8学年下学期高二第一次月考数学(文)试题(附解析)

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()*211111N 123n a n n n n n n=++∈+++，则2a 等于（）A ．14B ．1123+C ．111234++D ．11112345+++2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．23．若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立，则有1n k =+时命题成立，现知命题对()*00n n n N=∈时命题成立，则有（）．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于0n 的正整数不成立，对大于或等于0n 的正整数都成立C ．命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于0n 的正整数都成立D ．以上说法都不正确4．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为（）.A ．6B ．5C ．4D ．35．已知正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，若存在两项m a ，n a ，12a =，则14m n+的最小值为（）A ．9B ．73C ．94D ．1336．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =A ．17B ．18C ．19D ．208．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（）A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321012110⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项二、多选题9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是（）A ．52B ．32C ．34D ．1210．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n=-D ．24n S n n=+11．（多选题）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意*N n ∈，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是()A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22022n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题13，…，则________项．14．已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，则数列{}n a 的通项公式是______.15．如图，第n 个图形是由正2n +边形扩展而来的，则第2n -个图形中共有______个顶点.16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14nn a a S ++的最大值是__四、解答题17．在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =.（1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<；21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．（15.7≈）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．参考答案：1．C【分析】由已知通项公式，令2n =写出2a 即可.【详解】()*211111N 123n a n n n n n n=++++⋯+∈+++ ，2111234a ∴=++.故选：C.2．C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3．C【详解】由已知可得00(*)n n n =∈N 时命题成立，则有01n n =+时命题成立，在01n n =+时命题成立的前提下，可推得0(1)1n n =++时命题也成立，以此类推可知命题对大于或等于0n 的正整数都成立，但命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定．本题选择C 选项.4．B【解析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得n S ，解不等式求得结果.【详解】由题意可知：数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，若6164n S >，则1611264n ->，即31642n >，6423n ∴>，又n N *∈，4642163=<，5642323=>，∴使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为5.故选：B.5．B【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q 及m 与n 的关系式4m n +=，由于*,N m n ∈，所以采取逐一代入法求解最值即可.【详解】依题意，正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，所以6846836821112a qa q a q =+，即220q q --=，解得q ＝2或q ＝－1．因为数列{an }是正项等比数列，所以2q =，所以11·2n n a a -=.12a =，所以4m n +=，且*,N m n ∈，当m ＝1，n ＝3时，1473m n +=，当m ＝n ＝2时，1452m n +=，当m ＝3，n ＝1时，14133m n +=，则14m n +的最小值为73.故选：B ．6．C【解析】先由n S 求出n a ，根据24n n a S λ≤+得到24n nS a λ+≤，求出24nn S a +的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=；当1n =时，211222a S ==-=满足上式，所以2n n a =()*n N ∈，又*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，所以*n ∀∈N ，24nnS a λ+≤恒成立；令22121142222222224n n n n n n n n nS b a ++++-+====++，则211112212220222n n n n n n n n b b +++++⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N ，显然都成立，所以1222n n n b +=+单调递增，因此()21min 2252n b b ==+=，即24n n S a +的最小值为5，所以5λ≤，即实数λ的最大值是5.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.7．C【解析】根据已知条件求得1,a d 的关系，由此求得n b 的表达式，根据判断n b 的符号，由此求得数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时n 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.8．C【分析】根据已知定义，结合等比数列的通项公式、前n 项和公式进行判断即可.【详解】记“提丢斯数列”为数列{}n a ，则当3n ≥时，310462n n a --=⋅，解得232410n n a -⋅+=，当2n =时，20.7a =，符合该式，当1n =时，10.550.4a =≠，故20.4,1324,2,10n n n a n n N -*=⎧⎪=⎨⋅+≥∈⎪⎩，故A 错误，而979932410a ⋅+=，故B 错误；“提丢斯数列”前31项和为()3002923232121223051051010⋅++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令23242010n -⋅+≤，则219623n -≤，故2,3,4,5,6,7,8n =，而120a <，故不超过20的有8项，故D 错误，故选：C 9．BC【分析】由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)，再对q 分类讨论，解不等式即得解.【详解】解：由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得12-+<q <1．综上，q 的取值范围是1(2-+∪，则可能的值是32与34．故选：BC 10．AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n nS n n --==-.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.11．AD【分析】根据等比数列{}n a 的公比203q =-<，可知9100a a ⋅<，A 正确；由于不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系；根据题意可知等差数列{}nb 的公差为负，所以可判断出C 不正确，D 正确．【详解】对A ， 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对C D ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.故选：AD.12．BCD【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则11(1)n kn k n a a a q q -+-=-，当10a <时，n k n a a +<，可判断A ；24()n kn n kn a a k n k n++--=⋅+，令24()f n n kn =+-，利用其单调性可判断B ；]21()[(1)1n k n k n a a k +-=-⋅+--，分n 为奇数、偶数两种情况讨论可判断C ；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则22)0(n k n a a k n t k +-=+->，*N n ∈成立，问题转化为对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立，求解可判断D ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则111111()1n k n n k n k n a a a qa q a q q +---+-=-=-．因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故A 错误；244441()()n kn n kn a a n k n kk n k n n k n n k n +⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-=⋅⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，令24()f n n kn =+-，则()y f n =在*N n ∈上单调递增，令0(1)14f k =+->，解得3k >，此时0())1(f n f ≥>，n k n a a +>，故B 正确；()()[()]21212111]()[()n k n n k n k n a a n k n k ++-=++--+-⋅-=+--，当n 为奇数时，2()11kn k n a a k +-=--+，存在1k ≥，使0n k n a a +->成立；当n 为偶数时，2()11kn k n a a k +-=+--，存在2k ≥，使0n k n a a +->成立．综上{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C 正确；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则2222()202202220()()()n k n a a n k t n k n tn k n t k +-=+-++--+=+->，*N n ∈成立，则对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立．即对于(2)0k t +->，存在3k ≥使之成立，且对于0()2k t +-≤，存在2k ≤使之成立，所以23t -<，且22t -≥，解得45t ≤<，故D 正确．故选：BCD.13．7【分析】根据题中所给的数据，推出数列的通项公式，即可得出答案.【详解】解：∵1a =2a =3a =4a =n a =.=3n －1＝20⇒n ＝7，∴7项．故答案为：7.14．1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，【分析】根据21n n S =-求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列{}n a 的通项公式.【详解】解：当1n =时，111231a S ==-=-，所以11a =-，当2n =时，2212231a a S +==-=，即得到22a =，因为23n n S =-①，所以当2n ≥时，1123n n S --=-②，①-②得()()11123232n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11121a -==不满足11a =-，所以1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，注意验证1n =的情况，属于中档题.15．()1n n +【分析】由n 边形有n 个顶点及图形的生成规律确定．【详解】由题意第2n -个图形是由n 边形的每边中间向外扩展n 边形得到，顶点数为2(1)n n n n +=+．故答案为：(1)n n +．16．17【分析】根据题意求得n a n =及4(4)(5)2n n n S +++=，化简14212(1)71n n a a S n n ++=++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为376,28S S ==，可得1133672128a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,1a d ==，所以n a n =，所以4(4)(14)(4)(5)22n n n n n S ++++++==，则141221(4)(5)12127(1)747214n n a a n n n S n n +++==≤=++++++++，当且仅当3n =时，等号成立，所以14n n a a S ++的最大值是17.故答案为：17.17．（1）13n n a -=；（2）214n n -+.【分析】（1）由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则{}n a 的通项公式易求；（2）由（1）得：1313,19b b ==，由此求得公差d ，代入等差数列前n 公式计算即可.【详解】（1）因为111,3n na a a +==所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=.（2）由（1）得：1123313913,19b a a a b =++=++==，则3124,2b b d d -==-=-，，所以()()21132142n n n n S n S n n +=+⨯-⇒=-+.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--==-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ①由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑ ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯-⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑.因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.19．(1)2nn a =(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据11,1,2,N n nn S n a S S n n -=⎧=⎨-≥∈⎩，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知12n nn b +=，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）解：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12(2)n n a a n -=≥.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故1222n n n a -=⨯=.（2）解：由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n n n T +=++++L ①231123122222n n n n n T ++=++++ ②，①-②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎝⎭L 21111112211212n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--1111133122222n n n n n ++++=+--=-.所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-20．（1）()*1()2n f n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ；（2）详见解析.【分析】（1）令1y =，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将n a 表示出来，利用错位相减法得到前N 项和，最后证明不等式.【详解】（1）令1y =，得()()()11f x f x f +=⋅，∴()()()11f n f n f +=⋅，即()()()()*111,22n f n f n n N f n +⎛⎫=∴=∈ ⎪⎝⎭（2）12n n a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设121n a n n T a a a a a -=+++⋯++，则()23111111123122223n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①()()23111111111221322322n n n n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②来①-②得11122n n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23111111221111111112222222212n n n n n n T n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()12222n n T n ⎛⎫∴=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- -+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，故()13132n a n n =+-=-.（2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n nT b b b b =++++ 11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.22．（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大【分析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n 年时累计利润的解析式()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L ，则()0f n >，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为()6420028f n n n n ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n 年时累计利润为()f n ，()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L 6400(200800)12800n n n =-+-2200560012800n n =-+-()22002864n n =--+，开始获利即()0f n >，∴()220028640n n --+>，即228640n n -+<，解得1414n -<<+5.7≈，∴2.625.4n <<，∴公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为()642002828)2400f n n n n ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，当且仅当64n n=，即8n =时，等号成立．即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.。

