2021年高二下学期数学(理)周测试卷(2)

1河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. 1B. 2D. 52. 若函数，则的值为（）A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）A. 、、都不小于B. 、、都小于C. 、、至多有一个小于D. 、、至多有两个小于4. 已知，若a ，b ，，且，，，则的值（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定.5. 若离散型随机变量X 的分布列如表所示，则a 的值为（）X 12PA.或 B.C.D. 6. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）A. 68B. 68.3C. 68.5D. 707. 下列说法错误的是（）()1,2-z =()()2121262f x f x x '=-+-()2f '-2468a b c 6a b c ++=a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2()32f x x x =+R c ∈0a b +<0a c +<0b c +<()()() f a f b f c ++41a -23a a+132-132-120.6754.9y x =+2A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好C. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，则D. 对于独立性检验，随机变量的观测值k 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大8. 在一组样本数据，，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. 1B.C.D. 9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A 表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B 表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（）A.B.C.D.10. 已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D. 11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A. B. C. D. 12. 已知函数，，若，则的最小值是（）A. B. 0C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.2R 2R 35ζ7(2)1E ζ+=2K 11(,)x y 22(,)x y L (,)n n x y 2n ≥1x 2x n x (),i i x y ()1,2,,i n = 32y x =-+1-1515-()|P B A =172718383239,0(),0xx x x x f x xe x -⎧--≤=⎨->⎩()y f x a =+1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,5e⎛⎫- ⎪⎝⎭15,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭64111560144026402160()e xf x x =()lng x x x =()()(0)f a g b t t ==>1ln tab -21e -1e-32e -y x =2y x =()95,100N 100003则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.（参考数据：，）15. 若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.三､解答题：共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或验算步骤.17. 已知复数z 满足.（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.用数学归纳法证明：．19. 已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.20. 已知函数.（1）当时，求该函数在点处的切线方程；105()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈(3)(1)(1)(2)4ln(31)]4ln 4y x x x x x x =--++++-()1,02x ay =+=a n 0123L ()na b +{}n a 11a =211a =+312a =+L {}n a n n S 20243a m =+2022S =()13i i z +=+z ()2i z a +()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈2nx ⎛⎝()()221ln af x x a x x=-+-1a =11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4（2）讨论函数的单调性.21.某工厂生产一种产品测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c ､d 为大于0的常数），求y 关于x 的回归方程；（2）已知产品的收益z （单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x 约为何值时（结果用整数表示），收益z 的预报值最大？附：（1）参考数据：，，，.（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.22. 已知函数，其中.（1）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，当时，证明：.()f x ()mm x ()g y yx()g y ()mm x dy c x =⋅20.32z y x =-()61ln ln 75.3i i i x y =⋅=∑()61ln 24.6i i x ==∑()61ln 18.3i i y ==∑()621ln 101.4i i x ==∑(),i i v u (1,2,,)i n = u bv a =⋅+ ()()()1122111ˆnniii i i i nnii i v v uu v unvu b v v vnv====---==--∑∑∑∑ˆˆau bv =-e 2.7182≈21()e 312xf x ax ax =+++a ∈R [)1,-+∞()f x 12,x x 12x x <2131339x x +≤≤+1252ln36ln362x x ≤-≤+-。

江苏省2021年高二下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集为实数集R，集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数（是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）A . 4B . 6C . 2D . 33. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 已知集合，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·四川模拟) 已知命题p：“ ，”，则命题为（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分） (2020高二下·徐州月考) 函数在有极值10，则（）A . 0B . 0或C .D . 76. （2分）如图，三行三列的方阵中有九个数（i=1,2,3；j=1,2,3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·南昌期末) 设f（x）为定义在R上的奇函数，且是周期为4的周期函数，f（1）=1，则f（﹣1）+f（8）=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 18. （2分） (2019高二上·奉新月考) 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·太原期中) 偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（）A . （﹣1，0）∪（0，1）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）D . （﹣1，0）∪（1，+∞）10. （2分）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）A . 15B . 45C . 60D . 7511. （2分） (2020高二下·滨海新月考) 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·和平期中) 已知、是方程的两根，则等于A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·仙游期末) 某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．（参考公式：b= ）14. （1分）（x﹣）6的展开式中，系数最大的项为第________项．15. （1分） (2017高一上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．16. （1分）曲线y=x3在点（0，0）处的切线方程是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间。

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．复数112izi-=+（i为虚数单位）的共轭复数是A．135i+B．135i-+C．135i-D．135i--【答案】B【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【详解】1i13i12i5z---==+，故z的共轭复数13i5z-+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（）A．事件“都是红色球”是随机事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一个白色球”是必然事件D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件【答案】C【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．故选：C3．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（）A ．3ln 2y x =+B ．3e 1x y =-C ．322y x =-+D ．1210y x =+ 【答案】C【分析】有散点图可知y 与x 负相关，结合选项的单调性可得.【详解】由散点图可知，y 与x 负相关，易知，当0x >时，函数3ln 2y x =+单调递增，故A 错误；因为函数3e 1x y =-和1210y x =+单调递增，故BD 错误. 故选：C ．4．由曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积等于（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【分析】根据所围成图形用定积分可求得阴影部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．【详解】曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积，22001cos sin |S xdx x ππ===⎰，故选：A ．5．冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自1924年起，每四年举办一届．