浅谈数学思想在高中数学函数教学中的渗透实践

在数学教学中渗透数学思想方法的实践探究【摘要】通过对人教高中数学必修5第一章解三角形中三角形的解的个数的判断方法的介绍，分析其方法背后所蕴含的数学思想，并把这些教学思想渗透在数学中，使学生掌握数学的精髓，促进学生数学能力的提升和数学思维的发展。

【关键词】高中数学三角形的解数学方法通常求解三角形会遇到四种类型，其一，已知一边和两角，此种情况只需结合正弦定理和三角形的内角和为180度即可求解；其二，已知二边和夹角，由于满足余弦定理四个量知其三的特性，可以通过余弦定理来求解；其三，已知三边，同样满足余弦定理四个量知其三的特性，选用余弦定理即可求解；其四，已知三角形两边及其中一边的对角，用正弦定理，同时还要分类讨论。

前三种情况比较简单，它们只会出现一解或无解的情况，学生处理起来会比较顺畅，而第四种由于会出现无解、一解和两解的情况，学生处理起来会出现错解或漏解。

而它恰恰又是解三角形中的重点和难点。

重点是因为此种三角形的判断方法中蕴含了多种数学思想；难点是因为其讨论过程比较复杂，抽象能力差的学生并不能轻松理解。

一、三角形解的个数判断方法归纳（一）教材中的判断方法课本上对第四种情况的处理方式是，在已知a，b和∠A的情况下，按照A角为直角、锐角和钝角的情况进行分类讨论，内容比较全面，具体如下。

1．当∠A为直角时，a，b和∠A能够成三角形的条件是B点落在AB方向的射线上，由图可知，只有a＞b时B点才可能落在射线上。

所以当a＞b时，三角形有1解；当a≤b时，无解。

2．当∠A为钝角时，情况类似于∠A为直角的情况，故而当a＞b时，三角形有1解；当a≤b时，无解。

3．当∠A为锐角时，从图上可以清晰的认识到，当a＜bsinA时，三角形无解，而当a＝bsinA恰有一个解；当B点在A到H之间运动时，即bsinA＜a＜b时，我们可以在H右侧找到一个B关于H的对称点B´，使得CB´＝a，故而，此时三角形有两个解；当B点继续向右运动时会出现a＞b的情况，此时三角形有一解。