2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。

2021-2022学年吉林省白山市抚松县高二下学期第一次月考数学试题（平行班）一、单选题1．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ） A ．54种 B ．45种C ．45C 种D ．45A 种A根据分步乘法计数原理，根据题中条件，可直接得出结果.【详解】将5封不同的信，通过4个不同的信箱邮寄，每封信都有4种不同的投递方法， 因此总的不同的投递方法共有：54种. 故选：A.2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A ．110B ．310 C ．35D ．910D【详解】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件3510C =种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010-=，故选D. 古典概型及其概率的计算.3．设函数2e ()(1)1=++'xf x f x x ，则(1)f =（ ）A ．e 4-B ．e 4C ．e2D ．3e4B【分析】对()f x 求导得2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ，令1x =，求出(1)f '，代入()f x 即可求出(1)f 的值.【详解】2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ． 令1x =，则e (1)2(1)4+'='f f ，则e (1)4'=-f ，所以2e e()14x f x x x =-+ 所以e e e(1)244=-=f ．故选：B.4．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝()1c k k +，c 为常数，k ＝1,2,3,4，则15P(X )22<<的值为( ) A ．45B ．56C ．23D ．34B【详解】由已知，261220c c c c +++＝1，解得c ＝54，∴()()155P X P X 1P X 222266c c ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭. 5．函数f （x ）＝ln ||xx 的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．C【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断()f x 的奇偶性，再由(0,1)上ln ||ln 0x x =<知()f x 的大致图象.【详解】根据题意， ()ln ||xf x x =，其定义域为{|0x x ≠且1}x ≠±， ∴()()ln ||xf x f x x -=-=-，则()f x 为奇函数，排除A 、D ， 在区间(0,1)上，ln ||ln 0x x =<，必有()0f x <，排除B ， 故选：C.6．设随机变量,X Y 满足2Y X b =+(b 为非零常数)，若()()4,32E Y b D Y =+=，则()E X 和()D X 分别等于（ ） A ．4,8 B ．2,8 C ．2,16 D ．2,16b +B【分析】利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得. 【详解】因为随机变量,X Y 满足2Y X b =+，所以()2(4E Y E X b b =+=+）， ()2E X ∴=； ()(),432D Y D X ==()8D X ∴=.故选：B.若随机变量,X Y 满足Y kX b =+，他们的期望和方差分别满足：()()2,((E Y kE X b D Y k D X =+=））7．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二C【分析】求出20218除以7的余数，可得结论．【详解】2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋯+⋅+，故它除以7的余数为202120211C =， 故经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一， 故选：C ．本题主要考查二项式定理的应用，整除问题，考查运算求解能力．8．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且(3)f x +为偶函数，(6)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．(3,)-+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(6,)+∞C【分析】构造函数()()xf xg x e=，求导()()()0x f x f x g x e '-'=<，从而得()g x 在定义R 上单调递减；又()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，从而有()(0)g x g <，利用()g x 的单调性即可求解．【详解】令()()xf xg x e =， ()()f x f x '<， ()()()0xf x f xg x e '-∴'=<， ()g x ∴在定义R 上单调递减；①又(3)f x +为偶函数，(3)(3)f x f x ∴+=-，()(0)6f f ∴=1=， 0(0)(0)1f g e ∴==， 则不等式()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，即()(0)g x g <， 由①得0x >， 故选：C ． 9．令()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈，则23202022019a a a ++++20212020a =（ ）A ．201920192⋅B ．202020192⋅C ．201920202⋅D ．202020202⋅C【分析】对所给等式，两边分别求导，再令1x =，可得结论．【详解】解：由题可知，+12020rr a C =，对()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈等式，两边分别求导可得：32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++，所以，32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++令1x =，有：201920202⨯=23202022019a a a ++++20212020a ，故选：C ． 10．若函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．(],0-∞D【分析】函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，然后易得()2min21b x x ≤-+，最后求出范围即可.【详解】函数()21()21ln 2f x x x b x =---的定义域为()0+∞，， 2121()2b x x b f x x x x---+'=--=， ()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立， 即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b --+≥在()0+∞，上恒成立， 分离参数得221b x x ≤-+，所以()2min 210b x x ≤-+=，即(],0b ∈-∞.方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若()f x 在区间(),a b 上单调递增，则()0f x '≥在区间(),a b 上恒成立；若()f x 在区间(),a b 上单调递减，则()0f x '≤在区间(),a b 上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.11．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.12．若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b <B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 二、填空题13．设n 是正整数，化简1231242n nnn n n C C C C -++++=___________.312n - 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可.【详解】设1231242n nn n n n n C C C C S -++++=，12233001223322222222221n n n nn n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-，所以有312(12)1312n nnn n S S -=+-=-⇒=，故312n -14．函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，则a 的取值范围是_______________．1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． 【分析】将函数在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数()0f x '或()0f x '恒成立即可求解.【详解】解：∵函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，∴函数()f x 在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增或单调递减，∴()0f x '或()0f x '在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，∵214()2222a x x af x x x x--'=--=， 令2()4g x x x a =--，二次函数的对称轴为18x， ∴2min111()48816g x a a ⎛⎫=⨯--=-- ⎪⎝⎭，2max ()4113g x a a =⨯--=-，当()0f x '时，需满足1016a --，即116a -， 当()0f x '时，需满足30a -，即3a ， 综上所述，a 的取值范围为1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．故1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．15．函数31()3f x x x =-+在（a,10-2a ）上有最大值，则实数a 的取值范围是 ．[)2,1-【详解】要满足题意即函数的最大值必是区间上的极大值．由已知()()()2'111f x x x x =-+=-+-，当()'0f x >时，11x -<<， 当()'0f x <时，1x <-或1x >； 所以1x =是函数的极大值点，则由题意得：()2110;()1a a f a f <<-≤，解得21a -≤<三、双空题16．某人从甲地到乙地，乘火车､轮船､飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是___________；如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是___________. 0.18950 49【分析】根据题意利用全概率公式，可求得这个人迟到的概率，再根据贝叶斯公式可求得他乘轮船迟到的概率.【详解】解：设事件A 表示“乘火车”，事件B 表示“乘轮船”，事件C 表示“乘飞机”，事件D 表示“迟到”，则()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===， ()0.5P D A =，()()0.2,0P D B P D C ==，()()()D D A D B D C =⋂⋃⋂⋃⋂，由全概率公式，可得这个人迟到的概率()0.20.50.40.20.400.18P D =⨯+⨯+⨯=， 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率 ()()()0.40.240.189P D B P B D P D ⋂⨯===. 故0.18；49.四、解答题17．4名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目． (1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (1)2880种 (2)1680种 (3)30960种【分析】（1）先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中，由插空法可得答案.（2）由定序法可得答案.（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况分别计算，再求和即可. 【详解】(1)先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中.所以这4名女生不相邻的排法有4445A A 241202880⋅=⨯=种．(2)这4名女生按身高从高到低的排法有8844A 1680A =种． (3)①甲站在右端，其余7人全排列，有77A 5040=种排法，②甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有6666A 25920⨯⨯=种排法．故一共有50402592030960+=种排法．18．甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为23，乙每次杀球成功的概率为35．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X 为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立． (1)求2X =的概率；(2)求X 的分布列及数学期望． (1)73225(2)分布列见解析，数学期望为3815【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.（2）随机变量X 的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率2212316135225⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ， 甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率11222213216C C 335575=⨯⨯⨯⨯⨯=P ， 甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率22323113525⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ，故2X =的概率12316161732257525225=++=++=P P P P ． (2)由题意可知X 的所有取值是0，1，2，3，4．22234(0)1135225⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ，22112222323328(1)1111335355225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()732225P X ==22112223322328(3)C 1C 135533575⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P X ，22234(4)3525⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ．则X 的分布列为故4287328438()01234225225225752515=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=E X ．19．已知在二项式()22,nnn n N x ⎫≥∈⎪⎭的展开式中，前三项系数的和是97.（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项.（1）8；（2）共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=. 【分析】（1）求出通项公式，可以得到前3项系数和可得答案； （2）求出1k T +若为有理数，当且仅当832k-为整数即0,2,4,6,8k =时可得答案.【详解】依题意：()2122kn kn kk k k k k nn T C C x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()()3220,1,n k kk nC xk n -=-=⋅⋅⋅，（1）∵前3项系数和是97，∴1212497n n C C -+=，解得8n =或6n =-（舍），∴8n =.