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随机过程的基本概念随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所遇到的大量信号均属于随机信号。
如：12243LL （）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。
（）－某交叉路口每天小时测量的噪音的分贝记录。
（）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。
(4)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
（5）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。
（6）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。
(7)－反映地球物理特性的“地震信号”。
(8)－人说话时发出的“语音信号”。
等等。
随机信号是通信、信号与信息处理、自动控制等学科领域必须研究的信号形式。
比如我们专业的后修课程中需要对随机信号进行处理的有：通信原理、雷达原理、数字信号处理、信息论、图像信号处理、语音信号处理、线性控制系统等等。
从20世纪60年代起，已有不少专家学者相继研究应用概率论和数理统计方法来分析处理随机信号问题。
例如著名的信息论专家Shannon 提出了信道容量公式和信息论编码定理；Middleton 和Lee 研究了最佳接收理论；前苏联学者提出了潜在抗干扰理论；Hancock 则建立了比较完整的统计通信原理。
他们的工作为随机信号处理技术奠定了坚实的基础。
与此同时，在雷达等许多专业也深入研究随机信号处理问题，相继提出了随机信号的检测理论和估计理论、最佳滤波理论等，受到了电子信息技术界的极大重视。
随着数字通信的崛起，这些理论和方法很快被通信技术界所接受，并将它们拓展到最佳解调领域，形成了随机信号处理学科的完整内容。
尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同，是随机的。
但是就其单次实验结果ζk 而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数表示的。
因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体来描述。
以上Ω是所有可能结果ζ的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会”在这n 个波形中“出现一个”。
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
随机信号分析习题一1.设函数，试证明是某个随机变量的分布函数。
并求下⎩⎨⎧≤>-=-0, 00 ,1)(x x e x F x )(x F ξ列概率：，。
)1(<ξP )21(≤≤ξP 2.设的联合密度函数为),(Y X ，(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩求。
{}10,10<<<<Y X P 3.设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π求：（1）边沿密度，)(x f X )(y f Y （2）条件概率密度，|(|)Y X f y x |(|)X Y f x y 4.设离散型随机变量的可能取值为，取每个值的概率都为，又设随机X {}2,1,0,1-4/1变量。
3()Y g X X X ==-（1）求的可能取值Y （2）确定Y 的分布。
（3）求。
][Y E 5.设两个离散随机变量，的联合概率密度为：X Y )()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）与不相关时的所有值。
X Y A （2）与统计独立时所有值。
X Y A 6.二维随机变量（，）满足：X Y ϕϕsin cos ==Y X 为在[0，2]上均匀分布的随机变量，讨论，的独立性与相关性。
ϕπX Y 7.已知随机变量X 的概率密度为，求的概率密度。
)(x f 2bX Y =)(y f 8.两个随机变量，，已知其联合概率密度为,求的概率密度？X X (,)f x x X X +9.设是零均值，单位方差的高斯随机变量，如图，求的概率密度X ()y g x =()y g x =()Y f y\10.设随机变量和是另两个随机变量和的函数W Z X Y 222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩设，是相互独立的高斯变量。
11.设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16. 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y e x y R π+-=∈由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1112211222J ==--， ()()22241,,,4u v UV f u v e u v R π+-=∈（2）由于, 222244414uv u v e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。
1.21…解：首先，22()()5EX D X EX =+=， 22()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。
于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=， (2)25EV E X Y EX EY =-=-=-22222()()(96)()76D U EU EU E X XY Y EU =-=++-=22222()()(44)()52D V EV EV E X XY Y EV =-=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-1.23无1.29解：（1）()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=（2）()()()0.310.71f x x x δδ=-++()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-()()222(0)10.310.71E X φ''=-=⨯+-⨯=()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-=（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，()44()x f x e u x -=()21(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-=()2301(0)8(4)8v E X jv φ-=''=-=-=()()22111()81616Var X E X E X =-=-=。
（4）sin 512sin 5()510v vv v vφ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==, ()()()22253E X Var X E X =+=1.30. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。
解：由于()f x 是宽度为b a -，高度为1b a -，中心在2a b +处的矩形函数。
其傅立叶变换为[]()22sin ()/21()jv a b v b a F v e b a v-+-=⨯- [][]()2sin ()2()()()2()jvb jvajv a b X v b a e e v F v ev b a jv b a φ+--=-==--一维分布为: 0,0(,0.5)0.5,011,1X x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0,1(,1)0.5,121,2X x F x xx <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩2.4 解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：{}()()()()10111011P P B n P B n P B n P Bn ==⨯=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.80.20.80.80.1024=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有： 串（4bit 数据）为：∑=+=3)(2)(k kk n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}22222()00.210.80.8Var B n B n B n ⎡⎤=E -E =⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦()20.80.80.810.80.80.20.16=-=⨯-=⨯=所以随机变量)(n X 的矩为：均值：128.02)]([2)]([330=⨯=+=∑∑==k k k kk n B E n X E方差：6.1316.04)]([)2()]([332=⨯=+=∑∑==k k k k k n B D n X D如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++=⎣⎦（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) = 0] 可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得， 概率达到最大的串为{}1,1,1,1（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
2.5 无 2.12 无3.3无 3.9(1)(,)[Z()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)Z X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τττττττττπτ-+=+=+++⨯+=+++=+=+(2)(,)[W()W()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)W X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τττττττττπτ-+=+=+-+⨯-=+++=+=+(3)(,)[W()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}()()()()X()Y()()()0(,)()()cos(2)ZW X Y XY YX XY YX ZW X Y R t t E t t E t t t t R R R R t t R R R t t R R e ττττττττττττττπτ-+=+=+-+⨯+=-+++=∴+=-=-又由于与零均值相互独立，同时彼此正交，则3.14 根据平稳随机信号相关函数的性质，(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，2(0)9Y YR σ=≠(4) 否，(0)1Y R =-在原点不是非负(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是3.24 *9()()39()()3FTXY XY YX XY R S j S S j τωωωωω−−→=+==-4.2：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，41(),0Y pq T C TTττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.6解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯=而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯=显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
4.8 无5.11解：由题知：()1H j j aωω=+，所以()()22255Y S H j a ωωω==+ 而输出过程的自相关函数()()1522a j Y Y R S e d e aτωττωωπ∞--∞==⎰。
于是，()()2502Y E Y t R a⎡⎤==⎣⎦ 5.12无 5.13解： 由()2000.1N N B H =得，()80260.10.11.251021040N N B H -===⨯⨯⨯（瓦/Hz ） 6.16.1 复随机过程0()()j t Z t eω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。
解：(1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=⎰⎰000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=⎰⎰⎰(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-6.3无。
