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数学思想与方法综合作业数学是一门科学，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
数学思想与方法是数学学科的核心，它们的发展和应用对于推动科学技术的进步和社会发展具有重要意义。
本文将从数学思想和数学方法两个方面进行综合分析。
数学思想是指数学家们在研究和探索数学问题时所运用的一种思维方式和思考方法。
数学思想的发展与人类对数学问题的认识和理解密切相关。
数学思想的核心是抽象思维和逻辑推理。
抽象思维是一种将具体问题抽象化、理性思考的能力，它是发展数学思想和方法的基础。
逻辑推理是一种通过合理的推理和演绎得出结论的过程，它是数学思想和方法的重要途径。
数学思想的发展历程中，有很多具有代表性的思想，如无穷思想、几何思想、概率思想等。
这些思想的发展不仅推动了数学学科的进步，而且对其他学科的发展也产生了深远的影响。
数学方法是指数学家们在解决具体问题时所运用的一种方法和技巧。
数学方法的选择和运用是数学研究的关键，它直接决定了问题是否能够得到解决和解决的有效性。
数学方法的核心是分析和推理。
分析是一种通过分解问题、研究问题的各个方面来理解和解决问题的方法。
推理是一种通过逻辑推理和演绎推理得出结论的方法。
数学方法的发展历程中，有很多具有代表性的方法，如代数方法、几何方法、概率方法等。
这些方法在解决各种数学问题和实际问题中发挥了重要作用。
数学思想与方法的综合应用是数学学科的重要特点之一、数学思想和方法的综合应用是指在具体问题中运用数学思想和方法进行综合分析、综合运用的过程。
数学思想与方法的综合应用不仅要求数学家具备广博的数学知识和思维方式，还要求数学家具备跨学科的综合能力和解决实际问题的能力。
数学思想与方法的综合应用在科学技术的发展和社会经济的进步中发挥了重要作用。
例如，在工程建设中，运用数学思想和方法可以优化设计、提高效率；在经济决策中，运用数学思想和方法可以进行风险评估、优化资源配置等。
总之，数学思想与方法是数学学科的核心，它们的发展和应用对于推动科学技术的进步和社会发展具有重要意义。
小学数学中体现的数学思想与方法有哪些在小学数学中，体现了许多数学思想与方法，以下是其中一些例子：1.抽象思维：小学数学强调从具体的事物中提取共性、去除特殊性，实现抽象思维。
例如，学习数的运算时，通过将具体的事物抽象成数字，进行运算操作；学习几何时，通过将具体的图形抽象成几何形状，并进行相应的运算和推理。
2.归纳与演绎：小学数学通过归纳与演绎的方法培养学生的逻辑思维能力。
通过观察和总结，归纳出事物之间的规律，并进一步演绎出更一般的结论。
例如，学习数列时，通过观察数列中的规律，归纳出通项公式，从而推算出数列的任意项。
3.探究性学习：小学数学注重培养学生的探究精神和问题解决能力。
通过设计问题和情境，引导学生主动思考和探索。
例如，教学中可以使用教具和故事情境，让学生通过操作、实践和讨论解决问题。
这种学习方式能够激发学生的学习兴趣，增强他们的思考能力和创新能力。
4.决策与推理：小学数学通过决策问题和推理问题的解决过程，培养学生的逻辑思维和批判思维能力。
通过分析问题，寻找解决方案，并进行论证和验证。
例如，在解决实际问题时，学生需要选择合适的数学方法，进行计算和推理，从而得到正确的答案。
5.审美与美感：小学数学通过培养学生的审美意识，提高他们对数学美感的感知和理解能力。
例如，在几何学习中，学生通过观察和欣赏各种几何形状、图案和艺术作品，体验到数学的美妙和魅力。
6.适度抽象与形象思维：小学数学在引导学生进行适度抽象时，也注重发展形象思维。
通过使用具体的物体和图形，辅助学生理解数学概念、规则和运算。
例如，在学习分数时，可以使用物体的切割和图形的绘制，帮助学生形象地理解分数的概念和运算。
7.整体与部分：小学数学注重培养学生分析整体与部分之间的关系与变化的能力。
例如，在学习分数时，学生需要理解分数是整体与部分的关系，能够将一个整体分成几个相等的部分，并掌握分数的基本概念和运算规则。
以上只是一些例子，小学数学中还有许多其他数学思想与方法的体现。
数学思想和数学方法之建模思想数学思想是指在研究和应用数学过程中所运用的基本观念和方法，是指导人们进行数学研究和解决实际问题的思维方式。
而数学方法则是用于解决具体数学问题的具体工具和技巧。
建模思想是一种运用数学方法来描述和解决实际问题的思想。
数学建模是指将实际问题抽象为数学问题，通过建立适当的数学模型，运用数学方法进行分析和研究，得出解决问题的结论或建议。
其次，数学思想强调抽象思维和模型化。
建模的过程是将实际问题进行抽象，将问题中的主要因素和关系用数学符号和函数表示出来。
这样可以简化问题，减少复杂性，并使问题更具有一般性。
通过建立适当的数学模型，可以对问题进行深入的分析和研究，得出准确的结果。
另外，数学思想还强调创造性和想象力。
在建模过程中，有时会遇到一些复杂或新颖的问题，需要具备一定的创造性和想象力来解决。
这就要求数学思想不仅要求会运用现有的数学知识和方法，还要能够创造出新的数学方法和理论。
数学方法是数学思想在建模过程中的具体应用工具。
数学方法包括但不限于代数、几何、微积分、概率论、统计学等。
在建模过程中，需要根据具体的问题特点和要求选择适当的数学方法，并结合实际情况进行运用。