（2）若1k T +为有理数，当且仅当832k-为整数时， ∵08k ≤≤，k Z ∈， ∴0,2,4,6,8k =，∴展开式中的有理项共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=.20．已知函数()322(R f x x ax bx a =+++∈，R)b ∈在1x =-处取得极值7.(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值．(1)3,9a b =-=-；(2)最大值为7，最小值为20-.【分析】（1）对函数求导，根据(1)7(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩求出参数a ，b 的值； （2）由（1）可得()3(1)(3)f x x x '=+-，研究其在[]2,2-上的符号，进而确定()f x 的单调性，再求出闭区间上的最值.【详解】(1)由题设，2()32f x x ax b '=++，又1x =-处取得极值7.所以(1)17(1)320f a b f a b -=-+=⎧⎨'-=-+=⎩，可得3,9a b =-=-.经检验，满足题意. (2)由（1）知：2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，在[2,1)--上()0f x '>，()f x 递增；在(1,2]-上()0f x '<，()f x 递减；在[]2,2-上的最大值为(1)7f -=，而(2)0f -=，(2)20f =-，故在[]2,2-上的最小值为(2)20f =-，综上，[]2,2-上最大值为7，最小值为20-.21．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差. (1)4960； (2)()65E X =，()1425D X =. 【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.（2）由题可知346310()(0,1,2,3)k k C C P X k k C -===，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.【详解】(1)设A 为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则()120337373104960C C C C P A C +==； (2)由题可知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.()()03124463311600110,1,62C C C C P X P X C C ====== ()()21304463361010312,3,1030C C C C P X P X C C ====== X ∴的分布列为：∴ ()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ()222261616361140123565251053025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数321()e1(0)32-=--+>x ax ax f x x x 有两个极值点()1212,x x x x <． (1)求a 的取值范围．(2)证明：122x x +>．(1)(1,)+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得函数1()e (0)-=->x h x ax x 在(0,)+∞上存在两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，即得；（2）由题可得12121ln ln x x x x -=-，进而可知即证221121112ln x x x x x x +->，通过换元，构造函数ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ，利用导数即得.【详解】(1)由321()e 1(0)32-=--+>x ax ax f x x x ，得()1()(1)e -+'=-x f x x ax ． 记1()e (0)-=->x h x ax x ，由题意知，()h x 在(0,)+∞上存在两个零点， 则1()e -=-'x h x a ，当0a ≤时，()0,()h x h x '>在(0,)+∞上单调递增，不符合题意， 故0a >，令()0h x '=，解得ln 1x a =+，则()h x 在(0,ln 1)+a 上单调递减，()h x 在(ln 1,)++∞a 上单调递增， 所以(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，则1a >，所以a 的取值范围为(1,)+∞．(2)由（1）可知121112e 0e 0x x ax ax --⎧-=⎨-=⎩， 则11221ln ln ,1ln ln ,x a x x a x -=+⎧⎨-=+⎩两式相减可得12121ln ln x x x x -=-． 要证122x x +>，即证1221212ln ln x x x x x x +->-．即221121112ln x x x x x x +->． 令21(1)x t t x =>，即ln 1(1)21t t t t ->>+， 设ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ．则222111(1)()02(1)2(1)+-+-=-=>++'t t t F t t t t t ， 所以()F t 在区间(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F t F >=， 即ln 1(1)21t t t t ->>+， 故122x x +>成立．。

2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设函数在处的导数为2，则（ ）()f x 1x =0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．2C ．D ．62-23【答案】B【分析】根据导数的定义即可.【详解】;()0(1)(1)lim21x f x f f x ∆→'+∆-==∆故选：B.2．某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种【答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A3．抛物线的准线方程为24y x =A ．B ．C ．D ．1x =2x ==1x -2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,=1，2p∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．4．函数的单调递增区间是（ ）()25ln 4f x x x =--A ．B ．和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,3【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为 ，()25ln 4f x x x =--(0,)+∞，当时，解得，()5252,0x f x x x x -'=-=>()250x f x x -'=>52x >故函数的单调递增区间是，()25ln 4f x x x =--5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选：A5．函数的零点个数为（ ）3()1216f x x x =--A ．B ．C ．D ．0123【答案】C【解析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-令得或，令得，()0f x '>2x ><2x -()0f x '<22x -<<所以函数的单调递增区间为，减区间为.(,2),(2,)-∞-+∞(2,2)-所以函数的极大值为，极小值为，(2)0f -=(2)32f =-当时，当时，x →-∞0,y <x →+∞0,y >所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令重新构造函()=0f x 数，画出两个函数的图象得解）”()()g x h x =6．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）{}n a 22nSn n =+11n n n b a a +={}n b n A ．B ．C ．D ．163n n -+2263n n -+69n n +263n n +【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列n a n S ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩{}n a 的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.{}n b n 【详解】，当时，，22n S n n =+1n =113a S ==当时，，当时，也满足，2n ≥221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦1n =∴ 数列的通项公式为，{}n a 21n a n =+，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭12311111111123557792123n b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111.232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭故选：C7．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()13f =()2f x '<()21f x x <+A ．B ．C ．D ．(,1)-∞()3,+∞()1,+∞(2,)+∞【答案】C【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，()()21F x f x x =--()0F x '<从而可得当时，，从而得到不等式的解集．1x >()()10F x F <=()21f x x <+【详解】解：令，()()21F x f x x =--则，()()2F x f x ''=-又的导数在上恒有，()f x ()f x 'R ()2f x '<恒成立，()()20F x f x ''∴=-<是上的减函数，()()21F x f x x ∴=--R 又，()()11210F f =--= 当时，，即，∴1x >()()10F x F <=()210f x x --<即不等式的解集为；()21f x x <+(1,)+∞故选：C ．8．若是的切线，则的取值范围为（ ）y ax b =+()ln f x x x=ab A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)1,+∞(],1-∞[]1,0-【答案】A【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到(),ln t t t t ,a b ，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.ln 1a t b t +=-()()ln 10t g t t t +=->()g t 【详解】设切点坐标为，()(),ln 0t t t t >，，又，，()ln 1f x x '=+ ()ln 1a f t t '∴==+()ln f t t t =ln b t t at t∴=-=-，ln 1ln 1a t tb t t ++∴==--令，则，()()ln 10t g t t t +=->()2ln tg t t '=则当时，；当时，；()0,1t ∈()0g t '<()1,t ∈+∞()0g t '>在上单调递减，在上单调递增，()g t ∴()0,1()1,+∞，又当时，，，()()11g t g ∴≥=-0t →()g t ∞→+()[)1,g t ∴∈-+∞即的取值范围为.ab [)1,-+∞故选：A.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）()f x ()f x 'A ．为函数的一个零点2x =-()f x B ．为函数的一个极大值点12x =()f x C ．函数在区间上单调递增()f x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．是函数的最大值()1f -()f x 【答案】BC【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.()f x 【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、()f x ()f x '(),2-∞-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()2,+∞故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC 正确，AD 错误.2x =-2x =()f x 12x =()f x 故选：BC.10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（ ）A ．AB 与CD 平行B ．CD 与GH 是异面直线C ．EF 与GH 成角D ．CD 与EF 平行60︒【答案】CD【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可.【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所以，AB CD CD GH EF CD 三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD 正GHD GH GD 60︒EF GH 60︒确.故选：CD.11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一0R 个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再0R 0R 传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始R 04R =感染者为1人，则（ ）A ．第三轮被传染人数为16人B ．前三轮被传染人数累计为80人C ．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D ．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．n 【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故n n a {}n a 14a =4q =C 正确；所以，当时，，故A 错误；4nn a =3n =33464a ==前三轮被传染人数累计为，故B 错误；334(14)118514S ⨯-+=+=-当时，，当时，由，故D 正4n =444(14)1134114S ⨯-+=+=-3557n ==554(14)111365100014S ⨯-+=+=>-确.故选：CD 12．对于函数，下列说法正确的是（ ）()2ln xf x x =A ．在()f x x =12eB ．有两个不同的零点()f xC ．ff f <<D ．若在上恒成立，则()21f x k x <-()0,∞+2ek >【答案】ACD【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立()f x 问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，，定义域为，，令，解得()2ln xf x x =()0,∞+()312ln x f x x -'∴=()0f x '=x当时，，函数在上单调递增，0x <<()0f x ¢>∴()f x (当，函数在上单调递减，x >()0f x '<∴()f x )+∞函数在，故A 对，∴x 12fe =B 选项，时，，，当时，如下图01x << ()0f x <()10f =max 0(2)1fe f x ==>1x >()0f x >所示：函数有且只有唯一一个零点，故B 错，∴()f x C选项，当为单调递减函数，，x>()fx f f∴<，，故C对，ln 2(2)4ff f===<f f f ∴<<D 选项，，故，由于函数在上恒成立，()21f x k x <- ()221ln 1x k f x x x +>+=()0,∞+，设，定义域为，则，2max ln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()2ln 1x g x x +=()0,∞+()32ln1x g x x --'=设，解得，单调递增，单调()0g x '=x =()0,()x g x g x '∴∈>()),0,()x g x g x '∈+∞<递减，，故，故D 对.()max 22e e g x g e ∴==-=2e k >故选：ACD.三、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则a ＝______．()af x x x =-1x =2y x =【答案】1【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为，所以，()af x x x =-()2a f x x =1+'所以函数在处的切线斜率为，()af x x x =-1x =()11'=+f a 因为该切线与直线平行，故，解得2y x =12a +=1a =故答案为：114．函数在区间上的最大值为______．()cos sin f x x x x=-[]π,0-【答案】π【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.()f x 【详解】由，所以，()cos sin f x x x x=-()cos sin cos sin f x x x x x x x'=--=-当时，，所以，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()sin 0f x x x =-≤则在单调递减，()f x []π,0-所以.()max ()ππf x f =-=故答案为：.π15．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P 为C 的上顶点，且1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>，C 的方程是______．123F PF π∠=12F PF S = 【答案】22143x y +=【分析】根据椭圆的性质，即可求解.【详解】解：123F PF π∠=⇒2,a c =12122F PF S c b =⨯⨯= b =又，即，解得：，故，222a b c =+22234c c c =+21c =224,3a b ==所以C 的方程是，22143x y +=故答案为：22143x y +=16．已知函数（且）的极大值和极小值分别为，，且，()22e xf x x a =-0a >1a ≠()1f x ()2f x 12x x <则的取值范围是______．