如何在高中数学教学中渗透数学思想方法王㊀昭(四川省成都市三原外国语学校㊀６１００００)摘㊀要:本文分析了数学思想方法在高中教学中起到的重要作用ꎬ并从 习题讲解 教材内容 以及 专项训练 三个方面介绍了教师应该如何将其渗透入课堂教学之中.关键词:高中数学ꎻ思想方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００１７－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:王昭(１９８３.８－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事高中数学研究.㊀㊀高中学生在学习或者解题过程中恰当地使用数学思想方法ꎬ不但能够有效提高他们的做题速度和正确率ꎬ而且可以锻炼学生的思维能力ꎬ从而逐渐形成科学的数学观念和意识.思想方法虽然相对于具体的知识点来说看不到㊁摸不着属于较为抽象的内容ꎬ很多教师在实际教学过程中对其并没有给予足够的重视ꎬ但是其对学生掌握高效数学学习方法以及提高自身对理论内容的创新和应用能力起到了非常关键的作用.从深层次方面来看思想方法的教学是数学内容的核心和灵魂ꎬ学生只有充分掌握了这部分内容才能够在知识学习的道路上游刃有余ꎬ才能够发现本学科中蕴含的精髓.㊀㊀一㊁数学思想方法在高中教学中的重要作用首先ꎬ能够增强高中学生答题的准确率.学生在解答数学问题的过程中不可避免地需要用到数学思想方法ꎬ其不但能够为学生指明解题的思路和方向ꎬ继而让他们找准题目的切入点ꎬ而且能够在一定程度上简单化步骤ꎬ为学生的答题提供技巧或者方法ꎬ进而有效缩短他们在考试中所用的时间提高正确率.此外ꎬ在处理难题的过程中往往离不开数学思想方法ꎬ因此教师在教学活动中引导学生掌握这部分内容可以有效提高他们的考试成绩.其次ꎬ能够锻炼学生的数学思维能力.思想的教学离不开对抽象性内容的分析和运用ꎬ学生需要从大量的学习经验中提炼和理解相关方法的使用情景以及注意事项ꎬ能够让他们的思维不断进行强化变得更加具有逻辑性.而数学学习更多的是依靠学生的思维能力.㊀㊀二㊁如何在教学过程中有效运用数学思想方法１.在习题教学中融入数学思想方法习题教学是数学课程中非常重要的一项内容ꎬ教师在给高中学生讲解相关例题的过程中可以适当地融入一些数学思想方法ꎬ这样一来ꎬ不但能够让学生意识到它们在解题当中的应用情况以及其对于相关思路和方法的指导作用ꎬ而且可以让看似凌乱的步骤变得系统化和规范化ꎬ让学生能够借助数学思想快速掌握题目中的难点.例题:设函数ｆ(ｘ)＝ｘ－１/ｘꎬ对任意ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)ꎬｆ(ｍｘ)＋ｍｆ(ｘ)<０恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.这道数学题对很多学生来说有一定的难度ꎬ但是在教学过程中笔者如果仅仅讲解此题的详细解答步骤并不能给他们造成深刻的印象ꎬ而且学生也难以掌握同类问题的处理方式.因此ꎬ笔者从 函数和方程 以及 分类讨论 两个数学思想出发进行了讲解ꎬ并且收获了非常好的教学效果ꎬ具体过程如下:根据题目当中的条件可以将ｆ(ｘ)代入不等式中化简得到ｍｘ[２ｍ２ｘ２－(１＋ｍ２)]<０.在这个过程中使用了函数和方程思想ꎬ即利用两者之间存在的相互转化关系进行解题ꎬ如此一来ꎬ不但让学生体会到了思想方法在解题中的应用情况ꎬ而且促使他们对相关的技巧和方法进行发掘ꎬ同时还扩展了学生的数学思维.接着ꎬ笔者利用恒成立的条件引导学生判断出ｍʂ０ꎬ此时解题的中心点又回到了上述化简后的不等式ꎬ这也是很多学生非常容易出现错误的地方ꎬ因为需要对ｍ的取值情况进行分类讨论.当ｍ<０时ꎬ２ｍ２ｘ２－(１＋ｍ２)>０恒成立ꎬ然后对根据ｘ的取值情况对不等式进行化简就能够得出ｍ<－１ꎻ而当ｍ>０时ꎬ运用同样的分析和运算过程能够推导出不恒成立的情况ꎬ这样便可以得知最终的正确结果.通过上述在习题讲解中融入数学思想方法的教学过程ꎬ教师不但让整个解题步骤变得更有条理和逻辑性ꎬ而且让学生感受到了运用正确和恰当的思想在做题中起到７１的重要指导作用ꎬ进而促使他们对此项内容产生深入了解的兴趣.２.从教学内容中挖掘数学思想方法在人们传统的认知观念中数学教材当中的内容仅仅为学生们提供了在当前阶段应掌握的知识点ꎬ是教师开展基础教学活动的依据ꎬ但是很多人忽略了其中在知识的产生㊁发展以及应用过程中暗涵的思想方法ꎬ这就使得教师的实际授课过程缺乏了数学学科应有的 灵魂 ꎬ而且学生掌握的知识更多的是流于形式ꎬ对他们思维能力以及相关素养的提升并没有什么有效的帮助.针对此种情况ꎬ笔者建议教师在数学教学过程中可以从课程内容当中挖掘思想和方法ꎬ这样一来ꎬ不但能够有效增强学生对基础知识的理解能力ꎬ而且也开阔了他们的数学思维.３.引导学生进行思想方法的强化练习数学思想方法是从课程基础知识的学习或者练习题的解答过程中提炼出的ꎬ因此ꎬ教师在进行这部分内容的教学活动时会有非常多的局限性.比如ꎬ在多种因素的影响下ꎬ某种方法在讲解之后学生很少有机会进行使用ꎬ随着时间的推移他们便会忘记ꎻ而当再次遇到后ꎬ教师仍旧需要重新介绍ꎬ这就降低了课堂教学的效率.依据于知识点的思想方法教学过于零散ꎬ缺乏系统性ꎬ往往容易让学生在实际学生过程中造成混淆ꎬ从而对教学质量的提高起到相反的作用.综上所述ꎬ高中数学教师在日常教学过程中渗透相关的思想方法ꎬ不仅可以增强学生对基础知识的理解能力ꎬ使他们的数学思维方式得到有效锻炼ꎬ而且能够有效提高学生分析以及解决各类问题的能力ꎬ并为他们处理相关的难题提供思路和技巧.除此之外ꎬ教师能够通过思想方法的教学提升课堂的质量和水平ꎬ让知识以条理化和系统化的形式展现出来ꎬ从而让学生的学习活动变得更加高效.㊀㊀参考文献:[１]熊永欣.提高高中数学函数学习效率和把握数学思想的探索[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１８(０１):１３０.[２]陈瑞.高中数学函数教学中数学思想方法的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(０１):７６.[３]张益通.数学思想方法在高中数学中的应用研究[Ｊ].中华少年ꎬ２０１７(３４):１３４－１３５.[责任编辑:杨惠民]由一道高考试题的一题多解浅谈微专题教学设计孙宝金㊀李翠玲(辽宁省朝阳市喀左蒙高中㊀１２２３００)摘㊀要:高考复习常常需要在短时间内突破学生的疑难点和易错点.我们围绕复习的重点和关键点设计出 微专题 ꎬ利用具有紧密相关的知识方法形成专项研究.与大专题复习有机结合ꎬ使得专题复习活而不空ꎬ深而不偏ꎬ促进学生的深度学习.关键词:多种解法和变式教学ꎻ 微专题 复习ꎻ构建方式ꎻ深度学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００１８－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:孙宝金(１９７６.１２－)ꎬ男ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ本科ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.李翠玲(１９８４.７－)ꎬ女ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ硕士ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.㊀㊀一㊁问题的提出题目㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ过点２ꎬ０()的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆(１)证明:坐标原点Ｏ在圆Ｍ上ꎻ(２)设圆Ｍ过点Ｐ－４ꎬ２()ꎬ求直线ｌ与圆Ｍ的方程.这是２０１７年全国统一考试 丙卷(全国卷Ⅲ)理科数学第２０题.本题直线与抛物线的位置关系㊁直线与方程㊁圆的方程ꎬ意在数形结合思想和化归与转化能力ꎬ难度适中ꎬ可以很好地考查学生的平面解析几何的基本素养.㊀㊀㊀二㊁问题的探究１.基本解法的探究笔者在审视这道高考试题时ꎬ发现可以从三个视角完美解决这道试题.８１。