例如，对于一些形状规则的物体的体积计算问题，可以使用几何中的体积公式进行求解；对于一些由离散变量描述的问题，可以使用概率论和统计学中的方法进行研究；对于一些动态变化的问题，可以使用微分方程进行建模和分析等等。
数学方法的运用不仅要求准确性和有效性，还要求灵活性和创造性。
数学方法的选择和运用需要根据具体问题的特点和要求，有时需要结合不同的数学方法进行综合运用。
在实际建模中，还可以通过计算机辅助工具和数值计算方法来进行求解。
总结起来，数学思想和数学方法是数学建模的重要组成部分。
数学思想是指导人们进行数学研究和解决实际问题的思维方式，强调逻辑思维、抽象思维和创造性思维。
数学方法则是运用于解决具体数学问题的具体工具和技巧，包括代数、几何、微积分、概率论、统计学等。
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！常用的数学思想和方法一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．【特别提醒】1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。
数学的精神思想和方法总结数学的精神思想和方法是指数学学科的核心理念和解决问题的基本途径。
数学不仅是一门自然科学，更是人类思维的高度抽象和逻辑推理的最高形式之一。
数学的精神思想和方法包括系统性、抽象性、严谨性、实用性和创造性等方面。
接下来，我将从这些方面对数学的精神思想和方法进行总结。
首先，数学的精神思想和方法具有系统性。
数学是一个高度系统化的学科，它建立了严密的逻辑体系。
数学家们通过建立公理体系、定义符号和运算规则来描述和推理数学对象之间的关系。
这种系统性使得数学可以精确地描述和理解现实世界中的问题，并帮助我们从混乱的现象中找出规律和本质。
其次，数学的精神思想和方法具有抽象性。
数学从现实问题中抽象出一般性质和普适规律，通过构建模型和概念来描述和解释现象。
数学抽象的本质在于忽略掉问题中的具体细节，从更高的层次上探究问题的共性和本质。
这使得数学的成果具有普适性和可迁移性，能够为解决其他领域的问题提供有力的工具和方法。
第三，数学的精神思想和方法具有严谨性。
数学要求严格的逻辑推理和证明过程，对每一条结论都要给出明确的理由和依据。
这种严谨性保证了数学的准确性和可靠性。
数学家们常常运用数学推理法则，如演绎推理、归纳推理和逆推法等，来推导出新的数学定理和结论。
严谨性是数学的灵魂，也是数学能够在其他领域取得巨大成就的重要原因之一。
第四，数学的精神思想和方法具有实用性。
数学不仅是一门学科，更是一种实用的工具和方法论。
数学为其他学科和各行各业提供了丰富的分析和解决问题的思路。
在工程技术领域，数学有着广泛的应用，如物理建模、工程优化、通信传输和经济决策等。
数学的实用性使它成为现代社会不可或缺的一部分，推动了科技和社会的发展。
最后，数学的精神思想和方法具有创造性。
创造是数学的核心驱动力之一。
数学家们以独特的眼光和观点发现新的问题，提出新的猜想，并通过不断的实验和思考进行探索和验证。
数学创造的过程是一种思想的碰撞和启发的过程，需要不断地思考、质疑和突破。
小学数学与数学思想方法精选14篇小学数学与数学思想方法1一、积极研读数学教材，挖掘数学思想方法小学数学教师在进行备课的时候，不仅要将数学知识进行重点分析，并且还要对数学教材进行仔细钻研，创造性的将数学教材发展为挖掘数学思想方法的主要载体。
在课前备课的时候，小学数学教师要多问自己几个为什么，并且将教材内容积极转变为自己的教学思想，比如在学习用数对确定位置的一课的时候，数学教材中所呈现出的都是符号化思想，数学教师要从教材出发，不被教学目标所局限，将数学思想方法进行明确，并且创造性的使用数学教材，让学生能够对数对有所认识，能够开发其数学思维。
二、积极进行点拨，实现数学思想方法的应用（一）在探索知识发生中渗透数学思想方法一般而言，数学思想方法渗透在学生获得知识的整个过程之中，数学教师要积极引导学生对数学知识有所理解与掌握，让学生能够在观察、实验、分析中感受到知识背后所蕴含的思想内容，只有如此，才能让学生对内化知识充分掌握，才能从根本上提高其数学素养。
比如在学习《重叠》一节的时候，教师可以对学生提出问题：小明在前面数是第3个人，从后面数也是第三个人，这个队伍中一共有多少人？在对学生进行引导之后，让学生根据教材中的范例画出相应的集合图，并且根据学生所绘制的集合图深入讲解重叠的意义，让整个内容渗透集合思想。
这样一来，学生对知识点的渗透不仅实现了对应思想以及数学结合思想，并且数学方法中所存在的符号化思想则会进一步深化学生对重叠问题的思考与认识。
（二）在解题思路的探讨过程中融入渗透数学思想方法学生作为学习的主体，在整个学习过程中，教师作为引领者要引导学生积极参与其中，对所发现的问题进行解决。
其中，在小学数学学习中，解题是一项非常重要的活动形式，学生在解题的过程中，不仅是数学思想方法体验的过程，并且也是加深数学思想方法的过程。
比如在学习《圆的面积计算》中，小学数学教学可以积极转化教学思想，并在将圆的面积计算公式推算出之后，指导学生对阴影部分的面积进行思考，等到学生将问题思考结束之后，让学生对解题的思路进行明确，并且利用多媒体资料将阴影部分的三角形转移到上面，在经过多媒体技术的转移之后，帮助学生寻找到解题的方法，让学生能够对转化的思想有所认识。
