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第3节 分式方程分式方程1．定义：分母中含有________的方程叫做分式方程．2．思路、方法：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为________；(2)具体的方法是________，即方程两边同乘以________．3．解分式方程必须________．分式方程的应用分式方程的应用与整式方程的应用类似，关键要分清题目中的等量关系，不同的是要注意验根：(1)检验所求的解是否是原方程的解；(2)检验所求的解是否符合________．分式方程及解法【例1】(2014·连云港)解分式方程：2x －2＋3＝1－x 2－x. 解：x ＝32去分母，转化为整式方程―→解这个整式方程―→验根．分式方程的应用【例2】(2014·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．解：设票价为x 元，由题意得360－720.6x ＝360x ＋2，解得x ＝60，则小伙伴的人数为360－720.6×60＝8审题确定等量关系―→设未知数―→列方程―→解方程―→验根，判断根是否合理―→确定根并作答．解分式方程时，注意不要漏乘不含分母的项和忘记验根．【例3】解分式方程：2＋x 2－x ＋16x 2－4＝－1. 解：x ＝2是增根，原方程无解真题热身1．(2012·丽水)把分式方程2x ＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( D ) A ．x B ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)2．(2013·湘潭)分式方程5x ＋2＝3x的解为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．(2014·青岛)某工程队准备修建一条长1200 m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路x m ，则根据题意可列方程为( D )A.1200（1－20%）x－1200x ＝2 B.1200（1＋20%）x－1200x ＝2 C.1200x －1200（1－20%）x＝2 D.1200x －1200（1＋20%）x＝2 4．(2014·凉山州)关于x 的方程ax ＋1x －2＝－1的解是正数，则a 的取值范围为__a ＞－1且a ≠－12__． 5．(2013·绥化)若关于x 的方程ax x －2＝4x －2＋1无解，则a 的值是__2或1__． 6．解方程：(1)(2014·宁波)x x －2＝12－x； 解：x ＝－1(2)(2014·南充)1x －1＋2x 2－1＝0. 解：x ＝－3第3节 分式方程基础过关一、精心选一选1．(2014·重庆)分式方程4x ＋1＝3x的解是( C ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－32．(2013·荆州)解分式方程x 3＋x －22＋x＝1时，去分母后可得到( C ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1B ．x(2＋x)－2＝2＋xC ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x)D ．x －2(3＋x)＝3＋x3．若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－24．(2014·龙东)已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( C )A ．m ＞2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m ＞2且m ≠35．(2014·福州)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( A )A .600x ＋50＝450xB .600x －50＝450xC .600x ＝450x ＋50D .600x ＝450x －50 6．(2013·深圳)小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他，已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是( B )A .1440x －100－1440x ＝10B .1440x ＝1440x ＋100＋10 C .1440x ＝1440x －100＋10 D .1440x ＋100－1440x ＝10 二、细心填一填7．(2014·安徽)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝__6__． 8．(2014·济南)若代数式1x －2和32x ＋1的值相等，则x ＝__7__． 9．(2013·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍，设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为__5x －52x ＝16__． 10．(2014·成都)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是__k ＞12且k ≠1__． 三、用心做一做11．解方程：(1)(2014·舟山)x x ＋1－4x 2－1＝1； 解：x ＝－3(2)(2013·泰州)2x ＋2x －x ＋2x －2＝x 2－2x 2－2x. 解：x ＝－1212．若分式方程2x ＋1＋3x －1＝m x 2－1有增根，求m 的值． 解：若增根为x ＝1，可求m ＝6；若增根为x ＝－1，可求m ＝－413．(2014·广州)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解：(1)依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3＝520(千米) (2)设普通列车的平均速度为x 千米/时，则高铁的平均速度为2.5x 千米/时，依题意有520x －4002.5x＝3，解得x ＝120，经检验x ＝120是方程的解，∴高铁平均速度为2.5×120＝300(千米/时)14．(2014·汕尾)某校为美化校园，计划对面积为1800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2?(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m 2，根据题意得400x －4002x＝4，解得x ＝50，经检验x ＝50是方程的解，∴2x ＝100，则甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2，50 m 2 (2)设至少应安排甲队工作x 天，根据题意得0.4x ＋1800－100x 50×0.25≤8，解得x ≥10，则至少应安排甲队工作10天挑战技能15．(2013·枣庄)对于非零的实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a，若2⊕(2x －1)＝1，则x ＝( A ) A .56 B .54 C .32 D ．－1616．(2013·泰安)某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为( B )A .2300x ＋23001.3x ＝33B .2300x ＋2300x ＋1.3x＝33 C .2300x ＋4600x ＋1.3x ＝33 D .4600x ＋2300x ＋1.3x＝33 17．若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x无解，则k ＝__1或2__． 18．(2014·泰安)某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？(2)超市销售这种干果共盈利多少元？解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x 元，则第二次进价是每千克(1＋20%)x 元，由题意得9000（1＋20%）x＝2×3000x ＋300，解得x ＝5，经检验x ＝5是方程的解，则该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)[30005＋9000（1＋20%）－600]×9＋600×9×80%－(3000＋9000)＝5820(元)，即超市销售这种干果共盈利5820元。