第24届由中国2022年2月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共15个比赛项目．为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A．甲社团众数小于乙社团众数B．甲社团的极差大于乙社团的极差C．甲社团的平均数大于乙社团的平均数D．甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】C【分析】分析两社团的众数得大小，判断A;计算出两社团的极差，判断B；算出两社团的平均数，判断C，分析两社团频数的波动性，判断D.【详解】A选项，甲社团众数为2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲社团极差为3，乙社团的极差为2，所以B正确；C选项，甲社团平均数为223254337++++++=，乙社团的平均数为223433437++++++=，故两社团平均数相等，所以错误；D选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方差大于乙社团方差，D正确，故选：C．6．已知x y ，之间具有线性相关关系，若通过10组数据（i x ，i y ）（i =1，2， (10)得到的回归方程为ˆ 2.15yx =-+ ，且10120i i x ==∑，则101i i y =∑=（ ） A ．8 B ．0.8 C ．-2 D ．-2.1【答案】A【分析】依据回归方程ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ，即可求得101i i y =∑的值． 【详解】依题意知，20210x ==， 因为回归方程为ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ， 所以可以计算出： 2.1250.8y =-⨯+=， 所以101100.88i i y ==⨯=∑，故选：A ．7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．480种 B ．336种 C ．144种 D ．96种【答案】B【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：1545A A ，“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：142342A A A ，所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：1514245342A A A A A 336-=.故选：B8．A ，B ，C 三名员工在参加了公司的某项技能比武后，都知道了自己的和他人的名次（无并列名次），随后A ，B ，C 三人一起到了车间告诉主管比赛的成绩，A 说：我不为第1名；B 说：A 没说谎；C 说：我不为第3名，公司公布了三人的名次后主管发现：B 说了假话，C 说了真话，则A ，B ，C 的比赛名次依次为（ ） A ．1，2，3 B ．1，3，2C ．2，3，1D ．3，2，1【答案】B【分析】根据主管发现B 说了假话，可知A 说谎了，从而判断A 的名次，根据C 说了真话可判断C 的名次，进而判断B 的名次.【详解】因为B 说：A 没说谎，又主管发现B 说了假话，所以A 为说谎者，所以A 为第1名．又C 说：我不为第3名，且已知C 说了真话，所以C 为第1名或第2名，又A 为第1名，所以C 为第2名， 从而B 为第3名， 故选：B ．9．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为A ．3761()2C B ．2741()2A C ．2741()2C D ．1741()2C 【答案】B【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B.【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.10．定义1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()int x 为不超过x 的最大整数，例如()int 3.13=，()int 11=，()int 1.62-=-，若区间[],m n （n m -为正整数）在数轴上任意滑动，则区间[],m n 取盖数轴上整数的个数为（ ） A ．()()()1int sgn n m n n -+-- B ．()()()int sgn n m n n -+- C ．()()()1sgn int n m n n -+-- D ．()()()1sgn int n m n n -++-【答案】C【分析】先分析出区间[],m n 上整数的可能个数，结合sgn()x 与()int x 的定义可得答案.. 【详解】因为n m -为整数，所以当n 为整数时，m 也为整数，所以此时[],m n 覆盖数轴上1n m -+个整数， 当n 不是整数时，m 也不是整数，所以此时[],m n 数轴上覆盖n m -个整数.可以验证：区间[],m n 覆盖数轴上整数的个数为()()–1sgn i )t (n n m n n +--， 故选: C.11．用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．316【答案】D【分析】求得每个顶点各有四种涂色方法总数为256n =，再求得 “恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m ，结合古典摡型的概率公式，即可求解. 【详解】用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色， 基本事件总数44256n ==，恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数111443C C C 48m ==，则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为48325616m p n === 故选：D.12．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数()0122k a a a a ⋯(*k N ∈）对应的十进制数记为k m ，即1001122...22k k k k k m a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ，其中01a =， {}01123i a i k ∈=⋯，（，，，，），则在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数0182(...)a a a 对应的十进制数的总和为（ ） A ．1910 B ．1990 C ．12252 D ．12523【答案】D【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得 8760812812222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ，因为在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的有28C =28种可能，即所有符合条件的二进制数()01282 a a a a ⋯ 的个数为28．所以所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和中，82出现28C =28次，72，62…，2，02均出现27C =21次，所以满足0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和为27602878C 2+2+...+2+2+C 2=21255+28256=12523⨯⨯（）故选：D ．二、填空题13．若一组观测值()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （10n ≥）对应的点位于同一直线上，则x ，y 的相关系数为______． 【答案】±1【分析】根据相关系数的定义可得答案.【详解】由已知条件和相关系数的定义得，x ，y 的相关系数为±1． 故答案为：±114．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式子中各项系数之和为___________．【答案】1【分析】求二项展开式中各项系数之和，令1x =代入运算求解．【详解】令62112x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，的展开式中各项系数之和为621211⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=1 故答案为：1.15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______．【答案】262n n -+ 【分析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详解】依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【分析】整体代换求解直线l 的解析式，利用导数的几何意义求解函数43e x y -=的图象上到直线l 距离最短的点，即为点P ，即可求解,P Q 两点间的最短距离. 【详解】解：令1t x =-，则1x t =+，4341e =e x t y -+=，ln(1)1ln 144x t y ---==． 因为41e t y +=与ln 14t y -=关于直线y t =对称， 所以函数43e x y -=与函数ln(1)14x y --=关于直线1y x =-对称， 所以P ，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线1y x =-距离最小值的2倍， 函数43e x y -=在00(,)P x y 点处的切线斜率为0434e x k -=， 令0434e 1x -=得，032ln 24x -=，014y =， 所以点P 到直线1y x =-距离的最小值为d ==所以这两点之间距离的最小值为)1ln 222d +=．故答案为：ln 2)2+.三、解答题17．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩ 解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标是否“质量优等”进行测量，由测量结果绘成如下频率分布直方图． 其中质量指数值分组区间是 [20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．当指标测量值不低于35时，记为“质量优等”.(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关； 甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计(2)在乙种有机肥料的测试中，根据数据分析，可以认为质量指数值Y 服从正态分布(,)N μσ，其中μ近似等于样本平均数x ， 5.6σ≈．请估计质量指数值落在区间（38.1，49.3）内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代替））附∶ ①()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++②若Y 服从正态分布(,)N μσ，则()0.683P Y μσμσ-<<+=，(22)0.954P Y μσμσ-<<+=，(33)0.997P Y μσμσ-<<+=．【答案】(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关 (2)0.157【分析】（1）根据直方图先求得“质量优等”的频率，然后不全列联表，结合独立性检验公式，即可求解（2）根据直方图先求平均数，然后结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】(1)由直方图可知，使用甲有机肥料的“质量优等”频数为(0.1100.010)510060+⨯⨯=，使用乙有机肥料的“质量优等”频数为(0.0400.020)510030+⨯⨯=， 由上可得2⨯2列联表为()()()()()()2222004200120018.18210010011090n ad bc x a b c d a c b d -⨯-==≈++++⨯⨯⨯2 10.8280.001P x ≥≈（）∴有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关(2)22.50.127.50.232.50.437.50.242.50.132.