数学的精神思想和方法数学的精神思想和方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的比较抽象，生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
以下是数学的精神思想和方法，欢迎阅读。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
数学思想与方法——综合作业作为一门科学，数学具有自己独特的思想方法。
数学思想是数学发展的指导思想和核心观点，是数学研究中的基本原则和方法。
数学方法是数学研究和解决问题的具体手段和技巧。
数学思想和方法相辅相成，对于数学学科的发展和应用具有重要的意义。
数学思想是数学发展的指导思想和核心观点。
数学思想以抽象、严密和统一为特点，突出了数学的逻辑性和内在结构。
其中，抽象是数学思想的重要特征之一、数学通过抽象来提取问题的本质特征，将具体的问题抽象为一般规律，进而研究和解决问题。
例如，数学中的代数思想就是将具体的数用符号表示，从而可以运用代数规律来解决更一般的问题。
另外，数学思想还体现了对逻辑的严密要求。
数学通过建立严密的逻辑体系，保证了数学推理的正确性和准确性。
此外，数学思想还追求统一，通过研究不同领域的数学，发现其中的共同特征和规律，从而形成统一的数学体系。
数学方法是数学研究和解决问题的具体手段和技巧。
数学方法是在数学思想指导下产生和发展的，具有灵活性和可操作性。
数学方法可以分为数学推理和数学计算两个方面。
数学推理是数学研究中的重要方法，它通过逻辑推理和严谨证明，从已知的定理出发，推导出新的结论，拓展数学的领域。
数学计算是数学研究和解决问题的基础手段，包括算术、代数、几何和概率等方面的计算方法。
数学计算方法的灵活运用，可以为数学问题的解决提供便利和思路。
数学思想和方法相辅相成，对于数学学科的发展和应用具有重要的意义。
数学思想提供了数学发展的指导和方向，使数学具有内在的连贯性和统一性。
数学方法则为数学的研究和应用提供了具体的手段和技巧，拓展了数学的应用领域。
数学思想和方法的相互作用和结合，推动了数学学科的发展和进步。
总之，数学思想和方法是数学学科的重要组成部分。
数学思想以抽象、严密和统一为特点，指导和推动着数学的发展。
数学方法是数学研究和解决问题的具体手段和技巧，为数学的应用提供了基础。
数学思想和方法的相互作用，推动了数学学科的发展和应用。
数学方法与思想方法数学方法与思想方法数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。
以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！初中数学常见的思想方法1初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．（3）分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．（4）函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（1）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（2）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（3）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
常用的数学思想方法有哪些数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
<一>常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；<二>常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。
<三>数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。
函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础。
运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 。
引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
数学方法与数学思想编辑点评：该文谈悖论，但并不是面面俱到地谈悖论，而是专门谈悖论在三次数学危机中的作用，不但主题鲜明、集中，而且由于三次数学危机在数学史中的地位，文章的选题就也显得非常重要。
作者对悖论与三次数学危机的关系，有比较准确、深入的理解；又查阅了大量的文献，用自己的语言组织成文，文字通顺，脉络清晰，繁简得当，论述到位。
读者从这篇文章中，不仅能够了解什么是悖论，还能够了解什么是历史上的三次数学危机；不仅能够了解悖论在其中的作用，而且能够了解危机的解决对推动数学发展的作用；所以，本文有相当的可读性，是一篇优秀的论文。
悖论在三次数学危机中的作用王子珺（数学科学学院 统计学系 0510162）摘 要：本文介绍了悖论在推动数学发展过程中的贡献，主要关注悖论引发的三 次数学危机，以及研究悖论的重要意义。
