体作为样本,如果每次抽取时总体内酌各个个体被抽到的概翠都______ ,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 抽签法•（刼最常用的简单随机抽样的方法:•2.系统抽样(等距抽样或机械抽样)的步骤•假设要从容量为/V的总体畔1抽取容量为门白勺木羊2$ •分段间隔k分段N•⑴先将总体的/V个个体进行______ 〃・•(2)确定_____ ?机対编号进行______ ,当是整数时，取•(3)在第1段用________ 确定第一个样本编号/(辰k).廿/+农•(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将/ 加上间隔昭到第2个个体编号_______ ,再•3.分层抽样•(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)严燃培腔寒吩类型中_ ______________ 定的样本.这种抽样方法通常叫做分层抽样，有时也称为类型抽样. •(2)分层抽样的应笛倔分•当总体是由____________________ 组成时，往往选用分层抽样.•基础自测• 1・（2010 •四川文）一个单位职工800人，其中具有咼级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）• A. 12,24,15,9B.9,12,12,7• C・ 8,15,12,5 D.懈析］ 本题考查分层抽样的概念和应用，利用分层10,40X 翳=6.抽样抽取人数时，首先应计算抽样比.从各层中依次抽160 320 , 200 40X 800 = 8940X 800= 16940X 800=取的人数分别是• 2・（教材改编题）在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，则分层抽样、简单随机抽样、系统抽样中 ,为不放回抽样的有（）•A. 1 个•C. 3 个B. 2个D. 0个•［答案］C•解析］三种抽样都是不放回抽样・•3・（2011 •威海摸拟）老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）•A.随机抽样 B.分层抽样•C.系统抽样 D.以上都不是•［答案］C•［解析］因为所抽取学生的学号成等差数列,即为等距离抽样,属于系统抽样・•4 •某校高三年级有男生500人，女生400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）•A.简单随机抽样法 B.抽签法•C.随机数表法 D.分层抽样法•［答案］D•［解析］本小题主要考查抽样方法.若总体由差异明显的几部分组成时z经常采用分层抽样的方法进行抽样,故选D.• 5・当前，国家正在分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题，统计数据表示，甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭180户、150户、90户，若第一批经济适用房中有70套用于解决这三个社区中70户低收入家庭的住房问题，现采用分层抽样的方法决定各社区的户数，抽;麺娈法7辭应A甲社区中抽取的低收入家庭的户数为盲」6+?+i X70=3°-• 6・某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本 ,用系统抽样法，将全体职工随机按1〜200编号，并按编号顺序平均分为40组（1 〜5号，6〜10号…，196〜200号）.若第5组抽岀的号码为22,则第8组抽血的号码应是_______________ ・若用分层抽样方法，贝何0岁以下年苗函兀______________［解析］考查随机抽样概念及方法.由分组可知，抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为200X0.5 = 100,则应抽取40的人数为555X100 = 20人.•7 .从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能,请合理选择抽样方法进行抽样,并写出抽样过程.•解析］可用系统抽样法进行抽样,抽样步骤如下：•⑴将905辆轿车用随机方式编号；•（2）从总体中剔除5辆（剔除法可用随机数表法）,将剩下的900辆轿车重新编号（分另0为001,002，…,900）并分成90段；（3）在第一段001,002 z…,010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起课堂典例讲练•［例1］某班共有60名学生，领到10张电命题方向简单随机抽样影票.现在用抽签法和随机数表法把10 张电影票分下去，试写岀过程.•［分析］结合抽签法和随机数表法的步骤来解决.•［解析］(1)抽签法.•第一步/先将60名学生编号・编号为01,02,03 , (60)•第二步，准备抽签工具.把号码写在形状、大小相同的号签上,将这些号签放在同一个不透明箱子里.•第三步,实施抽签.抽签前先将放在箱子里的号签搅拌均匀,抽签时每次从中抽出—号签,连续抽10次,根据抽到的10个号码对应10名学生「0张电影票就分给10名被抽到的学生・• (2)随机数表法.•第一步/先将60名学生编号z分另0为00,01,02,03 z…z 59.•第二步,由于总体的编号为两位数,在随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中的任意一个位置,按一定顺序开始读数・如果读至啲数小于59 ,则将它取出；若读到的数大于59 ,则舍去；重复的数字只取一个,直到取满10个不超过59 的数为止・将10张电影票分给抽到10名相应编号的学生.•比如,从随机数表第6行的第3列和第4列开始读数,从上至下分别是35,11,48,77,79,64,58,89,31,55,00,93,80 , 46,66,12,11,10 ,…•其中11重复出现, 77,79,64,89,93,80,66超过59不能取z这样选取的10个样本号码分别为35,11,48,58,31,55,00,46,12,10.Slhb ,可把10张电影票分给编号为上述号码的10 名学生.•［点评］利用抽签法进行简单随机抽样的步骤可分为五个步骤,事实上有些步骤明显地可以合并两个为一个,无论怎样合并,只要把过程按正确的顺序叙述、符合抽签的规则就行•随机数表法同理・跟踪练习❶•••有一批机器，编号为1,2,3,…，112,为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？