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=于是Y 近似服从正态分布2(32.5,5.6)N由题知，(38.149.3)(3)P Y P Y μσμσ<<=+<<+1[(33)()]2P Y P Y μσμσμσμσ=-<<+--<<+ 1(0.9970.683)0.1572=-=19．设关于某产品的明星代言费x （百万元）和其销售额y （千万元），有如下表的统计表格：i 1 2 3 4 5 合计 ix （百万元）1.261.441.591.711.827.82iw （百万元）2.00 2.99 4.02 5.00 6.03 20.04iy （百万元）3.204.80 6.50 7.508.00 30.001.56x =， 4.01w =，6y =，5148.66i i i x y ==∑，51132.62i i i w y ==∑，()5210.20i i x x=-=∑，()52110.14i i w w=-=∑表中3(1,2,3,4,5)i i w x i ==．(1)在坐标系中，作出销售额y 关于广告费x 的回归方程的散点图；(2)根据散点图指出：ln y a b x =+，3y c dx =+哪一个适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归方程（不需要说明理由），并求出此回归方程．附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()211niii ni iu v uun u vβ==-⋅-⋅=⋅∑∑，v u αβ=-．【答案】(1)答案见解析(2)3y c dx =+适合，31.15 1.21y x =+【分析】（1）根据表中的数据，在坐标系中作出散点图即可；（2）根据散点图可看出销售额y 关于明星代言费x ，呈指数形式增长，故3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程，利用最小二乘法求回归方程即可. 【详解】(1)解：散点图如下：(2)根据散点图可知，3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程； 令3w x =，则y c dw =+是y 关于w 的线性回归方程，由已知条件得，()515215 1.21iii ii w y w yd w w ==⋅-⋅⋅==-∑∑，1.15c y d w =-⋅=，所以31.15 1.21 1.15 1.21y w x =+=+，故回归方程为：31.15 1.21y x =+20．如图，曲线BRA 是一段二次函数的图象，B 在y 轴上，A 在x 轴上，R 为抛物线段上一动点，以R 为切点的抛物线的切线与x 轴交于P 点，与y 轴交于Q 点，已知抛物线段上存在一点D 到x ，y 轴的距离分别为32，12，且OA ＝1，OB ＝2．过B 作BC x ∥轴，与PQ 交于C ．(1)求抛物线段BRA 的方程；(2)求图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y 轴的距离．【答案】(1)()22201y x x =-≤≤2【分析】（1）根据题意可得1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线方程上，待定系数法求解抛物线方程即可；（2）设()200,22R x x -，利用导数求解直线PQ 的方程，进而得到,C P 坐标，即可求得四边形OBCP 的面积，x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，利用基本不等式求解四边形OBCP 的面积最小值即可.【详解】(1)解：设抛物线段BRA 的方程为()20y ax bx c a =++≠，由已知得，1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入()20y ax bx c a =++≠得，23112420c a b c a b c -=⎧⎪⎪-=++⎨⎪=++⎪⎩，解得202a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以抛物线段的方程为()22201y x x =-≤≤.(2)解：设R 点到y 轴的距离为()00(0,1)x x ∈，由已知得，()200,22R x x -，则PQ 的斜率为()200224x x '-=，所以PQ 的方程为()()2000224y x x x x --=-，令0y =得，00122x x x =+，即001,022x P x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令2y =-得，02x x =，即0,22x C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，所以图中阴影部分的面积取得最小值等价于直角梯形OBCP 的面积S 取得最小值．四边形OBCP 的面积为0000122212222x xx OP BC S OB x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为()00,1x ∈，所以0012S x x ≥=+= 当且仅当0012x x =，即0x = 所以图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y轴的距离为2. 21．刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A ，B ，C 三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A ，B ，C 三类题出现“优秀”的概率依次分别为45，34，23.(1)记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X ，求X 的分布列与数学期望； (2)小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，13360； (2)328625. 【分析】（1）求出X 的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用对立事件概率、独立重复试验的概率列式计算作答. 【详解】(1)依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3，11114111311123(0),(1)5436054354354320P X P X ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，431412132134322(2),(3)543543543305435P X P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望为13132133()0123602030560E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)由（1）知，小张每次获得200分的概率为25，设小张获得200分的次数为Y ，于是得041344323328(2)1(1)1(0)(1)1C ()C ()()555625P Y P Y P Y P Y ≥=-≤=-=-==--=，所以4次中至少有2次获得200分的概率为328625. 22．已知函数()21e 2x f x x =-，()()1R g x ax a =+∈．(1)求()f x 的图象在x =0处的切线方程；(2)当[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．（结论：当1a > 时，函数e x y x a =--在[)0,∞+上存在唯一的零点） 【答案】(1)1y x =+ (2)(],1-∞【分析】（1）求出函数的导数，从而求出切线的斜率，根据导数的几何意义即可求得答案;（2）构造函数()()()h x f x g x =-，将[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立的问题，转化为函数的最值问题，进而求出函数导数，根据导数的最值，分类讨论，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，解得答案.【详解】(1)()e xf x x '=-，所以切线的斜率为()01,(0)1f f '==，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()()00y f f x '-=，即1y x =+；(2)令()()()h x f x g x =-，所以21()e 12x h x x ax =---，所以，()e x h x x a '=--，设()e ,()e 1x x m x x a m x '=--∴=-， 因为[)0,x ∈+∞，所以()0m x '≥，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增，所以()()01h x h a ''≥=-，当1a ≤时，()10h x a '≥-≥，所以21()e 12xh x x ax =---在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以当[)0,x ∞∀∈+，()()f x g x ≥成立；当1a >时，因为()e x h x x a '=--在()0,∞+上存在唯一的零点，不妨设为0x ，又()h x '的导函数为e 10x -≥在[)0,∞+上恒成立，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增， 所以[]00,x x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]00,x 上单调递减，所以()()000h x h <=， 即当1a >时，存在()00,x ∈+∞，()()00f x g x <，与题意不符， 所以a 的取值范围为(],1-∞.。

2021-2022学年高二数学下学期暑假巩固练习7 随机变量及其分布（二）一、单选题．1．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为,X Y ，已知,X Y 均服从正态分布，()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B ．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C ．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D ．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）A ．12164320C C CB ．21164320C C C C ．21316416320C C C C +D ．343201C C -3．已知随机变量X ，Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则()E Y ，()D Y 分别为（ ）A ．6，24．B ．6，56．C ．2，24．D ．2，56．4．已知两个正态密度函数()()()222,1,2x i i i x x i μσϕ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>5．在()*n n ∈N 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C 三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4B ．4：4：3C ．3：3：2D ．2：2：16．考察下列两个问题：①已知随机变量(),XB n p ，且()4E X =，()2D X =，记()1P X a ==；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记()|P A B b =，则（ ）A ．