关键词：悖论；数学危机1 什么是悖论有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。
悖论——paradox 来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。
悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，也可以证明它是假。
《辞海》中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。
即如果你假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导可以得出该命题是假的；反之如果假定命题为假，则又能同样合理地推出命题为真。
这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。
每一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这个新理论向前推进。
随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。
悖论当然也具有非常重要的数学意义。
从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起了巨大的推动作用。
这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是它们造成了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。
2 希伯斯悖论——第一次数学危机公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。
在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。
由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比，而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。
这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。
然而，正是这个在当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。
毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即2为无理数的证明）。
这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不可以被整数或其比所表示，这是违背了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错误”结论。
这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进地中海。
尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。
希伯斯的问题导致了数学史上第一个无理数2的诞生。
它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击，从而导致了第一次数学危机。
在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数的基础理论。
为解决这一问题，人们把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。
直到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。
它在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。
这次危机也使得人们感到几何应占有特殊地位，几何越来越受重视，欧氏几何学直至笛卡尔(Descartes)解析几何应运而生。
著名的《几何原本》也是在这时诞生的。
同时，人们明白了直觉和经验不一定靠得住，而步骤严谨的推理证明才是可靠的。
由此，严密的逻辑推理证明成为今后解决数学以及其他各门学科问题的重要方法并沿用至今，古典逻辑也由此而生。
而且，在解决这一问题的过程中，必然涉及到无限、极限和连续，而这些概念恰恰又是现代数学分析的基础。
因此可以说，正是希伯斯悖论的解决，“万物皆数”理论的崩溃，才隐约显现出现代数学分析的萌芽，希腊数学也成为了现代数学的始祖。
在无理数引进后，人们越来越觉得还有其它形式的数存在，随着数学与其它学科的不断发展，又逐步引入了虚数、负数、无穷小、无穷远点等。
这些量的引入也曾一度引发了不小的混乱，尤其无穷小量的使用，更是掀起了轩然大波，激起了众多人的怀疑与批判，甚至引发了第二次数学危机。
3 贝克莱悖论——第二次数学危机在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立微积分学的时期，尽管它的成果丰硕, 但其理论基础相当薄弱，出现了越来越多的悖论，常常有不能自圆其说的情况。