第二章 代数式课时5．分式【知识考点】考点1： 分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B＝0. 考点2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .考点3：分式有意义、值为0的条件1．分式有意义的条件：分母不等于0.2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5．约分的关键是确定分式的分子与分母的 ；通分的关键是确定n 个分式的 。
6．分式的运算：（1）加减法法则①同分母的分式相加减： ，字母表示： ② 异分母的分式相加减： . 字母表示：（2）乘法法则： . 字母表示：乘方法则： . 字母表示：（3） 除法法则： . 字母表示：【中考试题】一.选择题:1. 下列式子是分式的是( ) A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 2．代数式21,,,13x x a x x x π+中，分式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.计算22()ab ab 的结果为（ ） A ．b B ．a C ．1 D ．1b4. 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－25. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是 A.21 B.－21 C.2 D.－26. 设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn -的值等于 A. 23B. 3C. 6D. 3 7.化简x y x y y x x ⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A. 1yB. x y y +C. x y y -D. y 8. 计算：211(1)1m m m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m ---B ．221m m -+-C ．221m m --D ．21m - 9. 计算1a -1 – a a -1的结果为（ ） A. 1+a a －1B. －a a -1C. －1D.1－a 10. 化简（x －x 1-x 2）÷（1－x1）的结果是（ ） A ．x 1 B ．x －1 C ．x 1-x D ．1-x x 11. 化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 112．计算1a -1 – a a -1的结果为（ ） A. 1+a a －1B. －a a -1C. －1D.1－a 13.化简ba b b a a ---22的结果是 A ．22b a - B ．b a + C ．b a - D ．114、计算11x x y--的结果是（ ） A.()y x x y -- B.2()x y x x y -+ C.2()x y x x y -- D.()y x x y - 二.填空题 1．当x ＝______时，分式11x x +-有意义； 2.当x ＝______时，分式2x x x-的值为0．3. 当x 时，分式392--x x 的值为零. 4.当x = 时，分式31x -无意义． 5. 当x 时，分式x -31有意义． 6. 已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个．7. 当x = 时，分式22+-x x 的值为零. 8. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ． 9．计算：x x y ++y y x+＝________． 10．填写出未知的分子或分母：（1）2223()11,(2)21()x y x y x y y y +==+-++11．分式223111,,342x y xy x-的最简公分母是_______． 12. 化简a a a -+-111=________． 13. 化简：x 2 - 9x - 3= ． 14. 化简1(1)(1)1m m -++的结果是 . 15. 化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4的结果为 。
第五讲分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式【名师提醒：①若则分式AB无意义②若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
1、..a ma m= ，a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b= 。
3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。
约分的关键是确定分式的分子和分母中的，约分的结果必须是分式或整式。
4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的。
【名师提醒：①最简分式是指；②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是单项式时，公因式应取系数的，相同字母的，当分母、分母是多项式时应先再进行约分；③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的所有字母，分母中有多项式时仍然要先，通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子；④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】二、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m =1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。
2、分式求值：①先化简，再求值。
②由化简后的形式直接代数所求分式的值③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合分式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入思想的运用。
】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．对应训练A．9 B．±3 C．-3 D．3考点三：分式的运算对应训练对应训练考点五：零指数幂和负指数幂例5 （2013•荆州）下列等式成立的是（）A．|-2|=2 B）0=0 C．（-12）-1=2 D．-（-2）=-2点评：本题考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．对应训练5．（2013•济南）下列计算正确的是（ ）A ．(13)-2=9 B ．=-2 C ．（-2）0=-1D ．|-5-3|=2【聚焦山东中考】A ．aB ．aC ．aD ．a2．（2013•泰安）（-2）-2等于（ ） A ．-4B ．4C ．-1 D ．1A ．1B ．0C ．-1D ．±14．（2013•淄博）下列运算错误的是（ ）A ． 22()1()a b b a -=- B ．1a b a b --=-+ C ．0.5510a b a b ++= D ．a b b a--=A ．2B ．C ．D ．-2A ．B ．C ．2D ．2【备考真题过关】A ．1x - B ．1x - C ．1x -D ．1x- 5．（2013•河北）下列运算中，正确的是（ ）A 3B C ．（-2）0=0D ．2-1=1 244a a ++，其结果是（A ．-2B ．2C ．-22(2)a -+ D ．22(2)a +A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C ．2＜k ＜1 D ．0＜k ＜2二、填空题三、解答题2014中考真题＞＞C．的值为零，则可变形为（．﹣．．﹣、、+x+，矩形的周长是）x=（）x+（（时，代数式÷+，则代数式枣庄）若）满足1+÷日照模拟）先化简，再求值：，其中x=2+﹣河南）先化简，再求值：2+﹣）÷，其中（）÷，其中﹣﹣）÷，b=1+。