311,22a b ==B ．4211,22a b ==C ．511,22a b ==D ．6211,22a b ==7．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ） A ．Mn N⋅B ．N MnN- C ．()1M n N-⋅D ．()1N Mn N--⋅8．设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是05．， 则()01P ξ<<≈（ ） 附：若()2,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈．A ．01587．B ．01359．C ．02718．D ．03413．二、多选题．9．下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A ．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB ．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC ．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD ．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X10．一个口袋内有12个大小、形状完全相同的小球，其中有n 个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于827，则n 的值可能为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．811．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中1次的概率为8081，则下列结论正确的是（ ） A ．该射手第一次射击命中的概率为13 B ．该射手第二次射击命中的概率为23C ．该射手4次射击中恰好命中1次的概率为881 D ．该射手4次射击中至多命中1次的概率为1912．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>-> B ．()()()210P a P a a ξξ<=<-> C ．()()()120P a P a a ξξ<=-<> D ．()()()10P a P a a ξξ<=-≥>三、填空题．13．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()31P P ξξ>=<，则μ=______．14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取()*k k ∈N 包食品，并测量其质量（单位：g ）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布()2,N μσ．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k 包食品中其质量在(3,3)μσμσ-+之外的包数，若ξ的数学期望()0.05E ξ>，则k 的最小值为________．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．15．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图所示的为一幅唐朝的投壶图，假设甲､乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲､乙每次投壶投中的概率分别为11,23，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜的概率为_________．四、解答题．16．网上购物已经成为一种重要的消费方式．某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人．经统计得到如下表格：若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率．（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X，求X的分布列及期望．17．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．（1）求甲恰有2个题目答对的概率； （2）求乙答对的题目数X 的分布列；（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．18．口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器．独奏口琴有三种，分为半音阶口琴(有按键)、复音口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴)．“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查．“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间x 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在[0.5,1.5)和[5.5,6.5)内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设Y 表示抽取的4人中练琴时间在[5.5,6.5)内的人数，求Y 的分布列和数学期望．参考数据：样本方差21.78s =43≈，()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，330.997()3P X μσμσ-<≤+=．参考答案一、单选题． 1．【答案】C【解析】由随机变量,X Y 均服从正态分布，()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ， 结合正态概率密度函数的图象，可得12μμ=，12σσ<，即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性， 故选C ． 2．【答案】D【解析】全部都是二等品的概率为34320C C ，故至少有1个是一等品的概率为343201C C -，故选D ． 3．【答案】C 【解析】∵()10,0.6XB ，∴()100.66E X =⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． ∵8X Y +=，∴8Y X =-，∴()()()882E Y E X E X =-=-=，()()()8 2.4D Y D X D X =-==， 故选C ． 4．【答案】A【解析】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<， 故选A ． 5．【答案】C【解析】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15， 设事件A ，B ，C 发生的次数分别为随机变量,,X Y Z ，则有：2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为625n ，625n ，425n ， 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为3:3:2，故选C ． 6．【答案】C 【解析】问题①，由()()()412E X np D X np p ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则()171885118112222a P X C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．问题②，根据题意，事件B 的可能情况有()123212n B C =⨯=种， 事件AB 发生的可能情况为()33n AB A =种，所以，()()()331231|22n AB A b P A B n B C ====⨯．故选C ． 7．【答案】B【解析】由题意，有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品， 则抽到正品数X 服从超几何分布，所以抽到的正品数的数学期望值是()N MD X n N-=⋅，故选B ． 8．【答案】B【解析】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，∴()440∆ξ=-⨯-<，∴1ξ<-．又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是05．，∴()10.5P ξ<-=．由正态曲线的对称性知1μ=-， ∴()1,1N ξ-，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=， ∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈，∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦()10.95450.68270.13592≈⨯-=， 故选B ．二、多选题． 9．【答案】CD【解析】AB 是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB 不符题意；CD 符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布， 故选CD ． 10．【答案】ABC【解析】设每次取到红球的概率为()01p p <<，由题意得()22248C 127p p ->，即()219p p ->，解得1233p <<， 因为12np =，所以()124,8n p =∈，所以5n =或6或7， 故选ABC ． 11．【答案】BCD【解析】设该射手命中的概率为p ，则至少命中1次的概率为()4801181p --=，解得23p =， 则该射手每一次射击命中的概率都为23，故A 错误，B 正确； 该射手4次射击中恰好命中1次的概率为3142133C ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭881=，故C 正确；该射手4次射击中至多命中1次的概率为41813819⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故D 正确，故选BCD ． 12．【答案】BD【解析】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以A 不正确； 因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()()()()1P a P a P a P a P a P a ξξξξξξ=<-<-=<->=<--<()21P a ξ=<-，所以B 正确，C 不正确；因为()()1P a P a ξξ<+≥=，所以()()()10P a P a a ξξ<=-≥>，所以D 正确，故选BD ．三、填空题． 13．【答案】2【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ， 所以正态密度函数图象关于x μ=对称， 因为()()31P P ξξ>=<，所以3122μ+==， 故答案为2． 14．【答案】19【解析】依题意(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈，所以在(3,3)μσμσ-+之外的概率10.99730.0027P =-=， 则(),0.0027B k ξ，则()0.0027E k ξ=，因为()0.05E ξ>，所以0.00270.05k >，解得50018.5227k >≈， 因为*k ∈N ，所以k 的最小值为19， 故答案为19． 15．【答案】1754【解析】若乙只投中1次，则甲投中0次时乙获胜，其概率为12231111(1)(1)3329C ⋅-⋅-=；若乙只投中2次，则甲投中0次或1次时乙获胜，其概率为22213211111()(1)[(1)]33222C C ⋅--+⨯16=； 若乙投中3次，则乙必获胜，其概率为311()327=，综上所述：乙最后获胜的概率为1115117962716254++==，故答案为1754．