更由于十八世纪时的西方数学观念主要渊源于古希腊文化，如上所说，此时的科学家已非常注重推理逻辑的严密性；但是微积分学中对于无穷小量的应用却是完全建立在使用的有效性之上，更多人是将无穷小量作为一种解题技巧来使用而不去研究其严密性。
因此，微积分学中的逻辑严密性遭到了当时不少人的猛烈抨击，如贝克莱（Berkeley）、格兰弟（Grandi）以及芝诺(Zeno)等人。
其中著名的唯心主义哲学家贝克莱主教提出的悖论，是对基础有缺陷的微积分学最强有力的批评。
贝克莱不仅是一位哲学家，而且他精通数学，为了维护宗教利益，他挑出了当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击，并曾在他的著作《分析学者》一书中专门批评了牛顿的求导过程不正确。
牛顿在求y=x 3这个函数的导数时，由y=(x+Δx)- x 得到Δy=3x 2+3x Δ2Δ3,后再除以Δ33Δx x +x 然Δx 得到，x y ΔΔ=32+3x x Δx+Δx 2，后令Δx=0，得函数y 的导数最求x y ΔΔ=3x 2。
克批评在此过程中，贝莱Δx 一会不等于0，一会又等于0，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数x y ΔΔ作为y x 消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就只不过是“消失了的量的鬼魂”，不具有任何逻辑意义。
与上面的这个问题就是著名的“贝克莱悖论”，其核心就是x 的无穷小的增量x 究竟是否等于0。
从无穷小量在运算过程中的使用来看，要作为除数它必须不是0，但最后又要把它当作是0而忽略。
但从一般人的认知上讲，是0或非0的确是一个矛盾。
这一悖论的提出在当时的数学界乃至整个社会都引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
Δ贝克莱所谓的“消失了的量的鬼魂”，显然是过分之词。
但不得不承认，他提出的问题准确地抓住了当时的微积分理论概念不清晰、运算缺乏严密逻辑基础的弊病，正对准了微积分学最薄弱的地方。
他坚持：微积分学的发展包含了偷换假设的逻辑错误。
尽管当时的很多科学家都曾试图解决这个悖论所提出的问题，但由于微积分学的理论基础实在太薄弱了，大多数人都没有很大的进展。
于是后来的更多科学家不顾基础的严密与否，而是转向研究微积分学的上层分支，并且也得到了一系列重要成果。
与贝克莱同一时期，意大利修道士格兰弟对级数的收敛、发散含糊不清的情况提出的悖论“从虚无创造万有”，即无穷级数x=1-1+1-1+…的求和问题，也是第二次数学危机的主要导火线。
一方面，无穷级数x=(1-1)+(1-1)+…=0；另一方面，x=1-(1-1)-(1-1)-…=1。
由上可以得出0=1，在等式两边同乘任何数，就得到0=任何数，于是格兰弟称从虚无(0)创造万有(任何数)。
第二次数学危机的另一导火线当然还包括著名的古希腊诡辩家芝诺提出的四大悖论，它们是对于微积分中连续与离散以及无穷小的逻辑意义提出的问题，在此就不一一列举了。
经过多年无数杰出学者的努力，特别是著名数学家柯西(Cauchy)的出现，重建微积分学的严密逻辑基础这项重要而困难的工作终于基本完成了。
极限的ε-δ方法、建立在实数理论之上的极限理论，康托尔集合论的创立，宣布了第二次数学危机的基本解决。
微积分的确立，清楚地表明了代数运算的优越性及其解决当时的科学问题的有效性和广泛性，并使得人们最终接受了微积分提供的思维意义上的概念和计算方法。
随着微积分的建立，也给数学带来一个巨大的繁荣，逐渐建立起了常微分方程、偏微分方程、变分学、积分方程、无穷级数、复变函数与复分析、泛函分析等数学分支。
可以说：微积分，带给了数学世界一个辉煌的时代，而对诸多悖论的研究，带给了微积分坚实的基础。
但令人遗憾的是，无论是微积分学还是非欧几何的真理性，都被归结于实数理论的无矛盾性。
这是第二次数学危机遗留下的一个尾巴。
从某个方面讲，这也为第三次数学危机留下了隐患。
4 罗素悖论——第三次数学危机1874年，德国数学家康托尔(Cantor)创立了一门崭新的数学分支——集合论，它可以算是最基础的数学学科。
说得大一点，它不仅是一切数学的基础，而且还是其它科学的基础。
但集合论的严密性受到了一部分数学家的怀疑，其中包括一位英国哲学家罗素(Russell)。
他苦思冥想了三年，终于找到了一个证明自己观点的简单明确的表达方式——罗素悖论。
罗素悖论也称罗素——策墨罗(Zermelo)悖论，因为策墨罗也曾同时独立的发现了它。
它基于康托尔集合论中的定义：一个元素要么属于某集，要么不属于它。
罗素悖论叙述如下：集合可分为两种：一种是本身分子集的（自谓的），比如“一切集合组成的集合”也是一个集合，所以它必为该集合自身的一个元素，所以是一个本身分子集；第二种是非本身分子集，比如自然数集绝不是某个自然数，既非自谓的。
这样一来任给一个集合，它不是本身分子集就是非本身分子集，二者必居其一。
现在设A是一切非本身分子集之集，试问A是哪一种集合？事实上，若假设A是一个本身分子集，则A为自身的一个元素，而A中每一个元素皆为非本身分子集，故A亦为一个非本身分子集。
与假设矛盾。
若假设A是一个非本身分子集，则由A的定义知A∈A，故这恰符合本身分子集的定义，所以A又是一本身分子集。
又与假设矛盾。
总之，这与“A应该二者必居其一”矛盾。