a 【答案】21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由有两个根，转化为函数和的图象有两个不同的交点，结合切()0f x '=14e y x =2ln xy a a =线以及导数求得的取值范围.a 【详解】，所以方程的两个根为，，()4e ln x f x x a a '=-4e ln 0x x a a -=1x 2x 即函数和的图象有两个不同的交点，14e y x =2ln xy a a =因为的极大值和极小值分别为，，()f x 1()f x 2()f x 故当时，，的图象在的下方，12(,)x x x ∈()0f x '<1y 2y 当、时，，的图象在的上方；1(,)x x ∈-∞2(,)x +∞()0f x '>1y 2y 易知，设过原点且与图象相切的直线斜率为，则，01a <<2y l k 4e k <设与切于点，而，所以，l 2ln x y a a =()00,ln xx a a 22ln x y a a '=002ln ln x x a ak a a x ==解得，所以，01ln x a =12ln ln 4e a k a a =⨯<因为，即，又，所以，所以．1ln e aa=2ln 4a <01a <<2ln 0a -<<21,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】求解与曲线的切线有关问题，易错点是没有分清已知点是曲线上的点还是曲线外的点.两种情况下，切线都可以通过导数求得，关注点有切点和斜率两个.极值点的导数为，反之却不成立.0四、解答题17．已知函数.()2ln f x x x =-（1）求函数的单调增区间；()f x （2）求函数在上的最大值.()f x (()0,0a a⎤>⎦【答案】（1）；（2）答案见解析.⎛ ⎝【分析】（1）利用导数，直接解得的单调递增区间；'()0f x >()f x （2）分类讨论：当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a aa ==-当在上单调递增，在上单调递减，可以求出最大值.a ≥()f x ⎛ ⎝a ⎫⎪⎪⎭【详解】（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+2112'()2x f x x x x -=-=令，得，∵，∴'()0f x >2120x x ->0x >0x <<故的单调递增区间为.()fx ⎛ ⎝（2）由（1）知，在上是增函数，在上是减函数.()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭∴当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a a a ==-当在上单调递增，在上单调递减，此时a≥()f x ⎛⎝a ⎫⎪⎪⎭.max 111ln 2222()f f x ==--=综上所述，当的最大值为；当的最大值为0a <<()f x 2max ()ln f x a a =-a ≥()f x .11ln 222f =--18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．()f x 【答案】(1)800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，40()35C x x =+6x ．．()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍．()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面P ABCD -PAB 底面ABCD ，．PAB ⊥PM MD =(1)求证：平面ACM ；PB ∥(2)求平面MBC 与平面DBC 的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD ，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【详解】（1）连接BD ，与AC 交于点O ，在中，因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，则，PBD △BP OM ∥又平面ACM ，平面ACM ，所以平面ACM .BP ⊄OM ⊂BP ∥（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为为正三角形，则，PAB PE AB ⊥又因为平面底面ABCD ，平面平面，PAB ⊥PAB ⋂ABCD AB =则平面ABCD ，过点E 作EF 平行于CB ，与CD 交于点F ，PE ⊥以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，()0,0,0E ()1,0,0B (P ()1,2,0C ()1,2,0D -12M ⎛- ⎝所以，，3,2⎛=-- ⎝ CM ()0,2,0BC = 设平面CBM 的法向量为，则，(),,n x y z =30,220,n CM x y n BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅==⎩ 令，则，因为平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量为，1x=(n = PE ⊥()0,0,1m = 所以||cos ,n m m n n m⋅== 所以平面MBC 与平面DBC 所成角的大小为30°．20．已知数列是等差数列，且，.{}n a 12312a a a ++=816a =(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列{}n a 2n ，试求出数列的通项公式；{}n b {}n b (2)令，求数列的前项和.3n n n c b =⋅{}n c n n S 【答案】(1)，；4n b n =*n ∈N (2).()12133n n S n +=-⋅+【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.{}n a 2n n b a =(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.n c 【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，{}n a 2123312a a a a =++=24a =28282a d a -==-则，因此，，()()224222n a a n d n n=+-=+-⨯=2224n a n n =⨯=依题意，，24n n b a n ==所以数列的通项公式，.{}n b 4n b n =*n ∈N（2）由(1)知，，343n n n n c b n =⋅=⋅则，()21438344343n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅因此，，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143n n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-所以.()12133n n S n +=-+21．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.P ()1,0F 4x =1:2(1)求点的轨迹方程.P (2)记点的轨迹为曲线,若过点的动直线与的另一个交点为,并且满足:原点到的距离为P C P l C Q O l ,弦长,求直线的方程.322PQ =l 【答案】(1).22143x y +=(2).32y =±【分析】(1)利用直译法即可求解轨迹方程；(2)先设出直线方程,利用弦长及点到直线的距离为两个条件即可解出直线方程.2PQ =l 32【详解】（1）设,点到定直线的距离为.由题意可得:,即(),P x y P 4x =d12PF d=,12=整理化简得:.即点的轨迹方程为.22143x y +=P 22143x y +=（2）设.当直线的斜率不存在时,由原点到的距离为,由对称性不妨设直线:()()1122,,,P x y Q x y l O l 32l .32x =所以满足,()()1122,,,P x y Q x y 2232143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:,（舍去）.33,,22P Q ⎛⎛⎝⎝2≠当直线的斜率存在时,可设.l :l y kx m =+因为原点到的距离为,,即,O l 3232=()22491m k =+则满足,消去可得:,()()1122,,,P x y Q x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=,()()2222223442412644481914k m k m k m +-∆=-=++因为,所以恒成立.()22491m k =+22481921440m k ∆=-++>则.21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++==因为,()22491m k =+所以.2==化简得:,42560k k +=解得:,所以,直线的方程为:.0k =32m =±l 32y =±综上所述:直线的方程为:.l 32y =±【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数.()ln 2f x x ax =-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≤(3)求证：.2021202020202021>【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)12ea ≥(3)证明见解析【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；（3）利用分析法，结合（2）中函数的单调性进行证明即可.ln ()x g x x =【详解】（1）.()1122ax f x a x x -'=-=当时，，所以在上单调递增；0a ≤()120ax f x x -'=>()f x ()0,∞+当时，令，解得，0a >()120ax f x x '-==12x a =当时，；10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=>当时，；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=<所以上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，()f x (0,)+∞()0f x ≤ln 20x ax -≤即恒成立，ln 2xa x ≥令，只需，又，ln ()x g x x =max 2()a g x ≥22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==令得，()0g x '=e x =时，，则单调递增；(0,e)x ∈()0g x '>ln ()xg x x =时，，则单调递减；(e,)x ∈+∞()0g x '<ln ()xg x x =所以，解得：；max 12()(e)e a g x g ≥==12e a ≥（3）要证明，只需证明，即，2021202020202021>20212020ln 2020ln 2021>2021ln 20202020ln 2021>即只需证明，由（2）可知：在单调递减，所以ln 2020ln 202120202021>ln ()x g x x =(e,)x ∈+∞，(2020)(2021)g g >故得证. 从而得证.ln 2020ln 202120202021>2021202020202021>【点睛】关键点点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法进行求解证明是解题的关键.。

2022-2023学年四川省内江市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ）20,10x x ∃>->A ．B ．20,10x x ∃≤->20,10x x ∃>-≤C ．D ．20,10x x ∀>-≤20,10x x ∀≤->【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.20,10x x ∃>->20,10x x ∀>-≤故选：C.2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=A B C D 【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.,,a b c【详解】由题意可得：y 轴上，则2,a b ==c ==故椭圆的离心率是22124x y +=c e a =故选：A.3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC A B >sin sin A B >【答案】A【分析】若为假命题，则p ，q 都是假命题，A 正确，“这棵树真高”不是命题，B 错误，否定是：p q ∨“，”，C 错误，充分必要条件，D 错误，得到答案.R x ∀∈2230x x ++≥【详解】对选项A ：若为假命题，则p ，q 都是假命题，正确；p q ∨对选项B ：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C ：命题“使得”的否定是：“，”，错误；R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++≥对选项D ：，则，，故，充分性；若，则A B >a b >22a b R R >sin sin A B >sin sin A B >，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.2sin 2sin R A R B ⋅>⋅a b >A B >故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）1111ABCD A B C D -1A B 1B CA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，1A D DB因为正方体中，11//A D B C 所以就是与所成的角，1BA D ∠1A B 1B C 在中，.1BA D 11A D A B BD ==∴.160BA D ∠=︒故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为()222210,0x y a b a b -=>>12（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.b a =b 【详解】双曲线的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>b y x a =±由题意可知，可得，所以，，则1b ba a -⋅=-b a =6c ===b =因此，该双曲线的虚轴长为2b =故选：B.6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是（ ）2y mx =+2219x y n +=A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,∞⋃+【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在()0,2轴上即可.x 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，2y mx =+()0,2则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，()0,241n ∴≤4n ≥0n <又表示焦点在轴上的椭圆，故，，2219x y n += x 09n <<[)4,9n ∴∈故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，1F 2F 22145x y -=M 12MF MF ⊥则的面积为（ ）12F MF △A ．B ．CD ．510【答案】A 【分析】由可以求得M 在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲12MF MF ⊥线的方程联立求得M 的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.2c 2459c =+=因为，所以为圆与双曲线的交点.12MF MF ⊥M 229x y +=联立，解得，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩53y =±所以的面积为.12F MF △156523⨯⨯=故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F E ,P Q 且，且，则椭圆的标准方程为（ ）22PF F Q⊥2224,6PF Q S PF F Q =+= E A ．B ．22143x y +=22154x y +=C ．D ．22194x y +=22195x y +=【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.3a =c 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，11,PF QF 12PFQF 所以，得.222126PF F Q PF PF a +=+==3a =又因为，所以四边形为矩形，设，22PF F Q ⊥12PFQF 22,==PF m QF n 则，所以得或；2142PF QS mn == 6,8,m n mn +=⎧⎨=⎩ 42m n =⎧⎨=⎩24m n =⎧⎨=⎩则，12F F =2224c b ac ==-=椭圆的标准方程为.E 22194x y +=故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为222:1(20)26x y M m m m -=-≤<+（ ）A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x12【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，2c m m 进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为，所以渐近线方程为y ＝±2x .2214y x -=故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是,,a b c 关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.22(0,0)Ax By AB λλ+=<≠220Ax By +=10．已知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C ，则1F 2F 122PF PF =（ ）12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．