四、解答题．16．【答案】（1）青少年网上购物的概率最大；（2）分布列见解析，期望为3．【解析】（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为12334531545604+==+， 中年人网上购物的概率为35153534530883=++++，老年人网上购物的概率为27， 因为35324837>>，所以青少年网上购物的概率最大．（2）由题意及（1）知，X 可能取值为0，1，2，3，4，34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()404110C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1314311231C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22243154272C 44256128P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134********C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4443814C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故X 的分布列为()434E X =⨯=．17．【答案】（1）216625；（2）见解析；（3）甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．【解析】（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是35，∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率22243221655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，()2228410282221015C C P X C ====，()13284101128321015C C P X C ====，()4841070142103C P X C ====，X 的分布列为：（3）∵乙平均答对的题目数8116234151535EX =⨯+⨯+⨯=， 甲答对题目34,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，甲平均答对的题目数312455EY =⨯=． EX EY >，∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．18．【答案】（1）6827人；（2）分布列见解析，3．【解析】（1）这200名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间10.0320.130.240.3550.1960.0970.044x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由于样本方差2 1.78s =，所以，结合题意知4μ=，2 1.78σ=，∴~(4,1.78)X N ，43σ=≈， 48433-=小时160=分钟，416433+=小时320=分钟， 44(44)0.682733P X -<≤+=，100000.68276827⨯=， 可以估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数约为6827人．（2）由频率分布直方图可知，练琴时间在[0.5,1.5)，[5.5,6.5)内的口琴爱好者人数比例为0.03:0.091:3=， 用分层抽样的方法抽取8人，则练琴时间在[0.5,1.5)内的有2人，练琴时间在[5.5,6.5)内的有6人． ∴Y 的所有可能取值为2，3，4，则2262483(2)14C C P Y C ===，3162484(3)7C C P Y C ===，()4062483414C C P Y C ===， ∴Y 的分布列为：故()234314714E Y =⨯+⨯+⨯=．。

2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.i是虚数单位，1(1+i)2=()A. i2B. −i2C. 12D. 2i2.若函数，则关于x的方程的不同实根个数是()A. 1B. 4C. 2D. 33.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()．A. 4B. 16C. 8D. 24.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是()A. 三角形中有两个内角是钝角B. 三角形中有三个内角是钝角C. 三角形中至少有两个内角是钝角D. 三角形中没有一个内角是钝角5.德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从为我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871年提出了集合论的某位数学家(划线部分所示)，请问是下列哪位数学家()A. 德．摩根B. 高斯C. 欧拉D. 康托尔6.y=4cosx−e|x|图象可能是()A. B.C. D.7.已知定义域为(−3,3)的函数f(x)=27x−x3，如果f(3−m)+f(3−m2)<0，则实数m的取值范围为()A. (2,√6)B. (−√6,√6)C. (−√6,−2)D. (−√6,−2)∪(2,√6)8.若函数f(x)=−x3+bx+1的导函数的图象如图所示，则有()A. 函数f(x)有两个零点−1，1B. 函数f(x)单调减区间为(−1,1)C. x=−1时，函数f(x)有极小值D. x=−1时，函数f(x)有最小值二、单空题（本大题共5小题，共21.0分）9.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为；10.设f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0且f(−3)=0，g(x)≠0，则不等式f(x−2)g(2−x)<0的解集是______ ．11.若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围______________．12.设方程x3−3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是______．13.若直线l是曲线C：y=13x3+x+1斜率最小的切线，则直线l与圆x2+y2=12的位置关系为______ ．三、多空题（本大题共2小题，共8.0分）14.如图，在复平面内，复数z对应的向量为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数|z|=(1)；z⋅i=(2)．15.观察下列等式：1=1；1−4=−(1+2)；1−4+9=1+2+3；1−4+9−16=−(1+2+3+4)……根据上述规律，第6个式子为(1)；第n个式子为(2)．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）16.19.(本小题满分13分)设数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)对一切，证明成立;17.已知是等差数列，其前项和为，已知(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：是等比数列，并求其前项和．(3)设，求其前项和18.已知函数f(x)=(mx+1)(lnx−3)．(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数m的取值范围．(3)设点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))满足lnx1−lnx2=3ln(x1x2)−8，(x1≠x2)，判断是否存在点P(m,0)，使得以AB为直径的圆恰好过P点，说明理由．19.函数f(x)=(mx+1)(lnx−1)．(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数m的取值范围；(3)设点P(m,0)，A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))满足lnx1⋅lnx2=ln(x1⋅x2)(x1≠x2)，判断是否存在实数m，使得∠APB为直角？说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：1(1+i)2=12i=−i−2i⋅i=−i2．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵，∴由题意知，是的两个根．不妨设，则在与上是增函数，在上是减函数(如图).因为方程有两解，所以关于x的方程有两个根或.又因为，由图象知与有两个交点，与只有一个交点(如图)，故原方程有3个解，故答案选：D．3.答案：C解析：在点A处的切线的斜率即为曲线y=2x2在x=2时的导数，由导数定义可求y′=4x．4.答案：C解析：解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．故选C．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．5.答案：D解析：解：提出了集合论的数学家是康托尔，故选：D．根据数学史直接回到即可本题考查了数学史的内容，属于基础题6.答案：D解析：本题考查了函数图象的识别，基础题．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．解：显然y=4cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−4sinx−e x=−(4sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而4sinx≥−4，∴y′=−(4sinx+e x)<0，∴y′=−(4sinx +e x )<0在(0,+∞)上恒成立，∴y =4cosx −e |x|在(0,+∞)上单调递减．故选：D ．7.答案：A解析：解：f′(x)=27−3x 2；∵f(x)的定义域为(−3,3)；∴x ∈(−3,3)时，f′(x)>0；即f(x)在(−3,3)上单调递增；又f(x)为奇函数；∴由f(3−m)+f(3−m 2)<0得，f(3−m)<f(m 2−3)；∴{−3<3−m <3−3<m 2−3<33−m <m 2−3；解得2<m <√6；∴实数m 的取值范围为(2,√6)．故选：A ．可求出f′(x)=27−3x 2，并可判断x ∈(−3,3)时，f′(x)>0，从而得出f(x)在定义域(−3,3)上单调递增，并可判断f(x)为奇函数．这样即可得出f(3−m)<f(m 2−3)，从而得出{−3<3−m <3−3<m 2−3<33−m <m 2−3，解该不等式组即可求出实数m 的取值范围．考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，二次函数的图象和性质，奇函数和增函数的定义． 8.答案：C解析：解：由图像得：x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f′(x)<0;x ∈(−1,1)时，f′(x)>0．即函数f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)递减，在(−1,1)递增．∴x =−1时，函数取到极小值，x =1时，函数取到极大值，故选：C ．通过读图得到函数的单调区间，函数的极值，从而得到答案．本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了数形结合思想，是一道基础题．9.答案：解析：试题分析：设切点为，∵，∴，故切线斜率为，又切线与直线垂直，∴=4，解得，∴切点为(1,1)，∴切线的方程为y−1=4(x−1)即考点：本题考查了导数的几何意义点评：在处导数即为所表示曲线在处切线的斜率，即，则切线方程为：．10.