高中数学函数教学对数学思想方法的渗透研究发表时间：2020-09-04T16:00:57.680Z 来源：《教育学文摘》2020年第35卷11期作者：方丽宏[导读] 在高考科目当中数学是最让考生头痛且最容易拉开距离的一门学科。

摘要：在高考科目当中数学是最让考生头痛且最容易拉开距离的一门学科。

而且数学对于大多数高中理科学生而言既是基础学科又是综合性学科。

想要学好数学是一件非常不容易的事情，在高中数学所涉及的知识点领域，函数是最具有代表性的一个。

很多高中生一提到学习函数就心里难免有些害怕，其实在数学教学当中，函数教学的难点和重点一直都是任课老师重点教学内容。

关键词：高中数学；函数教学；数学思想方法；渗透；在给学生讲数学函数这一部分知识内容时，大多数的数学任课老师都会将高中重点的数学思想方法灵活融进于函数教学活动当中，只有学生真正的灵活掌握高中思想方法，才能更加准确的处理不同类型的函数问题，不仅有助于学生理解函数，还能在学习函数中，培养出学生的独立思考能力。

在函数学习当中，可以帮助他们勇于发现问题并解决问题。

如果老师能够在开展函数教学活动的时候自然而然地融入于高中思想方法，学生的逻辑思考能力或者类比能力都会有所提升，这样有助于学生快速提高自己的高中学习成绩。

倘若学生一旦掌握了数学思想方法，就可以为以后的学习打下夯实的基础。

1 高中数学函数教学渗透数学思想方法的重要意义通过实际的调查我们得知，对于高中生而言他们最不擅长的知识内容就是函数这一块，高考的数学函数所占分值比例一直保持最高，我们也看出高中数学函数对于学生数学成绩的重要性，所以这也是大多数的任课老师，重点的教学内容。

可是普遍的现象就是很多学生学不好数学函数，认为数学函数很难学精，有些函数题型稍微发生改动就找不到解题思路，由此可以看出学生对于高中数学函数这一块学习起来比较困难，但是从本质上也可以看出高中阶段的学生没有真正的掌握高中思想方法，进而导致高中数学函数教学很难顺利地开展。

函数教学中渗透数形结合的思想函数是高中数学的主要内容之一，它是一条纽带，把高中数学的各个分支紧紧地连在一起。

高中数学课程标准指出：“数学作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面，在推动社会进步和发展的进程中起着重要作用。

”数学知识本身固然重要，但是对学生后续的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。

如果说知识和技能是数学学习的基础，而数学思想方法则是数学的灵魂和精髓。

在函数的教学中，渗透数形结合的思想方法是很好的时机。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合的思想方法，就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思维的思想方法。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”通过对《函数单调性》《指数函数》的备课研究，我设计函数单调性的教学目标为：“通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

”指数函数的能力目标：“体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。

”事实证明，在函数的教学中，运用数形结合的思想方法能起到很好的教学效果。

1、数形结合，有利于激发学生学习兴趣数学的一个重要特点就是它具有抽象性。

运用数形结合的思想方法，是遵从学生的认知规律，可以让学生体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解函数的实际背景。

课堂教学只有遵循了学生的认知规律，才能促使学生的思维得到发展。

因此，在教学函数的单调性这一内容时，我先引导学生观察两组图像，让学生直观体验函数图像在区间上升和下降的区别。

引出了函数单调性的定义。