150︒120︒90︒60︒【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定11r PF =22r PF =122r r =122r r a +=143r a =223r a=理知，得.2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=222122016cos 499a a F PF c -⋅∠=由，从而，∴.c e a ==2279c a =2212168cos 99a a F PF ⋅∠=-121cos 2F PF ∠=-∵，∴.120180F PF ︒<∠<︒12120F PF ∠=︒故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线22221y x a b +=0y ≥0a b >>()2220x y b y +=<如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，C C x A y G M 当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）M 12⎫-⎪⎪⎭AGM A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G ，A ，根据已知的面积最大的条12M ⎫-⎪⎪⎭b AGM 件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-a 【详解】由点在半圆上，所以，12M ⎫-⎪⎪⎭b=(0,),(,0)G a A b -要使的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于时，M 到直线AG 的AGM 12M ⎫-⎪⎪⎭距离最大， 此时，即，OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-又,OM AG ak k b ===1,a a b =-∴==所以半椭圆的方程为()22421033x y y +=≥故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e （ ）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得12MF F △122F F c =，即222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得，2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2241x y +=1F 构成的的周长为__________2F 【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求a 得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y 轴上，，22114x y +=1a =根据椭圆定义，121222AF AF a BF BF a+=+=，所以的周长为．2ABF 121244AF AF BF BF a +++==故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是______．x ∀∈R 210ax ax ++≥【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；0a =x ∀∈R 10≥当时，命题，可得到，解得，0a ≠R x ∀∈210ax ax ++≥2Δ400a a a ⎧=-≤⎨>⎩04a <≤故若命题“，”是假命题，则R x ∀∈210ax ax ++≥(,0)(4,)a ∈-∞+∞ 故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ 15．已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐2212516x y +=1F 2F 标为（2，1），则的范围为_____．1PA PF +【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即1210PF PF =-2,,A P F 可取得最值.1PA PF +【详解】由椭圆标准方程可知，5,3a c ==12(3,0),(3,0)F F -又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以12210PF PF a +==1210PF PF =-所以1210PA PF PA PF +=+-易知，当且仅当三点共线时等号成立；222AF PA PF AF -≤-≤2,,A P F=10+即的范围为.1PA PF +[10+故答案为：[1016．己知，是双曲线C 的两个焦点，P为C 上一点，且，，若1F 2F 1260F PF ∠=︒()121PF PF λλ=>C ，则的值为______．λ【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.12,PF PF 【详解】由及双曲线的定义可得，12(1)PF PF λλ=>122(1)2PF PF PF aλ-=-=所以，，因为，在中，221aPF λ=-121a PF λλ=-1260F PF ∠=︒12F PF △由余弦定理可得，222222442242cos 60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----即，所以，2222(1)(1)c a λλλ-=-+2222217(1)4c e a λλλ-+===-即，解得或（舍去）.231030λλ-+=3λ=13λ=故答案为：3三、解答题17．已知，，其中m ＞0．2:7100p x x -+<22430q :x mx m -+<(1)若m ＝4且为真，求x 的取值范围；p q ∧(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝【答案】(1)()4,5(2)5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出:25p x <<q :412x <<p q ∧的取值范围；x （2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实q ⌝p ⌝p q数m 的取值范围.【详解】（1），解得：，故，27100x x -+<25x <<:25p x <<当时，，解得：，故，4m =216480x x +<-412x <<q :412x <<因为为真，所以均为真，p q ∧,p q 所以与同时成立，:25p x <<q :412x <<故与求交集得：，25x <<412x <<45x <<故的取值范围时；x ()4,5（2）因为，，解得：，0m >22430x mx m -+<3m x m <<故，:3q m x m <<因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，q ⌝p ⌝p q即，但，:25:3p x q m x m <<⇒<<:3q m x m <<⇒:25p x <<故或，0235m m <≤⎧⎨>⎩0235m m <<⎧⎨≥⎩解得：，523m ≤≤故实数m 的取值范围是5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为的椭圆；23e =(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -【答案】(1)或22195x y+=22195y x +=(2)22168x y -=【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准a b c 方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，()22043y x λλ-=≠M λ即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知.23b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，x 22195x y +=若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.y 22195y x +=综上所述，所求椭圆的标准方程为或.22195x y +=22195y x +=（2）解：设所求双曲线方程为，()22043y x λλ-=≠将点代入所求双曲线方程得，()3,2-()2223243λ-=-=-所以双曲线方程为，即．22243y x -=-22168x y -=19．已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D-2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D (1)证明：平面；//AE 1BDC (2)求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AA C C 11//AC A C 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11A C 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC （2）在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB A C ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D A C ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，，ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即FAF ==1C E =所以．11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△20．已知椭圆E ：.()222210x y a b a b +=>>(P (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交()2,1M 于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】(1)221168x y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，，设椭圆E 的方程为.e =a=b c =222212x y b b +=将点的坐标代入得：，，所以椭圆E 的方程为.P 28b =216a=221168x y +=（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为，所以直线m 斜率为(0,，1k ==-由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为，1-所以直线l 的方程为，即，()12y x -=--30x y +-=联立，可得，2211683x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩231220x x -+=，，，1200∆=>124x x +=1223x x =.==21．已知双曲线.221416x y -=(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，()1,1N S T N ST 求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、l ()2y kx m k =+≠±M M l x 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.y ()0,0A x ()00,B y M 00(,)P x y 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，.22100125x y -=0y ≠【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.ST （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线l ()2244m k =-M M 垂直的直线方程，即可求解作答.l 【详解】（1）点不能是线段的中点，N ST 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，()1,1N S T N ST 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+而双曲线渐近线的斜率为，即，221416x y -=2±2n ≠±由得，则有，解得，2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=2(1)14n n n --=-4n =此时，即方程组无解，22224(1)4(4)[(1)16]4169412250n n n n '∆=----+=⨯⨯-⨯⨯<所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.()1,1N S T N ST （2）依题意，由消去y 整理得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 则有，即，点M 的横坐标为，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-244km kkm =--点，，过点与直线垂直的直线为，416(,)k M m m --0km ≠M l 1614()k y x m k m +=-+因此，，，，020k x m =-020y m =-2222002224164(4)110025x y k k m m m --=-==00y ≠所以点的轨迹方程为，.00(,)P x y 22100125x y -=0y ≠22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.C ()222210x y a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F (1)求椭圆的方程.C (2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：C P Q AP AQ ()222322x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()0r >直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.PQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为12【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.C （2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得21k k =-AP C 出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.,P Q PQ 【详解】（1）由题可知，所以.24a =2a =将点的坐标代入方程，得A 31,2⎛⎫⎪⎝⎭22214x y b +=23b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.A ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭AP AQ 设直线的方程为，直线的方程是AP ()1312y k x -=-AQ ()2312y k x -=-由直线与圆相切，AP ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭r=r=.=21k k =-将直线的方程代入椭圆的方程，AP C 可得.()()222111113443241230k x k k x k k ++-+--=设，.因为点也是直线与椭圆的交点，(),P P P x y (),Q Q Q x y 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP 所以，21121412334P k k x k --=+1132P P y k x k =+-因为，所以，21k k =-21121412334Q k k x k +-=+1132Q Q y k x k =-++所以直线的斜率PQ Q P PQ Q Py y k x x -=-()112Q P Q Pk x x k x x -++=-22111111221122111122114123412323434412341233434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----++ ⎪++⎝⎭=+----++()()22111118623424k k k k k --++=12=。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。

河北省石家庄市藁城市西关中学2021-2022学年八年级数学下学期第一次月考测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A ．7，24，25B ．132，142，152C ．3，4，5D ．4，172，1822．平行四边形具有的性质是()A ．四边相等B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．四个角都是直角3．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为()A ．3B ．4C ．5D ．64．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分5．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连结OE.若A 60BC ∠= ，80BAC ∠= ，则1∠的度数为()A ．50B ．40C ．30D ．206．□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A ．BE =DFB ．AE =CFC ．AF //CED ．∠BAE =∠DCF7．如图，为测量池塘边A 、B 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14m ，则A 、B 间的距离是（）．A ．18mB ．24mC ．28mD ．30m8．四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，给出下列四组条件：①AB CD ∥，AD BC ∥；②AB CD ，BAD BCD ∠=∠；③AO CO =，BO DO =；④AB CD ∥，AD BC =．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组9在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A ．x ≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ≥2D ．x ≤210）AB C D11．下列计算正确的是A=B 1==C ．(21=D=12．设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（）A ．6B ．C ．12D ．13．2,5,m ）A ．210m -B ．102m-C ．10D ．414．若三角形的三边分别是a ，b ，c ，且2(40a c -+-=，则这个三角形的周长是（）A ．5+B ．3-C ．5D ．315．计算202220213)3)的结果是（）A 3B ．3C ．-3D 316．已知1a =，1b ，则b aa b-的值为（）A ．-B ．C ．D ．-二、填空题17．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_________dm ．