答案：(−∞,−1)∪(2,5)解析：先由当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0，判断函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)上为增函数，再由f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，判断函数F(x)=f(x)g(x)在R上为奇函数，从而由对称性得函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)，(0.+∞)上为增函数，且F(−3)=0，F(0)=0，F(3)=0，最后利用奇偶性和单调性解不等式F(x−2)<0即可本题考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，函数奇偶性的应用等知识，解题时要能透过形式看到反应的数学本质，会利用函数性质解不等式解：∵当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0∴当x<0时，(f(x)g(x))′>0，∴函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)上为增函数∵f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数∴F(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−f(x)g(x)=−F(x)∴函数F(x)=f(x)g(x)在R上为奇函数∴函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)，(0.+∞)上为增函数，且F(−3)=0，F(0)=0，F(3)=0∵不等式f(x−2)g(2−x)<0⇔f(x−2)g(x−2)<0⇔F(x−2)<0⇔x−2<−3或0<x−2<3⇔x<−1或2<x<5故答案为(−∞,−1)∪(2,5)11.答案：[−1,0]解析：本题主要考查不等式解法的应用，熟悉一元二次不等式解法是解答本题的关键，属于基础题．解：∵f(x)的定义域为R，所以2x2+2ax−a−1≥0恒成立，即x2+2ax−a≥0恒成立，∴△=4a2+4a≤0，解得−1≤a≤0．故答案为[−1,0]．12.答案：(−2,2)解析：解：设f(x)=x3−3x，对函数求导，f′(x)=3x2−3=0，x=−1，1．x<−1时，f(x)单调增，−1<x<1时，单调减，x>1时，单调增，f(−1)=2，f(1)=−2，要有三个不等实根，则直线y=k与f(x)的图象有三个交点，∴−2<k<2故答案为：(−2,2)．利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．13.答案：相切解析：解：由题意得，y′=3x2+1≥1，则直线l的斜率为1，此时x=0，故切点坐标为p(0,1)，∴直线l的方程为：y−1=x，即x−y+1=0，则圆x2+y2=12的圆心到直线的距离d=√2=√22，故此直线与此圆相切，故答案为：相切．由题意求出y′=3x2+1，进而可求出最小值即所求的直线斜率，并且可求出切点坐标，代入点斜式求出直线方程，再求出圆心到直线的距离，再进行判断直线和圆的位置关系．本题考查了导数的几何意义、切点的求法，以及直线的点斜式和直线与圆位置关系的判断方法．14.答案：√51+2i解析：解：由已知图形可得，z=2−i，则|z|=|2−i|=√22+(−1)2=√5；z⋅i=(2−i)i=1+2i．故答案为：√5；1+2i．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．15.答案：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2=(−1)n+1(1+2+⋯+n)n∈N∗解析：解：由等式：1=1，1−4=−(1+2)，1−4+9=(1+2+3)，1−4+9−16=−(1+2+3+4)，…可见第n个等式左侧是通项为(−1)n+1n2的前n项和，右侧为(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)，所以第6个式子为：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)第n个等式为：1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2=(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)．故答案为：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)，1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2 =(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)．观察等式，发现规律：第n个等式左侧是通项为(−1)n+1n2的前n项和，右侧为(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)，则第n个等式即可写出．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．16.答案：解析：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用导数研究函数的单调性和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算能力，推理论证的能力，属于中档题．(1)根据条件可知则数列为首项，以为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出所求；(2)欲证构造函数f(x)=ln(1+x)−x(x≥0)，然后利用导数研究该函数的单调性，从而证得结论．17.答案：(1)(2)根据定义，只要证明即可。

广东省深圳市深圳中学2021-2022高二数学下学期第一次月考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C. 考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.【解析】真值表的应用.2．已知抛物线准线方程为2x =-，则其标准方程为（ ） A ．28x y = B ．28x yC ．28y x =D ．28y x =-【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出p ，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】根据题意可知，抛物线开口向右且4p =，故抛物线的标准方程为：28y x =. 故选：C.3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】平移直线1A F ，判断平移后的直线：在平面1BD E 上，则1//A F 平面1BD E ，与平面1BD E 交于一点则不平行，即可得解．【详解】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ； ③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（ ）A ．(4,1)m ∈--B ．(4,1)(1,2)m ∈--⋃-C ．()4,2m ∈-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】根据4,2m m +-为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程22112x ym m +=+-表示椭圆则402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，即(4,1)(1,2)m ∈--⋃-； 若(4,1)(1,2)m ∈--⋃-，则22142x y m m+=+-表示椭圆， 所以方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是(4,1)(1,2)m ∈--⋃-， 故选：B5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.【详解】依题意可得2222131412a a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程是22143x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．255C ．55D ．1010【答案】A【分析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==，在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552445222a a a a a +-=⨯⨯105=， 所以异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是105. 故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【详解】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.【解析】点线面的位置关系.8．已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且12PF PF ⋅=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎢⎣⎦D ．2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】设222222212(,),2P x y PF PF x c y c x y c ⋅=-+=∴+=， 所以2222222222(2)32[0,]23b a c y b c a c e a b -=∈∴≤≤≤≤-，选C. 9．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为A ．32y x =± B ．2y x =± C ．23y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】由题得222222812881(1)1(2)3233AOB b b b AB S a b aa a ∆==∴⨯⨯=∴=+=解（1）（2）得12233a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±，故选B.10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．22C ．13D ．16【答案】C【分析】以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ．从而()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--.设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩， 令2a =，则()2,1,2n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||212133||D E h n n +-==⋅=．故选：C11．如图所示，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中不正确．．．的是（ ）A ．平面ACD ⊥平面ABDB ．AB CD ⊥C ．平面ABC ⊥平面ACD D ．AD ⊥平面ABC【答案】D【分析】选项A . 由面面垂直的性质可得到CD ⊥平面ABD ，从而判断；选项B. 由条件可得AB AD ⊥，根据面面垂直可得AB ⊥平面BCD ，从而可判断；选项C. 由线面垂直的判定可得AB ⊥平面ACD ，从而可判断；选项D. 若AD ⊥平面ABC ,则可得则AD AC ⊥，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项A . 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =, 又BD CD ⊥，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD 由CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故A 正确. 