•［分析］简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法，因为样本的容量为10,因此 ,两种方法均可以.•［解析］方法一首先，把机器都编上号码001,002,003 z - z 112 z如用抽签法，则把门2个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签,连续抽取10次z 就得到一个容量为10的样本.•方法二第一步，将原来的编号调整为000,001,002,003 , - z 111.•第二步，在随机数表中的任选F作为开始，任选一方向作为读数方向，比如：选第9行第7个数“3〃 ,向右读•三次,凡不在000 ~ 111中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083, 092.•第四步,对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92白勺机器便是要抽取的对象.•［点评］(1)—个抽样试验能否用抽签法/关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀,_般地,当总体容量和• (2)随机数表中共随机出现0丄2 , (9)个数字,也就是说,在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的・在使用随机数表时,如遇到三位数或四位数时, 可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.命题方向蜜 系统抽样10100,然后再利用系统抽样的方法进行.名工人，使得总体容量能被样本容量整除，取k= 1 000 •［例2］某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体采施f ・］由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进 行抽样，又因总体容量不能被样本容量整除，需先剔除3•解析］(1 )将每个人随机编一个号由0001至1003.• (2)利用随机数法找到3个号,将这3名工人剔除■•⑶将剩余的1 000名工人重新随机编号0001至1000.•(4)分段,取间隔k二=100 ,将总体均分为10段，每段含100名工人.•(5)从第一段即为0001至0100号中随机抽取—个号L.•［点评］⑴系统抽样时，为保证“等距” 分段,应先将多余个体剔除,然后再按系统抽样步9聚睡行.•⑵因为每个个体被剔除的可能性也是相等的z所以能保证每个个体被抽到的可能性是相等的.跟踪练习❷•某单位共有在岗职工人数为624人，为了调查工人上班时，从离开家到单位平均所用的时间，决定抽取10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽禅？•［分析］总体中的每个个体，都必须等可能地入样，为了实现“等距”入样，且又等概率，因此，应先剔除，再“分段”，后定起始位.•解析］第一步,将在岗的工人624人,用随机方式编号（如按出生年阿顺序）,_ _ 6 2 _000,001,002 z…,623第二步,由题意知,应抽取62人的样本,因为不是整数,所以应从总体中剔除4人（剔除方法用随机数表法,随机定一起始数，向右取三位数.如起始数为课本附表1中第8行, 第19列数,则为1 •向右取三位数为199 , 即编号199被剔除,若三位数恰大于623 或是已被剔除之数,则重新定起始数,反•［点评］当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除命题方向鼻分层抽样•［例3］某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中 ,青年人占42.5%,中年人占47十％,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本•试• (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人 分别所占的比例；• (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人 分别应抽取的人数.［解析］(1)设登山组人数为兀，游泳组中，青年人、10%> ~I -3xc=47.5%, ------- =10%,解得 b = 50%，c=10%.故a=100% —50%—10%=40%,即游泳组中，青年人、中 年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c, 则有 上40% + 3妙3(2)游泳组中，抽取的青年人数为200X|X40% = 60(A),3抽取的中年人数为200X-X50% = 75(A);抽取的老年人数为3 ,200X-X10%=15(人).跟踪练习❸•••(1)某市力、B、C三个区共有高中学生20000人，其中力区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则力区应抽取()•A. 200人 B. 205人• C. 210人 D. 215人•［轡篥|耕分层抽样的特点,4区应抽取的人数为7000 , x20000 X 600 = 210人・• (2)防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取，红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生总共人数为. •［答刺设欽较女生共有兀人，则男生为1600—兀人，女生抽了y人，则男生抽了y+10人.y+(j+10) = 200 y 200x 1600$=95x=760 •X.雌蜩磴》抽样方法的综合应用•［例4］为『考查某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良•普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)•根据上面的叙述，试回答下列问题：•(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？•(2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？•(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取。