18．如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，顺次连接各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为______cm ．19．在▱ABCD 中，BC 边上的高为4，AB ＝5，AC ＝则▱ABCD 的周长等于_____．20．在平面直角坐标系中，已知()0,0A ，()4,0B ，()3,3C ，若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则D 的坐标为_____．三、解答题21．计算；(2)-(3)(⨯-(4)22-22．先化简，再求值：2(1)(1)a a ++-，其中a．23．如图所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD =m ，9CD =m ，39AB =m ，36BC =m ，求这块地的面积．24．如图，在ABCDY中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD AF=，求证：四边形ABFC是矩形．25．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-=请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；(3)．26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？参考答案：1．B【分析】利用勾股定理的逆定理分析可得出答案.【详解】A 、72+242=252，故正确；B 、222111(3)(4(5)222+≠,故错误；C 、32+42=52，故正确；D 、42+（7/2）2=（8/2）2，故正确．故选B 2．C【分析】根据平行四边形的性质进行分析即可.【详解】平行四边形的两组对边分别相等，故A 选项错误；平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B 选项错误，C 选项正确，平行四边形的两组对角分别相等，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的边、角、对角线具有的性质是解题的关键.3．D【分析】先根据矩形的特点求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =8，∴BC =8，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE =EF =3，AB =AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE =8﹣3=5，在Rt △CEF 中，CF ==4，设AB =x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x +4）2=x 2+82，解得x =6，故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．4．C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．5．B【分析】直接利用三角形内角和定理得出BCA ∠的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【详解】ABC 60∠= ，BAC 80∠= ，BCA 180608040∠∴=--= ，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，EO ∴是DBC 的中位线，EO //BC ∴，1ACB 40 ∠∠∴==，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，得出EO 是DBC △的中位线是解题关键．6．B【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．【详解】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．7．C【详解】解：连接AB ，根据中点可得DE 为△OAB 的中位线，则AB =2DE =28米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质．8．C【分析】根据平行四边形的判定逐个判断即可．【详解】解：①AB CD ∥，AD BC ∥，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；②∵AB CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠BAD =∠BCD ，∴∠BCD +∠ADC =180°，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；④AB CD ∥，AD BC =不能判定四边形ABCD 是平行四边形，不符合题意，故共有3组，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键．9．C【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【详解】解：根据题意得：x ﹣2≥0，解得：x ≥2．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10．D【分析】首先把每一项都化为最简二次根式，合并的二次根式．【详解】解：A 3BCD故选：D【点睛】本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简．11．A【详解】试题分析：A ；故该选项正确；B 、333==；故该选项错误；C 、(2451+=-=-，故该选项错误；D 212==；故该选项错误.故选A.考点：二次根式的化简与运算.12．A的整数部分可确定a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∴263<-，∴6的整数部分2a =，∴小数部分624b =-=∴(((22244416106a b =⨯+-=+-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键．13．D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x <<，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．14．D【详解】试题解析：由原式得14a b c ===，，故此三角形的周长为143-+=+，故选D15．D【分析】利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可．【详解】解：202220213)3)))2021333⎡⎤=+⨯⎣⎦())20211093=-⨯3=，故选：D ．【点睛】本题考查二次方根的乘法，积的乘方的逆运算、平方差公式、有理数的乘方，正确求解是解答的关键．16．A【分析】先将待求式整理，再代入求出解即可．【详解】22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，由1a =+，1b ，得a b +=2b a -=-，1)312ab =+-=-=，所以原式=-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键．17．25【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB ，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：展开图为：则AC =20dm ,BC =3×3+2×3=15（dm ）,在Rt △ABC 中，25AB ==（dm ）.所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm.故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．18．20【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH 的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是ACD 的中位线，∴152HG AC ==cm ，同理5EF =cm ，根据矩形的对角线相等，连接BD ，得到：5EH FG ==cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ．故答案是：20．【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．19．20或12##12或20【分析】过点A 作AE ⊥BC 于E ，连接AC ，如图1，勾股定理求出EC ，BE 的长，得到BC 即可求出ABCD Y 的周长；如图2，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于E ，连接AC ，勾股定理求出EC ，BE 的长，得到BC 即可求出ABCD Y 的周长．【详解】解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，连接AC ，如图1，∵在▱ABCD 中，AE=4，AB ＝5，AC ＝∴2EC ==，3BE ==，∴BC =2+3=5，∴ABCD Y 的周长=2（AB +BC ）=20；如图2，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于E ，连接AC ，∵在▱ABCD 中，AE=4，AB ＝5，AC ＝∴2EC ==，3BE ==，∴BC =BE -EC =3-2=1，∴ABCD Y 的周长=2（AB +BC ）=12；故答案为：20或12．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键，注意应根据平行四边形的形状分类讨论．20．()7,3或()1,3-或()1,3-【分析】分三种情况：①AB 为对角线，②BC 为对角线，③AC 为对角线，利用点坐标的平移变换规律和平行四边形的性质即可得．【详解】解：如图，①当AB 为对角线时，()0,0A ，()3,3C ，∴先将点C 向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点A ，以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴先将点B 向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点D ，()4,0B ，()43,03D ∴--，即()1,3D -；②当BC 为对角线时，同理可得：()7,3D ；③当AC 为对角线时，同理可得：()1,3D -；综上所述，点D 的坐标是()7,3或()1,3-或()1,3-．故答案为：()7,3或()1,3-或()1,3-．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的平移变换规律，正确分三种情况讨论是解题关键．21．(2)-(3)6(4)【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解；（2）先化为最简二次根式，再利用二次根式乘除法的运算法则求解；（3）根据平方差公式进行计算求解；（4）根据根据平方差公式进行计算求解．【详解】（1-3⎛= ⎝==+；（2）解：-32=-⨯==-（3）解：(-⨯--(=-((22=-+1824=-+6=；（4）解：22+-(525===【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，乘除法，利用二次根式的性质化简，理解相关知识是解答关键．22．21a a +-，1+【分析】根据二次根式的性质、平方差公式化简原式，再代值求解即可．【详解】解：∵a =∴20a -<，∴2(1)(1)a a ++-=()2221a a --+-=2221a a -++-=21a a +-，当a =原式=21=21=1【点睛】本题考查二次根式的化简求值，涉及到平方差公式、算术平方根的非负性，熟练掌2a =-．23．这块地的面积为216cm 2【分析】连接AC ，运用勾股定理得AC =15，运用勾股定理的逆定理得三角形ACB 是直角三角形，90ACB ∠=︒，用三角形ACB 的面积减去三角形ACD 的面积即可得．【详解】解：如图所示，连接AC ，由题意得，三角形ADC 是直角三角形，在Rt ACD 中，根据勾股定理得，15AC ==，∵222AC BC AB +=，222153639+=∴三角形ACB 是直角三角形，90ACB ∠=︒，∴这块地的面积：2111291536216(cm )22ACD ADC S S -=⨯⨯-⨯⨯=△△．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握这些知识点．24．见解析【分析】根据平行四边形的性质和E 为BC 的中点，易得()ABE FCE AAS △△≌，得到BC CF =，AE FE =，结合AB CD 得到四边形ABFC 是平行四边形，再利用AD AF =，AD BC =得到AF BC =，最后利用矩形的判定定理判定即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AD BC =，D ABC ∠=∠，∴ABE FCE ∠=∠，BAE CFE ∠=∠．∵E 为BC 的中点，∴BE CE =．在ABE 和FCE △中BAE CFE ABE FCE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE FCE AAS △△≌，∴AB CF =，AE FE =．∵AB CD ，延长交DC 的延长线于点F ，∴AB CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD AF =，AD BC =，∴AF BC =．∴四边形ABFC 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到()ABE FCE AAS △△≌是解答关键．25．(1)111114520+-=；()1111111n n n n =+-=+++111117856=+-=．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；（2）根据已知算式得出规律即可；（3【详解】（1111114520+-=（2()1111111n n n n =+-=+++（3111117856==+-=【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．26．当运动时间为0秒或4秒或203秒或8秒时，以P 、D 、Q 、B 四点组成的四边形为平行四边形【分析】由四边形ABCD 为平行四边形可得出PD ∥BQ ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD =BQ 时以P 、D 、Q 、B 四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由PD =BQ 即可列出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴PD ∥BQ ．若要以P 、D 、Q 、B 四点组成的四边形为平行四边形，则PD ＝BQ ．设运动时间为t ．当0≤t ≤52时，AP ＝t ，PD ＝10﹣t ，CQ ＝4t ，BQ ＝10﹣4t ，∴10﹣t ＝10﹣4t ，3t ＝0，∴t ＝0；当52＜t ≤5时，AP ＝t ，PD ＝10﹣t ，BQ ＝4t ﹣10，∴10﹣t ＝4t ﹣10，解得：t ＝4；当5＜t ≤152时，AP ＝t ，PD ＝10﹣t ，CQ ＝4t ﹣20，BQ ＝30﹣4t ，∴10﹣t ＝30﹣4t ，解得：t＝20 3；当152＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为0秒或4秒或203秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．。

长春市重点中学2022—2023学年度下学期高二年级第一次月考数学试卷考试时间：90分钟 满分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.62. 函数()ln 2f x x x =-在1x =处的切线方程为 ( ) A.20x y += B.240x y --= C.30x y --=D.10x y ++=3. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．4y x =±D ．14y x =±4.不论k 为任何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=恒过定点，则这个定点的坐标为( ) A.(2,3)-B.(2,3)C.(2,3)-D.(2,3)--5. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86. 圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为( )B.2C. D.7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++（x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )A. 6万斤B. 8万斤C. 3万斤D. 5万斤8．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，且，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.23 B. 12C.22D. 5二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A ．两人均获得满分的概率为12 B ．两人至少一人获得满分的概率为712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34 D ．两人至多一人获得满分的概率为111210. 下列说法中，正确的是( )A.直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8B.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C.过点(1,1)且与直线210x y ++=相互平行的直线方程是23y x =-+ D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= 11. 已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足()()01f x f x x '->-，对于函数()()e xf xg x =，则下列结论正确的是( ) A.函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B.1x =是函数()g x 的极小值点C.函数()g x 至多有两个零点D.0x ≤时，不等式()e x f x ≤恒成立12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}n b 满足：1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯ B ．C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. 已知数列{}n a 中，13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，则2020a =___________. 14. 已知函数2e ()(2ln )x f x k x x x =+-和2e ()xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则k 的最大值为___________.四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）15．（12分）已知函数2()x x f x e=．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域．16．(12分)当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该小组称这种方法为“长队法”. 为了检验他们的想法，该小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验. “传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.17．(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.18．（14分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12. (1)求抛物线C 的方程；(2)设点E 是抛物线C 上任意一点，求线段EF 中点D 的轨迹方程；(3)过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点（均与点()1,1A 不重合），设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 为定值.参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCABDCAD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）题号 9 10 11 12 答案BCDACABCABD三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. ‐3 14.四、解答题（共50分）15.（12分）（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞； （2）240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【详解】（1）由题意得，(2)()xx x f x e-'=，令()0f x '>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >或0x <，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞．（2）易知241(0)0,(2),2e f f f e ⎛⎫==-=⎪⎝⎭因为221416(2)2e e e f f e-⎛⎫--== ⎪⎝⎭ 22221628(22)(22)042e e e e e e --+->==>, 所以1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．（或由244(2)9f e =>，134329e f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭）,又当0x >时，2()0x x f x e =>，所以函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域为240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（12分）【详解】 (1)183125257369151146100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间， 所以选择“传统排队法”更适合；(2)记事件A =“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a 表示等待时间在[10，12]的满意顾客，Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a ），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a ），（3，4），（3，5），（3，a ），（4，5），（4，a ），（5，a ）}n （Ω）=15，事件A 包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）， ()10n A =，()102()()153n A p A n ===Ω.17.（12分）【详解】 (1)设{a n }的公比为q (q ＞1).由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.整理得2q 2－5q ＋2＝0，即(2q －1)(q －2)＝0.解得q ＝12 (舍去)或q ＝2. a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 18.（14分）(1)2y x =(2)211216y x =- (3)证明见解析【详解】（1）解：由题意抛物线2:2C y px =的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，又焦点到准线的距离为12，所以1222p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）解：由（1）知1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00(,)E x y ，(,)D x y ，则001422x x y y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即001242x x y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 而点00(,)E x y 在抛物线C 上，200y x =，21(2)24y x ∴=-，即211216y x =-，此即所求点D的轨迹方程．（3）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线MN 的方程为(1)3x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以2(2)80t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以12121222121212111111111(1)(1)y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ 12121111312y y y y t t ===-+++--++，所以12k k 是定值．。

八年级数学第一次月度检测模拟试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，进行判断，即可．【详解】中心对称图形的定义：旋转后能够与原图形完全重合，∴A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B 、即是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意；C 、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B ．2. 为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是（ ）A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图【答案】B【解析】【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．【详解】为了解某地一天内的气温变化情况，180应选择的统计图是折线统计图，故选：B ．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．3. □ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A. BE =DFB. AE =CFC. AF //CED. ∠BAE =∠DCF 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．【详解】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B 、如图所示，AE =CF ，不能得到四边形AECF 是平行四边形，故符合题意；C 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，∵AF //CE ，∴∠FAO =∠ECO ，又∵∠AOF =∠COE ，∴△AOF ≌△COE，∴AF =CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；D 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB //CD ，∴∠ABE =∠CDF ，又∵∠BAE =∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE =CF ，∠AEB =∠CFD ，∴∠AEO =∠CFO ，∴AE //CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．4. 在对60个数进行整理的频数分布表中，这组的频数之和与频率之和分别为（ ）A. 60，1B. 60，60C. 1，60D. 1，1【答案】A【解析】【分析】本题是频数与频率基础应用题，难度一般，主要考查学生对频数与频率的定义的理解和运用能力． 根据频数与频率的定义即可得到结果．【详解】解：在对个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于，频率之和等于1，故选A ．5. 如图，在△ABC 中，∠CAB =65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB，则旋的6060转角的度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 65°【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC ′=∠CAB ，根据旋转的性质可得AC ′=AC ，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC ′，再根据∠CAC ′、∠BAB ′都是旋转角解答．【详解】解：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB =65°，∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB ′C ′，∴AC =AC ′，∴∠CAC ′=180°－2∠ACC ′=180°－2×65°=50°，∴∠CAC ′=∠BAB ′=50°故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分6. 函数x 的取值范围是__________．【答案】x ≥-2且x ≠1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．【详解】解：由题意可得解得x ≥-2且x ≠1故答案为：x ≥-2且x ≠1．【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．y =2010x x +≥⎧⎨-≠⎩7. 一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率是________．【答案】【解析】【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．【详解】解：∵有两个红球和一个黄球，共3个球，∴从中任意取出一个是黄球的概率是；故答案为．【点睛】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某校对400名学生和家长就校园安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的统计图（不完整），根据统计图中的信息，若全校有2050名学生，请你估计对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生有______人．【答案】1350【解析】【分析】本题考查的是条形统计图运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 求得调查的学生总数，则可得对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占的比例，利用求得的比例乘以2050即可得到．【详解】解：∵调查的家长的总人数是：（人）∴调查的学生的总人数是：（人）对“校园安全“知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是（人），全校2050学生中达到“非常了解”和“基本了解”的学生人数为：（人）．故答案为：．9. 在中，，则的度数为______．【答案】##135度1313138377314195+++=400195205-=2055416135--=13520501350205´=1350ABCD Y :A B ∠∠=3:1C ∠135︒【解析】【分析】本题考查平行四边形的知识，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，；最后根据平行四边形的性质，即可．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，，∴．故答案为：．10. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x - 6上时，线段BC 扫过的面积为_______【答案】16【解析】【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．【详解】解：如图所示．AD BC ∥180A B ∠+∠=︒:A B ∠∠=3:1A ∠B ∠ABCD AD BC ∥A C ∠=∠180A B ∠+∠=︒:A B ∠∠=3:1135A ∠=︒45B ∠=︒135C ∠=︒135︒BC AC C C 26y x =-点、的坐标分别为、，．，，∴由勾股定理可得：．．点在直线上，，解得．即．．．即线段扫过的面积为16．故选：C ．【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．11. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______°．【答案】【解析】A B (1,0)(4,0)3AB ∴=90CAB ∠=︒ 5BC =4AC =4A C ∴''= C '26y x =-264x ∴-=5x =5OA '=514CC ∴'=-=4416BCC B S ''∴=⨯= BC BC ABC A 80︒ADE V B D C E 35EAB ∠=︒DAC ∠=125【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12. 在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为______．【答案】或【解析】【分析】根据平行四边形中，，要使是直角三角形，则，，画出图形，分类讨论，即可．【详解】当，，延长交于点，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵沿翻折至，∴，，∴，，∴，在中，，设，∴，ABC A 80︒ADE V 80CAE ∠=︒35∠=︒BAE 803545EAD CAB CAE BAE ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒453545125DAC CAB BAE DAE ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒125ABCD AB BC <30B ∠=︒AB =ABC AC AB C 'V B 'ABCD B D 'AB D 'V BC 23AB BC <AB C 'V 90B AD '∠=︒90AB D '∠=︒①90B AD '∠=︒AB BC <B A 'BC G ABCD AD BC ∥AD BC =90B AD B GC ''∠=∠=︒ABC AC AB C 'V AB AB '==30B AB C '∠=∠=︒BC B C'=12AG AB ==2B C GC '=B G AB AG ''=+==Rt B GC ' 222B C B G CG ''=+GC x =2B C x '=∴，解得：，∴，∴；当时，设交于点，∵四边形是平行四边形，∴，，∵沿翻折至，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，()2222x x =+32x =3B C '=3BC =②90AB D '∠=︒AD B C 'O ABCD AD BC ∥AD BC =ABC AC AB C 'V BC B C '=2BCA ∠=∠AD BC B C '==AD BC ∥1BCA ∠=∠12BCA ∠=∠=∠AO CO =DO B O '=3=4∠∠AOC DOB '∠=∠1234∠=∠=∠=∠'∥AC B D 90B AC BAC '∠=∠=︒30B ∠=︒AB =12AC BC =设，∴，∴，∴解得：，∴．综上所述，当的长为或时，是直角三角形．【点睛】本题考查平行四边形、直角三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可．13. 如图，平行四边形，点F 是上的一点，连接平分，交于点E ，且点E 是的中点，连接，已知，则__．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．延长交于点，判定，即可得出，再根据三线合一即可得到即可解答．详解】解：如图，延长交于点，【AC x =2BC x =222BC AC AB =+()2222x x =+1x =2BC =BC 23AB D 'V 30︒ABCD BC 60AF FAD AE ∠=︒，，FAD ∠CD CD EF 53AD CF ==，EF =AE BC ，G ADE GCE △≌△5CG AD AE GE ===，FE AG ⊥AE BC ，G∵点是的中点，∴，∵平行四边形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中点，∴，∴中，，故答案为：．14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像过和两点，该一次函数的表达式为______；若该一次函数的图像过点，则的值为______．【答案】① ②. 【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，分别将点和点的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；将点代入所求得的一次函数表达式即可得到的值．掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题的关键．【详解】解：∵一次函数的图像过和两点，.E CD DE CE =ABCD AD BC ∥D ECG ∠=∠AED GEC ∠=∠()ASA ADE GCE ≌5CG AD AE GE ===，AE FAD ∠AD BC ∥1302FAE DAE G DAF ∠=∠=∠=∠=︒358AF GF ==+=E AG FE AG ⊥Rt AEF 142EF AF ==4xOy ()0y kx b k =+≠()0,5A ()1,2B -(),11C m m 35y x =+2A B ()0y kx b k =+≠k b (),11C m m ()0y kx b k =+≠()0,5A ()1,2B -∴，解得：，该一次函数的表达式为，∵该一次函数的图像过点，∴，解得：．故答案为：；．15. 如图，E 为外一点，且，，若，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】根据四边形内角和求出度数，再借助平行四边形的性质可知即可得到结果．【详解】解：在四边形中，，，所以．四边形是平行四边形，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和，解题的关键是掌握特殊四边形的角度问题，一般借助旋转转化角，进行间接求解．三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 某同学在解关于的分式方程，去分母时，由于常数漏乘了公分母，最后解得，试求的值，并求出该分式方程正确的解．【答案】，52b k b =⎧⎨-+=⎩35k b =⎧⎨=⎩35y x =+(),11C m 1135m =+2m =35y x =+2ABCD Y EB BC ⊥ED CD ⊥65E ∠=︒A ∠115︒115360︒C ∠A C ∠=∠BCDE 65E ∠=︒90EBC EDC ∠=∠=︒360659090115C ∠=︒-︒-︒-︒=︒ ABCD 115A C ∴∠=∠=︒115︒360︒x 3622x m x x -+=--6=1x -m 2m =177x =【解析】【分析】本题考查分式方程，根据题意，按照该同学的解法解这个分式方程，将解代入，求出的值．再将值代入原方程，求出其正确的解即可．求出的值、掌握解分式方程的步骤是求解题的关键．【详解】解：由题意得，是该同学去分母后得到的整式方程的解，∴，解得：，∴．方程两边同乘以，得：，解得：，检验：当时，代入得：，∴是该分式方程正确的解．17. 先化简，再求值：（1），其中；（2），其中．【答案】（1）， （2），【解析】【分析】本题考查分式的化简求值：（1）先根据分式的加法法则，进行化简，再代值计算即可；（2）先根据分式的加法法则，进行化简，再根据，得到，代入计算即可．【小问1详解】解：=1x -m m m =1x -36x m -+=36x m -+=2m =32622x x x -+=--()2x -()3622x x -+-=177x =177x =()2x -1732077-=≠177x =221211a a a a a -+-+-2a =2224224n m mn m n n m n m +++--15m n =11a a +-322n m n m +-11915m n =5n m =221211a a a a a -+-+-，当时，原式；【小问2详解】，，，原式．18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-3，2），B （-1，4），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；（2）平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A 2B 2C 2；（3）若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．()()21111a a a a -=+--111a a a =+--11a a +=-2a =21321+==-2224224n m mn m n n m n m +++--()()()()()()()()2224222222n n m m n m mnn m n m n m n m n m n m -+=+++-+-+-()()22422422n mn mn m mn n m n m -+++=+-()()()2222n m n m n m +=+-22n m n m+=- 15m n =5n m ∴=∴1010119m m m m +=-=︒【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）．【解析】【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．【详解】解：（1）△A1B1C如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换．19. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A ，B ，C ，D 四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）求D 班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．【答案】（1）；（2）15人，见解析；（3）1520人【解析】【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）用选择环境保护的学生总人数减去A ，B ，C 三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境97.2保护的学生人数，进而补全折线图；（3）先求出四个班中选择文明宣传的百分比，用4000乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．【详解】解：（1）由折线图可得选择交通监督的各班学生总数为12+15+13+14=54人，在四个班人数的百分比为54÷200×100%=27%，扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数=；（2）由扇形统计图中选择环境保护的占30%，∴选择环境保护的学生人数为200×30%=60人，∴D 班选择环境保护的学生人数为60－15－14－16＝15（人），补全折线统计图如图；（3）四个班中选择文明宣传的学生人数所占百分比为1-30%-5%-27%=38%，该校4000人选择文明宣传的学生人数为：（人）．【点睛】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．20. 已知，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图①，B ，C 分别在射线、上，求作；（2）如图②，点是内一点，求作线段，使P 、Q 分别在射线、上，且点O 是的中点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】36027%97.2⨯= 400038%1520⨯=MAN ∠AM AN ABDC O MAN ∠PQ AM AN PQ【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．（1）分别以、点为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件；（2）连接，以点O 为圆心，为半径画弧，交延长线于点G ，再作，交于，连接并延长交于，则满足条件．【小问1详解】解：如图①，平行四边形为所作；∵，∴四边形为平行四边形；【小问2详解】图②，为所作．∵，，，∴，∴，即点是的中点．21. 2016年是中国工农红军长征胜利80周年，某商家用1200元购进了一批长征胜利主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于640元（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？【答案】（1）该商家购进第一批纪念衫单价是30元；（2）每件纪念衫的标价至少是40元．【解析】【分析】（1）设未知量为x ，根据所购数量是第一批购进量的2倍得出方程式，解出方程即可得出结论，此题得以解决．-B C AC AB D ABDC AO AO AO PGA OAN ∠=∠GP AM P PO AN Q PQ ABDC ,AB CD AC BD ==ABDC PQ POG QOA ∠=∠OA OP =PGA OAN ∠=∠()ASA OPG OQA ≌OP OQ =O PQ（2）设未知量为y ，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得出结论．【详解】（1）设该商家购进第一批纪念衫单价是x 元，则第二批纪念衫单价是（x +5）元，由题意，可得：，解得：x ＝30，检验：当x ＝30时，x （x +5）≠0，∴原方程的解是x ＝30答：该商家购进第一批纪念衫单价是30元；（2）由（1）得购进第一批纪念衫的数量为1200÷30＝40（件），则第二批的纪念衫的数量为80（件）设每件纪念衫标价至少是a 元，由题意，可得：40×（a ﹣30）+（80﹣20）×（a ﹣35）+20×（0.8a ﹣35）≥640，化简，得：116a ≥4640解得：a ≥40，答：每件纪念衫的标价至少是40元．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解决此类题的关键是要根据题意找出题目中的等量或不等量关系，根据关系列方程或不等式解决问题.22. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ，(1)求证：AE ＝CF ；(2)求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB =CD ，AB ∥CD ，然后可证明∠ABE =∠CDF ，再利用SAS 来判定△ABE ≌△DCF ，从而得出AE =CF ．（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB =∠CFD ，根据等角的补角相等可得∠AEF =∠CFE ，然后证明AE ∥CF ，从而可得四边形AECF 是平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD．1200280025x x ⨯=+∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE ≌△DCF （SAS ）．∴AE =CF ．（2）∵△ABE ≌△DCF ，∴∠AEB =∠CFD ，∴∠AEF =∠CFE ，∴AE ∥CF ，∵AE =CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质．23. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF ，根据平行四边形的性质得AB=DC ．利用“SSS”得△ABF ≌△DCE ．（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C ，从而得到一个直角，问题得证.【详解】（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ，∴BF=CE ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC．AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在△ABF 和△DCE 中，∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ，∴△ABF ≌△DCE ．（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B=∠C ．∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB ∥CD ．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴平行四边形ABCD 是矩形．24. 如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．（1）求直线的表达式；（2）求 C 、D 坐标；（3）在直线上是否存在一点 P ，使得 ? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．【答案】（1） （2）， （3）存在，或【解析】【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形折叠、面积的计算等，（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可得到直线的表达式；（2）由题意得：，故点，设点D 的坐标为，根据，即可得到m 的值；（3）由是的()()3004A B ，，，DAB AD AB DA 10PAB S = 443y x =-+()80C ，()06D -，()14-，()54，y kx b =+AB 5AC AB ==()80C ，()0m ，CD BD =，即可求解．【小问1详解】解：设一次函数表达式：，将点的坐标代入得：，解得：，故直线的表达式为：；【小问2详解】解：，，由题意得： ，，，故点，设点D 的坐标为：，，解得：，故点；【小问3详解】解：存在，理由如下：PAB BDP BDA S S S =- y kx b =+()()3004A B ，，，034k b b =+⎧⎨=⎩434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AB 443y x =-+()()3004A B ，，，5AB ∴=CD BD =5AC AB ==358OC OA AC ∴=+=+=()80C ，()0m ，CD BD = 4m\=-6m =-()06D -，设直线的表达式为，由点、的坐标代入得：，解得：，直线的表达式为：，，，，，，点P 在直线上，设，，解得：或5，即点P 的坐标为：或．25. 如图1，在ABC 中，BD 是AC 边上的中线，将DBA 绕点D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°） 得到DEA （如图2），我们称DEA 为DBC 的“旋补三角形”．DEA 的边EA 上的中线DF 叫做DBC 的“旋补中线”．AD 11y k x b =+()30A ，()06D -，111036k b b =+⎧⎨=-⎩1126k b =⎧⎨=-⎩AD 26y x =-()04B ，()06D -，10BD ∴=1103152ABD S \=´´= 10PAB S = DA (),26P a a -13102PAB BDP BDA S S S BD a \=-=´´-= 1a =()14-，()54，（1）在图2，图3，图4中，DEA 为DBC 的“旋补三角形”，DF 是DBC 的“旋补中线”．①如图2，∠BDE +∠CDA ＝ °；②如图3，当DBC 为等边三角形时，DF 与BC 的数量关系为DF ＝ BC ；③如图4，当∠BDC ＝90°时，BC ＝4时，则DF 长为 ；（2）在图2中，当DBC 为任意三角形时，猜想DF 与BC 的关系，并给出证明．（3）如图5，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝DA ＝6，BE ⊥AD ，E 为垂足．在线段BE 上是否存在点P ，使PDC 是PAB 的“旋补三角形”？若存在，请作出点P ，不需证明，简要说明你的作图过程．【答案】（1）①180；②；③2（2）；证明见解析 （3）存在．见解析【解析】【分析】（1）①依据，可得；②当为等边三角形时，可得是等腰三角形，，，再根据，即可得到中，，进而得出；③当时，时，易得，即可得到中，；（2）延长至，使得，连接，，判定四边形是平行四边形，进而得到，再判定，即可得到，进而得出；（3）延长，，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接、、，由定义知当，且时，是的“旋补三角形”，据此进行证明即可．【小问1详解】解：①∵∠ADE ＋∠BDC ＝180°，1212DF BC =180ADE BDC ∠+∠=︒180BDE CDA ∠+∠=︒DBC ∆ADE ∆120ADE ∠=︒30E ∠=︒DF AE ⊥Rt DEF ∆12DF DE =12DF BC ==90BDC ∠︒4BC =ADE CDB ∆∆≌Rt ADE ∆122DF AE =＝DF G FG DF =EG AG AGED BDC DEG ∠=∠DGE CDB SAS ∆∆≌（）BC DG =1122DF DG BC ==AD BC F BC PG BE P BC G PA PD PC PA PD PB PC ==，180DPA CPB ∠+∠=︒PDC ∆PAB ∆∴∠BDE ＋∠CDA ＝180°，故答案为：180；②当△DBC 为等边三角形时，BC ＝DB ＝DE ＝DC ＝DA ，∠BDC ＝60°，∴△ADE 是等腰三角形，∠ADE ＝120°，∠E ＝30°，又∵DF 是△ADE 的中线，∴DF ⊥AE ，∴Rt △DEF 中，DF ＝DE ，∴DF ＝BC ，故答案为：；③∵BD 是AC 边上的中线，∴，∵∠BDC ＝90°，∴ ，在△ADE 和△CDB 中，，∴△ADE ≌△CDB ，∴AE ＝BC ＝4，∴Rt △ADE 中，DF ＝AE ＝2，故答案为：2；【小问2详解】猜想：DF ＝AE ．证明：如图2，延长DF 至G ，使得FG ＝DF ，连接EG ，AG ，121212AD CD =90EDA BDC ∠=∠=︒AD CD EDA BDC DE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1212∵EF ＝FA ，FG ＝DF ，∴四边形AGED 是平行四边形，∴，GE ＝AD ＝CD ，∴∠GED ＋∠ADE ＝180°，又∵∠BDC ＋∠ADE ＝180°，∴∠BDC ＝∠DEG ，在△GED 和△CDB 中，，∴△DGE ≌△CDB （SAS ），∴BC ＝DG ，∴DF＝DG ＝BC ；【小问3详解】存在．理由：如图5，延长AD ，BC ，交于点F ，作线段BC 的垂直平分线PG ，交BE 于P ，交BC 于G ，连接PA 、PD 、PC ，由定义知当PA ＝PD ，PB ＝PC ，且∠DPA ＋∠CPB ＝180°时，△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∵∠ADC ＝150°，EG DA ∥DE BD GED CDB GE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1212∴∠FDC ＝30°，在Rt △DCF 中，∵CD ＝DCF ＝90°，∠FDC ＝30°，∴CF ＝2，DF ＝4，∠F ＝60°，在Rt △BEF 中，∵∠BEF ＝90°，BF ＝14，∠FBE ＝30°，∴EF ＝BF ＝7，∴DE ＝EF −DF ＝3，∵AD ＝6，∴AE ＝DE ，又∵BE ⊥AD ，∴PA ＝PD ，PB ＝PC ，在Rt △BPG 中，∵BG ＝BC ＝6，∠PBG ＝30°，∴PG ＝∴PG ＝CD ，又∵，∠PGC ＝90°，∴四边形CDPG 是矩形，∴∠DPG ＝90°，∴∠DPE ＋∠BPG ＝90°，∴2∠DPE ＋2∠BPG ＝90°，即∠DPA ＋∠BPC ＝180°，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．1212CD PG ∥。