选项B . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AB平面ABD ，则AB CD ⊥，故B 正确.选项C . 由上可知AB AD ⊥，AB CD ⊥，且AD CD D =, 所以AB ⊥平面ACD , 又AB平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面ACD ，故C 正确.选项D . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ，则AD CD ⊥若AD ⊥平面ABC ，由AC ⊂平面ABC ,则AD AC ⊥,这与AD CD ⊥相矛盾，故D 不正确. 故选：D12．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】设=AF a ，=BF b ，利用抛物线定义可得2a bMN +=；在ABF 中根据余弦定理，利用,a b 表示出2AB ，结合基本不等式可求得MN AB的最大值.【详解】设抛物线准线为l ，作AP l ⊥，BQ l ⊥，MN l ⊥，垂足分别为,,P Q N ， 设=AF a ，=BF b ，由抛物线定义可知：AF AP a ==，BF BQ b ==，22AP BQa bMN ++∴==， 在ABF 中，由余弦定理得：()2222222cos603AB a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-， ()()()222221334a b a bMN AB a b ab a b a b ++∴=≤=+-+-+（当且仅当a b =时取等号）， 即MN AB的最大值为1.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果. 二、填空题13．已知向量 ()()2,3,1,2,,2a b k =-=，且 a b ⊥，则实数 k = ________________． 【答案】2【分析】0a b a b ⊥⇔⋅=，利用向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】0a b a b ⊥⇔⋅=，则22(3)120k ⨯+-⨯+⨯=，解得2k = 故答案为：214．经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -= 【详解】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=15．函数21()e 2x f x x ax =--是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______．【答案】1a ≤【分析】对()f x 求导，由题设有e x a x ≤-恒成立，再利用导数求e x y x =-的最小值，即可求a 的范围.【详解】由题设，()e x f x x a '=--，又()f x 在 R 上的单调递增函数， ∴e x a x ≤-恒成立，令e x y x =-，则e 1x y '=-，∴当(,0)x ∈-∞时0y '<，则y 递减；当,()0x ∈+∞时0y '>，则y 递增. ∴min 0|1x y y ===，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数,()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式()1e ex xf x -<的解集为___________.【答案】()1,∞+ 【详解】令()()2e xf x F x =，则()()()220e xf x f x F x '-'=<，∴()F x 在R 上是减函数． 又()1e ex xf x -<等价于()()1F x F <．∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，． 答案：()1∞+，． 点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到e x ，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于()()0(0)f x f x '+><，可构造函数()()x h x e f x =；（2）对于()()0(0)f x f x '-><，可构造函数()()xf x h x e =．三、解答题17．（1>（2）请用反证法证明：设0b >，0a >，则1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）应用分析法，将要证的结论转化为证明一个显而易见的结论即可； （2）首先否定结论：假设1a b +与1b a+都小于2成立，结合基本不等式求证一个相互矛盾的结论即可.【详解】证明：（1>只需证：22>只需证：213213a a ++++>只需证：2213421340a a a a ++>++ 只需证：4240>，而4240>显然成立， ∴原不等式得证．（2）假设结论不成立，即1a b +与1b a+都小于2，则11224a b b a +++<+=①而由基本不等式，知：12a a+≥，12b b+≥，当且仅当1,1a b ==时等号成立， ∴1111224a b a b b a a b+++=+++≥+=与①式矛盾，∴假设不成立，原命题成立．18．已知函数()()32391f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调增区间,1,()(3),-∞-+∞ 单调减区间()1,3- （2）252a ≤-【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导，令()0f x '>，解不等式，即得到递增区间，令0fx，解不等式，即得递减区间；（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，即()21f x a ≥-对[]2,4x ∀∈-恒成立，所以问题转化为求()min 21f x a ≥-成立即可，即求函数()f x 在区间[]2,4-上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在[]2,4-上的最小值，于是可以求出a的取值范围．试题解析：（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为0 1 2 3Eξ=的数学期望2【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数ξ的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出ξ取各个值时所对应的概率，就可得到ξ的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得221(1())(1)16P B p -=-=解得34p =或54（舍去），所以乙投球的命中率为34. （II ）由题设知（I ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =， ξ可能取值为0,1,2,3故2111(0)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=，12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117()22444232=⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ的分布列为171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班乙班总计成绩优良 成绩不优良(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望. 附:K 2=2(-)()()()()n ad bc a c b d a b c d ++++(n =a +b +c +d )，【答案】(1)表格见解析，能 (2)分布列见解析，23【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算2K 的观测值，与3.841进行比较即可得出结论.（2）根据茎叶图得出ξ的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为2240(104-1610) 3.956 3.84126142020K ⨯⨯⨯≈>⨯⨯⨯=， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，则2426C (0)C P ξ===25，114226C C 8(1)C 15P ξ===， 2226C (2)C P ξ===115， 则随机变量ξ的分布列为：P25 815 115则数学期望2812()012515153E ξ=⨯⨯⨯=++. 21．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x （单位：千辆）与年使用人次y （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x 与年使用人次y 的散点图如图所示. x1 2 3 4 5 6 7y 6 11 21 34 66 101 196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型lg =+y a b x 或指数函数模型(0,0)=⋅>>x y c d c d 对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于x 的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中lg i i v y =，17ni v v =∑.y v 71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.542535 50.12 3.47参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，其回归直线ˆˆay bx =-的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.【答案】（1）x y c d =⋅适宜，0.25ˆ 3.4710x y =⨯；（2）6年.【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；由x y c d =⋅两边同时取对数得lg lg lg y c x d =+，设lg y v =，则lg lg v c x d =+，根据参考数据以及参考公式首先求出v x ，的回归直线方程进而求出结果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，x y c d =⋅适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型.由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg xy c d c x d =⋅=+.设lg y v =，则lg lg v c x d =+.因为4x =， 1.54v =，721140i i x ==∑，7150.12==∑i i i x v ，所以7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx 250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯.把(4,1.54)代入lg lg =+v c x d ，得lg 0.54c =， 所以ˆ0.540.25vx =+，所以ˆlg 0.540.25y x =+， 则0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==， 故y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y=⨯. （2）投入8千辆单车，则年使用人次为0.2583.4710347⨯⨯=千人次， 每年的收益为347(10.2)277.6⨯-=（千元）， 总投资800020016000001600⨯==千元，假设需要n 年开始盈利，则277.61600⨯>n ，即 5.76>n ， 故需要6年才能开始盈利. 22．已知函数()sin e xxf x =，()0,x π∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x π+>．【答案】（1）在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos sin exx x f x -'=，得出当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，构造()()2sin cos 2e e x x x xg x f x f x ππ-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，利用导数研究其单调性即可.【详解】（1）()cos sin e xx xf x -'=，0πx <<，由()0f x '=得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<，∴()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）∵12x x ≠，且()()12f x f x =， ∴由（1）知，不妨设1204x x ππ<<<<．要证122x x π+>，只需证明212x x π>-，而1422x πππ<-<，()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故只需证明()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．又()()12f x f x =，∴只需证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．令函数()()22sin sin sin cos 22e e e e x x x x x x x x g x f x f x ππππ--⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭， 则()2222cos sin sin cos 11e e (cos sin )(cos sin )ee e e e x xxx x x x x x x g x x x x x ππππ---⎛⎫--- ⎪'=+=--=-⋅ ⎪⎝⎭. 当04x π<<时，cos sin 0x x ->，2x x π->，故()0g x '>，∴()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上()0444g x g f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立，故122x x π+>成立．。

2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{2,1,0,1,2}--【答案】A【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}A B ⋂=， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果. 详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x =【答案】C【详解】试题分析：因为函数1y x=是奇函数，所以选项A 不正确；因为函为函数x y e -=既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B 不正确；函数21y x =-+的图象抛物线开口向下，对称轴是y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减，所以，选项C 正确；函数lg y x =虽然是偶函数，但是此函数在区间()0,∞+上是增函数，所以选项D 不正确；故选C ．【解析】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．4．为了得到函数y=sin 3x π+（）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向上平行移动3π个单位长度D ．向下平行移动3π个单位长度【答案】A【详解】试题分析：为得到函数πsin()3y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，故选A.【解析】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位长度得()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位长度得()y f x a =+的图象．左、右平移涉及的是x 的变化，上、下平移涉及的是函数值()f x 的变化． 5．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A ．2B ．32C ．53D ．85【答案】C【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 6．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．0,1 B ．1,2C ．()2,4D ．()4,+∞【答案】C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．8．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为 A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y -+=【答案】D【详解】试题分析：圆22(3)4x y +-=的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线10x y +-=垂直，所以直线l 的斜率1k =．由点斜式得直线，化简得30x y -+=，故选D ．【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【详解】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【解析】三视图与表面积．10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=()711212a--=381，解得a1=3．故选B．11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.12．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B二、填空题13．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值. 【详解】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+， 同理得6BD 6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调递增区间．【答案】(1)πT =(2)单调增区间：3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2πT ω=可得答案；（2）根据复合函数的单调区间解不等式即可.【详解】（1）()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ;2T == （2）3sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，ππ2π,2ππ2422k x k ⎡⎤-+∈⎢⎣+⎥⎦，解之：3πππ,π,Z 88x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，综上所述：函数()f x 的单调递增区间为：3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【解析】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．19．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【解析】线面平行与面面垂直．20．已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 【答案】（1）4a b ==；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24x x e ax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=． 故4b =，8a b +=． 从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-． 从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，0fx ；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．21．甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为23外，其余每局甲队获胜的概率都是12，假设每局比赛结果相互独立． （1）求甲队分别以3:0,3:2获胜的概率；（2）若比赛结果为3:0，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为3:1，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为3:2，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．【答案】（1）甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84；（2）分布列见解析；期望为178．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X 的分布列，求出所对应的数学期望．【详解】解：（1）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，记“甲队以3:0获胜”为事件A ，记“甲队以3:2获胜”为事件B ，3223234111121(),()1282234P A C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎪⎝⋅⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭， 所以甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84．（2）若甲队得3分，则甲胜，结果可以为3:0,3:1,3:2，若甲队得0分，1分，2分，则甲败，结果可以为0:3,1:3,2:3，设甲队得分为X 则X 的可能取值为0、1、2、3，303111(0)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝， 12131113(1)1122216P X C ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2224111(2)1122382P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅ 32122322334*********(3)112222222316P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ X 的分布列为：甲队得分的数学期望31917()123168168E X =⨯+⨯+⨯= 22．已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【详解】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直性、极值、最值，判断y a接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。